Uso de las ecuaciones diferenciales para el cálculo de la temperatura de la tierra en cualquier momento del tiempo

1. PROYECTO ECUACIONES DIFERENCIALES
RAPIDEZ DEL CAMBIO DE LA TEMPERATURA DEL PLANETA TIERRA POR EFECTOS DEL
CALENTAMIENTO GLOBAL
LEY DE ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO DE NEWTON
MIGUEL ANGEL URREA MESA
COD: 505211
PEDRO ALEJANDRO RAMIREZ
COD: 505496
PRESENTADO A:
PROFESOR RUBEN CASTAÑEDA
UNIVERSIDAD CATOLICA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA
BOGOTÀ DC
21 de mayo de 2016

2. INTRODUCCIÓN
El objetivo de ésta investigación es encontrar las relaciones que nos permitan
conocer los cambios de temperatura en el ambiente y poder tomar datos en
cualquier momento como también poder predecir la temperatura.
Antes de empezar a abordar el tema sería muy bueno explicar en que radica la
importancia de este experimento.
La ventaja y grandeza que nos ofrece la física es que estamos rodeados de ella,
aún inconscientemente, todo el tiempo estamos realizando actividades que se
explican mediante el estudio de esta ciencia, y este caso no es una excepción.
Creemos que la gente no puede andar por la vida aceptando los fenómenos que
ocurren diariamente sin preguntarse por qué suceden. Un claro ejemplo ocurre
cuando tenemos un objeto caliente. Todos nos hemos dado cuenta que mientras
más tiempo pase el cuerpo va perdiendo calor, pero es rara la vez que nos
preguntamos el porqué de esto, solo lo asumimos como un conocimiento obvio y
trivial, que siendo analizado a fondo nos podremos dar cuenta de que no lo es. Éste
es un punto que indica la importancia de esta práctica, pues nos permitirá tener una
mayor comprensión de un fenómeno con el que nos relacionamos día con día.
Sir Isaac Newton fue una de las muchas personas que se interesó por estos
fenómenos e inclusive enunció una ley que es la que rige este experimento. La ley
de enfriamiento de Newton nos dice que:
"La tasa de enfriamiento de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura
entre el cuerpo y sus alrededores", esto expresado gracias al planteamiento de una
ecuación diferencial que permite resolver las incógnitas que se presenten en este
tipo de situaciones. Gracias a esto sabemos que la temperatura de un cuerpo decae
exponencialmente conforme el tiempo avanza.

3. JUSTIFICACIÓN
El proyecto se presenta primero como un requisito dentro de la asignatura de
ecuaciones diferenciales para la carrera de ingeniería civil con motivo de superar
uno de los métodos de evaluación que es el proyecto final de dicha asignatura.
Como segundo se da a conocer el cómo se debe abarcar el uso de las ecuaciones
diferenciales para la resolución de diferentes problemas o situaciones de la vida
cotidiana a través de dichas ecuaciones dadas por grandes físicos y matemáticos.
Y como tercero el hecho de dar a conocer el esfuerzo y la inteligencia de un físico
en especial que es el profesor Isaac Newton.

4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El calentamiento global, es el término con que se denota al fenómeno que ocurre
cuando aumenta de la temperatura media global de la atmósfera terrestre y de los
océanos.
Es originado por distintos factores, pero el principal es el Efecto Invernadero,
fenómeno que se refiere a la absorción de gases atmosférico, de parte de la energía
que el suelo emite, como consecuencia de haber sido calentado por la radiación
solar.
Las consecuencias causadas por dicho fenómeno pueden ser de tipo económico;
donde se ve afectado el seguro, el transporte, la agricultura y el comercio. En la
salud el Calentamiento Global causa; expansión de enfermedades, dengue,
malaria, enfermedad cardiaca, debido a las altas temperaturas. La población infantil
se verá afectada debido a la falta de agua, etc. en la sociedad, afecta; en el
desarrollo de la misma, las personas inician migraciones, de un país a otro, y la
seguridad social sufre muchos cambios.
Así que lo que se busca con este proyecto es crear conciencia y dar una alerta sobre
el calentamiento global, ya que según los registros de temperatura del planeta han
ido en un aumento progresivo y si esto sigue creciendo a este ritmo tan apresurado
se podría llegar a un punto crítico en el cuál se vea amenazada la existencia de la
humanidad y de la mayoría de los seres que la habitan.

5. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Demostrar la aplicación de la ecuación diferencial propuesta por el físico Isaac
Newton para confirmar datos antiguos y brindar datos verídicos sobre la temperatura
del planeta tierra y confirmar su constante aumento y lograr predecir la temperatura
del planeta en cualquier momento del futuro.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
- Resolver el modelo del cambio de la temperatura de un cuerpo respecto al
ambiente propuesta por Newton.
- Comprobar que los datos obtenidos a través de esta ecuación diferencial son
iguales o aproximados a las temperaturas reales registradas.
- Aplicar el modelo de ecuación diferencial propuesto por Newton para la
predicción de datos de temperatura. En este caso predecir la temperatura
que tendrá el planeta tierra en el año 2060.
- Aplicar el modelo de ecuación diferencial propuesto por Newton para saber
en qué año el planeta tendrá una temperatura que puede probablemente
acabar con el ser humano.
- Aportar argumentos para la problemática sobre el artículo que afirma sobre
el peligro de que la temperatura promedio de la tierra suba 2ºC apoyado con
la comparación de los datos pasados con los obtenidos en este proyecto.

6. MARCO TEÓRICO
De acuerdo con la ley empírica de Newton de enfriamiento o calentamiento, la
rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la
diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. Lo cual
nuestro gran amigo y profesor Newton planteó lo siguiente:
)( mTT
dt
dT
 O que en matemáticas se escribe: )( mTTK
dt
dT
 , y logrará la
solución a través del método de la variable separable. Parafraseando al profesor
Newton, y resolviendo la ecuación diferencial por el método de la variable
separable, se logra
Tan esperado resultado:
0( ) ( ) kt
m mT t T T e T  
Que es considerada esta ecuación como un modelo matemático para resolver
problemas de calor o enfriamiento de objetos en temperaturas de ambiente.
FUENTE: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (variable separable) -
APLICACIONES (ley de Newton para el calor) por el profesor Rubén Darío Castañeda.

7. METODOLOGÍA
Primero consideremos a la tierra como una gran masa compuesta por millones de
compuestos con propiedades en su materia muy distinto haciendo casi imposible el
cálculo de su temperatura por métodos convencionales así que precisamente no
vamos a hallar la temperatura de la tierra como tal sino al aire que la rodea y al mar
que cubre una gran parte de ella, al ser compuestos con una relativa facilidad para
calcular su temperatura.
Lo planteado significa que vamos a tomar como cuerpo estas dos compuestos y
como ambiente la temperatura aquella contenida en la mesósfera ya que es la que
tiene una baja variación de temperatura y es la que más afecta la temperatura del
ambiente siendo este también el porqué de no tomar la temperatura de la capa
exterior de la atmosfera ya que sus variaciones pueden ser de entre 800 y 1500 ºC
y prácticamente se filtran por la mesosfera.
Para la parte de la solución sobre la temperatura a la cual el ser humano no podría
sobrevivir debemos saber cómo se comporta el cuerpo humano frente a las altas
temperaturas.
El ser humano es capaz de sobrevivir hasta a los 100ºC pero solo por 20 minutos,
así que tomar este dato sería exagerar mucho así que solo tomaremos 50ºC que es
la temperatura a la cual el cuerpo empieza a deshidratarse rápidamente, cabe
aclarar también que esta temperatura no es constante en todo el mundo, solo es un
promedio esto significa que habrá lugares que superen los 70ºC y otros que bajen
de los 30ºC y también
Una las partes más importantes de este proyecto es la de aplicarlo a algún problema
de la vida cotidiana, para esto vamos a calcular el tiempo que le tomaría al planeta
tierra subir 2ºC ya que esto es muy peligroso para la humanidad ya que los desiertos
se volverían más áridos y gran parte de Europa quedaría como una sabana africana,
también habrían sequias en Estados Unidos y México mientras que en Siberia y
todo el continente Asiático habrían inundaciones y tormentas y los ríos más grandes
del mundo se desbordarían arrasando con todo a su paso causando grandes
pérdidas más que todo en las cosechas lo que causaría un problema de escasez de
alimentos, podríamos nombrar muchas causas más pero este no es el objetivo de
este proyecto.

8. Dejando esto claro tenemos empezamos a hacer las respectivas conversiones de
unidades:
- Temperatura de la Mesosfera = 80ºC (en promedio)
ºF = ((80ºC)/(9/5))+32
ºF = 176
Así que tenemos que la temperatura del medio es:
Tm = 176 ºF
- La temperatura del planeta a mediados de 1990 fue de 14ºC
ºF = ((14ºC)/(9/5))+32
ºF = 57,2
Así que la temperatura inicial del cuerpo es:
T(o) = 57,2 ºF
- La temperatura del cuerpo al cabo de 22 años o (11,5632x10^6 minutos)
(año 2012) fue de 14,6ºC:
ºF = ((14,6ºC)/(9/5))+32
ºF = 58,3
14,6ºC = 58,3ºF
Así que la temperatura al cabo de 22 años es de:
T(11,5632x10^6) = 58,3ºF
- Así que con nuestros datos iniciales podemos plantear la siguiente
ecuación diferencial.
0( ) ( ) kt
m mT t T T e T  
𝑇( 𝑡) = (57,2º𝐹 − 176º𝐹) 𝑒 𝑘𝑡
+ 176º𝐹

9. RESOLUCIÒN DEL PROBLEMA
Con la ecuación diferencial modelada respecto a las condiciones dadas tenemos
que:
𝑇( 𝑡) = (57,2º𝐹 − 176º𝐹) 𝑒 𝑘𝑡
+ 176º𝐹
- Procedemos a encontrar la constante (K)
𝑇(11,5632𝑥106) = (−118,8º𝐹) 𝑒 𝑘(11,5632𝑥106
)
+ 176º𝐹
58,3º𝐹 − 176º𝐹
−118,8º𝐹
= 𝑒 𝑘(11,5632𝑥106
)
117,7º𝐹
118,8º𝐹
= 𝑒 𝑘(11,5632𝑥106
)
𝐿𝑛 (
117,7º𝐹
118,8º𝐹
) = (11,5632𝑥106) 𝑘(𝐿𝑛𝑒)
𝐿𝑛 (
117,7º𝐹
118,8º𝐹
)
11,5632𝑥106
= 𝑘
𝑘 = −0,8045𝑥10−9

10. - Para probar que nuestros cálculos son correctos resolveremos la ecuación
diferencial con el año 2000 y se hará una comparación con la gráfica de
variación de la temperatura de la tierra dada por la World Meteorological
Organization. Se hace la aclaración de que la mayoría de las gráficas que
aparecen en la página web son de promedios de crecimiento, así que se
recurrió a una única gráfica en donde se muestran registros más precisos.
2000 – 1990 = 10 años
10 años = 5,256𝑥106
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑇(5,256𝑥106) = (57,2º𝐹 − 176º𝐹) 𝑒(−0,8045𝑥10−9
)(5,256𝑥106
)
+ 176º𝐹
𝑇(36,792𝑥106) = 57,70º𝐹
Que en grados (ºC) es igual a:
º𝐶 = (57,70º𝐹 − 32)(
5
9
)
57,70º𝐹 = 14,27ºC
Fuente: http://library.w mo.int/opac/index.php?lvl=infopages&lang=en_UK&pagesid=1#.VzlGsZHhDIU
Haciendo la comparación con la gráfica nos damos cuenta de que el uso de
la ecuación diferencial es bastante precisa, el error es de una centésima pero
esto puede deberse a la cantidad de decimales usados en la solución de la
ecuación.

11. - Ahora procedemos a calcular la temperatura de la tierra en el 2060
2060 – 1990 = 70 años
70 años = 36,792𝑥106
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑇(36,792𝑥106) = (57,2º𝐹 − 176º𝐹) 𝑒(−0,8045𝑥10−9
)(36,792𝑥106
)
+ 176º𝐹
𝑇(36,792𝑥106) = 60,66º𝐹
Que en grados (ºC) es igual a:
º𝐶 = (60,66º𝐹 − 32)(
5
9
)
60,66º𝐹 = 15,92ºC
- Ahora haremos el cálculo del año en el cuál la tierra probablemente estará a
50ºC que es la temperatura que podría hacer que la humanidad se
extinguiera.
º𝐹 = (50º𝐶 + 32)(
9
5
)
50º𝐶 = 122º𝐹
𝑇( 𝑡) = (57,2º𝐹 − 176º𝐹) 𝑒 𝑘𝑡
+ 176º𝐹
122º𝐹 = (−118,8º𝐹) 𝑒(−0,8045𝑥10−9
)𝑡
+ 176º𝐹
122º𝐹 − 176º𝐹
−118,8º𝐹
= 𝑒(−0,8045𝑥10−9
)𝑡
−54º𝐹
−118,8º𝐹
= 𝑒(−0,8045𝑥10−9) 𝑡
𝐿𝑛 (
−54º𝐹
−118,8º𝐹
) = (−0,8045𝑥10−9
)𝑡(𝐿𝑛(𝑒))
𝐿𝑛 (
54º𝐹
118,8º𝐹
)
−0,8045𝑥10−9
= 𝑡

12. 𝑡 = 980,0589𝑥106
𝑚𝑖𝑛
Convertidos a años es igual a:
980,0589𝑥106
𝑚𝑖𝑛 = 1865,65 𝑎ñ𝑜𝑠
En el año 3855 si la temperatura crece a este ritmo la humanidad podría
extinguirse por deshidratación.
- Para calcular el tiempo que demoraría el planeta tierra en aumentar 2ºC
tenemos que partir de la temperatura de la tierra que había en el 2009 ya que
este estudio fue hecho en dicho año.
Basados en la tabla encontramos que la temperatura en el 2009 es de
14,47ºC que son equivalentes a 58,05ºF. Así que la temperatura en la que
pueden pasar todos los daños nombrados en la metodología sería de
16,47ºC equivalentes a 61,646 ºF
𝑇( 𝑡) = (57,2º𝐹 − 176º𝐹) 𝑒 𝑘𝑡
+ 176º𝐹
61,646º𝐹 = (−118,8º𝐹) 𝑒(−0,8045𝑥10−9
)𝑡
+ 176º𝐹
61,646º𝐹 − 176º𝐹
−118,8º𝐹
= 𝑒(−0,8045𝑥10−9
)𝑡
−114,35º𝐹
−118,8º𝐹
= 𝑒(−0,8045𝑥10−9) 𝑡
𝐿𝑛 (
−114,35º𝐹
−118,8º𝐹
) = (−0,8045𝑥10−9
)𝑡(𝐿𝑛(𝑒))
𝐿𝑛 (
114,35º𝐹
118,8º𝐹
)
−0,8045𝑥10−9
= 𝑡
𝑡 = 47,4114𝑥106
𝑚𝑖𝑛
Convertidos a años es igual a:
980,0589𝑥106
𝑚𝑖𝑛 = 90 𝑎ñ𝑜𝑠

13. CONCLUSIONES
- La ecuación diferencial propuesta por el físico Isaac Newton es bastante
apropiada para resolver casos de la vida real sobre los cambios de
temperatura de los cuerpos.
- La ecuación diferencial propuesta por Isaac Newton es bastante precisa ya
que los resultados obtenidos a través de dicha ecuación son bastante
acertadas en comparación con la gráfica de registros de temperatura del
planeta tierra.
- La temperatura que se obtuvo para el año propuesto (2060) no es crítica para
el planeta tierra pero si se acerca mucho y nos da una señal de que tenemos
poco tiempo para actuar.
- Aunque parezca mucho tiempo los 1865 años que tomaría que la humanidad
desaparezca por causa del calor del ambiente es poco en comparación de lo
que ha estado la humanidad viviendo en la tierra.
- Tenemos 90 años para actuar en contra del aumento de la temperatura de la
tierra y poder evitar todos los desastres que el aumento de 2ºC en la
temperatura de la tierra pueda traer.

14. BIBLIOGRAFÍA
- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden (variable separable) -
APLICACIONES (ley de Newton para el calor) por el profesor Rubén Darío
Castañeda.
- http://www.neoteo.com/
- http://www.cnrs.fr/cw/
- https://www.ipcc.ch/publications_and_data/ar4/wg1/es/tssts-3-1-1.html
- http://library.wmo.int/opac/index.php?lvl=infopages&lang=en_UK&pagesid=
1#.VzlGsZHhDIU.