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LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

Sean x e y variables independientes, mientras que m y n son números enteros positivos,
entonces:

x0 = 1                                     ( xy ) n = x n y n
x −1 =
       1
       x
                                           (x )n m
                                                     = x m⋅ n
        1
x−n = n                                    x m ⋅ x n = x m+ n
       x
         n
⎛x⎞   xn                                    xm
⎜ ⎟  = n                                       = x m−n
⎝ y⎠  y                                     xn


n
    x = x1/ n                              n   x⋅ y = n x ⋅ n y

    xm = xm / n                                ( x ⋅ y)       = n xm ⋅ n y m
n                                          n              m


                                                     n
  1                                            x          x
n
     = x −1/ n                             n     =
   x                                           y     n    y
                                                     m
    1             −m / n                     ⎛x⎞              n
                                                                  xm
             =x                            n
                                             ⎜ ⎟ =
n
    xm                                       ⎝ y⎠             n
                                                                  ym



                             PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS


Sean n , x e y variables independientes y a la base del logaritmo, entonces:

            ln x
log a x =
            ln a
log a ( xy ) = log a x + log a y
      ⎛x⎞
log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y
      ⎝ y⎠
log a x n = n log a x
      ⎛1⎞
log a ⎜ ⎟ = − log a x
      ⎝ x⎠

Elaboraron:
I. Q. Susana Alicia Flores Almazán
M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
REGLAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA


Desarrollo de las expresiones algebraicas más comunes:

  ⎛ a ⎞ c⋅a 1                 ⎛c⎞
c⎜ ⎟ =           = (c ⋅ a) = ⎜ ⎟ a
  ⎝b⎠        b     b          ⎝b⎠
c(a ⋅ b) = (c ⋅ a)b = (c ⋅ b)a
c ( a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b
(a + b)(c + d ) = a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d
(a 2 − b 2 ) = (a + b)(a − b)
(a 3 − b3 ) = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
(a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − 3b3




Solución para una ecuación cuadrática de segundo grado:

Sea la ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a , b y c son coeficientes reales. Las
soluciones para este tipo de ecuaciones es:

                                                  −b ± b 2 − 4ac
                                             x=
                                                       2a

Si b 2 − 4ac > 0 , entonces las dos las raíces serán reales
Si b 2 − 4ac = 0 , entonces las dos raíces tendrán multiplicidad de dos y serán reales
Si b 2 − 4ac < 0 , entonces las dos raíces serán complejas conjugadas




Elaboraron:
I. Q. Susana Alicia Flores Almazán
M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
FÓRMULAS BÁSICAS DE DIFENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIBLE
                       INDEPENDIENTE

Sean u , v y w funciones que dependen la variable independiente x , y c .una constante.
Entonces:

d (c ) = 0
d (u ) = du
d (c ⋅ u ) = c ⋅ du
d (−u ) = −du
d (u + v − w) = du + dv − dw
d (uv) = vdu + udv
  ⎛ u ⎞ vdu − udv
d⎜ ⎟=
  ⎝v⎠            v2


  DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIBLES INDEPENDIENTES

Sea f una función que depende de las variables independientes x e y , es decir
 f = f ( x, y ) . Entonces, al diferenciar f se obtiene que:

     ⎛ ∂f ⎞   ⎛ ∂f ⎞
df = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy               la cual representa una ecuación diferencial.
     ⎝ ∂x ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ x


         TEOREMA DE EULER: CONDICIÓN PARA QUE UNA ECUACIÓN
                      DIFERENCIAL SEA EXACTA

Si la función f = f ( x, y ) es continua y diferenciable, entonces:

     ⎛ ∂f ⎞    ⎛ ∂f ⎞                          ⎛ ∂f ⎞                ⎛ ∂f ⎞
df = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy              hacemos: M = ⎜ ⎟ y             N = ⎜ ⎟ entonces
     ⎝ ∂x ⎠ y  ⎝ ∂y ⎠ x                        ⎝ ∂x ⎠ y              ⎝ ∂y ⎠ x
df = Mdx + Ndy
                                                                    ⎛ ∂M ⎞ ⎛ ∂N ⎞
La ecuación diferencial será exacta cuando se cumple que:           ⎜    ⎟ =⎜     ⎟
                                                                    ⎝ ∂y ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ y
       ⎛ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎞ ⎛ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎞                                    ⎛ ∂2 f ⎞ ⎛ ∂2 f ⎞
o bien ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ que es equivalente a                       ⎜      ⎟=⎜      ⎟
       ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎟ ⎜ ∂x ⎝ ∂y ⎠ ⎟
       ⎝          y ⎠x ⎝        x ⎠y                                ⎝ ∂y∂x ⎠ ⎝ ∂x∂y ⎠



Elaboraron:
I. Q. Susana Alicia Flores Almazán
M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN BÁSICAS

Sean u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número
racional, y c una constante, entonces:

d
   c=0
dx
d
   x =1
dx
d               d
   [c ⋅ x ] = c x = c
dx              dx
d               d
   [c ⋅ u ] = c u
dx              dx
d               d
   [ −u ] = − u
dx             dx
d n
   x = n ⋅ x n −1
dx
d n                 d
   u = n ⋅ u n −1 ⋅ u
dx                 dx
d                   d      d d
   [ u + v − w] = u + v − w
dx                 dx     dx dx
d                d      d
   [u ⋅ v ] = u v + v u
dx              dx      dx
               d       d
             v u −u v
d ⎡u ⎤         dx      dx
   ⎢v⎥ =
dx ⎣ ⎦             v 2




Regla de la cadena:
Si u = f (v) , y v = f ( x) , entonces:
 d      d      d
   u = u⋅ v
dx     dv dx

Por ejemplo: si u = (2 x − 1) 2 esto quiere decir que u (v) = v 2 y que v( x) = 2 x − 1 . Entonces:
 d      d
   u = ( 2 x − 1) ; por consiguiente,
                   2

dx     dx
 d 2              d      d
   v = 2v y          v = (2 x − 1) = 2 ; y al final
du                dx     dx
 d
   u = 2(2 x − 1)(2) = 4(2 x − 1) = 8 x − 4
dx
Elaboraron:
I. Q. Susana Alicia Flores Almazán
M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN BÁSICAS

Sea F ( x) la función antiderivada o primitiva de f ( x) , esto es:
∫ f ( x)dx = F ( x) + c
Integrales indefinidas:

Sean f , u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número
racional, k es una constante y c la constante de integración, entonces:

∫ dx = x + c
∫ k ⋅ dx =k ∫ dx = kx + c
              x n +1
∫ x dx =             + c ; cuando n ≠ −1
   n

              n +1
    dx
∫ x = ∫ x dx = ln x + c ; cuando x > 0
               −1




∫ [ − f ( x)]dx = − ∫ f ( x)dx
∫ k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
∫ [u ( x) + v( x) − w( x)]dx = ∫ u( x)dx + ∫ v( x)dx − ∫ w( x)dx
Integrales definidas:

Sea F ( x) la función antiderivada o primitiva de f ( x) , a , b y c números reales, entonces:
    b                       b

∫a
        f ( x)dx = F ( x) = F (b) − F (a )
                            a
    b                   a
∫a
        f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
                        b
    b               c             c
∫a
        f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx
                    b             a




Elaboraron:
I. Q. Susana Alicia Flores Almazán
M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura

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  • 1. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES Sean x e y variables independientes, mientras que m y n son números enteros positivos, entonces: x0 = 1 ( xy ) n = x n y n x −1 = 1 x (x )n m = x m⋅ n 1 x−n = n x m ⋅ x n = x m+ n x n ⎛x⎞ xn xm ⎜ ⎟ = n = x m−n ⎝ y⎠ y xn n x = x1/ n n x⋅ y = n x ⋅ n y xm = xm / n ( x ⋅ y) = n xm ⋅ n y m n n m n 1 x x n = x −1/ n n = x y n y m 1 −m / n ⎛x⎞ n xm =x n ⎜ ⎟ = n xm ⎝ y⎠ n ym PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Sean n , x e y variables independientes y a la base del logaritmo, entonces: ln x log a x = ln a log a ( xy ) = log a x + log a y ⎛x⎞ log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y ⎝ y⎠ log a x n = n log a x ⎛1⎞ log a ⎜ ⎟ = − log a x ⎝ x⎠ Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
  • 2. REGLAS BÁSICAS DE ÁLGEBRA Desarrollo de las expresiones algebraicas más comunes: ⎛ a ⎞ c⋅a 1 ⎛c⎞ c⎜ ⎟ = = (c ⋅ a) = ⎜ ⎟ a ⎝b⎠ b b ⎝b⎠ c(a ⋅ b) = (c ⋅ a)b = (c ⋅ b)a c ( a + b) = c ⋅ a + c ⋅ b (a + b)(c + d ) = a ⋅ c + a ⋅ d + b ⋅ c + b ⋅ d (a 2 − b 2 ) = (a + b)(a − b) (a 3 − b3 ) = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 (a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − 3b3 Solución para una ecuación cuadrática de segundo grado: Sea la ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a , b y c son coeficientes reales. Las soluciones para este tipo de ecuaciones es: −b ± b 2 − 4ac x= 2a Si b 2 − 4ac > 0 , entonces las dos las raíces serán reales Si b 2 − 4ac = 0 , entonces las dos raíces tendrán multiplicidad de dos y serán reales Si b 2 − 4ac < 0 , entonces las dos raíces serán complejas conjugadas Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
  • 3. FÓRMULAS BÁSICAS DE DIFENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIBLE INDEPENDIENTE Sean u , v y w funciones que dependen la variable independiente x , y c .una constante. Entonces: d (c ) = 0 d (u ) = du d (c ⋅ u ) = c ⋅ du d (−u ) = −du d (u + v − w) = du + dv − dw d (uv) = vdu + udv ⎛ u ⎞ vdu − udv d⎜ ⎟= ⎝v⎠ v2 DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIBLES INDEPENDIENTES Sea f una función que depende de las variables independientes x e y , es decir f = f ( x, y ) . Entonces, al diferenciar f se obtiene que: ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ df = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy la cual representa una ecuación diferencial. ⎝ ∂x ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ x TEOREMA DE EULER: CONDICIÓN PARA QUE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEA EXACTA Si la función f = f ( x, y ) es continua y diferenciable, entonces: ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ df = ⎜ ⎟ dx + ⎜ ⎟ dy hacemos: M = ⎜ ⎟ y N = ⎜ ⎟ entonces ⎝ ∂x ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ y ⎝ ∂y ⎠ x df = Mdx + Ndy ⎛ ∂M ⎞ ⎛ ∂N ⎞ La ecuación diferencial será exacta cuando se cumple que: ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ ∂y ⎠ x ⎝ ∂x ⎠ y ⎛ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎞ ⎛ ∂ ⎛ ∂f ⎞ ⎞ ⎛ ∂2 f ⎞ ⎛ ∂2 f ⎞ o bien ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ que es equivalente a ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎠ ⎟ ⎜ ∂x ⎝ ∂y ⎠ ⎟ ⎝ y ⎠x ⎝ x ⎠y ⎝ ∂y∂x ⎠ ⎝ ∂x∂y ⎠ Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
  • 4. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN BÁSICAS Sean u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número racional, y c una constante, entonces: d c=0 dx d x =1 dx d d [c ⋅ x ] = c x = c dx dx d d [c ⋅ u ] = c u dx dx d d [ −u ] = − u dx dx d n x = n ⋅ x n −1 dx d n d u = n ⋅ u n −1 ⋅ u dx dx d d d d [ u + v − w] = u + v − w dx dx dx dx d d d [u ⋅ v ] = u v + v u dx dx dx d d v u −u v d ⎡u ⎤ dx dx ⎢v⎥ = dx ⎣ ⎦ v 2 Regla de la cadena: Si u = f (v) , y v = f ( x) , entonces: d d d u = u⋅ v dx dv dx Por ejemplo: si u = (2 x − 1) 2 esto quiere decir que u (v) = v 2 y que v( x) = 2 x − 1 . Entonces: d d u = ( 2 x − 1) ; por consiguiente, 2 dx dx d 2 d d v = 2v y v = (2 x − 1) = 2 ; y al final du dx dx d u = 2(2 x − 1)(2) = 4(2 x − 1) = 8 x − 4 dx Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura
  • 5. FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN BÁSICAS Sea F ( x) la función antiderivada o primitiva de f ( x) , esto es: ∫ f ( x)dx = F ( x) + c Integrales indefinidas: Sean f , u , v y w funciones que dependen de x (variable independiente), n un número racional, k es una constante y c la constante de integración, entonces: ∫ dx = x + c ∫ k ⋅ dx =k ∫ dx = kx + c x n +1 ∫ x dx = + c ; cuando n ≠ −1 n n +1 dx ∫ x = ∫ x dx = ln x + c ; cuando x > 0 −1 ∫ [ − f ( x)]dx = − ∫ f ( x)dx ∫ k ⋅ f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∫ [u ( x) + v( x) − w( x)]dx = ∫ u( x)dx + ∫ v( x)dx − ∫ w( x)dx Integrales definidas: Sea F ( x) la función antiderivada o primitiva de f ( x) , a , b y c números reales, entonces: b b ∫a f ( x)dx = F ( x) = F (b) − F (a ) a b a ∫a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b c c ∫a f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx b a Elaboraron: I. Q. Susana Alicia Flores Almazán M. en C. Gerardo Omar Hernández Segura