1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
26 de Marzo a 30 de Marzo
TOPOLOG´ I
IA
Definici´n 1.33: Sean X un espacio m´trico y A ⊂ X, A es abierto si para
o e
cada X ∈ A, ∃ Br (x).
FUNCIONES INDUCIDAS
f : X → Y induce:
f ∗ : 2x → 2y
f ∗ (A) = {y ∈ Y : ∃ x ∈ A tal que f (x) = y} (Imagen de A bajo f )
f∗ : 2y → 2x
f∗ (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} (Preimagen de B bajo f ) f∗ : 2y → 2x
f∗ (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} (Preimagen de B bajo f )
Definici´n 1.34: Si limn→∞ f (xn ) = f (limn→∞ xn ) decimos que f es conti-
o
nua en x = limn→∞ xn .
∀ > 0 ∃ δ > 0 tal que dx (x, xn ) < δ ⇒ dy (f (xn ), f (x)) <
ie: ∀ > 0 ∃ δ > 0 tal que dx (x, x ) < δ ⇒ dy (f (x), f (x )) <
En t´rminos de bolas queda: ∀ B (f (x)) ∃ Bδ (x) tal que f (Bδ (x)) ⊂
e
B (f (x)).
Definici´n 1.35: f : X → Y es continua en X si f es continua en cada
o
punto de X.
Teorema: Sean X y Y espacios m´tricos, si f : A → Y continua y A ⊂ X
e
compacto, entonces f (A) es compacto.
Demostraci´n:
o
1

2. Sea (yn ) una sucesi´n en f (A)
o
⇒ ∃ (xn ) ∈ A tal que f (xn ) = yn
como A ⊂ X es compacto ⇒ ∃ (xϕ(n) ) subsucesi´n de (xn ) tal que xϕ(n)
o
converge a un punto x ∈ A
y como f es continua limn→∞ f (xϕ(n) ) = f (limn→∞ xϕ(n) ) =f (x)
Por lo tanto (yn ) tiene un punto de acumulaci´n de f (A)
o
ie: f (A) es compacto.
Teorema: Sean X y Y espacios m´tricos, si X es compacto, f : X → Y
e
continua y 1 : 1, entonces f es un homeomorfismo entre X y f (x) es decir;
X ∼ f (x).
=
Definici´n 1.16: Sean X y Y espacios m´tricos, f : X → Y , f es conti-
o e
nua en X si ∀x ∈ X, ∀ > 0 ∃ δx > 0 tal que d(x, x ) < δ ⇒ d(f (x), f (x )) <
Definici´n 1.17: Sean X y Y espacios m´tricos, f : X → Y , f es uni-
o e
formemente continua si ∀x ∈ X, ∀x ∈ X, ∀ > 0 ∃ δ > 0 tal que d(x, x ) <
δ ⇒ d(f (x), f (x )) <
Teorema: Sean X y Y espacios m´tricos, f : X → Y continua, y X com-
e
pacto, entonces f es uniformemente continua.
Demostraci´n: o
X compacto ⇒ ∀ {Ui }i∈I cubierta abierta, ∃ n´mero de Lebesgue de
u
{Ui }i∈I , es n´mero de Lebesgue de la cubierta si ∀x ∈ X, B (X) ⊂ Ui0
u
para alg´n i0 ∈ I.
u
Como f es continua se cumple que para x ∈ X, para > 0 ∃ B(x) tal
que f (B(x)) ⊂ B (f (x)).
{B(x)}x∈X es una cubierta abierta de X.
Como X es compacto tiene un n´mero de Lebesgue, es decir; ∃ δ =n´mero
u u
de Lebesgue {B(x)}
d(x, x ) < δ ⇒ Bδ (x)⊂ B(x) ⇒ f (Bδ ) ⊂ B (f (x))
d(x, x ) < δ⇒ d(f (x), f (x )) <
ie: f es uniformemente continua.
Teorema: Sea X espacio m´trico, A ⊂ X denso, Y espacio m´trico comple-
e e
to, y f : A → Y uniformemente continua, esto implica que ∃1 f : X → Y tal
que f = f (x) ∀x ∈ A.
f es uniformemente continua en X.
Demostraci´n:
o
2

3. Definimos: f : X → Y como:
f (x), si x ∈ A
f=
y0 , si x ∈ XA
1. Probaremos que la funci´n est´ bien definida.
o a
Sea (xn ) otra sucesi´n tal que xn − → → x
o n− −
−∞
d(xn , xn ) ≤ d(xn , x) + d(x, xn )
δ δ
d(xn , xn ) < 2 + 2 = δ
d(f (xn ), f (xn )) <
limn→∞ f (xn ) = y0
2. Q.P.Q. Si d(x, x ) < δ⇒ d(f (x), f (x )) <
f (x) = limn→∞ f (xn ) con xn ∈ A y xn → x
f (x ) = limn→∞ f (xn ) con xn → x
d(f (x), f (x )) ≤ d(f (x), f (xn ))+d(f (xn ), f (xn ))+d(f (xn ), f (x ))
d(f (x), f (x )) ≤ 3 + 3 + 3 = 3 = 3
luego, f (x) : limxn →x f (xn )
Por lo tanto es unica.
´
3