La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las
funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica
en los campos de agricultura, industria, transporte, economía, salud, ciencias
sociales y de la conducta y militar.
3. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán
Introducción a la programación lineal
La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las
funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica
en los campos de agricultura, industria, transporte, economía, salud, ciencias
sociales y de la conducta y militar.
4. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán
MODELO DE PROGRAMACION LINEAL CON DOS VARIABLES
La compañía Reddy Mikks (RM)
RM produce pinturas para interiores y exteriores. La tabla siguiente
proporciona los datos básicos del problema.
Pintura para
exteriores
Pinturas para
interiores
Disponibilidad diaria
máxima (ton)
Materia prima M1 6 4 24
Materia prima M2 1 2 6
Utilidad por ton ($) 5 4
Ton de materia prima de
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La compañía Reddy Mikks (RM)
• Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para
interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para
exteriores.
• También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2
toneladas.
• RM desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para
exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.
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La compañía Reddy Mikks (RM)
El modelo de programación lineal tiene tres componentes básicos
• Las variables de decisión que se trata de determinar
• El objetivo (meta) que se trata de optimizar
• Las restricciones que se deben satisfacer
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Variables
Se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e
interiores. Por lo que las variables del modelo se definen como:
x1 = toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores
x2 = toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores
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Función objetivo
La empresa desea aumentar sus utilidades, si z representa la utilidad diaria
total, el objetivo de la empresa se expresa como sigue:
z = 5x1 + 4x2
Pintura para
exteriores
Pinturas para
interiores
Disponibilidad diaria
máxima (ton)
Materia prima M1 6 4 24
Materia prima M2 1 2 6
Utilidad por ton ($) 5 4
Ton de materia prima de
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Restricciones
Las restricciones que limitan el uso de las materias primas
Uso de una materia prima para ambas pinturas ≤ Disponibilidad máxima de
materia prima
Según los datos del problema:
Uso de la materia prima M1, por día = 6x1 + 4x2 toneladas
Uso de la materia prima M2, por día = 1x1 + 2x2 toneladas
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Restricciones
Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6
toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan
como sigue:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (Materia prima M1)
1x1 + 2x2 ≤ 6 (Materia prima M2)
Restricciones de la demanda
x2 – x1 ≤ 1
x2 ≤ 2
Una restricción implícita es que las variables x1 y x2 no puede asumir valores
negativos. Las restricciones de no negatividad x1≥0, x2 ≥ 0 expresan este
requisito.
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Modelo RD completo
Maximizar z = 5x1 + 4x2
Sujeta a:
6x1 + 4x2 ≤ 24
1x1 + 2x2 ≤ 6
-x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
Cualquier valor de x1 y x2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es
una solución factible.
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Solución gráfica de la programación lineal
El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos:
1. determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones
factibles del modelo
2. determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del
espacio de soluciones.
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Solución gráfica de la programación lineal
Paso 1
• Determinar el espacio de soluciones factibles
• Primero se tendrán en cuenta las restricciones de no negatividad x1≥0 y
x2≥0
• Lo anterior limita la solución al primer cuadrante arriba de x1 y a la derecha
de x2
15. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán
Solución gráfica de la programación lineal
• Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones se sustituye cada
desigualdad con una ecuación y se gráfica la recta resultante.
• A continuación se considera el efecto de la desigualdad. La desigualdad
divide al plano (x1, x2) en dos semiespacios que en este caso son
semiplanos, uno a cada lado de la línea graficada.
• Sólo una de las dos mitades satisface la desigualdad.
• Para determinar cuál es el lado correcto, se elige cualquier punto de
referencia en el primer cuadrante, si satisface la desigualdad, el lado en el
que está es el semiplano factible.
• Es común utilizar(0,0) a menos que la recta pase por el origen.
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Determinación de la solución óptima
• El espacio factible de la figura está delimitado por los segmentos de recta
que unen a los vértices A, B, C, D, E y F.
• Todo punto dentro o en la frontera del espacio ABCDEF es factible, porque
satisface todas las restricciones.
• El espacio ABCDEF está formado por una cantidad infinita de puntos para
encontrar la solución óptima se requiere identificar la dirección en la que
aumenta la función utilidad z= 5x1 + 4x2 (recuerde que está maximizando a
z).
• Para identificar esta dirección se asignan valores arbitrarios crecientes a z.
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Determinación de la solución óptima
La solución óptima se encuentra en C,
que es el punto, en el espacio de
soluciones (más allá cualquier aumento
sacaría de ABCDEF).
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Determinación de la solución óptima
Los valores x1 y x2 correspondientes
al punto óptimo C, se calculan
resolviendo las ecuaciones
asociadas a las rectas (1) y (2)
6x1 + 4x2 = 24
X1 + 2x2 = 6
La solución es x1 = 3 y x2 = 1.5
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Determinación de la solución óptima
La solución es x1 = 3 y x2 = 1.5
Por lo que z = 5(3) + 4(1.5) = 21.
• Eso equivale a una mezcla de productos de 3 toneladas de pintura para
exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores.
• La utilidad diaria correspondiente es $21, 000
• La solución óptima se encuentra en un punto de esquina del espacio de
soluciones, donde se cruzan dos líneas.
• Esto es clave para desarrollar el algoritmo símplex general.
