1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
9 de Abril al 13 de Abril
TOPOLOG´ I
IA
Definici´n 1.38: Sean X y Y espacios m´tricos. f : X −→ Y es continua
o e
en x0 si dado ∈> 0, ∃δ > 0 tal que d(x, x0 ) < δ =⇒ d(f (x), f (x0 )) < .
En t´rminos de bolas:
e
f es continua en x0 si para > 0, ∃δ > 0 tal que f (Bδ (x0 )) ⊂ B (f (x0 ))
Definici´n 1.39: Sea X un espacio m´trico y x0 ∈ X. Se dice que V ⊂ X
o e
es vecindad de x0 si r > 0 tal que Br (x0 ) ⊂ V
Definici´n 1.40: Se dice que V es un conjunto abierto en X si V es ve-
o
cindad de todos sus puntos.
´
2. ESPACIOS TOPOLOGICOS
Notaci´n: X conjunto no vac´
o ıo
τ familia de subconjuntos de X
τ es una topolog´ para (de, en, sobre) X
ıa
Definici´n 2.1: τ es una topolog´ sobre X si:
o ıa
i) τ es una familia de subconjuntos de X
ii) φ ∈ τ y X ∈ τ
iii) Si τ es una parte de τ , entonces A∈τ A, es un conjunto que pertenece
aτ
iv) Si τ es una parte finita de τ , entonces A∈τ A, tambi´n es un con-
e
junto que pertenece a τ
Traduciendo los dos ultimos incisos:
´
1

2. iii) τ ⊂ τ =⇒ τ ∈τ
iv) τ ⊂ τ =⇒ τ ∈ τ con τ finita.
Definici´n 2.2: Sea X = φ un conjunto.
o
Si τ ⊂ 2X = P (X), entonces τ es una topolog´ en X si:
ıa
i) φ ∈ τ y X ∈ τ
ii) τ ⊂ τ =⇒ τ ∈ τ
iii) τ ⊂ τ =⇒ τ ∈ τ con τ finita.
Definici´n 2.3: Sean X = φ y τ ⊂ 2X una topolog´ de X. Se dice que
o ıa
(X, τ ) es un espacio topol´gico.
o
Observaciones:
a) X = φ admite topolog´
ıas
Ejemplo: τ = {φ, X} es una topolog´ para X.
ıa
Verifiquemos que τ cumple las tres propiedades de la definici´n de topo-
o
log´
ıa:
i) φ ∈ τ y X ∈ τ . Es obvio por definici´n de τ
o
ii) φ ∪ X = X, φ ∪ φ = φ, X ∪ X = X. Por lo tanto τ ∈ τ , ∀τ ⊂ τ
iii) φ ∩ φ = φ, φ ∩ X = φ, X ∩ X = X. Por lo tanto τ ∈ τ , ∀τ ⊂ τ con
τ finita.
As´ τ = {φ, X} es una topolog´ sobre X llamada topolog´a concreta
ı ıa ı
o topolog´ de Sierpinski o topolog´ indiscreta.
ıa ´ ıa
b) {X, τ } con τ = {φ, X} se llama espacio concreto o espacio de Sier-
pinski ´ espacio indiscreto.
o
c) En general si A ∈ τ , decimos que A es un conjunto abierto.
TAREA 2.1
Proposici´n: Dado X = φ un conjunto. Sea τ = 2X ¿Es τ una topolog´
o ıa
sobre X?
Demostraci´n:
o
Verifiquemos las tres propiedades de la definici´n de topolog´
o ıa:
i) φ ∈ τ y X ∈ τ . Es obvio por definici´n de τ
o
ii) Sea τ ⊂ 2X , entonces τ = A∈τ A = {x ∈ X : x ∈ A para alg´n u
X
A∈τ }∈2
iii) Sean A, B ∈ 2X , luego A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A y x ∈ B} ∈ 2X
2

3. Por lo tanto τ = 2X es una topolog´ para X y la llamamos topolog´a discreta
ıa ı
TAREA 2.2
Proposici´n: Dado X = φ un conjunto. Sea τ = {A ⊂ X : Ac es finito,
o
o A = φ} ¿Es τ una topolog´ para X?
ıa
Demostraci´n: o
Verifiquemos las tres propiedades de la definici´n de topolog´
o ıa:
i) φ ∈ τ es obvio por definici´n de τ
o
X ∈ τ pues X c = φ es finito.
ii) Sea τ ⊂ τ , P.D. que ( τ )c es finito.
( τ )c = ( A∈τ A)c = A∈τ Ac el cual es finito.
iii) Sean A, B ∈ τ , es decir Ac es finito, y B c es finito.
Tenemos que: (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . Por lo tanto (A ∩ B)c es finito y
A ∩ B ∈ τ.
Por lo tanto τ es una topolog´ para X y la llamamos topolog´a cofinita
ıa ı
o topolog´ de complemento finito.
ıa
Definici´n 2.4: Sean X un conjunto no vac´ y α = {F : F ⊂ 2X } una
o ıo
clase de familias, decimos que α est´ parcialmente ordenado por inclusi´n.
a o
Observaciones:
a) La familia de topolog´ forma una ret´
ıas ıcula.
b)TAREA 2.3 Si X es un conjunto y {τµ }µ∈M es la familia de todas las
topolog´ de X, entonces ({τµ }µ∈M , ⊂) es una ret´
ıas ıcula completa.
Demostraci´n:
o
Sean µ, υ, σ en M . Entonces:
i) τµ ⊂ τµ
ii) τµ ⊂ τυ y τυ ⊂ τµ =⇒ τµ = τυ
iii) τµ ⊂ τυ y τυ ⊂ τσ =⇒ τµ ⊂ τσ
Por lo tanto ({τµ }µ∈M , ⊂) es un conjunto parcialmente ordenado.
Si N ⊂ M probaremos que existe τ = inf {τµ }µ∈N .
En efecto, sea τ = µ∈N τµ , si {Ai }i∈I ⊂ τ entonces {Ai }i∈I ⊂ τµ para
toda µ ∈ N
As´ i∈I Ai ∈ τµ , por lo tanto i∈I Ai ∈ µ∈N τµ
ı
Si I es finito entonces I∈I Ai ∈ τµ para toda µ ∈ N
As´ i∈i Ai ∈ τ = µ∈N τµ por lo tanto τ es una topolog´
ı ıa.
3

4. Para toda µ ∈ N , τ ⊂ τµ y, si σ es una topolog´ de X tal que, para toda
ıa
µ ∈ N , σ ⊂ τµ , entonces σ ⊂ τ
Por lo tanto τ = inf {τµ }µ∈N .
Para el caso del supremo, consideramos todas las topolog´ que contie-
ıas
nen a la uni´n y las intersecamos.
o
Por lo tanto ({τµ }µ∈M , ⊂) es una ret´
ıcula completa.
Definici´n 2.5: Si τ1 y τ2 son dos topolog´ sobre un conjunto X, se dice
o ıas
que τ1 es m´s fina que τ2 si τ1 ⊂ τ2
a
4