Convergencia de sucesiones y completitud en espacios métricos

Cap´
ıtulo 2

Sucesiones y
convergencia

1. Definiciones
Una de las ideas fundamentales del an´lisis es la de l´
a ımite; en particular,
el l´
ımite de una sucesiń. En este cap´
o ıtulo estudiaremos la convergencia de
sucesiones, adem´s del concepto de completitud en espacios m´tricos.
a e
Definiciń 2.1. Sea (X, d) un espacio m´trico. Una sucesiń en X es una
o e o
funciń f : Z
o + → X. Si, para cada n, f (n) = x , entonces escribiremos la
n
∞ .
sucesiń f como (xn )n=1
o
Decimos que (xn )∞ converge a x ∈ X, y escribimos xn → x, si, para
n=1
todo ε > 0, existe N ∈ Z+ tal que, si n ≥ N , entonces d(xn , x) < ε.
Los siguientes enunciados son equivalentes a decir que x n → x:
Para todo ε > 0, existe N ∈ Z+ tal que, si n ≥ N , entonces
xn ∈ Bε (x).
Para todo abierto U en X que contiene a x, existe un N ∈ Z + tal
que, si n ≥ N , entonces xn ∈ U .

x
x1 x2 x3 ε

Figura 1. Ejemplo de una sucesiń que converge a x. Todos los puntos
o
xn , excepto un n´mero finito de ellos, estń a distancia ε de x.
u a

Ejemplo 2.2. Sea x0 ∈ X, y considere la sucesiń dada por x n = x0 ,
o
n = 1, 2, . . .. Entonces es claro que xn → x0 , ya que d(xn , x0 ) = 0 < ε, para

21

22 2. Sucesiones y convergencia

todo ε > 0 y n ∈ Z+ . En este caso decimos que (xn )∞ es una sucesiń
n=1 o
constante.
Ejemplo 2.3. Dada una sucesiń (xn )∞ , si xn = x, para alg´ n x ∈ X y
o n=1 u
∞ es eventualmente constante a x. Al
para todo n ≥ N , decimos que (xn )n=1
igual que en el ejemplo anterior, xn → x.
Ejemplo 2.4. Considere la sucesiń x n = 1/n en R. Entonces xn → 0. Para
o
mostrar ´sto, sea ε > 0. Por la propiedad Arquimidiana de R, existe N ∈ Z +
e
tal que N > 1/ε. Entonces, si n ≥ N ,
1 1 1
−0 = ≤ < ε.
n n N
Ejemplo 2.5. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Una sucesiń (x n )∞ en
o n=1
o o ∞ , dada por y = x − x,
X converge a x si, y s´lo si, la sucesiń (y n )n=1 n n
converge al vector 0. Para verificar ´sto, supongamos que x n → x. Entonces,
e
dado ε > 0, existe un N tal que n ≥ N implica ||x n − x|| < ε. Entonces
n ≥ N implica ||yn || < ε y, por lo tanto, yn → 0. El enunciado inverso se
demuestra de manera similar.
Proposiciń 2.6. Si una sucesiń (x n )∞ converge, entonces su l´mite es
o o n=1 ı
unico; es decir, si xn → x y xn → y, entonces x = y.
´

Demostraciń. Para mostrar ´sto, sea ε > 0, y sean N 1 y N2 tales que
o e
d(xn , x) < ε/2 y d(xm , y) < ε/2, para n ≥ N1 y m ≥ N2 . Tales Ni existen
por convergencia. Ahora bien, si N = m´x{N 1 , N2 }, entonces
a
d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) < ε/2 + ε/2 = ε,
y, como ε es arbitrario, conclu´
ımos que d(x, y) = 0. Por lo tanto x = y.

Cuando no haya motivo de confusiń, escribiremos la sucesiń (x n )∞
o o n=1
simplemente como (xn ). Si A ⊂ X, decimos que (xn ) est´ en A si, para todo
a
n, xn ∈ A. Las siguientes preguntas aparecen de manera natural dada una
sucesiń (xn ) en A: Si xn → x, entonces ¿x ∈ A? ¿Bajo qu´ condiciones
o e
podemos garantizar que x ∈ A? ¿Podemos clasificar el conjunto de puntos
x tales que existe alguna sucesiń (x n ), en A, tal que xn → A?
o
Las respuestas a estas preguntas se pueden concluir del siguiente teore-
ma.
¯
Teorema 2.7. Sea (X, d) un espacio m´trico y A ⊂ X. Entonces x ∈ A si,
e
y s´lo si, existe (xn ) en A tal que xn → x.
o

Demostraciń. Supongamos que existe una sucesiń (x n ) en A tal que
o o
xn → x. Por definiciń, cualquier abierto que contiene a x contiene a alg´ n
o u
elemento xn de la sucesiń (de hecho a todos excepto a lo m´s un n´ mero
o a u
¯
finito de ellos). Si x ∈ A, entonces x ∈ A; y, si x ∈ A, entonces cualquier

1. Definiciones 23

abierto que contiene a x contiene alg´ n punto en A distinto de x, por lo que
u
x es un punto de acumulaciń de A y, por lo tanto, x ∈ A.
o ¯
¯
De manera inversa, si x ∈ A, entonces, para todo ε > 0, Bε (x) ∩ A = ∅.
Escogemos entonces, para cada n, xn ∈ B1/n (x) ∩ A = ∅. Es fćil verificar
a
que xn → x (ejercicio 1).

Este teorema nos asegura que, si (xn ) est´ en A y xn → x, entonces
a
x no necesariamente es un elemento de A, pero est´ en la cerradura de
a
A. Adem´s, si A es cerrado, entonces siempre x ∈ A. Si A no es cerrado,
a
podemos encontrar puntos de acumulaciń de A que no estń en A, y el
o e
teorema nos permite concluir que existen sucesiones que convergen a tales
puntos. Como ejemplo, consideremos la sucesiń (1/n). Esta sucesiń est´ en
o o a
el intervalo (0, 1], pero su l´
ımite, 0, no lo est´.
a
Si (xn ) es una sucesiń, una subsucesiń de (x n ) es una funciń g : Z+ →
o o o
{xn : n ∈ Z + }, digamos g(k) = x , tal que, si k < l, entonces n < n .
nk k l

Proposiciń 2.8. Si xn → x, entonces xnk → x para toda subsucesiń
o o
(xnk ) de (xn ).

Demostraciń. Sea ε > 0. Como xn → x, existe N tal que n ≥ N implica
o
d(xn , x) < ε. Entonces, como nk ≥ k para todo k, si k ≥ N entonces nk ≥ N
y por lo tanto
d(xnk , x) < ε.

La siguiente pregunta aparece muy frecuentemente en an´lisis, y de he-
a
cho es clave en la soluciń de muchos problemas: Si (x n ) es una sucesiń en
o o
A, ¿qu´ condiciones debe satisfacer el conjunto A para garantizar que existe
e
una subsucesiń (xnk ) tal que xnk → x para alg´ n x ∈ A? Un conjunto
o u
con tal propiedad es llamado secuencialmente compacto, y haremos un estu-
dio m´s detallado de tales conjuntos en el siguiente cap´
a ıtulo. Sin embargo,
podemos listar algunas propiedades, necesarias, para que un conjunto A sea
secuencialmente compacto.
Como la subsucesiń (xnk ) tambiń est´ en A, entonces, para garantizar
o e a
que x ∈ A, A debe ser cerrado en X. Ahora bien, A debe ser acotado.

Definiciń 2.9. Sea (X, d) un espacio m´trico y A ⊂ X. Decimos que A
o e
es acotado, si existe x ∈ X y M > 0 tales que A ⊂ B M (x); es decir, A
est´ contenido en alguna bola en X.
a

Esta definiciń es equivalente a decir que A es acotado, si existen x ∈ X
o
y M > 0 tales que d(y, x) < M , para todo y ∈ A.


Todas las sucesiones convergentes son acotadas, es decir, si x n → x,
entonces el conjunto {xn : n ∈ Z+ } es acotado. De hecho, sea N tal que
d(xn , x) < 1 para todo n ≥ N . Entonces, si tomamos
M = m´x{d(x, x1 ), d(x, x2 ), . . . , d(x, xN ), 1},
a
entonces es obvio que d(xn , x) ≤ M para todo n, por lo que
{xn : n ∈ Z+ } ⊂ BM +1 (x).

Ahora bien, si A no es acotado, podemos construir una sucesiń en A
o
que no tiene ninguna subsucesiń convergente. Para ´sto, haremos uso de la
o e
siguiente proposiciń.
o
Proposiciń 2.10. Sea (X, d) un espacio m´trico y A ⊂ X, y asumimos que
o e
A no es acotado. Entonces, para todos M > 0, n ∈ Z + y x1 , x2 , . . . , xn ∈ X,
BM (x1 ) ∪ BM (x2 ) ∪ . . . ∪ BM (xn ) ⊃ A.

Demostraciń. Demostraremos la contrapositiva de la proposiciń. Supon-
o o
gamos que A ⊂ BM (x1 ) ∪ BM (x2 ) ∪ . . . ∪ BM (xn ). Entonces, para x ∈ A,
existe i tal x ∈ BM (xi ). Si tomamos
R = m´x d(xi , x0 ) + M,
a
i=2,...,n

entonces
d(x, x1 ) ≤ d(x, xi ) + d(xi , x1 ) < M,
y por lo tanto A ⊂ BR (x1 ).

A M
M
M M
M M
M
M
M

Figura 2. Si A no es acotado, entonces no puede ser cubierto por un
n´mero finito de bolas de radio M .
u

Con esta proposiciń a la mano podemos construir la siguiente sucesiń
o o
en A: esc´jase x1 ∈ A (es claro que A = ∅, ya que no es acotado) y, habiendo
o
escogido x1 , x2 , . . . , xk , escogemos xk+1 ∈ A B1 (x1 )∪B1 (x2 )∪. . .∪B1 (xk ) .
Es claro que (xn ) no puede tener ninguna subsucesiń convergente, ya que
o
d(xm , xn ) ≥ 1 para todos m y n, por lo que cualquiera dos puntos x n , xm no

2. Sucesiones de Cauchy y completitud 25

pueden estar a distancia menor que, digamos, 1/2 de alg´ n punto en com´ n
u u
(ejercicio 2).
Estas observaciones permiten concluir que A tiene que ser cerrado y
acotado para ser secuencialmente compacto. Sin embargo, estas condiciones
estń lejos de ser suficientes, como lo muestra el siguiente ejemplo.
a
Ejemplo 2.11. Considere (R, dA ) donde dA es la m´trica acotada:
e
|x − y|
dA (x, y) = .
1 + |x − y|
Entonces R es cerrado (en s´ mismo) y acotado, ya que d A (x, y) ≤ 1 para
ı
todo x, y, pero la sucesiń xn = n no tiene ninguna subsucesiń convergente,
o o
ya que, para cualquier m y n, m = n,
|m − n| 1
dA (xm , xn ) = ≥ ,
1 + |m − n| 2
r
donde hemos utilizado el hecho que la funciń r → 1+r es creciente para
o
r > 0. Como en la construcciń anterior, x m y xn no pueden estar a distancia
o
menor que 1/4 de alg´ n n´ mero en com´ n.
u u u

2. Sucesiones de Cauchy y completitud
Hasta ahora, la unica manera que tenemos para concluir que una suce-
´
siń converge es verificando la definiciń de convergencia directamente. Esto
o o
es, debemos conocer el l´
ımite a priori. Sin embargo, como lo hemos hecho en
ocasiones anteriores, podemos concluir que una sucesiń no converge (o in-
o
cluso que no tiene subsucesiones convergentes), si los t´rminos de la sucesiń
e o
no se acercan entre s´ Esta es una condiciń necesaria para convergencia, y
ı. o
es llamada la condiciń de Cauchy. Sin embargo, s´lo en ciertos espacios esta
o o
condiciń es suficiente, y dichos espacios son llamados completos. En esta
o
secciń haremos precisas las ideas de convergencia de Cauchy y completitud
o
en un espacio m´trico.
e
Definiciń 2.12. Sea (xn ) una sucesiń en un espacio m´trico (X, d). Deci-
o o e
mos que (xn ) es una sucesiń de Cauchy (o satisface la condiciń de Cauchy)
o o
si, para cada ε > 0, existe un N ∈ Z + tal que, si m, n ≥ N , entonces

d(xm , xn ) < ε.

La siguiente proposiciń explora distintas relaciones entre convergencia,
o
sucesiones de Cauchy y sucesiones acotadas.
Proposiciń 2.13. Sea (X, d) un espacio m´trico y (x n ) una sucesiń en
o e o
X.
1. Si (xn ) converge, entonces (xn ) es una sucesiń de Cauchy.
o
2. Si (xn ) es una sucesiń de Cauchy, entonces es acotada.
o


3. Si (xn ) es una sucesiń de Cauchy y alguna subsucesiń de (x n )
o o
converge a x, entonces xn → x.

Demostraciń.
o 1. Supongamos que x n → x. Dado ε > 0, existe N
tal que si n ≥ N entonces d(xn , x) < ε/2. Entonces, si m, n ≥ N ,
ε ε
d(xm , xn ) ≤ d(xm , x) + d(x, xn ) < + .
2 2
2. Sea N tal que si m, n ≥ N entonces d(x m , xn ) < 1. Si tomamos
M = m´x{d(x1 , xN ), d(x2 , xN ), . . . , d(xn , xN −1 ), 1},
a
entonces, para todo n, d(xn , xN ) ≤ M . Por lo tanto, (xn ) est´ en
a
BM (xN ).
3. Supongamos que xnk → x. Entonces, dado ε > 0, existe K tal que,
si k ≥ K, d(xnk , x) < ε/2. Como (xn ) es de Cauchy, existe N1 tal
que, si m, n ≥ N1 , d(xm , xn ) < ε/2. Si tomamos N = m´x{nK , N1 },
a
entonces n ≥ N implica
ε ε
d(xn , x) ≤ d(xn , xnK ) + d(xnK , x) < + = ε.
2 2

El primer inciso de la proposiciń anterior establece que ser una sucesiń
o o
de Cauchy es una condiciń necesaria para que una sucesiń sea convergente;
o o
pero esta condiciń no es suficiente en todo espacio m´trico, como lo muestra
o e
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.14. Considere el subespacio Q de R, es decir, d(r, s) = |r − s|
para cualquiera r, s ∈ Q. Considere la sucesiń
o
r1 = 1, r2 = 1,4, r3 = 1,41, r4 = 1, 414, . . . .
√
En R, dicha sucesiń converger´ a 2, y por lo tanto es de Cauchy en R.
o ıa √
Obviamente tambiń es de Cauchy en Q. Sin embargo, 2 ∈ Q, por lo que
e
(rn ) no converge en Q, por unicidad del l´ımite.
Definiciń 2.15. El espacio m´trico (X, d) es completo, si toda sucesiń de
o e o
Cauchy converge.

El ejemplo 2.14 implica que el espacio Q no es completo.
Ejemplo 2.16. R es completo. Este hecho se sigue del llamado axioma de
completitud de los n´ meros reales:
u
Sea S = ∅ un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S
tiene un supremo.

2. Sucesiones de Cauchy y completitud 27

La demostraciń del hecho de que toda sucesiń de Cauchy en R converge a
o o
partir de este axioma es bosquejada en el ejercicio 4, y los detalles se dejan
al lector.
´
Ejemplo 2.17. Rl es completo. Esto se sigue de la completitud de los reales:
Supongamos que xn = (xn n 1 , x2 , . . . , xl ) es una sucesiń de Cauchy en R l .
o
n
Entonces es fćil ver que cada (xn
a i ) es una sucesiń de Cauchy en R y, por
o
i → xi , para cada i, entonces
lo tanto, converge. Si xn
(x1 , x2 , . . . , xl ) → (x1 , x2 , . . . , xl ).
n n n

Ejemplo 2.18. Un espacio m´trico discreto es completo. De hecho, toda
e
sucesiń de Cauchy en un espacio discreto es eventualmente constante, y
o
por lo tanto converge. En particular, un espacio finito es completo.
Ejemplo 2.19. Si (X, d) es completo y E es cerrado en X, entonces el
subespacio (E, d|E×E ) es completo: si (xn ) es una sucesiń de Cauchy en E,
o
entonces tambiń es una sucesiń de Cauchy en X, y como X es completo,
e o
converge, digamos a x. Pero E es cerrado, por lo que x ∈ E. Entonces
xn → x en E.

El espacio C([0, 1]) es completo. Estableceremos este enunciado como
teorema.
Teorema 2.20. El espacio m´trico C([0, 1]) es completo.
e

Demostraciń. Recordemos que C([0, 1]) es el espacio m´trico de todas
o e
las funciones f : [0, 1] → R, continuas, cuya m´trica est´ dada por
e a
d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈[0,1]

Notemos que esta m´trica es inducida por la norma
e
||f ||∞ = sup |f (x)|.
x∈[0,1]

Sea (fn ) una sucesiń de Cauchy; es decir, para todo ε > 0, existe un N ∈ Z +
o
tal que, si m, n ≥ N , entonces |fn (x) − fm (x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1].
N´tese que N no depende de x. Ahora bien, si tomamos x ∈ [0, 1], la sucesiń
o o
dada por xn = fn (x) es una sucesiń de Cauchy en R, por lo que, como R
o
es completo, converge, digamos a L(x). Entonces L define una funciń en o
[0, 1], dada por
L(x) = l´ fn (x).
ım
n→∞
´
Esto significa que, para cada x ∈ [0, 1] y ε > 0, existe un N x (que depende
de x) tal que, si n > Nx , entonces |fn (x) − L(x)| < ε. Decimos entonces que
(fn ) converge punto por punto a L. Demostraremos que de hecho f n → L
´
en C([0, 1]), es decir, (fn ) converge uniformemente a L ∈ C([0, 1]). Esto lo


haremos en dos pasos:
Paso 1: Para todo ε > 0, existe un N tal que, si n ≥ N , entonces
|fn (x) − L(x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1];
es decir, N no depende de x.
Paso 2: L es continua en cada punto x ∈ [0, 1].
Para demostrar el paso 1, sea ε > 0. Tomamos N (la sucesiń (f n ) es
o
de Cauchy) tal que, si m, n ≥ N , entonces |f n (x) − fm (x)| < ε/2 uniforme-
mente. Demostraremos que, de hecho, |f n (x) − L(x)| < ε, para n ≥ N ,
uniformemente.
Fijamos x0 ∈ [0, 1] y estimaremos la diferencia |f n (x0 ) − L(x0 )|, para
n ≥ N . Ahora bien, sabemos que la sucesiń (f n (x0 )) converge a L(x0 ), por
o
lo que podemos encontrar un Nx0 tal que |fn (x0 ) − L(x0 )| < ε/2, para todo
n ≥ Nx0 . Escogemos ahora un entero n0 con n0 > N y n0 > Nx0 . Entonces,
si n ≥ N , tenemos que
|fn (x0 ) − L(x0 )| ≤ |fn (x0 ) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − L(x0 )|
ε ε
< + = ε.
2 2
Como x0 es arbitrario y N no depende de x0 , podemos concluir que, si n ≥
N , |fn (x)−L(x)| < ε, para todo x ∈ [0, 1]. Entonces f n → L uniformemente.
Para demostrar el paso 2, tomamos un x 0 ∈ [0, 1] y demostraremos que L
es continua en x0 ; es decir, dado ε > 0, mostraremos que podemos encontrar
un δ > 0 con la propiedad que |x − x0 | < δ implica |L(x) − L(x0 )| < ε.
Sea ε > 0. Por convergencia uniforme, podemos escoger un entero n 0
tal que |fn0 (x) − L(x)| < ε/3 para cada x ∈ [0, 1]. Ahora bien, como f n0 es
continua, existe un δ > 0 tal que, si |x−x 0 | < δ, entonces |fn0 (x)−fn0 (x0 )| <
ε/3. Entonces, si x ∈ [0, 1] y |x − x0 | < δ, tenemos
|L(x) − L(x0 )| ≤ |L(x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0 )| + |fn0 (x0 ) − L(x0 )|
ε ε ε
< + + = ε.
3 3 3

M´s adelante estudiaremos la continuidad de funciones en un espacio
a
m´trico y, de manera similar a C([0, 1]), definiremos el espacio C(X, Y )
e
como el espacio de funciones continuas acotadas de X a Y . As´ como lo
ı
hemos hecho para C([0, 1]), podemos mostrar que C(X, Y ) es completo si Y
es completo.
El siguiente teorema ser´ de utilidad m´s adelante.
a a
Teorema 2.21. Sea (X, d) un espacio m´trico completo y E un subespacio
e
de X. Entonces E es completo si y s´lo si E es cerrado en X.
o

3. Espacios vectoriales completos 29

Demostraciń. Supongamos que E es completo, y sea x ∈ X un punto de
o
acumulaciń de E. Entonces, existe una sucesiń (x n ) en E tal que xn → x.
o o
Como (xn ) converge en X, es una sucesiń de Cauchy en X. Pero la m´trica
o e
de E es la restricciń a E de la m´trica de X, por lo que entonces (x n ) es
o e
tambiń de Cauchy en E. Como E es completo, (x n ) converge en E. Como
e
E es un subespacio de X, la proposiciń 2.6 implica que x n → x en E, es
o
decir, x ∈ E. Por lo tanto, E es cerrado.
Supongamos ahora que E es cerrado en X, y sea (x n ) una sucesiń de
o
Cauchy en E. Como E es un subespacio de X, (x n ) es tambiń una sucesiń
e o
de Cauchy en X y, como X es completo, entonces converge, digamos a x.
Pero entonces (xn ) es una sucesiń en E que converge a x, lo cual implica
o
¯ Como E es cerrado, x ∈ E, lo cual implica que x n → x en E.
que x ∈ E.
Por lo tanto, E es completo.

3. Espacios vectoriales completos
En esta secciń estudiaremos la completitud de un espacio m´trico (X, d),
o e
cuando (X, || · ||) es un espacio normado y la m´trica d es inducida por la
e
norma; es decir, d(x, y) = ||x − y||. En este caso podemos estudiar la com-
pletitud del espacio X a trav´s de series convergentes en X; en particular,
e
de series absolutamente convergentes en X.
Definiciń 2.22. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Una serie en X es la
o
suma
∞
(2.1) xn ,
n=1

donde (xn )∞ es una sucesiń en X. Decimos que la serie (2.1) es conver-
n=1 o
gente (o que converge), si la sucesiń (s n ), dada por
o
n
(2.2) sn = xk ,
k=1

de sumas parciales converge en X. Decimos que (2.1) es absolutamente con-
vergente (o que converge absolutamente), si la sucesiń (r n ),
o
n
(2.3) rn = ||xk ||,
k=1

converge en R.

N´tese que mientras (2.2) define una sucesiń de vectores, (2.3) define
o o
una sucesiń de n´ meros reales nonegativos. La convergencia de cada una
o u
de ´stas no necesariamente implica la convergencia de la otra.
e


Ejemplo 2.23. Considere la sucesiń en R
o
(−1)n
. xn =
n
La serie xn converge en R, pero no converge absolutamente, ya que la
sucesiń de sumas parciales
o
n
1
k
k=1
crece como log n, por lo que diverge a ∞. Sin embargo, es conocido que si
una serie en R es absolutamente convergente, entonces converge. Esto resulta
ser equivalente a la completitud de los n´ meros reales, como lo veremos a
u
continuaciń.
o
Definiciń 2.24. Si el espacio normado (X, || · ||) es completo, entonces
o
decimos que X es un espacio de Banach.

Por ejemplo, R, Rl o C([0, 1]) son espacios de Banach. El siguiente teore-
´
ma caracteriza a los espacios de Banach a trav´s de sus series absolutamente
e
convergentes.
Teorema 2.25. Sea (X, || · ||) un espacio normado. Entonces X es un es-
pacio de Banach si, y s´lo si, toda serie en X absolutamente convergente es
o
convergente.

Es decir, X es completo si, y s´lo si, la sucesiń (2.2) converge siempre
o o
que (2.3) converge.

Demostraciń. Para demostrar este teorema supongamos primero que X
o
es un espacio de Banach; es decir, toda sucesiń de Cauchy en X con-
o
verge. Sea entonces xn un serie absolutamente convergente; en otras pal-
abras, suponemos que la sucesiń ( n ||xk ||) converge. Demostraremos que
o 1
n
( 1 xk ) converge.
Para ´sto, mostraremos que ( n xk ) es una sucesiń de Cauchy. Esto
e 1 o
ser´ suficiente ya que, por hip´tesis, X es completo. Sea ε > 0. Como la suce-
a o
n
siń ( 1 ||xk ||) converge en R, entonces es una sucesiń de Cauchy. Tomem-
o o
n
os entonces N tal que si n, m ≥ N , entonces 1 ||xk || − m ||xk || < ε.
1
Pero esto significa, si n > m, que
||xm+1 || + ||xm+2 || + . . . + ||xn || < ε.
Por lo tanto, si n, m ≥ N y n > m, tenemos que
n m n
|| xk − xk || = || xk || ≤ ||xm+1 || + ||xm+2 || + . . . + ||xn || < ε,
1 1 m+1
n
por lo que la sucesiń (
o 1 xk ) es de Cauchy y, por lo tanto, converge.


Ahora mostraremos que si toda serie absolutamente convergente es con-
vergente en X, entonces X es completo. Sea entonces (x n ) un sucesiń de
o
Cauchy. Mostraremos que esta sucesiń converge. Observemos que es sufi-
o
ciente, por la proposicń 2.13, demostrar que alguna subsucesiń de (x n )
o o
converge.
Primero, para cada k ∈ Z+ , sea nk tal que, si m, n ≥ nk , entonces
||xn − xm || < 2−k
y, adem´s, nk+1 ≥ nk . Tal sucesiń es posible ya que (xn ) es una sucesiń
a o o
de Cauchy. Definimos la sucesiń
o
y 0 = x n1 , yk = xnk+1 − xnk , k = 1, 2, 3, . . . .
Por la construcciń de las nk , es claro que ||yk || < 2−k , luego
o
n n
||yk || < ||xn1 || + 2−k < ||xn1 || + 1
k=0 k=1

y, por lo tanto, la serie yk es absolutamente convergente. Por hip´tesis,
o
es convergente; es decir, para alg´ n y ∈ X,
u
n
yk → y.
k=0

Pero N yk = xn1 + N (xnk+1 − xnk ) = xnN +1 , por lo que conclu´
k=0 k=1 ımos
que la subsucesiń (xnk ) converge.
o

Este teorema muestra por qu´ en R toda serie absolutamente conver-
e
gente es de hecho convergente, como es mostrado en los cursos elementales
a ´
de c´lculo. Esto es equivalente a completitud. M´s a´ n, este teorema nos
a u
permite desarrollar un criterio para convergencia uniforme de series de fun-
ciones en C([0, 1]), el cual es llamado el criterio M de Weierstrass.
Corolario 2.26 (Criterio M de Weierstrass). Sea (f n ) una sucesiń deo
funciones en C([0, 1]). Si existe una sucesiń (M n ) de n´meros nonegativos
o u
tales que |fn (x)| ≤ Mn , para todo x, y la serie Mn converge, entonces la
serie
∞
fn (x)
n=1
converge absoluta y uniformemente en [0, 1].

Demostraciń. Las hip´tesis se pueden reescribir de la siguiente forma:
o o
||fn ||∞ ≤ Mn , para todo n,
Mn < ∞; es decir, converge.


Entonces la serie ||fn ||∞ converge, por lo que entonces fn es una serie
absolutamente convergente. Como C([0, 1]) es completo, entonces la serie
fn converge en C([0, 1]), es decir, uniformemente.

De nuevo, el criterio M de Weierstrass se puede generalizar a los es-
pacios C(X, Y ), donde Y es un espacio de Banach. En este caso, C(X, Y )
es tambiń un espacio de Banach. Estudiaremos estas generalizaciones m´s
e a
adelante en estas notas.

3.1. Equivalencia de normas en Rl . En el ejercicio 9 del cap´ ıtulo 1
definimos el concepto de normas equivalentes: Si || · || 1 y || · ||2 son normas
en X, decimos que son equivalentes si existen c, C > 0 tales que, para todo
x ∈ X,
c||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C||x||1 .
Si dos normas son equivalentes, entonces inducen m´tricas homeomorfas, y
e
por lo tanto las sucesiones convergentes respecto de una son tambiń con-e
vergentes repscto a la otra.
En el mismo ejercicio, se demuestra que las normas || · || E , || · ||M y || · ||T
en Rl son equivalentes. Demostraremos ahora que cualquiera dos normas en
Rl son equivalentes.
Teorema 2.27. Sean |·||1 y ||·2 || normas en Rl . Entonces son equivalentes.

Demostraciń. Sin p´rdida de generalidad, podemos asumir que, por ejem-
o e
plo, || · ||1 es la m´trica del taxi:
e
||x||t = |x1 | + . . . + |xl |.
Sea entonces || · || cualquier norma en R l . Entonces, para x ∈ Rl ,
||x|| = ||x1 e1 + . . . + xl el || ≤ |x1 | · ||e1 || + . . . + |xl | · ||el ||,
por las propiedades de norma, donde {e 1 , . . . , el } es la base estńdar de Rl .
a
Si tomamos
M = m´x{||e1 ||, . . . , ||el ||},
a
entonces
||x|| ≤ M |x1 | + . . . M |xl | = M ||x||t .
Para la inversa, demostraremos que, para cada i = 1, . . . , l, existe c i > 0
tal que |xi | ≤ ci ||x||, para todo x ∈ Rl . De esa forma obtendremos que
||x||t = |x1 | + . . . + |xl | ≤ (c1 + . . . + cl )||x||.
Esto lo demostraremos por inducciń en l, la dimensiń del espacio. El caso
o o
l = 1 es trivial, porque cualquier norma es, de hecho, un m´ ltiplo del valor
u
absoluto (simplemente hay que notar que, para x ∈ R, ||x|| = |x| · ||1||).
Suponemos ahora que el caso l − 1 es cierto, y demostraremos el caso l.


Por contradicciń, y sin p´rdida de generalidad, suponemos que, para
o e
cada n, existe un xn ∈ Rl tal que |x1 | > n · ||xn ||. Si tomamos1
n

xn xn xn
yn = 2
= e 1 + n e2 + . . . + l el ,
xn
1 x1 xn
1
entonces y n → 0 con respecto a || · ||, ya que
1 1
||y n || = n ||xn || < .
|x1 | n
Sea z n = y n − e1 . Luego, z n → −e1 . Pero z n se encuentra en el espacio gen-
erado por {e2 , . . . , el }, llam´moslo V, isomorfo a Rl−1 . Como la restricciń
e o
de || · || a V induce una norma en Rl−1 (a trav´s del isomorfismo2), nuestra
e
hip´tesis de inducciń implica que existen constantes c 1 , . . . , cl−1 > 0 tales
o o
que
(2.4) |zi | ≤ ci ||z1 e2 + . . . zl−1 el ||, z1 , . . . , zl−1 ∈ R, i = 1, . . . , l − 1.
Entonces, como (z n ) converge, es una sucesiń de Cauchy, y (2.4) implica
o
que cada
n xn
ai = i , i = 2, . . . , l − 1,
xn1
es de Cauchy en R, y por lo tanto converge, digamos, a a i . Entonces, la
desigualdad del trińgulo implica que z n converge a
a
a2 e2 + . . . + a l el .
Por unicidad de l´ ımites, −e1 = a2 e2 + . . . + al el , lo cual contradice el hecho
de que {e1 , . . . , el } es una base. Esto termina la demostraciń del teorema
o
con las constantes
1
c= y C = M.
c1 + . . . + c l

Podemos generalizar este resultado a otros espacios vectoriales.
Teorema 2.28. Sean (X, || · ||X ) y (Y, || · ||Y ) dos espacios vectoriales de di-
mensiń finita, tales que dim X = dim Y , y sea φ : X → Y un isomorfismo.
o
Entonces, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x||X ≤ ||φ(x)||Y ≤ C||x||X
para todo x ∈ X.
1Estamos escribiendo el ´
ındice n de la sucesiń como super´
o ındice, para no confundir con la
coordenada.
2Si φ : V → Rl−1 es un isomorphismo, la norma inducida est´ dada por
a
||x||φ = ||φ−1 x||.


En el teorema est´ impl´
a ıcito que suponemos que X y Y son espacios
vectoriales sobre el mismo campo, ya sea R o C. Supondremos de hecho
que el campo base es R, para hacer uso del teorema 2.27. Sin embargo, la
demostraciń de un teorema an´logo al teorema 2.27 para C l se sigue de
o a
manera similar, por lo que extender estos resultados al caso complejo es
fćil.
a

Demostraciń. Sea l = dim X y ψ : Rl → X un isomorfismo. Definimos
o
entonces las normas || · ||1 y || · ||2 en Rl por
||x||1 = ||ψ(x)||X ,
||x||2 = ||φ ◦ ψ(x)||Y .
Por el teorema 2.27, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C||x||2
para todo x ∈ Rl . Entonces, para x ∈ X,
c||x||X = c||ψ −1 (x)||1 ≤ ||ψ −1 (x)||2 = ||φ ◦ ψ(ψ −1 (x))||Y = ||φ(x)||Y ,
y
||φ(x)||Y = ||φ ◦ ψ(ψ −1 (x))||Y = ||ψ −1 (x)||2 ≤ C||ψ −1 (x)||1 = C||x||X .

Si en el teorema 2.28 X = Y , y tomamos el isomorfismo φ como la
identidad, tenemos entonces el siguiente corolario.
Corolario 2.29. Si X es un espacio vectorial sobre R de dimensiń finita,
o
entonces cualesquiera dos normas en X son equivalentes.

La completitud de Rl (ejemplo 2.17) y el teorema 2.28 implican el si-
guiente resultado.
Corolario 2.30. Si (X, || · ||) es un espacio normado de dimensiń finita,
o
entonces es un espacio de Banach.

Demostraciń. Sea (xn ) una sucesiń de Cauchy en X, y demostraremos
o o
que converge. Si dim X = l, tomamos entonces un isomorphismo φ : X → R l ,
y definimos yn = φ(xn ). (yn ) es entonces una sucesiń en Rl .
o
Por el teorema 2.28, existen constantes c, C > 0 tales que
c||x|| ≤ ||φ(x)||E ≤ C||x||
para todo x ∈ X, donde || · ||E es la norma euclideana en Rl . Entonces, para
todo m, n,
||ym − yn ||E = ||φ(xm − xn )||E ≤ C||xm − xn ||,

4. Convergencia de series 35

lo cual implica que (yn ) es tambiń de Cauchy. Como Rl es completo, (yn )
e
converge, digamos yn → y. Sea x = φ−1 (y). Como
1
||xn − x|| ≤ ||yn − y||E ,
c
xn → x.
Corolario 2.31. Sea X un espacio de Banach y Y un subespacio de dimen-
siń finita. Entonces Y es cerrado en X.
o

Demostraciń. Como Y es un espacio normado de dimensiń finita, es
o o
entonces completo, por el corolario 2.30. Por el teorema 2.21, Y es cerrado
en X.

4. Convergencia de series
En la secciń anterior estudiamos la convergencia absoluta de una serie
o
en un espacio normado y vimos la relaciń entre dicha convergencia y la
o
completitud del espacio. En esta secciń, sin embargo, estudiaremos la con-
o
vergencia de una serie que no necesariamente converge de manera absoluta.
El resultado m´s importante en esta area es el siguiente teorema, debido
a ´
a Dirichlet. Antes, definiremos una sucesiń mon´tona.
o o
Definiciń 2.32. Decimos que una sucesiń (a n ) en R es mon´tona cre-
o o o
ciente (o mon´tona decreciente) si, para cada n, a n+1 ≥ an (´ an+1 ≤ an ).
o o
Si una sucesiń es mon´tona creciente o mon´tona decreciente, diremos sim-
o o o
plemente que es mon´tona.
o
Teorema 2.33 (Dirichlet). Sea (X, || · ||) un espacio de Banach, (λ n ) una
sucesiń en R y (xn ) una sucesiń en X tales que
o o
1. λn ≥ 0 para todo n;
2. λn es mon´tona y λn → 0; y
o
3. La sucesiń de sumas parciales de (x n ),
o
n
sn = xk ,
k=1
es acotada en X.
∞
Entonces la serie n=1 λn xn converge.

Demostraciń. Demostraremos que la sucesiń
o o
n
yn = λk xk
k=1
es de Cauchy en X. Como X es completo, esto demostrar´ que converge.
a


Para esto, sean n > m y escribimos
n n
yn − y m = λk xk = λk (sk − sk−1 )
k=m+1 k=m+1
n n n n−1
= λk sk − λk sk−1 = λk sk − λk+1 sk
k=m+1 k=m+1 k=m+1 k=m
n−1
= λ n sn + (λk − λk+1 )sk − λm+1 sm .
k=m+1

Como (sn ) es acotada, existe M > 0 tal que ||sn || ≤ M para todo n. Como
(λn ) es mon´notona y converge a 0, λk ≥ λk+1 para todo k. Sea ε > 0. Como
o
λn → 0, existe N tal que, si n ≥ N , λn < ε/2M . Entonces, si n > m ≥ N ,
n−1
||yn − ym || ≤ λn ||sn || + (λk − λk+1 )||sk || + λm+1 ||sm ||
k=m+1
n−1
≤ λn M + (λk − λk+1 )M + λm+1 M
k=m+1
= λn M + (λm+1 − λn )M + λm+1 M = 2λm+1 M < ε.

Ejemplo 2.34 (Series alternantes). Si a n > 0 tal que (an ) es mon´tona y
o
converge a 0, entonces decimos que la serie (−1) nn a es alternante. Pode-

mos aplicar el teorema de Dirichlet para conlu´ que dichas series son con-
ır
vergentes en R, tomando λn = an y xn = (−1) n.

Ejemplo 2.35. Para α ∈ R, consideremos la serie
∞
sen nα
(2.5) .
n
n=1

Supongamos que α = 2πk, con k ∈ Z.3 Si tomamos xn = sen nα, tenemos
entonces que
n n
1 1 iα 1 − einα 1 − e−inα
xk = (eikα − e−ikα ) = e − e−iα
2i 2i 1 − eiα 1 − e−iα
k=1 k=1
sen α + sen nα − sen(n + 1)α
= ,
2(1 − cos α)
1
la cual es acotada. Como es mon´tona y converge a cero, entonces la serie
o
n
(2.5) converge.
3En tal caso la serie ser´ id´nticamente cero.
ıa e

5. La completitud de un espacio m´trico
e 37

e
A todo espacio m´trico (X, d), no necesariamente completo, se le puede
e
¯ ¯
asignar un espacio m´trico completo ( X, d), llamado la completitud de X.
e
Considere la colecciń X de todas las sucesiones de Cauchy en (X, d). Defi-
o
nimos la siguiente relaciń de equivalencia:
o
(xn ) ∼ (yn ) ⇔ l´ d(xn , yn ) = 0.
ım
n→∞
A la clase de equivalencia de (xn ) la denotaremos por [xn ]. La clase denotada
por [x] corresponder´ a la clase que contiene a la sucesiń constante x n = x
a o
(´sta es, trivialmente, una sucesiń de Cauchy).
e o
Es fćil ver que, si xn → x, entonces [xn ] = [x].
a
Lema 2.36. Si (xn ) y (yn ) son dos sucesiones de Cauchy en X, entonces
la sucesiń d(xn , yn ) converge en R.
o

Demostraciń. Demostraremos que la sucesiń d(xn , yn ) es de Cauchy.
o o
Primero, por la desigualdad del trińgulo, para todo m, n,
a
d(xn , yn ) ≤ d(xn , xm ) + d(xm , ym ) + d(ym , yn ),
d(xm , ym ) ≤ d(xm , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , ym ),
lo cual implica que
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym ).
Como (xn ) y (yn ) son de Cauchy, para cada ε > 0 existe N tal que n, m ≥ N
implica que d(xn , xm ) < ε/2 y d(yn , ym ) < ε/2. Entonces, para n, m ≥ N ,
tenemos
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym ) < ε/2 + ε/2 = ε.
Entonces d(xn , yn ) es de Cauchy en R, y por lo tanto converge.
¯
Sea X el conjunto de clases de equivalencia bajo la relaciń ∼. Definimos
o
¯ en X × X como
la funciń d
o ¯ ¯
(2.6) ¯
d([(xn )], [(yn )]) = l´ d(xn , yn ).
ım
n→∞

o ¯ ¯ ¯
Teorema 2.37. La funciń d : X × X → [0, ∞) dada por (2.6) define una
¯ ¯ ¯
m´trica en X. Adem´s, (X, d) es completo.
e a
¯ a
Demostraciń. Primero observemos que d est´ bien definida. Esto es, si
o
(xn ) ∼ (un ) y (yn ) ∼ (vn ), entonces l´ d(xn , yn ) = l´ d(un , vn ). Este
ım ım
enunciado se sigue de la desigualdad
|d(xn , yn ) − d(un , vn )| ≤ d(xn , un ) + d(yn , vn )
y el hecho de que d(xn , un ) y d(yn , vn ) convergen a 0.


o ¯
Ahora verificamos que la funciń d satisface las propiedades de una
m´trica:
e
¯
1. d([xn ], [yn ]) = 0 si y s´lo si l´ d(xn , yn ) = 0 si y s´lo si xn ∼ yn si
o ım o
y s´lo si [xn ] = [yn ].
o
¯ ¯
2. d([xn ], [yn ]) = l´ d(xn , yn ) = l´ d(yn , xn ) = d([yn ], [xn ]).
ım ım
3.
¯
d([xn ], [yn ]) = l´ d(xn , yn ) ≤ l´
ım ım(d(xn , zn ) + d(zn , yn ))
= l´ d(xn , zn ) + l´ d(zn , yn )
ım ım
¯ ¯
= d([xn ], [zn ]) + d([zn ], [yn ]).
¯ ¯
Sea [xk ]k una sucesiń de Cauchy en (X, d). Entonces, existe un entero
o
n
¯ ¯
K1 tal que si k, l ≥ K1 entonces d([xk ]k , [xl ]l ) < 1/2. Por la definiciń de d,
o
n n
para cada l ≥ K1 existe un entero N (1, l), el cual escogemos de tal forma
que N (1, l) ≥ N (1, l − 1), tal que n ≥ N (1, l) implica d(x K1 , xl ) < 1/2.
n n
Inductivamente, escogemos enteros K p y N (p, l), l ≥ Kp , de la manera
siguiente: Una vez escogidos Kp−1 y N (p − 1, l), l ≥ Kp−1 , escogemos Kp ≥
¯
Kp−1 tal que k, l ≥ Kp implica d([xk ]k , [xl ]l ) < 1/(2p), y, para cada l ≥ Kp ,
n n
escogemos N (p, l) de tal forma que
N (p, l) ≥ N (p, l − 1);
N (p, l) ≥ N (p − 1, l);
K
n ≥ N (p, l) implica d(xn p , xl ) < 1/(2p); y
n
n, m ≥ N (p, l) implica d(xl , xm ) < 1/(2p).
n
l

Tomamos entonces la sucesiń yn = xKn n ) .
o N (n,K
La sucesiń yn es de Cauchy en X: Si m > n, tenemos que
o
d x Kn n ) , x Km m ) ≤ d x Kn n ) , x Kn m ) + d x Kn m ) , x Km m )
N (n,K N (m,K N (n,K N (m,K N (m,K N (m,K
1 1 1
< + = ,
2n 2n n
ya que N (m, Km ) ≥ N (n, Kn ).
¯
La sucesiń [xk ]k converge a [yn ] en X: Si k ≥ Kp y n ≥ N (p, k),
o n
tenemos que
d(xk , yn ) = d(xk , xKn n ) )
n n N (n,K
K K K
≤ d(xk , xn p ) + d(xn p , xN p p ) )
n (p,K
K K K
+ d(xN p p ) , xN p n ) ) + d(xN p n ) , xKn n ) )
(p,K (n,K (n,K N (n,K
1 1 1 1 2
< + + + = ,
2p 2p 2p 2p p

e 39

porque N (p, k) ≥ N (p, Kp ) ≥ p y N (n, Kn ) ≥ N (p, Kp ). Por lo tanto,
¯
d([xk ]k , [yn ]) < 2/p para k ≥ Kp , y conclu´ ¯
ımos que d([xk ]k , [yn ]) → 0 cuando
n n
k → ∞.
¯
Si identificamos cada elemento de x ∈ X con [x] en X, tenemos una
inyecciń j : X → X
o ¯
¯ tal que d(j(x), j(y)) = d(x, y), es decir, que preserva
la m´trica. Tales funciones son llamadas isometrás. Si identificamos X con
e ı
j(X) ⊂ X, ¯ entonces podemos decir que X es un subespacio de alg´ n espacio
u
m´trico completo.
e
¯
Si X es completo, entonces toda clase de equivalencia en X es igual
a [x] para alg´ n x ∈ X, ya que toda sucesiń de Cauchy en X converge.
u o
Por lo tanto, la isomatr´ j : X → X
ıa ¯ es biyectiva, y su inversa tambiń es
e
una isometr´ Entonces, (X, d) y ( X,
ıa. ¯
¯ d) no s´lo son homeomorfos, sino que
o
tambiń decimos que son isom´tricos.
e e
Si (X, d|X×X ) es un subespacio del espacio completo (Y, d), entonces
¯ ¯ ¯
podemos indentificar a X con alg´ n subespacio E de Y y (X, d) es isom´trico
u e
a (E, d|E×E ). De hecho, E es la cerradura de X en Y . Podemos generalizar
este resultado de la siguiente manera.
Teorema 2.38. Sea j : X → Y una isometrá donde (Y, d ) es un espacio
ı
¯ → Y tal que φ(X) = j(X).
completo. Entonces existe una isometrá φ : X
ı ¯

Demostraciń. Si (xn ) es una sucesiń de Cauchy en X, entonces (j(x n ))
o o
es una sucesń de Cauchy en Y y, como Y es completo, converge. Dada
o
¯ definiremos entonces φ como
[xn ] ∈ X,
φ([xn ]) = l´ j(xn ).
ım
n→∞
Para verificar que φ est´ bien definida, observemos que si [x n ] = [yn ], en-
a
tonces d(xn , yn ) → 0, y por lo tanto l´ j(xn ) = l´ j(yn ).
ım ım
Para demostrar que φ es una isometr´ tenemos que mostrar que
ıa,
¯
d([xn ], [yn ]) = d (l´ j(xn ), l´ j(yn )).
ım ım
Pero
¯
d([xn ], [yn ]) = l´ d(xn , yn ) = l´ d (j(xn ), j(yn )),
ım ım
por lo que, si j(xn ) → x y j(yn ) → y en Y , el resultado se sigue de la
desigualdad
|d (j(xn ), j(yn )) − d (x, y)| ≤ d (j(xn ), x) + d (j(yn ), y).

e ¯
En t´rminos menos precisos, X es el “menor espacio m´trico completo
e
que contiene a X”. El siguiente corolario se sigue de manera inmediata del
teorema 2.38.


¯
Corolario 2.39. Sea X un espacio m´trico y X su completitud. Entonces,
e
¯ existe una sucesiń xn en X tal que xn → x en X.
para cada x ∈ X o ¯

En este corolario, de hecho, estamos identificando a X como subespacio
¯
de X.

Ejercicios

1. Sea (X, d) un espacio m´trico, x ∈ X y (x n ) en X tal que, para cada n,
e
xn ∈ B1/n (x). Muestre que xn → x. Utilice este hecho para mostrar la
veracidad de los siguientes enunciados:
1
n → 0, en R.
2n
n+1 → 2, en R.
Si a, b, c, d > 0, entonces
an + b a
→ .
cn + d c
2. Sea (xn ) una sucesiń en el espacio m´trico (X, d) tal que, para todo
o e
N > 0, existen n, m ≥ N con d(xn , xm ) ≥ ε0 > 0. Muestre que (xn ) no
tiene ninguna subsucesiń convergente.
o
3. Sea (X, d) un espacio m´trico completo y E ⊂ X. Muestre que el subes-
e
pacio (E, d|E×E ) es completo si, y s´lo si, E es cerrado.
o
4. En este ejercicio mostraremos la completitud de R a partir del axioma
* Sea S = ∅ un subconjunto de R acotado por arriba. Entonces S
tiene un supremo, es decir, una m´ınima cota superior.
Siga los siguientes pasos:
Muestre que el axioma (*) es equivalente al siguiente enunciado:
Sea S = ∅ un subconjunto de R acotado por debajo. Entonces S
tiene un ´ınfimo, es decir, una m´xima cota inferior.
a
Muestre que toda sucesiń en R tiene una subsucesiń mon´tona.
o o o
Utilice el axioma (*) y el inciso anterior para mostrar que una
sucesiń mon´tona acotada converge en R.
o o
Concluya que toda sucesiń de Cauchy converge en R.
o
5. Suponga que los espacios m´tricos (X, d) y (X, d ) son homeomorfos (es
e
decir, U ⊂ X es abierto en (X, d) si, y s´lo si, es abierto en (X, d )).
o
Muestre que (X, d) y (X, d ) tienen las mismas sucesiones convergentes;
es decir, (xn ) converge en (X, d) si, y s´lo si, converge en (X, d ). Esto
o
quiere decir que convergencia es una propiedad topol´gica.
o
6. Sin embargo, muestre que completitud no es una propiedad topol´gica;
o
es decir, de un ejemplo de un espacio X con m´tricas d y d tales que
e
(X, d) y (X, d ) son homeomorfos, pero uno es completo y otro no.

Ejercicios 41

7. Sin embargo, si (X, || · ||) y (X, || · || ) son homeomorfos, muestre que
(X, || · ||) es completo si y s´lo si (X, || · || ) lo es.
o
¯ ¯
8. Sea (X, || · ||) un espacio normado y considere la completitud ( X, d)
ıda o ¯
de (X, || · ||), constru´ en la secciń 5. Muestre que X es un espacio
vectorial con las operaciones
[xn ] + [yn ] = [xn + yn ], λ[xn ] = [λxn ],
y que se puede normar con
||[xn ]|| = l´ ||xn ||.
ım
¯ ¯
Verifique que || · || induce la m´trica d y, por lo tanto, (X, || · || ) es un
e
espacio de Banach.
∞
9. Dada una serie n=1 xn , un reordenamiento de xn es la serie
∞
xφ(n) ,
n=1
donde φ : Z+ → Z+ es una biyecciń. Suponga que la serie
o an con-
verge a a0 en R, pero que no es absolutamente convergente. Muestre
que, para todo x ∈ R, existe un reordenamiento aφ(n) de an tal
que aφ(n) converge a x.
10. Sea xn una serie en un espacio de Banach que converge absoluta-
mente, y digamos converge a x. Muestre que todos los reordenamientos
de xn convergen a x. (Sugerencia: Si φ : Z+ → Z+ es una biyecciń,
o
entonces ||xφ(n) || = ||xn ||.)

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