Aplicación de la Ley de Enfriamiento y Calentamiento de Newton y resolución por medio de Ecuaciones Diferenciales (ED).

1. 1
Ecuaciones diferenciales como modelos
matemáticos
Bosmediano Carrión, María Soledad; Ochoa Quezada Pablo David; Cuenca Macas, Silvio Javier.
msbomediano@utpl.edu.ec;pdochoa1@utpl.edu.ec;sjcuenca2@utpl.edu.ec
Universidad Técnica Particular de Loja
rodea, que se llama temperatura ambiente (T). Si T (t)
Resumen—En el siguiente trabajo se presenta una aplicación representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la
a la Medicina Legal, resolviéndolo a través de ecuaciones temperatura del medio que lo rodea dT/dt, es la rapidez con
diferenciales como modelos matemáticos, aplicando la Ley de que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de
Enfriamiento/Calentamiento de Newton.
Newton de enfriamiento/calentamiento traducida en
Palabras claves—Enfriamiento de Cuerpos, Temperatura expresión matemática es:
ambiente, Constante de proporcionalidad, Ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden. α o = ),
I. INTRODUCCIÓN
Donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos
casos, enfriamiento o calentamiento, si T m es una constante,
En este documento introduciremos la idea de una se establece que k< 0(que depende únicamente de la
ecuación diferencial como un modelo matemático, en nuestro naturaleza de dicho objeto).
caso analizaremos el modelo especifico en Biología
puntualmente en Medicina Legal, ya que hemos estudiado
alguno de los métodos de solución de las ecuaciones III. UNA APLICACIÓN A LA MEDICINA LEGAL: DETERMINAR LA HORA
diferenciales en los capítulos pasados, retomaremos lo DE UN FALLECIMIENTO
aprendido para resolver el siguiente modelo.
Con la finalidad de poner estimar con cierta precisión la
Antes de empezar con el desarrollo de este trabajo, hora aproximada de fallecimiento de una persona es de suma
recordemos un poco de historia del desarrollo de las importancia en la investigación de un homicidio, suicidio o
matemáticas centrándonos en el Físico-matemático Inglés muerte accidental. Para ello proponemos el siguiente modelo
Isaac Newton de cual nos basaremos en su ley. matemático para la resolución del mismo.
Newton y Leibniz desarrollan el cálculo diferencial Supongamos que una persona x, fue asesinada por tratar
integral, que consiste en calcular la pendiente de la recta de defenderse de un asaltante mientras el ingresaba a su
tangente a una curva y determinar el área limitada por una domicilio, su muerte es instantánea, después de un balazo en
curva, respectivamente. A ellos se los conoce como los la cabeza; imaginando que la temperatura corporal de la
fundadores del cálculo, por la manera en como relaciona víctima en el momento del homicidio era de 36ºC; una
ambos problemas; tales relaciones se encuentran enunciadas agente forensehaciendo uso de la ley de enfriamiento de
en el resultado más importante del cálculo, denominado: Newton, analiza que sin más que hacer una segunda medida
de la temperatura del cuerpo T 1 algún tiempo después, es
Teorema fundamental del cálculo. Este fue el comienzo del
decir en el instante t1. Por consiguiente la condición inicial:
análisis y dio ímpetu a las matemáticas así como también a la
ciencia moderna vigente en la actualidad. De igual forma, el  X(0) = T0
mayor número de aplicaciones matemáticas a la ciencia se
concentran en el cálculo, en particular el estudio de las  X (t) = Ta + (T0–Ta)
ecuaciones diferenciales.
Como X (t1) = T1, entonces:
II. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
 T1 = Ta+ (T0–Ta)
De acuerdo con la empírica de Newton de
enfriamiento/calentamiento, la rapidez con la que cambia la  T1 – Ta = (T0 –Ta) (ecuación 1)
temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura del cuerpo (t) y la del medio en que la Despejamos la variable k:

2. 2
María Soledad Bosmediano Carrión
Pablo David Ochoa Quezada
Aplicamos Logaritmo Natural para eliminar la variable Silvio Javier Cuenca Macas
Euler.
–
 k= (ecuación 2)
–
Como X(Tm) = Tm, reemplazamos en la ecuación 1:
 Tm = Ta + (T0 –Ta)
 Tm - Ta = (T0 –Ta) (ecuación 3)
Despejamos la variable tm:
 tm = (ecuación 4)
–
Si por ejemplo la temperatura del cadáver cuando es
descubierto es de 30,2ºC, tres horas después de 21,3 ºC y la
temperatura ambiente es de 20º C.
–
 k= ≈0.6866 h
–
Una vez conocida el valor de la constante o variable k
procedemos a encontrar el tiempo de muerte (tm), en la
ecuación 4:
–
 tm ≈ ≈ 3.656 h
–
Como conclusión sabemos que la persona ha
fallecido aproximadamente en 3 horas, 39 minutos con 21.68
segundos.
Fig. 1:Gráfica de la ecuación 1.
IV. BIBLIOGRAFÍA
Zill, Dennis G, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones
de modelado, Latinoamérica2009, novena edición, (pp 28).
Autores
Profesionales en formación