trabajo de analisis matematico 1

1. PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si a, b, c ϵ R
+¿
Demostrar:
bc
a +¿
ac
b +¿
ab
c
≥ a +¿b +¿ c
Solución:
Analizando tenemos que a. b. c ˃ 0 entonces:
a
b
˃ 0,
b
c
˃ 0,
a
c
˃ 0
Ahora se tiene:
a
b +¿
b
a
≥ 2,
b
c +¿
c
b
≥ 2,
a
c +¿
c
a
≥ 2
Multiplicando por c, a, b respectivamente
(
a c
b
+
bc
a
≥ 2c
ab
c
+
ac
b
≥ 2a
ab
c
+
bc
a
≥ 2b)+¿
¿
⇒ 2
ac
b
+ 2
bc
a
+ 2
ab
c
≥ 2c + 2a + 2b
2 (a c
b
+
bc
a
+
a b
c ) ≥ 2 (c+a +b)
∴
bc
a +¿
ac
b +¿
ab
c
≥ a +¿b +¿ c

2. 2. Si a ≥ 0; b ≥ 0
Demostrar:
a +b+1
a+b ¿
¿
≤
a
b+1
+
b
a+1
Solución:
Como a ¿ 0, b ¿ 0, entonces: a + 1 ¿ 1, b + 1 ¿ 1
Luego se tiene: a + b + 1 ¿ b + 1
b + a + 1 ¿ a + 1
Ahora invirtiendo cada una de las desigualdades se tiene:
1
a + b +1
≤
1
b +1
y
1
b + a +1
≤
1
a +1
Multiplicando las desigualdades por a y b respectivamente tenemos:
a
a + b +1
≤
a
b +1
y
b
b + a +1
≤
b
a +1
Sumando las desigualdades tenemos:
a
a + b +1
+
b
b + a +1
≤
a
b +1
+
b
a +1
∴
a + b +1
a+b ¿
¿
≤
a
b +1
+
b
a +1
3. Si a, b, c, d ϵ R

3. Demostrar: (
1
a
+
1
a
+
1
a
+
1
a
) (a +b+c+d ) ¿ 16
4. Si a, b ϵ R
+¿
; a ≥ b
Demostrar:
a
b
+
3b
a
≥ (b
a )
2
+ 3
5. Si: |x| y˂
Demostrar:
3(x)−∣y∣
2
|x| |y|˂ ˂ ˂
3( y)−∣x∣
2
6.
√X +6.(3 X +2)7
. 3
√X +2.(2 X +5)6
.( X −3)3
5
√( X +5)3
.( X 2
−4 X +5)
3
.
4
√X 2
+1.( X √ X )
3
.
6
√X −1 ¿
¿
≤ 0
7.
( X −2)2
. ( X +3)7
.( X −3)5
( X 2
+3)
9
. ( X +6 )3
. ( X −3)6
. ( X 2
−4 X +5)
5 ¿
¿
≤ 0
8.
6
√ X +7. ( X −8)5
. ( X 3
−8).( X 2
−14 X +48)
5
√( X +5) .( X +1)4
.
5
√ X 2
−7 X +12 .( X +2) . 4
√8−X ¿
¿
≥ 0
9. √√x
2
−6X −√X
8−X
≥ 3
√X −10

4. 10.
√√1−X +√1+ X
(X
2
−
1
4)
≥ 5
√X −5
11.
(( X
2
−16)( X −1))
X +4
≥ 2
12.
( X )+1
( X )
3
−4 X
2
+20 ¿
¿
≥ 4
13. √2√2−√10(X )−16−X 2
3−√X −2
+
X −8
X −9 ¿
¿
≥ 0
Solución:
3−√X −2
2√2−√10( X )−16−X 2 ¿
¿
≥ 0
10(X )−16− X 2
≥ 0, X 2
−10( X )+16 ≤ 0
X
2
=( X )2
, (( X )2
− 8) (( X )2
− 2) ≤ 0
( X )=± 8 ˄ ( X )=± 2

5. ⇒ X ϵ (−∞; −2) ¿ (2; +∞) …… (α)
X −2≥0 , X ≥2 ⇒ X ϵ (2 ; +∞) …… ( β)
Intersectando ( β)∩(α) se tiene:
X ϵ(2; +∞) …… (I) ahora se tiene dos casos:
+¿+, −¿−, ⇒2√2−√10(X)−16−X
2
≥0 ˄ 3−√X−2>0 ˅
2√2−√10( X )−16−X 2
≤0 ˄ 3−√X −2 ˂ 0
⇒(2√2−√10( X )−16− X
2
)≥0 ˄ 3−√X −2>0
Multiplicando por (–) respectivamente se tiene:
√10( X )−16− X2
−2√2≤0 ˄ √X −2−3<0
√10( X )−16−X
2
≤2√2 ˄ √ X −2<3
10( X )−16− X
2
≤8 ˄ X −2<9
X 2
−10( X )+16≥−8 ˄ X <11
X 2
−10(X )+24≥0 ˄ X ϵ (−∞ ;11)
( X )( x ; si x≥0
−x ; si x<0 )

6. si x≥0 , X 2
−10 X +24≥0
( x−6 )( x−4)≥0
⇒ x ϵ (0; 4)∪(6;(−∞))
si x<0 , X 2
+10 X +24≥0
( x +6) ( x +4 )≥0
⇒ x ϵ (−∞ ;(−6))∪(−4;(0))
⇒ x ϵ (−∞ ;(−6))∪(−4;(0))∪(0; 4)∪(6;(−∞))∩x ϵ (−∞ ;11)
∴ x ϵ(−∞ ;(−6))∪(−4 ;(0))∪( 0;4)∪(6 ;(11))
⇒2√2−√10(X )−16−X
2
≤0 ˄ 3−√X −2 ˂ 0
Multiplicando por (–) respectivamente se tiene:
√10( X )−16−X2
−2√2≥0 ˄ √X −2−3>0
√10( X )−16−X
2
≥2√2 ˄ √ X −2>3
10( X )−16− X 2
≥8 ˄ X −2>9
X
2
−10( X )+16≤−8 ˄ X >11
X
2
−10(X )+24≤0 ˄ X ϵ (11;+∞)
( X )( x ; si x≥0
−x ; si x<0 )

7. si x≥0 , X 2
−10 X +24≤0
( x +6) ( x +4 )≤0
⇒ x ϵ (4 ;6)∩ x≥0
si x<0 , X 2
+10 X +24≤0
( x +6) ( x +4 )≤0
⇒ x ϵ(−6;−4)
⇒ x ϵ (−6;−4)∪(4 ;6)∩X ϵ (11;+∞)
∴ x ,∅ ; x ϵ (−∞ ;(−6))∪(−4 ;(0))∪(0;4)∪(6 ;(11))
Intersectando (I I I )∩(I ) se tiene:
x ϵ(2; 4)∪(6;8)
Ahora, existen dos casos
x ϵ (2; 4)∪(6;8) ˄
x−9
x−8
≥0 ˅ x ϵ (2; 4)∪(6 ;8) ˄
x−9
x−8
≤0
x ϵ (2; 4)∪(6;8)∩( x−9)(x−8)≥0∪x ϵ ( 2;4)∪(6;8)∩(x−9)(x−8)≤0
x ϵ (2; 4)∪(6;8)∪x ϵ ∅ , x≠8

8. ∴ c .s x ϵ (2 ;4)∪(6;8)
14.
√X (( X )−1)−12
(X +2)+1
−
((1−X )−3)
(X −1)+4
+ √9−X ≥ 0
15. (√( X −1)−3−√5−(X −4)) (√( X −1)−3+√5−( X −4)) ≤ 1
16.
2 X
2
−X −6
2 X 2
−3 X +3 ¿
¿
-˃
1
2
17.
X −√X 2
−1
X +√X
2
−1 ¿
¿
˃
X +√X 2
−1
X −√X
2
−1 ¿
¿
18.
√( X −6)−(X +6)
(3 X −1)−( X −7)
≥ 1

9. 19. (X
2
−3 X −6)˃ ( X +6) ˄ (( X −2)+ X ) ˃ √−X
20.
(1− X
2
)(1− X )
1+ X
3 ¿
¿
˃
(1− X
2
)(1+ X )
X − X
2
+ X
4
− X
5 ¿
¿
+ 9
21. x y
2
+ XY – 6x – 3 = 0
22. x2
y – 25y – x = 0
23. x
3
- x y
2
+ 2 y
2
= 0
24. xy - 2y – x = 0
25. x
3
+ y
2
- 4y + 4 = 0
26. Un rayo de luz va dirigido por la recta L1 : x – 2y + 5 = 0. Al llegar a la recta
L2 : 3x – 2y + 7 = 0 se refleja de la recta L1 . Encontrar la ecuación de la recta
en la que está en el rayo reflejado.
27. Hay dos rectas que pasan a través del punto (−1 ;3) , las cuales son
tangentes a la curva: x2
+4 y2
−4 x−8 y+3=0 . Encontrar las
ecuaciones de dichas rectas.

10. 28. El punto A (−4,5) es el vértice de un cuadrado; su diagonal se encuentra
en la recta L: 7x – y + 8 = 0. Escribir las ecuaciones de los lados del
cuadrado.
29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas: 2x + 7y – 8 = 0 con una inclinación de 45
°
con respecto a la recta
que tiene por ecuación: 2x + 3y -7 = 0.
30. Encontrar las ecuaciones de los lados de un triángulo si uno de sus vértices
B (2;6) y las ecuaciones de la altura Lh :x – 7y +15 =0
31. El ángulo de inclinación de dos rectas paralelas es “α”. Si una de ellas pasa
por el punto P (x0 ; y0) y la otra pasa por el punto Q (x1 ; y1) . Demostrar que
la distancia que hay entre ellas es: (( x1−x0 ) s e n α−( y1 − y0 )c o s α)
32. Tres rectas (L1 , L2 y L3) se interceptan en el punto (−6;4) . Si L1 y L2
contienen los puntos (2; 2) y (0;0) , respectivamente y L2 es bisectriz del
ángulo formado por L1 y L3 . Encontrar la pendiente de L3 .
33. Sea el triángulo ABC donde la ecuación del lado −AB es LA B : 5x- y+2 =0 y las
ecuaciones de las alturas −AN y −BN son 4x – 3y +1=0 respectivamente.
Hallar las ecuaciones de los otros lados y de la tercera altura.

11. 34. Escribir las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos comprendidos entre
las siguientes rectas: L1 : x + y – 5 =0 y L2 : 7x – y – 19= 0.
35. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y
forma con las rectas: L1 : x – y + 12 = 0 y L2 : 2x + 2y + 9 = 0 un triángulo
cuya área es igual a 1.5 unidades cuadradas.
36. Sea la parábola y2
- 16x = 0. Encontrar los puntos cuya longitud de sus
radios focales es 13 unidades.
37. Sobre el plano numérico se dan los puntos A (-1; 0) y el punto B (2; 0). El
punto M se muestra de tal manera que en el triángulo AMB, el ángulo ̂B es
dos veces mayor que el ángulo ̂A. Calcular la ecuación de la curva que
describe el punto M.
38. Dadas las cónicas x
2
– 2y – y + 1= 0 y 2x
2
- y
2
- 2 =0. Encontrar el ángulo
que forma en uno de los puntos de intersección.
39. Encontrar la ecuación de la circunferencia que es simétrica a la
circunferencia: x
2
+ y
2
−2 x+4 y+4=0 en la recta: x + y -3 = 0.
40. Determinar la ecuación de la cuerda focal de la elipse
4 x
2
+9 y
2
−144=0 cuya longitud sea seis unidades.

12. 41. Dada la recta y= mx + b tangente a la circunferencia x2
+ y2
=r2
.
Encontrar una ecuación que relacione a: “m”, “b” y “r”.
42. Se tiene la hipérbola 9 x2
−16 y2
−144=0 Sobre la rama derecha de la
misma, hallar el punto cuya distancia al foco derecho sea la mitad que
distancia al foco izquierdo.
43. Demostrar que la recta normal a la parábola en cualquier punto que
pertenece a esta, desempeña la función de bisectriz del ángulo formado
entre el radio focal del punto y la recta paralela al eje de la parábola, que
pasa por el punto dado.
44. Encontrar el eje y el vértice de la parábola que tiene por ecuación
x
2
+ 4 y
2
+ 4xy – 2x +1 = 0.
45. Hallar la ecuación de la circunferencia de r = 5√2
2
que pasa por la
intersección de las circunferencias: C1 : x
2
+ y
2
+2 x−6 y−16=0 C2 :
x2
+ y2
−6 x+2 y=0 Además encontrar las ecuaciones de la recta
tangente en uno de los puntos de intersección.
46. Un cable de acero está colgado por los dos extremos. Los puntos de
suspensión están situados a una misma altura y a una distancia de 20m. La
longitud de la flexión a la distancia de dos metros de los puntos de
suspensión en sentido horizontal es 14.4 cm. Determinar la longitud de la
flexión de este cable en su punto medio suponiendo que el arco tiene
forma parabólica.

13. 47. Hallar la ecuación de la parábola cuyo lado recto ( LR ) es el segmento entre
los puntos (3; 5) y (3; -3).
48. Una circunferencia cuyo centro es el punto C (4; -1) pasa por el foco de la
parábola x2
+16 y=0 . Demostrar que esta es tangente a la directriz de la
parábola.
49. Un arco tiene la forma de una parábola. La base sobre la que descansa
mide 30 metros y la altura en el centro es de 10 metros. ¿A partir de que
distancia, contando de un extremo puede pasar por debajo del arco un
móvil de 5 metros de altura?
50. Suponiendo que las coordenadas cartesianas se miden en decámetros, se
desea construir un complejo deportivo en donde deben ubicare cuatro
canchas de futbol de 120 metros de largo por 90 metros de ancho.
Estas canchas son simétricas con respecto a las rectas: 3x – 4y – 12 = 0
y 4x +3y -41 = 0. Si la circunferencia del centro de una de las canchas tiene
por ecuación: x
2
+ y
2
+14 x−14 y+97=0 . Encontrar el centro de cada
una de las canchas restantes y las coordenadas donde deben ir las
banderas de córner.