1. MARÍA
ANA
FERNANDA
MARÍA
M O N TA LVO
PALACIO
OROZCO
F

2. LUGAR GEOMÉTRICO
.
 Un lugar geométrico se define con el
conjunto de todos los puntos del plano
que tienen una característica en
común.
 Todo lugar geométrico se fundamento
en una ecuación.
 Y una ecuación geométrica se origina
por la relación de proporcionalidad que
se establece entre las coordenadas de
los puntos del lugar.

3. Por
el
teorema
de
Pitágoras
determinamos la relación entre las
coordenadas del punto del lugar
geométrico, así:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 82
𝑥 2 + 𝑦 2 = 64
Esta ecuación corresponde a la
ecuación de la circunferencia cuyo
radio mide 8 unidades.

4. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
d(P1,p2)=d
d2= (x2-x1)2 + (y2-y1)2
d= (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
d(P1,P2) = (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Calcula la distancia entre los puntos P(5,4) y Q(-3,-2)
d(P,Q) =
(−3 − 5)2 + (−2 − 4)2 =
=
d(P,Q) = 100
(−8)2 + (−6)2
64 + 36
d(P,Q) =10µ

6. PENDIENTE DE UNA RECTA
 Toda recta que corta al eje x forma con
ese eje dos ángulos suplementarios .
(𝜃𝑦𝛽) <𝜃= <α (por correspondiente)
 Los ángulos correspondientes son los
que están situados aun mismo lado de
las secantes o transversal el uno
interno y el otro externo pero no
adyacente.

7. Si θ es el ángulo de inclinación de la recta l ,y θ ≠ 0, entonces la pendiente m de la
recta l se define así:
m=tgθ
𝑦 −𝑦
Tgθ= 𝑥2−𝑥1
2
1
𝑦2 −𝑦1
Luego m = = 𝑥
2 −𝑥1

8. Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (7,5) y
(-2,-4) y determinas el ángulo de inclinación
𝑚=
−4−5
−2−7
Tgθ=1
θ= Tg-1(1)
θ= 45º
=
−9
−9
=1

9. EJERCICIO DE APLICACIÓN
Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos:
a) P(-3,-2), Q(-6,2)
𝒎=
𝒚 𝟐 −𝒚 𝟏
𝒙 𝟐 −𝒙 𝟏
𝟐+𝟐
=−𝟔+𝟑
𝑚 = −4 3
𝟒
=−𝟑
b) W(2/3 , 1) , V(1/3 , 1/5)
𝑚=
1
5 −1
1 2
−
3 3
=
−4
5
−1
3
𝑚=
12
5

10. Encuentra el ángulo de inclinación θ con respecto a las horizontal de la
recta que pasa por el origen y el punto dado
M=tgθ
Tgθ=
𝑦2 −𝑦1 0+2 2 1
=
= =
𝑥2 −𝑥1 0+8 8 4
(-8,-2), (0,0)
θ=𝑡𝑔−1 (0,25)
θ= 14,03º
=0,25

11. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO DE RECTA
X=
𝑋1 +𝑋2
2
Y=
𝑦1 +𝑦2
2

12. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento que une
cada par de puntos .
1) 0(2,6), P(-3,-2)
X=
2−3
2
=
−1
2
y=
6−2 4
= 2=2
2

13. (
2. Y -2,
𝑋=
𝟏
𝟐
), Z(-
−2−4 3
2
=
𝟒
,
𝟑
4)
−6−4
3
2
=
−10
1
2
3

14. 2) Y(-2,
𝑋=
𝟏
𝟐
), Z(-
−2−4 3
2
10
𝑋=−
6
𝟒
,
𝟑
=
4)
−6−4
3
2
=
−10
1
2
3
𝑋=−
5
3
1+8 9
𝑌 = 2+4= 2 = 2
2
2
2
9
1
𝑌=
4
1

15. ECUACIÓN CANÓNICA O REDUCIDA DE LA
RECTA
Y=mx+b
Pendiente
Intercepto
Determinar la pendiente y el punto de corte en eje “y”
Y=m-5
y=3+4x
M=2
P(0,-5) (punto de corte con eje “y”)

16. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
AX + BY + C = 0
Dado y=2x-5, expresarlo como ecuación general:
-2x+y+5=0
AX+BY+C
A=-2 B= 1 C=5

17. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Determina la pendiente y el intercepto con el eje y, de las recta cuya ecuación es
3x+2y-5=0.
2y=-3x+5
3
2
Y= - x +
5
2
Pἱ (0. )
5
2
𝑚 = −3 2

18. Grafica la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m, luego escribir su
ecuación en forma canónica :
* P(1 , 3) , m=2
Y= mx + b
3= 2(1)+b
3=2+b
3-2=b
b=1
Pἱ(0, 1)

19. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL
PLANO
1)
Rectas coincidentes:
Ax+Bx+c= 0
A’x+B’x+c’=0
Ejemplo:
6x-4y+8=0
y
𝐴
𝐵
𝐶
= = =K
𝐴′ 𝐵′
𝐶′
6
−4
8
1
=
= =
16
−8
16
2
12x-8y+16=0

20. Se puede comprobar que los coeficientes respectivos son múltiplos entre si:
Grafica: 6x-4y+8=0
Corte con eje “y”: x=0 : 6(0)-4y+8=0
-4y= -8
(Pἱ)y = (0,2)
Corte con eje “x”: y=0 : 6x-4(0)+8=0
(Pἱ)x= (−4 3, 0)
Grafica: 12x-8y+16=0
Corte con “y”: x=0 : 12(0)-8y+16=0
(Pἱ)y= (0.2)
y=
−8
−4
y=2
6x= -8
x=
−8
6
−4
3
x=
-8= -16
y=
−16
−8
y=2

21. Corte con eje “x”: y=0: 12x-8(0)+16=0
(Pἱ)x= (−4
3
,0)
12x=-16
x=−4
x=
3
−16
12

22. RECTAS SECANTES
Son aquellas que se cortan en un solo punto
Ejemplo: 3x – 2y = -2
y
5x + 3y = 22
Podemos comprobar que estas dos rectas se cortan en el punto (2,4)
Grafica de: 3x – 2y = -2
Corte con “y”=
x=0: 3(0) - 2y = -2
-2y= -2
−2
y=−2 y=1
(Pi)y=(0.1)
Corte con “x”:
y=0: 3x – 2(0) = -2
(Pi)x=(− 2
3.0)
3x= -2
x= −
2
3

23. Grafica de: 5x + 3y = 22
Corte con “y”: x=0 : 5(0) + 3y =22
22
y= 3
(Pi)y=(0.22 3)
Corte con “x”: y=0 : 5x + 3(0) = 22
22
(Pi)x=( 5 , 0)
5x= 22
22
x= 5

24. SOLUCIÓN GRAFICA
( punto de corte de las 2 rectas) . Es la solución del sistema.

25. ANGULO ENTRE DOS RECTAS SECANTES
Θ1= θ1 (Por
correspondientes )
θ2= θ2 ( Alternos Internos)
θ2= θ2 ( Opuesto por el vértice)

26. Ejemplo:
Encontrar la medida del ángulo de la recta -3x+2y=-1 a la recta 2x-3y=-6
En la recta -3x+2y=-1 la pendiente M1 es :
2y=3x-1
3
2
y= x -
1
2
M1=3
2
θ
θ= 22,6

27. En la recta 2x -3y = -6 la pendiente m2 es :
-3y= -2x-6
−2 −6
−3 −3
y= x
2
3
y= x+2
m2 =
2
3

28. RECTAS PARALELAS

29. RECTAS PERPENDICULARES
Como tg90º no esta definida entonces,
en la expresión
El denominador es igual a cero:
Es decir:

30. EJERCICIO DE APLICACIÓN
Determina la posición…
X+y=3
2x – 6 = 2y
x+y=3
2x -2y =6
Son coincidentes.