Este documento presenta la solución a un ejercicio sobre similitud dinámica que involucra el escurrimiento de agua por debajo de una compuerta radial en un modelo a escala 1:20. Se utilizan parámetros adimensionales como el número de Froude y la relación de continuidad para determinar: a) la carga requerida en el modelo, b) el caudal y velocidad en el prototipo, y c) la fuerza dinámica en el prototipo basado en mediciones del modelo.

1. EJERCICIO 2 (SIMILITUD DINAMICA - MAYO 2017)
El escurrimiento de agua por debajo de una compuerta radial se estudia en un
modelo a escala 1:20.
Determinar:
a) La carga 𝐻 𝑚 que debe tener el modelo, si el prototipo 𝐻 𝑝 = 4 𝑚.
b) El gasto 𝑄 𝑃 y velocidad 𝑉𝑝 de la sección contraída en la compuerta del
prototipo, si durante la prueba se obtuvo 𝑄 𝑚 = 155 𝐿 𝑠⁄ y 𝑉𝑚 = 1,3 𝑚 𝑠⁄ .
c) La fuerza dinámica 𝐹𝑝 que produce el flujo sobre el prototipo, si en el modelo
se midió 𝐹𝑚 = 55𝑁.
Aplicar solamente parámetros adimensionales.
SOLUCION:
Usando el teorema PI de Buckingham encontraremos los parámetros
adimensionales adecuados para resolver este problema.
Como nos están solicitando la carga, velocidad, caudal y Fuerza vamos a calcular
los parámetros dimensionales adecuados para cada uno; para la carga con solo
la similitud geométrica tenemos para hallarlos.
Para la velocidad, el caudal y la fuerza podemos hallar los parámetros (y
números) adimensionales adecuados.
𝜋1 = 𝑓(𝑉, 𝑔, 𝐿)
𝜋2 = 𝑓(𝑄, 𝑉, 𝐿)
𝜋3 = 𝑓(𝐹, 𝜌, 𝑉, 𝐿)
Resolviendo cada número adimensional 𝜋 tenemos que:

2. Para 𝜋1, tenemos:
𝑉 = [ 𝑔] 𝑎[ 𝐿] 𝑏 → 𝐿𝑇−1 = [ 𝐿𝑇−2] 𝑎[ 𝐿] 𝑏
Por lo tanto:
Para 𝑇: −1 = −2𝑎 → 𝑎 =
1
2
Para 𝐿: 1 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑏 =
1
2
Sustituyendo valores tenemos:
𝑉 = [ 𝑔]
1
2[ 𝐿]
1
2 = √𝑔𝐿 →
𝑉
√ 𝑔𝐿
(𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑜𝑢𝑑𝑒)
Para 𝜋2, tenemos:
𝑄 = [ 𝑉] 𝑎[ 𝐿] 𝑏 → 𝐿3 𝑇−1 = [ 𝐿𝑇−1] 𝑎[ 𝐿] 𝑏
Por lo tanto:
Para 𝑇: −1 = −𝑎 → 𝑎 = 1
Para 𝐿: 3 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑏 = 2
Sustituyendo valores tenemos:
𝑄 = [ 𝑉]1[ 𝐿]2 = 𝑉𝐿2 →
𝑄
𝑉𝐿2 (𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑)
Para 𝜋3, tenemos:
𝐹 = [ 𝜌] 𝑎[ 𝐿] 𝑏[ 𝑉] 𝑐 → 𝑀𝐿𝑇−2 = [ 𝑀𝐿−3] 𝑎[ 𝐿] 𝑏[ 𝐿𝑇−1] 𝑐
Por lo tanto:
Para 𝑀: 1 = 𝑎 → 𝑎 = 1
Para 𝑇: −2 = −𝑐 → 𝑐 = 2
Para 𝐿: 1 = −3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 𝑏 = 2
Sustituyendo valores tenemos:
𝐹 = [ 𝜌]1[ 𝐿]2[ 𝑉]2 = 𝜌𝐿2 𝑉2 →
𝐹
𝜌𝐿2 𝑉2 (𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 𝐸 𝑢 =
∆𝑝
𝜌𝑉2)

3. De acuerdo al enunciado tenemos que la escala ( 𝜆) es de 20; por lo tanto su
relación geométrica de longitudes será:
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
= 𝜆 = 20
a. Por similitud geométrica la carga 𝐻 en (𝑚), se relaciona directamente la
relación de cargas con las relaciones de longitudes de la siguiente manera:
(
𝐻
𝐿
)
𝑝
= (
𝐻
𝐿
)
𝑚
→ 𝐻 𝑚 = 𝐻 𝑝 (
𝐿 𝑚
𝐿 𝑝
) = 𝐻 𝑚 (
1
𝜆
) = (4𝑚) (
1
20
) = 𝟎, 𝟐𝒎
b. De la ecuación de Froude despejamos 𝑉𝑝 y tenemos que:
(
𝑉
√ 𝑔𝐿
)
𝑝
= (
𝑉
√ 𝑔𝐿
)
𝑚
→ 𝑉𝑝 = 𝑉𝑚√(
𝑔 𝑝 𝐿 𝑝
𝑔 𝑚 𝐿 𝑚
)
Suponemos que la diferencia de la altitud donde se realizan las pruebas respecto
a donde va a trabajar el prototipo es insignificante, e puede decir que 𝑔 𝑝 = 𝑔 𝑚,
por lo tanto la ecuación se transforma en:
𝑉𝑝 = 𝑉𝑚√
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
= 𝑉𝑚√𝜆 = 𝑉𝑚√20 = (1,3 𝑚 𝑠⁄ )√20 = 𝟓, 𝟖𝟏 𝒎 𝒔⁄
Ahora bien, el caudal se relaciona con la velocidad de acuerdo con la ecuación
de continuidad de la siguiente manera:
𝑄 = 𝑉𝐿2 → (
𝑄
𝑉𝐿2
)
𝑝
= (
𝑄
𝑉𝐿2
)
𝑚
𝑄 𝑝 = 𝑄 𝑚 (
𝑉𝑝 𝐿2
𝑝
𝑉𝑚 𝐿2
𝑚
) = 𝑄 𝑚
(
𝑉𝑚√
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
𝑉𝑚
)
(
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
)
2
= 𝑄 𝑚 (
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
)
5
2
Reemplazando valores tenemos:
𝑄 𝑝 = (155
𝐿
𝑠
) (20)
5
2 = 𝟐𝟕𝟕𝟐𝟕𝟐,𝟓
𝑳
𝒔
c. Usando la relación de Euler, podemos hallar la relación entre las fuerzas
dinámicas entre el prototipo y el modelo.
(
𝐹
𝜌𝑉2 𝐿2
)
𝑝
= (
𝐹
𝜌𝑉2 𝐿2
)
𝑚

4. Despejando 𝐹𝑝, y sabiendo que 𝜌𝑝 = 𝜌 𝑚 tenemos:
𝐹𝑝 = 𝐹𝑚 (
𝜌𝑝
𝜌 𝑚
)(
𝑉𝑝
𝑉𝑚
)
2
(
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
)
2
= 𝐹𝑚 (
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
)(
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
)
2
= 𝐹𝑚 (
𝐿 𝑝
𝐿 𝑚
)
3
= (55𝑁)(20)3 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝑵