2. Ejemplo
Resolver la ecuación hallando un factor de integración
𝑦𝑑𝑥 + coth 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0
La ecuación no es exacta
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦, 𝑁 𝑥, 𝑦 = coth 𝑥 − 𝑦 − 𝑦
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 1,
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= −𝑐𝑜𝑠𝑐ℎ2
𝑥 − 𝑦
Buscamos un factor de integración de la forma
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥 − 𝑦 = 𝑢 𝑧 , 𝑧 = 𝑥 − 𝑦
Por criterio de exactitud
𝜕(𝑢𝑀)
𝜕𝑦
=
𝜕(𝑢𝑁)
𝜕𝑥
3. 𝑢 𝑧
𝜕𝑀
𝜕𝑦
+ 𝑀𝑢′ 𝑧 −1 = 𝑢
𝜕𝑁
𝜕𝑥
+ 𝑁𝑢′ 𝑧 (1)
𝑢 𝑧 − 𝑦 𝑢′ 𝑧 = −𝑢 cosch2 𝑥 − 𝑦 + 𝑢′(coth 𝑥 − 𝑦 − 𝑦)
Operando se tiene
cosh 𝑧
sinh 𝑧
=
𝑢′
𝑢
⟹ 𝑢 = sinh 𝑥 − 𝑦
Multiplicando en la ecuación inicial se tiene la ecuación exacta
sinh 𝑥 − 𝑦 𝑦𝑑𝑥 + sinh 𝑥 − 𝑦 coth 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0
sinh 𝑥 − 𝑦 𝑦𝑑𝑥 + cosh 𝑥 − 𝑦 − sinh 𝑥 − 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Existe una función 𝐹(𝑥, 𝑦) tal que
(1)
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= sinh 𝑥 − 𝑦 𝑦, 2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= cosh 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 sinh 𝑥 − 𝑦
4. Integrando en (1) con respecto a 𝑥 se tiene
𝐹 𝑥, 𝑦 = න 𝑦 sinh 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑐(𝑦)
𝐹 𝑥. 𝑦 = 𝑦 cosh 𝑥 − 𝑦 + 𝑐(𝑦)
Derivando con respecto a 𝑦 se tiene
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −𝑦 sinh 𝑥 − 𝑦 + cosh 𝑥 − 𝑦 + 𝑐′
(𝑦)
cosh 𝑥 − 𝑦 − 𝑦 sinh 𝑥 − 𝑦 = −𝑦 sinh 𝑥 − 𝑦 + cosh 𝑥 − 𝑦 + 𝑐′
(𝑦)
⟹ 𝑐′ 𝑦 = 0 ⟹ 𝑐 𝑦 = 𝑘
La solución general es
𝑦 cosh 𝑥 − 𝑦 = 𝐾
5. Trayectorias ortogonales
Sea F 𝑥, 𝑦, 𝑐 una familia uniparamétrica
de curvas solución de la ecuación
diferencial
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Queremos hallar otra familia de curvas
𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑐) que sea perpendicular a la
familia dada.
6. Procedimiento
• Sea la familia de curvas 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑐 = 0
• Calculamos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
que representa la pendiente 𝑚1 de la familia de curvas dada por
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑐 , obteniendo la ecuación diferencial
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑀 𝑥, 𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦
= 𝑚1
• Usando propiedad de perpendicularidad, se tiene 𝑚2 que representa la
pendiente de la familia de curvas ortogonal que queremos hallar.
𝑚2 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑀(𝑥, 𝑦)
⟹ 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
• Resolviendo esta ecuación se obtiene la ecuación de la familia ortogonal
𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑘 = 0
7. Ejemplo
Hallar las curvas ortogonales de
𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 𝑐2
Desarrollando se tiene
𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑐𝑥 ⟹
𝑥2 + 𝑦2
2𝑥
= 𝑐
Derivando con respecto a 𝑥 se tiene
2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑐 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐 − 𝑥
𝑦
⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2 − 𝑥2
2𝑥𝑦
La ecuación de la familia ortogonal es
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥𝑦
𝑥2 − 𝑦2
Esta es una ecuación homogénea, se resuelve haciendo 𝑦 = 𝑣𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣.
Reemplazando en la ecuación se tiene.
9. Crecimiento de poblaciones
Consideremos una población P(t). La población puede ser la
población de un país, el número de bacterias en un
experimento de laboratorio, la población de un insecto
especialmente insidioso que ataca a una cosecha, etc.
Consideremos
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= tasa de cambio de la población
1
𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= tasa de crecimiento
Asumiendo que la tasa de crecimiento es constante se tiene
1
𝑃
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘 ⟺
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃
Esta es una ecuación con variable separable, resolviendo se tiene
𝑃 𝑡 = 𝐶𝑒𝑘𝑡, 𝐶 constante
Asumiendo conocida la población inicial 𝑃 0 = 𝑃0, se tiene
𝑃 𝑡 = 𝑃0𝑒𝑘𝑡
10. Gráfica que nos permite
apreciar el comportamiento
de la población en
cualquier tiempo t.
11. Ejemplo
Si la razón de crecimiento de un cultivo de bacterias es
proporcional al número de bacterias existente, y
después de un día es 1.1 veces la cantidad original. ¿en
qué intervalo de tiempo el número de bacterias se
duplica?
Según la ley de crecimiento se tiene
𝑃 𝑡 = 𝑃(0)𝑒𝑘𝑡
Se tiene además
𝑃 1 = 1.1𝑃(0)
Es decir
1.1𝑃 0 = 𝑃 0 𝑒𝑘 ⟹ 1.1 = 𝑒𝑘 ⟹ 𝑘 = ln(1.1)
𝑃 𝑡 = 2𝑃 0 ⟹ 2𝑃 0 = 𝑃 0 𝑒(ln 1.1 )𝑡
⟹ 𝑡 =
ln 2
ln 1.1
≈ 7.27
12. En este tipo de problemas se ignora la circulación y otros
efectos. La ley de enfriamiento de Newton establece que: La
tasa de cambio de la temperatura de la superficie de un objeto
es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y
la temperatura del medio que lo rodea.
En representación algebraica se tiene
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘 𝑇 − 𝑄𝑎 (2)
Donde
T: es la temperatura del objeto
𝑄𝑎: es la temperatura del medio ambiente
La ecuación (2) representa exactamente las dos situaciones que
se pueden dar: enfriamiento y calentamiento.
Resolviendo la ecuación (2) tenemos la temperatura del objeto
Enfriamiento térmico
13. 𝑑𝑇
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑇 = 𝑘𝑄0
𝑇 𝑡 = 𝑄𝑎 + 𝐶𝑒−𝑘𝑡
Asumiendo que tenemos la temperatura
inicial 𝑇 0 = 𝑇0 se tiene
𝑇 𝑡 = 𝑄𝑎 + 𝑇0 − 𝑄𝑎 𝑒−𝑘𝑡
Ejemplo.
La temperatura de un motor en el
momento que se apaga es 200ºC. la
temperatura del aire que lo rodea es de
30ºC. Después de 10 minutos, la
temperatura del motor es de 180ºC.
¿Cuánto tiempo tomará que la
temperatura de la superficie del motor
baje a 40ºC?
14. Según los datos se tiene
• T(t): es la temperatura del motor
• Temperatura inicial 𝑇0 = 200
• Temperatura del medio ambiente, 𝑄𝑎 = 30
• Temperatura después de 10 minutos, 𝑇 10 = 180
• Se pide el valor de 𝑡, para el cual 𝑇 𝑡 = 40
Usando la ley de Newton se tiene
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘 𝑇 − 𝑄𝑎
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘 𝑇 − 30 ⟹
𝑑𝑇
𝑇 − 30
= −𝑘𝑑𝑡
ln 𝑇 − 30 = −𝑘𝑡 + 𝑐 ⟹ 𝑇 − 30 = 𝑒−𝑘𝑡+𝐶 ⟹ 𝑇 = 30 + 𝐶𝑒−𝑘𝑡
Usando que 𝑇0 = 200 se tiene
200 = 30 + 𝐶 ⟹ 𝐶 = 170
16. Problemas sobre mezclas
Consideremos Un tanque de volumen V, denotamos por 𝑄(𝑡) , la
cantidad de algún contaminante en un tanque de agua, que varía con el
tiempo. Se agregan porciones adicionales a esta cantidad, estas
porciones agregadas se llama flujo de entrada. Al mismo tiempo, parte
de esta cantidad se pierde, lo que se pierde se llama flujo de salida. La
pérdida puede deberse a la evaporación, el exceso, a una válvula
abierta o a los tres. En todos los casos se supone que la mezcla es
homogénea, es decir la concentración de contaminante es la misma en
todas las partes del tanque. El principio fundamental de la física de
conservación de la cantidad Q establece que la variación de Q es igual
a lo que entra menos lo que sale.
tiempo de
cambio de 𝑸
=
𝒅𝑸
𝒅𝒕
=
tasa de flujo de
entrada 𝒅𝒆 𝑸
−
tasa de flujo
de salida de 𝑸
17. Procedimiento
Dado el problema en registro de lenguaje natural se
procede a interpretar o hacer uso de una conversión al
registro figural icónico, para luego hacer otra conversión a
un registro algebraico.
Paso 1. Es útil dibujar un bosquejo de un tanque ilustrando
el flujo hacia adentro y hacia afuera con tuberías
Paso 2. Etiquetar las cantidades y observe los datos dados
Paso 3. Exprese la tasa de flujo de entrada y flujo de salida
en términos de las variables dadas y sustituidas en (3)
Paso 4. Resuelva la ecuación diferencial que resulta
Paso 5. Responder a la pregunta del problema.
18. Los problemas sobre mezclas pueden ser de dos tipos de volumen fijo o de volumen
variable.
𝑉 𝑡 = 𝑉0 + 𝑟𝑒 − 𝑟𝑠 𝑡
Donde
𝑉0: es el volumen inicial del tanque
𝑟𝑒: es la razón de entrada del líquido
𝑟𝑠: es la razón de salida del líquido
La ecuación diferencial que resulta en ambos casos es
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
tasa de flujo de
entrada 𝑑𝑒 𝑄
−
tasa de flujo
de salida de 𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
flujo de
volumen
de entrada
concentración
de entrada
contaminante
−
flujo de
volumen
de salida
concentración de
salida de
contaminante
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑟𝑒𝑐𝑒 − 𝑟𝑠
𝑄
𝑉0 + 𝑟𝑒 − 𝑟𝑠 𝑡
19. Ejemplo
Un lago con buena circulación
contiene 1000KL de agua
contaminada a una concentración
de 2kg/KL. Agua del desagüe de
una fábrica entra al lago a una
tasa de 5KL/h con una
concentración de 7kg/KL de
contaminante. El agua fluye por
una tubería de salida a una tasa
de 2 KL/h. Determine la cantidad y
la concentración de contaminante
como función del tiempo.
𝑉 = 1000𝐾𝐿
𝑐𝑖 = 2𝑘𝑔/𝐾𝐿
𝑟𝑒 = 5𝐾𝐿/ℎ
𝑐𝑒 = 7𝑘𝑔/𝐾𝐿
𝑟𝑠 = 2𝐾𝐿/ℎ
20. Se tiene la ecuación diferencial
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 5 7 − (2)
𝑄
1000 + 3𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
2𝑄
1000 + 3𝑡
= 35
Resolviendo la ecuación se tiene la cantidad y la concentración de
contaminante en el lago.
𝑄 𝑡 = 7 1000 + 3𝑡 − 500,000 1000 + 3𝑡 −
2
3
𝐶 𝑡 = 7 − 500,000 1000 + 3𝑡 −
5
3
21. Ejemplo
Se tienen dos tanques de 100 galones.
Inicialmente el tanque A está lleno de
agua salada con una concentración de
sal de 0.5 lib/gal. El tanque B está lleno
con agua pura. Agua pura entra al tanque
A a 2 gal/min. El agua sale bien mezclada
del tanque A a 2 gal/min y fluye hacia el
tanque B. También sale agua del tanque
B a 2 gal/min y fluye fuera del sistema (al
desagüe). Determine el sistema de
ecuaciones diferenciales para la cantidad
de sal en cada tanque, resuelva el
sistema.
Fuente: Campell (1998, p 373).
22. La representación algebraica
del sistema está dado por el
sistema de ecuaciones
൞
𝑥′ = −
1
50
𝑥
𝑦′ =
1
50
𝑥 −
1
50
𝑦
,
𝑥 0 = 50, 𝑦 0 = 0
Resolviendo el sistema se
obtiene
𝑥 = 50𝑒−𝑡/50, 𝑦 = 𝑡𝑒−𝑡/50
