FISICA

1. El Campo El´ctrico
e
1.
Introducci´n
o
− Definimos el campo el´ctrico como aquella regi´n del espacio en la que cualquier carga
e
o
situada en un punto de dicha regi´n experimenta una acci´n o fuerza el´ctrica.
o
o
e
− El campo el´ctrico, introducido por primera vez por Faraday en la primera mitad del siglo
e
XIX, constituye frente a la ley de Coulomb una forma nueva de describir la interacci´n
o
entre dos cargas el´ctricas en reposo:
e
la ley de Coulomb es una ley de acci´n a distancia, como la ley de la gravitaci´n unio
o
versal de Newton para la interacci´n gravitatoria entre dos masas puntuales: seg´ n
o
u
la ley de Coulomb, cuando tenemos una cierta carga puntual q, y situamos otra carga
puntual q a una cierta distancia r de la primera, la carga q experimentar´ de forma
a
instant´nea y a distancia una fuerza que, seg´ n la ley de Coulomb, es proporcional
a
u
al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa.
usando el concepto de campo, la interacci´n entre dos cargas el´ctricas se describe
o
e
de una forma muy distinta: de acuerdo con esta interpretaci´n, la carga q da lugar
o
a una alteraci´n (o cambio) en las propiedades del espacio que la rodea, de modo
o
que cualquier carga q situada en un punto de dicha regi´n experimenta una aco
ci´n el´ctrica. Dicho de otro modo, la carga q produce algo en el espacio que la
o
e
rodea, y este algo act´ a sobre cualquier carga situada en un punto de dicho espau
cio, produciendo la fuerza que act´ a sobre dicha carga. Este espacio, dotado de una
u
propiedad nueva debido a la carga q, es lo que hemos denominado campo el´ctrico.
e
− El campo el´ctrico tiene su origen en cargas el´ctricas (cargas puntuales, distribuciones
e
e
continuas de carga o todas ellas al mismo tiempo). Las cargas que dan lugar a un campo
el´ctrico dado suelen recibir el nombre de cargas fuente.
e
− El concepto de campo fue introducido, como hemos dicho antes, por primera vez por
Faraday para describir las interacciones el´ctricas. En la actualidad, desempe˜ a un papel
e
n
fundamental en la F´
ısica: todas las interacciones conocidas se describen en t´rminos del
e
concepto de campo.
2.
El Vector Intensidad de Campo El´ctrico
e
− Para que el concepto de campo sea util es necesario encontrar una cantidad f´
´
ısica que
permita caracterizar adecuadamente en cada punto del espacio el campo creado por una
distribuci´n de cargas dada.
o
− Esta cantidad es una magnitud vectorial, que se designa mediante la letra E, y que recibe
el nombre de vector intensidad de campo el´ctrico, vector campo el´ctrico, o
e
e
simplemente campo el´ctrico. Definimos el vector campo el´ctrico E en un punto
e
e
como la fuerza que se ejerce sobre una carga prueba positiva q 0 colocada en dicho punto
1

2. dividida por el valor de la carga prueba q0 o, dicho de otro modo, la fuerza que se ejerce
en dicho punto sobre la unidad de carga positiva:
E=
Fq0
,
q0
(1)
donde Fq0 es la fuerza que se ejerce en dicho punto sobre la carga prueba q0 . Por tanto,
para determinar E en un punto se sit´ a una carga prueba q0 en dicho punto y se mide la
u
fuerza Fq0 que se ejerce sobre ella; el valor de E se obtendr´ entonces usando (1).
a
− En relaci´n a E es interesante hacer notar los siguientes puntos:
o
las unidades de E en el sistema internacional son de Newton/Culombio;
el valor de E depende s´lo del punto en que se mide y de la distribuci´n de cargas
o
o
que crea el campo, pero no de la carga prueba q0 usada para determinar E mediante
la relaci´n (1). Se trata por tanto de una cantidad caracter´
o
ıstica de la distribuci´n
o
de cargas que crea el campo y del punto considerado.
una vez conocido el campo E en un punto, se puede determinar inmediatamente la
fuerza que se ejercer´ sobre una carga cualquiera q0 en dicho punto. De (1):
a
Fq0 = q 0 E
(2)
dado que el campo el´ctrico lo describimos en cada punto mediante una magnitud
e
vectorial (E) decimos que el campo el´ctrico es un campo vectorial. Adem´s, como
e
a
la magnitud E es una fuerza (fuerza por unidad de carga) decimos que el campo
el´ctrico es un campo de fuerzas.
e
3.
Campo El´ctrico debido a distintas Distribuciones de
e
Carga
− La definici´n (1) de campo el´ctrico puede usarse para determinar el campo E debido a
o
e
los distintos sistemas de cargas definidos en el tema anterior.
CARGA PUNTUAL
− Suponemos que el campo el´ctrico es debido a una carga puntual q. El campo E debido
e
a q en un punto situado a una distancia r de la misma ser´:
a
E=
F q0
1
=
q0
q0
qq0
q
ur
2 ur =
4πε0 r
4πε0 r 2
(3)
donde ur es el vector unitario dirigido de la carga q al punto considerado.
Notar que el campo E en un punto debido a una carga puntual q:
(i) tiene direcci´n radial, es decir, tiene la direcci´n de la l´
o
o
ınea que une la carga al
punto en que se calcula el campo (direcci´n de ur ). Si q > 0, el vector E se aleja de
o
la carga; si q < 0, E se dirige hacia la carga.
2

3. (ii) la magnitud de E s´lo depende de la distancia r de la carga al punto. Es m´s, es
o
a
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto a la carga (|E| ∝
1/r 2 ).
El hecho de que el campo E debido a una carga puntual tenga direcci´n radial y s´lo
o
o
dependa de la distancia del punto a la carga se suele expresar diciendo que el campo E
debido a una carga puntual tiene simetr´a esf´rica.
ı
e
SISTEMAS DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION
− Supongamos ahora que tenemos un sistema de N cargas puntuales distribuidas en posiciones fijas del espacio. A cada una de estas cargas se le designa por qi , donde i = 1, ..., N .
Queremos determinar el campo E en un punto debido a este sistema de cargas puntuales.
Usando nuevamente la definici´n de campo el´ctrico y la expresi´n obtenida en el tema ano
e
o
terior para la fuerza ejercida por un sistema de cargas puntuales sobre una carga puntual,
se obtiene:
Fq
1
E= 0 =
q0
q0
N
q0 qi
u =
2 ri
i=1 4πε0 ri
N
i=1
qi
u
2 ri
4πε0 ri
(4)
donde ri es la distancia de la carga i al punto considerado y uri el vector unitario dirigido
de la carga qi al punto considerado.
− Fijarse que lo que hemos obtenido es que el campo E en un punto debido a un sistema
de cargas puntuales es igual a la suma de los campos debidos a cada una de las cargas
individuales del sistema. Esto significa que el campo el´ctrico, como las fuerzas el´ctricas,
e
e
verifica el principio de superposici´n, que podemos enunciar del siguiente modo:
o
Principio de Superposici´n: el campo el´ctrico E en un punto debido a un sistema de
o
e
cargas puntuales es igual a la suma de los campos debidos a cada una de las cargas q i del
sistema. Adem´s, el campo creado en dicho punto por cada carga q i es el mismo que si
a
las dem´s cargas del sistema no existieran:
a
N
E = E1 + ... + EN =
N
Ei =
i=1
qi
u
2 ri
i=1 4πε0 ri
DISTRIBUCIONES DE CARGA DE VOLUMEN
− Suponemos que tenemos una cierta distribuci´n de carga sobre un volumen V, de densidad
o
de carga ρ (ver Fig. 1). La distribuci´n se puede considerar como un conjunto de cargas
o
puntuales: las cargas ∆q = ρ ∆v correspondientes a cada peque˜ o elemento de volumen
n
∆v de la distribuci´n. El campo debido a una de estas cargas puntuales ∆q en un punto
o
dado ser´:
a
∆q
∆E =
ur
4πε0 r 2
donde r es la distancia de la carga ∆q al punto y ur el vector unitario dirigido de ∆q a
dicho punto.
3

4. Figura 1:
El campo E debido a toda la distribuci´n en dicho punto se obtiene sumando la contribuo
ci´n de cada carga ∆q de V:
o
∆E =
E=
V
V
∆q
ur =
4πε0 r 2
V
ρ ∆v
ur ,
4πε0 r2
donde se ha usado que ∆q = ρ ∆v.
Esta suma sobre todo los peque˜ os elementos de volumen de la distribuci´n equivale a
n
o
una integral sobre el volumen V ( ≡ ), de modo que se tendr´ finalmente
a
V
V
1
4πε0
E=
V
ρ dv
ur
r2
(5)
DISTRIBUCIONES SUPERFICIALES DE CARGA
− Suponemos ahora que tenemos una cierta distribuci´n superficial de carga sobre una
o
superficie S, de densidad de carga σ (ver Fig. 2). La distribuci´n se puede considerar
o
como un conjunto de cargas puntuales: las cargas ∆q = σ ∆a correspondientes a cada
peque˜ o elemento de area ∆a de la distribuci´n. El campo debido a una de estas cargas
n
´
o
puntuales ∆q en un cierto punto ser´:
a
∆E =
∆q
ur
4πε0 r 2
donde r es la distancia de la carga ∆q al punto y ur el vector unitario dirigido de ∆q a
dicho punto.
El campo E debido a toda la distribuci´n en dicho punto se obtiene sumando la contribuo
ci´n de cada carga ∆q de S:
o
∆E =
E=
S
S
∆q
ur =
4πε0 r 2
S
σ ∆a
ur ,
4πε0 r2
donde se ha usado que ∆q = σ ∆a.
Esta suma sobre todo los peque˜ os elementos de area de la distribuci´n equivale a una
n
´
o
integral sobre la superficie S ( ≡ ), de modo que se tendr´ finalmente
a
S
S
E=
1
4πε0
4
S
σ da
ur
r2
(6)

5. Figura 2:
DISTRIBUCIONES LINEALES DE CARGA
− Finalmente, supondremos que tenemos una cierta distribuci´n lineal de carga sobre una
o
curva C, de densidad de carga λ (ver Fig. 3). La distribuci´n se puede considerar como un
o
conjunto de cargas puntuales: las cargas ∆q = λ ∆l correspondientes a cada peque˜ o elen
mento de longitud ∆l de la distribuci´n. El campo debido a una de estas cargas puntuales
o
∆q en un cierto punto ser´:
a
∆q
∆E =
ur
4πε0 r 2
donde r es la distancia de la carga ∆q al punto considerado y ur el vector unitario dirigido
de ∆q a dicho punto.
El campo E debido a toda la distribuci´n en dicho punto se obtiene sumando la contribuo
ci´n de cada carga ∆q de C:
o
∆E =
E=
C
C
∆q
ur =
4πε0 r 2
donde se ha usado que ∆q = λ ∆l.
Figura 3:
5
C
λ ∆l
ur ,
4πε0 r2

6. Esta suma sobre todo los peque˜ os elementos de longitud de la distribuci´n equivale a
n
o
una integral sobre la curva C ( ≡ ), de modo que se tendr´ finalmente
a
C
C
E=
4.
1
4πε0
C
λ dl
ur
r2
(7)
L´
ıneas de Campo El´ctrico
e
− Faraday introdujo el concepto de l´
ıneas de campo el´ctrico o l´
e
ıneas de fuerza como
ayuda para visualizar la estructura del campo el´ctrico asociado a una distribuci´n de
e
o
cargas.
− Una l´
ınea de campo el´ctrico o l´
e
ınea de fuerza se define como una l´nea imaginaria
ı
dibujada de tal manera que su direcci´n y sentido en cualquier punto es la direcci´n y
o
o
sentido del campo el´ctrico en dicho punto. Por tanto, las l´neas de campo el´ctrico son
e
ı
e
tangentes en cada punto al campo el´ctrico en dicho punto.
e
− Propiedades: las l´
ıneas de campo dan informaci´n no s´lo sobre la direcci´n y sentido
o
o
o
del campo el´ctrico, sino tambi´n acerca de su magnitud. Las propiedades fundamentales
e
e
de las l´
ıneas de campo, que adem´s pueden considerarse como las reglas b´sicas para
a
a
trazar las l´
ıneas de campo asociadas a un cierto sistema de cargas, se pueden resumir del
siguiente modo:
1. Las l´neas de campo el´ctrico comienzan en las cargas positivas (o en el infinito),
ı
e
y terminan en las cargas negativas (o en el infinito). Es por ello que decimos que
las cargas positivas constituyen las fuentes de las l´
ıneas de campo, y las cargas
negativas los sumideros de las l´
ıneas de campo el´ctrico.
e
2. La magnitud del campo el´ctrico en un punto es proporcional a la densidad de l´neas
e
ı
de campo en dicho punto. Por densidad de l´
ıneas de campo en un punto se
entiende el n´ mero de l´
u
ıneas de campo que pasan por unidad de area a trav´s de
´
e
una superficie perpendicular a las l´
ıneas de campo en dicho punto. De este modo, la
magnitud de E ser´ grande aquellas regiones en que las l´
a
ıneas de campo est´n muy
e
pr´ximas entre s´ y peque˜ a en donde las l´
o
ı,
n
ıneas de campo est´n separadas.
e
3. Dos l´neas de campo no pueden cortarse en un punto. Fijarse en que si dos l´
ı
ıneas
de campo se cortaran en un punto, eso significar´ que tendr´
ıa
ıamos en dicho punto
dos vectores campo distintos, lo cual es imposible (solamente las l´
ıneas de campo
pueden juntarse en una carga positiva, donde nacen, o en una carga negativa, donde
terminan).
Estas son las propiedades b´sicas de las l´
a
ıneas de campo, a las que cabr´ a˜ adir:
ıa n
4. Las l´
ıneas de campo se dibujan sim´tricamente saliendo o entrando de la carga.
e
5. El n´ mero de l´
u
ıneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa
es proporcional a la carga.
6. A grandes distancias de una distribuci´n finita de cargas, las l´
o
ıneas de campo est´n
a
igualmente espaciadas y son radiales como si procediesen de una sola carga puntual
igual a la carga total de la distribuci´n.
o
6

7. En la figura 4 se muestran a modo de ejemplo las l´
ıneas de campo correspondientes a
configuraciones sencillas de carga: una carga puntual positiva, una carga puntual negativa, dos cargas iguales pero de signo opuesto separadas una cierta distancia (es decir, un
dipolo), dos cargas iguales positivas separadas una peque˜ a distancia, y un sistema forn
mado por una carga positiva de valor 2q y una carga negativa −q separadas una peque˜ a
n
distancia.
Figura 4:
7