Analisis funcional expo

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO
ABAD DEL CUSCO
ESCUELA DE POST-GRADO
MAESTR´ EN MATEMATICAS
IA ´
CONVERGENCIA DEBIL Y FUERTE
Curso: An´lisis Funcional
a
Alumnos: Luis Alberto Heredia Yapura
Guido Gutierrez Mamani
Eduardo Llocallasi Zamata
Ariel Luis Huancachoque Cosio
Nestor Rodrigo Loayza Rojas
Percy Villavicencio Suna
Docente: Alejandro Ttito Ttica
´
QOSQO-PERU
AGOSTO-2010

2. 0.1. Covergencia Fuerte
Definici´n 0.1.1 (Covergencia fuerte). Sea (xn ) una suceci´n de vectores
o o
en un espacio producto interno X. Se dice que (xn ) converge fuertemente a
un vector x en X, xn − x → 0 cuando n → ∞.
ım xn − x = 0 o l´ xn = x o simplemente xn → x.
Equivalentemente, l´ ım
n→∞ n→∞
Definici´n 0.1.2 (Convergencia d´bil). Sea (xn ) una sucesi´n de vectores
o e o
en un espacio producto interno X. Se dice que xn converge d´bilmente a un
e
vector x en X, si xn , y → x, y ; ∀y ∈ X cuando n → ∞.
Teorema 0.1.3. Sea (xn ) una sucesi´n en un espacio producto interno X. Si
o
(xn ) converge fuertemente, entonces converge d´bilmente; es decir, xn → x
e
w
implica xn → x.
Demostraci´n. Hip´tesis: (xn ) converge fuertemente. Tesis: (xn ) converge
o o
d´bilmente.
e
En efecto,
(xn ) converge fuertemente, esto es, xn − x → 0 cuando n → ∞ · · · (Por
hip´tesis)
o
por la desigualdad de Schwartz, se tiene:
| xn − x, y | ≤ xn − x y →0
2

3. 0 ≤ l´ | xn − x, y | ≤ 0
ım
n→∞
0 ≤ | l´
ım xn − x, y | ≤ 0
n→∞
| l´
ım xn − x, y | = 0 ⇔ l´
ım xn − x, y = 0
n→∞ n→∞
Por lo tanto
l´
ım xn , y = x, y
n→∞
w
esto prueba que xn − x cuando n → ∞.
→
Para cualquier y fijo en un espacio producto interno X, la aplicaci´n
o
∗, y : X → C, ∀y ∈ X,
es una funcional continua.
En efecto, demostremos que ∗, y es lineal.
i)
Teorema 0.1.4. Sea xn una sucesi´n en un espacio producto interno X. Si
o
w
xn → x y xn → x entonces xn → x
Demostraci´n. Por definici´n de convergencia d´bil: xn , y → x, y cuando
o o e
n → ∞, ∀y ∈ X
Particularizando y = x
2
xn , x → x, x = x
3

4. consideremos:
2
xn − x = xn − x, xn − x
= xn , xn − xn , x − x, xn + x, x
2 2
= xn − ( xn , x + xn , x ) + x
2 2
= xn − 2 Re xn , x + x
donde:
2 2 2 2
xn − 2 Re xn , x + x → x − 2 Re x, x + x
2 2 2
= x −2 x + x =0
Por lo tanto
2
xn − x →0
xn − x → 0, n → ∞
Por consiguiente, (xn ) comverge fuertemente a x.
Teorema 0.1.5. Sea S un subconjunto de un espacio producto interno X tal
que el espacio generado por S (spS) es denso en X. Si (xn ) es una sucesi´n
o
acotada en X y
xn , y → x, y para todo y ∈ S
4

5. w
entonces xn → x.
Prueba.
Si xn , y → x, y para todo y ∈ S entonces xn , y → x, y para todo
y ∈ spS. Sean z ∈ X y un n´mero positivo arbitrario.
u
Como spS es denso en X, existe un y0 ∈ spS tal que
z − y0 < 3 M , donde M es una constante positiva tal que x ≤ M y
xn ≤ M para todo n ∈ N.
Desde que xn , y → x, y para todo y ∈ spS, existe n0 ∈ N tal que
| xn , y0 − x, y0 | < , para todo n > n0 .
3
Consecuentemente, para cualquier n > n0 , se tiene
| xn , z − x, z | = | xn , z + xn , y0 − xn , y0 + x, y0 − x, y0 − x, z |
≤ | xn , z − xn , y0 | + | xn , y0 − x, y0 |
+| x, y0 − x, z |
< xn + x y0 − z
z − y0 +
3
< M( )+ +M ( )= .
3M 3 3M
w
Como z y son arbitrarios, concluimos que xn → x.
5