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Ecuación diferencial UNMSM
- 1. Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES EAP: FÍSICA Resolver la ecuación diferencial 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 4𝑥𝑒 𝑥 , usando los métodos de coeficientes indeterminados, variación de parámetros y Laplace. Solución: Como vemos, la ecuación 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 0 ………. (∎) , viene a ser la ecuación diferencial asociada, que es una ecuación homogénea. La solución de la ecuación será: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 En dónde: 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + 𝑐3 𝑦3 (Por el teorema de la superposición) . Cálculo de 𝑦𝑐 Suponemos que: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 Entonces: 𝑦′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦′′ = 𝑟2 𝑒 𝑟𝑥 𝑦′′′ = 𝑟3 𝑒 𝑟𝑥 , Reemplazando: 𝑟3 𝑒 𝑟𝑥 − 𝑟2 𝑒 𝑟𝑥 − 𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 𝑒 𝑟𝑥 = 0 𝑒 𝑟𝑥( 𝑟3 − 𝑟2 − 𝑟 + 1) = 0 Como 𝑒 𝑟𝑥 ≠ 0 , entonces
- 2. ( 𝑟3 − 𝑟2 − 𝑟 + 1) = 0 (Ecuación característica) . Como 𝑟 = −1 es una raíz del polinomio 𝑃(𝑟) = 𝑟3 − 𝑟2 − 𝑟 + 1 , entonces ( 𝑟 + 1) Es un factor de 𝑃(𝑟) . Entonces: 𝑟3 − 𝑟2 − 𝑟 + 1 = ( 𝑟 + 1)( 𝑟 − 1)2 = 0 De aquí que las soluciones de la ecuación diferencial es 𝑦1 = 𝑒−𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝑥 , 𝑦3 = 𝑥𝑒 𝑥 .Comprobamos las soluciones en (∎) . . 𝑦1 = 𝑒−𝑥 Es solución de la ecuación diferencial, entonces 𝑦1 ′ = −𝑒−𝑥 , 𝑦1 ′′ = 𝑒−𝑥 , 𝑦1 ′′′ = −𝑒−𝑥 Reemplazando: 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 0 (−𝑒−𝑥 ) − ( 𝑒−𝑥) − (−𝑒−𝑥) + 𝑒−𝑥 = 0 0 = 0 .𝑦2 = 𝑒 𝑥 Es solución de la ecuación diferencial, entonces 𝑦2 ′ = 𝑒 𝑥 , 𝑦2 ′′ = 𝑒 𝑥 , 𝑦2 ′′′ = 𝑒 𝑥 Reemplazando: 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 0 (𝑒 𝑥 ) − ( 𝑒 𝑥) − ( 𝑒 𝑥 ) + 𝑒 𝑥 = 0 0 = 0 .𝑦3 = 𝑥𝑒 𝑥 Es solución de la ecuación diferencial, entonces 𝑦3 ′ = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑦3 ′′ = 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑦3 ′′′ = 3𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 Reemplazando: (3𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) − (2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) − ( 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ) + 𝑥𝑒 𝑥 = 0 0 = 0
- 3. Ahora comprobamos quelas soluciones 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 son linealmente independientes. Para eso utilizamos el Wronskiano: 𝑊( 𝑒−𝑥 , 𝑒 𝑥 , 𝑥𝑒 𝑥 ) = | 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 −𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 | = 4𝑥𝑒 𝑥 ≠ 0 Entonces las soluciones 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3 son linealmente independientes .Y el conjunto fundamental de soluciones viene a ser CFS { 𝑒−𝑥 , 𝑒 𝑥 , 𝑥𝑒 𝑥 } Y la solución complementaria tiene la forma: 𝑦 𝐶 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 .Comprobamos la solución 𝑦 𝐶 𝑦𝑐 ′ = −𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 𝑥 𝑦𝑐 ′′ = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 2𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 𝑥 𝑦𝑐 ′′′ = −𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 3𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 𝑥 .Reemplazando: (−𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 3𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 𝑥 ) − ( 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 2𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 𝑥) − (−𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 𝑥) +(𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 ) = 0 0 = 0 .Cálculo de 𝑦𝑝 (Método de variación de parámetros) 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 4𝑥𝑒 𝑥 𝑦𝑝 = 𝑥 𝑠[ 𝐴0 + 𝐴𝑥] 𝑒 𝑥
- 4. .Para 𝑠 = 0 → 𝐴0 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥𝑒 𝑥 No es L I con 𝑦𝑐 Para 𝑠 = 1 → 𝐴0 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 No es L I con 𝑦𝑐 Para 𝑠 = 2 → 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥 Es L I con 𝑦𝑐 .Entonces 𝑦𝑝 = 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥 𝑦𝑝 ′ = 2𝐴0 𝑒 𝑥 + 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 3𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥 𝑦𝑝 ′′ = 2𝐴0 𝑒 𝑥 + 4𝐴0 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 6𝐴1 𝑥𝑒 𝑥 + 6𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥 𝑦𝑝 ′′′ = 6𝐴0 𝑒 𝑥 + 6𝐴0 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 6𝐴1 𝑒 𝑥 + 18𝐴1 𝑥𝑒 𝑥 + 9𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥 .Reemplazando en 𝑦𝑝 : (6𝐴0 𝑒 𝑥 + 6𝐴0 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 6𝐴1 𝑒 𝑥 + 18𝐴1 𝑥𝑒 𝑥 + 9𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥) − (2𝐴0 𝑒 𝑥 + 4𝐴0 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 6𝐴1 𝑥𝑒 𝑥 + 6𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥) − (2𝐴0 𝑒 𝑥 + 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 3𝐴1 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥) + ( 𝐴0 𝑥2 𝑒 𝑥 + 𝐴1 𝑥3 𝑒 𝑥) = 4𝑥𝑒 𝑥 .Igualando coeficientes: 12𝐴1 = 4 → 𝐴1 = 1 3 4𝐴0 + 6𝐴1 = 0 → 𝐴0 = − 1 2 .Reemplazando los coeficientes, nos queda: 𝑦𝑝 = − 1 2 𝑥2 𝑒 𝑥 + 1 3 𝑥3 𝑒 𝑥 Y la solución general de nuestra ecuación diferencial es: 𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 − 1 2 𝑥2 𝑒 𝑥 + 1 3 𝑥3 𝑒 𝑥
- 5. Resolver la ecuación diferencial 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑦 = 4𝑥𝑒 𝑥 Habiendo obtenido la solución complementaria en el problema anterior: 𝑦 𝐶 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 .Cálculo de 𝑦𝑝 (Método de Variación de Parámetros) 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 { 𝑢1 ′ 𝑦1 + 𝑢2 ′ 𝑦2 + 𝑢3 ′ 𝑦3 = 0 𝑢1 ′ 𝑦1 ′ + 𝑢2 ′ 𝑦2 ′ + 𝑢3 ′ 𝑦3 ′ = 0 𝑢1 ′ 𝑦1 ′′ + 𝑢2 ′ 𝑦2 ′′ + 𝑢3 ′ 𝑦3 ′′ = 4𝑥𝑒−𝑥 .Determinamos la solución particular, para ellos determinamos el Wronskiano 𝑊( 𝑒−𝑥 , 𝑒 𝑥 , 𝑥𝑒 𝑥 ) = | 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 −𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 | = 4𝑒 𝑥 𝑊 = 4𝑒 𝑥 𝑤1 = [ 0 𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 0 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 4𝑥𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ] = 4𝑥𝑒2𝑥 𝑤2 = [ 𝑒−𝑥 0 𝑥𝑒 𝑥 −𝑒−𝑥 0 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑒−𝑥 4𝑥𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 ] = 4𝑥𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥) 𝑤3 = [ 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 0 −𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 0 𝑒−𝑥 𝑒 𝑥 4𝑥𝑒 𝑥 ] = 8𝑥𝑒 𝑥
- 6. De donde: 𝑢1 ′ = 𝑤1 𝑤 = 4𝑥𝑒 𝑥 4𝑒 𝑥 = 𝑥 𝑢2 ′ = 𝑤2 𝑤 = −4𝑥𝑒 𝑥 (1 + 2𝑥) 4𝑒 𝑥 = −𝑥(1 − 2𝑥) 𝑢3 ′ = 𝑤3 𝑤 = 8𝑥𝑒 𝑥 4𝑒 𝑥 = 2𝑥 . Integrando: 𝑢1 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 2 𝑢2 = −∫( 𝑥 + 2𝑥2) 𝑑𝑥 = − 𝑥2 2 − 2𝑥3 3 𝑢3 = ∫2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 . La solución particular toma la forma 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 . Luego la solución general de la ecuación diferencial es: 𝑦 = 𝐶1 𝑒−𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 − 1 2 𝑥2 𝑒 𝑥 + 1 3 𝑥3 𝑒 𝑥