https://es.slideshare.net/upload?download_id=65450766

1. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL
SEMANA 12
Unidad III
Carole H. O.
 Volúmenes de sólidos de revolución:
Método del disco, anillo y corteza cilíndrica.

2. Cálculo de volúmenes de solidos de revolución
Se llaman solidos de revolución al solido obtenido por la rotación de una región 𝑅
alrededor de una recta L no contenida en ella.

3. VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
1) Por secciones planas paralelas. Método del Disco.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ , ]
a b , supongamos que
( ) 0; [ , ]
f x x a b
   . Si V es el volumen en unidades cúbicas del sólido que se obtiene al
rotar alrededor del eje X, la región limitada por la curva ( )
y f x
 , el eje X, y las rectas x a

y x b
 , entonces:
2
( ( ))
b
a
V f x dx

  ........(1)

4. X
a b
Y
O x
f(x)
f
Veamos gráficamente:
a b
O x
X
a b
Y
O x
A(x)
Y=f(x)
f(x)
Las secciones planas transversales resultan ser discos de radio ( )
f x , las que tienen área
de sección ( )
A x igual a: 2
( ) ( ( )) ; [ , ]
A x f x x a b

   Donde su volumen viene dado por
(1).
X
a b
Y
O x
A(x)
Y=f(x)
f(x)
Las secciones planas transversales resultan ser discos de radio ( )
f x , las que tienen área
de sección ( )
A x igual a: 2
( ) ( ( )) ; [ , ]
A x f x x a b

   Donde su volumen viene dado por
(1).

5. Ejemplos:
X
1 2
Y
O
y = x2
a) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
 , el eje X y las rectas 1
x  y 2
x 
cuando gira alrededor del eje X.
Solución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
   
   
 
X
1 2
Y
O
y = x2
) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
 , el eje X y las rectas 1
x  y 2
x 
cuando gira alrededor del eje X.
olución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
   
   
 
Solución:
X
1 2
Y
O
y = x2
a) Calcular el volumen del sólido limitado por 2
y x
 , el eje X y las rectas 1
x  y 2
x 
cuando gira alrededor del eje X.
Solución:
2
2 2 5
2 2 4
1 1 1
31
( )
5 5
x
V x dx x dx
   
   
 

6. X
2
Y
O
y = x2
- 2x
Solución:
2
( ) 2
f x x x
  ; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
radio ( )
f x
 . Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
 
    
2
2 2
0
16
( 2 )
15
V x x dx
 
  

X
2
Y
O
y = x2
- 2x
Solución:
2
( ) 2
f x x x
  ; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
radio ( )
f x
 . Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
 
    
2
2 2
0
16
( 2 )
15
V x x dx
 
  

Solución:
X
2
Y
O
y = x2
- 2x
a) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región comprendida
entre la curva 2
2
y x x
  y el eje X, alrededor del eje X.
Solución:
2
( ) 2
f x x x
  ; ( )
f x está debajo del eje X, las secciones transversales circulares tienen
adio ( )
f x
 . Por lo tanto: 2 2
( ) ( ( )) ( ( )) ; [ , ]
A x f x f x x a b
 
    
b)

7. 2) Método del anillo
Si el sólido de revolución es generado por la rotación alrededor del eje X de la región
encerrada entre dos curvas continuas, ( )
y f x
 y ( )
y g x
 , desde x a
 hasta x b
 ,
donde [ , ] : ( ) ( ) 0
x a b f x g x
    ó ( ) ( ) 0
f x g x
  entonces la sección transversal es
una corona circular (o anillo) cuya área ( )
A x es una diferencia de áreas de dos discos
concéntricos: 2 2
( ) [( ( )) ( ( )) ]; [ , ]
A x f x g x x a b

    de modo que el volumen del sólido
generado está dado por la fórmula:
2 2 2
[( ( )) ( ( )) ]
b
a
V f x g x dx

 

Volumen de revolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.

8. X
a b
Y
O x
Y=f(x
)
Y=g(x)
Y A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
evolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.
X
a b
O x
Y=f(x
)
Y=g(x)
X
a b
Y
O x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
x
a b
Volumen de revolución por rotación de un área entre dos curvas, alrededor del eje X.

9. X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
  y la recta 3
y x
 
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
  y 3
y x
  son: ( 1,2);(2,5)

2
2 2 2
1
(( 3) ( 1) )
V x x dx


   

Ejemplo:
Solución:
X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
  y la recta 3
y x
 
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
  y 3
y x
  son: ( 1,2);(2,5)

2
2 2 2
(( 3) ( 1) )
x x dx

   
X
-1
Y
O
y = x2
+1
2
y = x+3
Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X, la región acotada
por 2
1
y x
  y la recta 3
y x
 
Solución:
Las intersecciones de 2
1
y x
  y 3
y x
  son: ( 1,2);(2,5)

2
-1 O
Las intersecciones de 2
1
y x
  y
2
2 2 2
1
(( 3) ( 1) )
V x x dx


   


10. Volúmenes de revolución de sólidos generados por rotación de áreas planas alrededor
de ejes paralelos al eje X.
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
c
Teorema.- Dada una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
 y ( )
y g x
 ,
desde x a
 hasta x b
 , tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
    ó ( ) ( )
f x g x c
 
Y que se hace rotar alrededor de la rectay c
 .
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
c
Teorema.- Dada una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
 y ( )
y g x
 ,
desde x a
 hasta x b
 , tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
    ó ( ) ( )
f x g x c
 
Y que se hace rotar alrededor de la rectay c
 .
X
a b
x
A(x) Y=f(x)
Y=g(x)
O
c
b
a x
da una región encerrada entre dos curvas continuas ( )
y f x
 y ( )
y g x
 ,
hasta x b
 , tales que [ , ] : ( ) ( )
x a b f x g x c
    ó ( ) ( )
f x g x c
 
rotar alrededor de la rectay c
 .
Entonces la sección transversal es una corona circular que ti
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
A x f x c g x c x a b

     
De modo que el volumen V del sólido de revolución genera
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ]
b
a
V f x c g x c

   

ces la sección transversal es una corona circular que tiene área:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
f x c g x c x a b

     
odo que el volumen V del sólido de revolución generado está dado por:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c dx

   

Entonces la sección transversal es una corona circular que tien
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
A x f x c g x c x a b

     
De modo que el volumen V del sólido de revolución generado
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c d

   

tonces la sección transversal es una corona circular que tiene área:
2 2
( ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }; [ , ]
x f x c g x c x a b

     
e modo que el volumen V del sólido de revolución generado está dado por:
2 2
{[ ( ) ] [ ( ) ] }
b
a
V f x c g x c dx

   


11. X
2
1
Y
O
y = 1
1
y = 2x - x2
y = x3
Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región encerrada por las gráficas de
3
y x
 y 2
2
y x x
  alrededor de la recta 1
y 
Solución:
Ejemplo:
Solución:
X
2
1
Y
O
y = 1
1
y = 2x - x2
y = x3
lar el volumen del sólido generado al rotar la región encerrada por las gráficas de
3
x
 y 2
2
y x x
  alrededor de la recta 1
y 
ución:
ersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
2
1
O
Intersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
0 1
2 2 3 2
2 0
{[2 1] [ 1] } {
V x x x dx
 

     
 
Intersecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
0 1
2 2 3 2 3 2 2 2
2 0
704
{[2 1] [ 1] } {[ 1] [2 1] }
35
V x x x dx x x x dx
  


           

 
ecciones: (0,0); (1,1); (-2,-8)
1
2 2 3 2 3 2 2 2
0
704 31 1439
[2 1] [ 1] } {[ 1] [2 1] }
35 70 70
x x x dx x x x dx
  
 
           
 
 

-

12. 3) Método de la Corteza Cilíndrica
Sea f una función en [ , ]
a b , con ( ) 0; [ , ]
f x x a b
   y sea R la región limitada por
( )
y f x
 , el eje X, ;
x a x b
  ; el volumen del sólido de revolución obtenida al rotar la
región alrededor de eje Y es:
2 ( )
b
a
V xf x dx

 
2 ( )
b
a
V xf x dx

 
X
a b
Y
O
( )
y f x

R
Observaciones:

13. X
Y
O a b
x = c
Observaciones:
i) Si R es la región limitada por ( ); ( ); ; ; ( ) ( )
y f x y g x x a x b f x g x
     , el
volumen de revolución obtenido al rotar la región R alrededor del eje Y.
2 ( ( ) ( ))
b
a
V x f x g x dx

 

ii)
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V x c f x g x dx

  

R
X
Y
O a b
x = c
Observaciones:
i) Si R es la región limitada por ( ); ( ); ; ; ( ) ( )
y f x y g x x a x b f x g x
     , el
volumen de revolución obtenido al rotar la región R alrededor del eje Y.
2 ( ( ) ( ))
b
a
V x f x g x dx

 

ii)
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V x c f x g x dx

  

R Y x = c
2 ( )( ( ) ( ))
b
a
V c x f x g x dx

  

R
X
Y
O
a b
x = c
2
V 
R
f(x)
f(x)
g(x)
g(x)

14. X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
a) Hallar el volumen del sólido encerrado por la región plana encerrada por la curva
2
6 8
y x x
   y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
Solución:
2
6 8
y x x
   Intersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
4 4
Ejemplos:
Solución:
X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
a) Hallar el volumen del sólido encerrado por la región plana encerrada por la cur
2
6 8
y x x
   y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
Solución:
2
6 8
y x x
   Intersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
X
4
Y
O
y = -x2
+ 6x + 8
2
en del sólido encerrado por la región plana encerrada por la curva
8 y el eje X, al girar alrededor del eje Y.
ntersección con el eje X: (2,0) y (4,0)
4
3 2

15. X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
  , halle el volumen del sólido de revoluc
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x  .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx


  

X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
  , halle el volumen del sólido de revolución
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x  .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx


  

Solución:
X
Y
O
x = 1
1
y = x3
a) Sea C el arco de la curva 3
; [0,1]
y x x
  , halle el volumen del sólido de revolución
obtenido al rotar C alrededor de la recta 1
x  .
Solución:
1
3
0
2 (1 )
10
V x x dx


  

b)

16. 0
3
1
2 ( 2)( ) ) 2
x x x dx
 

   

X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x   , la reg
plana limitada por: y x
 y 3
y x

0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx


  

X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x   , la región
plana limitada por: y x
 y 3
y x

0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx


  

0
3
1
2 ( 2)( ) ) 2
x x x dx
 

   

c)
Solución:
X
Y
1
O
-1
y = x3
y = x
-2
a) Hallar el volumen del sólido formado al rotar alrededor de la recta 2
x   , la región
plana limitada por: y x
 y 3
y x

0
3
1
2 ( 2)( )
V x x x dx


  

0
1

17. a) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la parábola y = 𝑎𝑥 − 𝑥2
; 𝑎 > 0
sobre el eje X.
Ejercicios:
b) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región
limitada por la curva y = 𝑒𝑥
, las rectas 𝑥 = 0 e y = e.
c) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región comprendida
entre las curvas 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 alrededor de la recta 𝑦 = 4.

18. a) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la parábola y = 𝑎𝑥 − 𝑥2
; 𝑎 > 0
sobre el eje X.
Ejercicios:
𝑉𝑋 = 𝜋
0
𝑎
(𝑎𝑥 − 𝑥2)2 𝑑𝑥
= 𝜋
0
𝑎
(𝑎2
𝑥2
− 2𝑎𝑥3
+ 𝑥4
) 𝑑𝑥
Solución
Veamos el intervalo en que la parábola intersecta al eje X
𝑎𝑥 − 𝑥2 = 0 → 𝑥(𝑎 − 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑎
= 𝜋
𝑎2𝑥3
3
−
2𝑎𝑥4
4
+
𝑥5
5
0
𝑎
=
𝜋𝑎5
30

19. b) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar sobre el eje X la región
limitada por la curva y = 𝑒𝑥
, las rectas 𝑥 = 0 e y = e.
𝑉𝑋 = 𝜋
0
1
(𝑒2 − 𝑒2𝑥) 𝑑𝑥
Solución:
El intervalo para la curva y = 𝑒𝑥 es 0; 1
= 𝜋 𝑒2𝑥 −
𝑒2𝑥
2
0
1
=
𝜋(𝑒2+1)
2
= 𝜋 𝑒2
−
𝑒2
2
+
1
2

20. c) Hallar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la región comprendida
entre las curvas 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑥 alrededor de la recta 𝑦 = 4. La intersección de
las curvas son los puntos (0,0) , (1,1); como 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) en 0,1 entonces:
𝑉𝑦=4 = 𝜋
0
1
2(4) 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
0
1
𝑥4 − 8𝑥2 − 𝑥 + 8 𝑥 𝑑𝑥
Solución
𝑉𝑦=4 = 𝜋
𝑥5
5
−
8
3
𝑥3
−
𝑥2
2
+
16
3
𝑥3/2
0
1
= 𝜋
1
5
−
8
3
−
1
2
+
16
3
=
71
30
𝜋 𝑢3
• Si la recta 𝐿: 𝑦 = 𝑐 esta por debajo de la región R, entonces
𝑉
𝑦=𝑐 = 𝜋
𝑎
𝑏
(𝑓 𝑥 − 𝑐 2
− 𝑔 𝑥 − 𝑐 2
)𝑑𝑥
= 𝜋
𝑎
𝑏
(𝑓2 𝑥 − 𝑔2 𝑥 − 2𝑐 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥