El documento resume varios métodos numéricos para la derivación, integración y interpolación de funciones. Explica brevemente la derivación numérica usando fórmulas de diferencias finitas, e integración numérica usando los métodos del trapecio, Simpson y Romberg. También cubre interpolación polinómica y extrapolación de Richardson.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE- RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN
Análisis Numérico
Alumno(a): Daniela Mendoza
28.528.546
Cabudare, Marzo 2020.

2. Diferenciación e Integración Numérica
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de
valores (x0, f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en
un punto “x” que en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran
en los datos.
Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la
aproximación de Taylor, denominadas “Formulas de diferencias finitas”.
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular
una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y
propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:
Diferencias hacia adelante
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados
aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el
promedio de ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado
Diferencias centrales.

3. INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8
La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método
para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La funcion f(x) aproximada por la funcion lineal ∫_a^bf(x)dx
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la funcion
lineal que pasa a traves de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual
a ∫_a^b〖f(x)dx=(b-a)(f(a)+f(b))/2〗 y donde el termino error corresponde a -((b-
a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un numero perteneciente al intervalo [a,b]
La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de
aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulacion de este
metodo se supone que f es continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se
divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos,cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.
Despues de realizar todo el proceso matematico se llega ala siguiente formula:

4. Interpolación polinómica
En análisis numérico, la interpolación polinómica (o polinomial) es una técnica de
interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto
número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar
un polinomio que pase por todos los puntos.
Extrapolación de Richardson.
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson
(1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más
rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de
métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el
cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor.
Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de
Romberg.
Presentacion del principio:
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto para hacer un análisis del error,
expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:

5. Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con
diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión
generalizada llamada extrapolación de Richardson:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden. De tal forma que:
Donde:

6. Fórmulas de integración de Newton-Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton
y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las
cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la
integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será el resultado.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente
separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros
métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Regla del trapecio
La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través
de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se
evaluara la función.

7. Integración de Romberg
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos
elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método
de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración
estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable
en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco
derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese
caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son
más adecuados.
Metodo