Este documento describe las aplicaciones de las matemáticas en el estudio del crecimiento de microorganismos. Explica conceptos clave como curva de crecimiento, fases de crecimiento (lag, exponencial, estacionaria y muerte), y cómo factores ambientales afectan el crecimiento. También presenta modelos matemáticos de nivel primario, secundario y terciario que pueden usarse para predecir el comportamiento microbiano bajo diferentes condiciones. El documento demuestra cómo las matemáticas brindan una comprensión cuantitat

1. APLICACIONES MATEMÁTICAS EN EL CRECIMIENTO DE
MICROORGANISMOS
CAROLINA MUÑÓZ PÉREZ
DANIEL RONDÓN CÓRDOBA
ERIKA VARGAS ALZATE
VALENTINA ARBOLEDA FORERO
TRABAJO ESCRITO
PROFESOR
GUSTAVO ADOLFO MUÑOZ MOLINA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
ESCUELA DE MICROBIOLOGÍA
MICROBIOLOGÍA Y BIOANÁLISIS
MEDELLÍN, ANTIOQUIA
2020

2. CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN.....................................................................................................3
OBJETIVOS.............................................................................................................4
OBJETIVO GENERAL..........................................................................................................................4
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................................................4
1. ANTECEDENTES................................................................................................5
2. CRECIMIENTO MICROBIANO............................................................................6
2.1. CRECIMIENTO............................................................................................................................6
2.2. CURVA DE CRECIMIENTO..........................................................................................................9
2.3. FASES DE CRECIMIENTO............................................................................................................9
2.4. CRECIMIENTO EXPONENCIAL................................................................................................. 10
2.5. TIEMPO DE GENERACIÓN ...................................................................................................... 11
2.6. FACTORES QUE MODIFICAN EL CRECIMIENTO...................................................................... 12
3. MODELOS DE CRECIMIENTO MICROBIANO.................................................14
3.1. MODELOS DE NIVEL PRIMARIO.............................................................................................. 14
3.2. MODELOS DE NIVEL SECUNDARIO......................................................................................... 14
3.3. MODELOS DE NIVEL TERCIARIO............................................................................................. 15
CONCLUSIONES ..................................................................................................16
BIBLIOGRAFÍA......................................................................................................17

3. 3
INTRODUCCIÓN
Los microorganismos como seres vivos que son, necesitan condiciones
adecuadas de temperatura, humedad y presencia de nutrientes para desarrollarse.
La comprensión de cómo influye el ambiente sobre el crecimiento nos ayuda a
explicar la distribución de los microorganismos en la naturaleza y hace posible
diseñar estrategias que favorezcan el crecimiento o que nos permita controlarlo.
La microbiología predictiva es un concepto naciente en los años 20 y mencionada
en los estudios como los llevados a cabo por científicos como Esty y Meyer que
aplicaron dicho término en enlatados de alimentos para prevenir la aparición de
bacterias. En las últimas décadas, para el estudio de la microbiología, se han
incluido como herramientas de análisis el uso de la matemática y la estadística;
tales conocimientos se combinan para desarrollar ecuaciones matemáticas que
describan la evolución de los microorganismos y para ilustrarlos existe una gran
variedad de estudios aplicados en diferentes matrices.
Es decir que a través de la cuantificación y la comprensión del impacto de estos
factores en el comportamiento de los microorganismos, es posible generar
modelos efectivos que estimen el comportamiento microbiano en un rango amplio
de productos. Los modelos matemáticos incluyen ecuaciones de diversos tipos
como las polinómicas, logarítmicas, exponenciales, y diferenciales, que se
clasifican en modelos primarios, secundarios o terciarios; los cuales después de
ser consolidados y aplicados, logran unas predicciones robustas y seguras sobre
el comportamiento de los microorganismos, por ejemplo, en el campo de la
industria alimentaria.1
1 YARCE, Cristhian J. Microbiología predictiva: una ciencia en auge. Cali: Revista Inge@uan, 2013. Vol. 3. No.
6. 31-43 p.

4. 4
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Comprender cómo las aplicaciones matemáticas brindan información cuantitativa
en cuanto al crecimiento de microorganismos, facilitando la obtención de datos
para evaluar el tiempo de crecimiento y características de un organismo en
condiciones específicas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Reconocer la importancia de la microbiología predictiva como herramienta útil para
conocer el comportamiento de los microorganismos en diferentes condiciones.
Comprender diferentes conceptos acerca del crecimiento de los microorganismos,
su modo de replicación, su ciclo de vida y aquellos factores que les afectan para
su correcto funcionamiento.
Identificar diferentes expresiones matemáticas que favorecen y facilitan la
obtención de datos cuantitativos en el crecimiento microbiano.
Entender las diferentes aplicaciones de las matemáticas en el ámbito de la
microbiología.

5. 5
1. ANTECEDENTES
El concepto de microbiología predictiva está próximo a cumplir 100 años, ya que
se pueden encontrar referencias al uso de tal herramienta en la literatura de los
años 20, cuando Esty y Meyer establecieron la metodología predictiva para un
enlatado seguro de alimentos bajos en acidez para prevenir la aparición de
Clostridium Botulinum (Yarce, 2013).
El término con el cual se le conoce es microbiología predictiva, definida
científicamente, como el campo de estudio que combina elementos de la
microbiología, matemáticas y estadística para desarrollar modelos que además de
describir, también predigan matemáticamente el crecimiento o muerte de
microorganismos cuando se ven sometidos a factores específicos como: pH,
Temperatura (T), actividad de agua (aw), entre otros.2
Según Yarce (2013) años después, en 1930, Scott escribió sobre la industria de la
carne de buey y cómo se afectaba la población microbiana en estos alimentos
cuando se aumentaba la temperatura. Para la década de los sesenta, la
microbiología predictiva logro grandes avances en diferentes campos, se dieron
innovaciones en: el control de procesos en la industria del pescado y la prevención
del botulismo y otras intoxicaciones microbianas. En la década de los 80, la
microbiología predictiva, despertó un nuevo interés, debido a algunos factores
tanto científicos como sociales, tales como: el desarrollo de la informática, la alta
demanda de alimentos con mejores procesos de higiene y seguridad y la
restricción tanto científica como económica, de tener la información cuantitativa
microbiológica de diversos procesos industriales y de salud.3
Siguiendo esta línea de desarrollos, vale la pena mencionar, que uno de los
aspectos fundamentales que ha contribuido al rápido progreso de la microbiología
predictiva en los últimos años ha sido la identificación de modelos que describen
las curvas del crecimiento bacteriano ejemplificada por los llamados modelos
cinéticos, los cuales bajo condiciones ambientales determinadas, describen curvas
sigmoideas mediante parámetros con significado biológico para los
microorganismos como la duración de la fase de latencia , la velocidad máxima de
crecimiento, la densidad máxima de población, entre otros.
2 YARCE, Cristhian J. Microbiología predictiva: una ciencia en auge. Cali: Revista Inge@uan, 2013. Vol. 3. No.
6. 31-43 p.
3 Ibíd.

6. 6
2. CRECIMIENTO MICROBIANO
2.1. CRECIMIENTO
En microbiología, el crecimiento microbiano se considera como el aumento de los
constituyentes celulares. Los organismos que se multiplican por fisión binaria o
gemación producen un aumento del número de las células.4
En bacterias, la síntesis regulada de
todos los constituyentes de una
célula bacteriana produce primero
un aumento de su masa y luego,
cuando ésta ha sido duplicada,
produce entonces la división de la
bacteria por el mecanismo de fisión
binaria, un tipo de reproducción
asexual. De esta manera se
originan dos bacterias hijas de las
que puede decirse que, en términos
generales, son iguales entre sí e
iguales a la bacteria parental que
les dio origen.
El intervalo que transcurre en la
formación de dos células a partir de
una célula se llama generación (G)
o tiempo de duplicación, este se
define como el tiempo que tarda una
población en duplicarse. Los tiempos de generación varían ampliamente entre los
microorganismos, algunos crecen rápidamente y presentan tiempos de generación
de unos 30 minutos y otros tienen tiempos de generación de varias horas o incluso
días.5
Cada una de las bacterias hijas repetirá el ciclo de la bacteria parental y se
originarán 4 bacterias, aumentando el número de ellas, es decir de la población
bacteriana, en progresión geométrica (Figura 1).
4 CERRA, Héctor, et al. Manual de Microbiología Aplicada a las Industrias Farmacéutica, Cosmética y de
Productos Médicos. Buenos Aires: Subcomisión de Buenas Prácticas, 2013. 544 p. ISBN 978-987-26716-3-1
5 PEDRIQUE DE AULACIO, Magaly y DE CASTRO, Norma. Reproducción y crecimiento microbiano. Cátedra
de Microbiología - Facultad de Farmacia. UCV Noviembre 2001. Revisión 2008. [En línea] Disponible en:
https://bit.ly/3fJq2Cn.
Figura 1. Fisión binaria en bacterias.

7. 7
Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión en la que
cada término an se obtiene multiplicando al término anterior an-1 por un
número r llamado razón.6
Razón
La razón se calcula dividiendo términos consecutivos:
Término General
El término general de una sucesión geométrica se calcula a partir del primer
término a1 y de la razón r:
Suma de Términos
Para sumar los primeros n términos de una progresión geométrica disponemos de
la siguiente fórmula:
Donde:
an: término enésimo.
a1: término inicial.
r: razón.
n: número de términos.
s: cantidad total de términos.
6 MATEMÁTICAS FÁCILES. Blog en construcción. [En línea]. 2018. [citado 10-agosto-2020]. Disponible en
internet: https://bit.ly/3gMsXM9

8. 8
Ejercicio
Cierto tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. ¿Cuántas
bacterias habrá después de 6 horas? ¿Cuál será la cantidad total de bacterias
desde su primera división?
Para la primera parte del problema tenemos que:
an: número de bacterias al cabo de n cuartos de hora.
6 horas: 24 cuartos de hora.
a0: 1, a1: 2, a2: 4, a3: 8, a4: 16, a24: ?
a) Usamos el término general an, de una progresión geométrica:
Para hallar la razón:
r: 4/2: 2; 8/4: 2; 16/8:2. Concluimos que es una progresión geométrica
de razón 2 (r = 2).
Usamos la fórmula para hallar el término 24 que es el que nos interesa:
a24 = 2 x 2
24-1 podemos simplificar y nos queda que: an= 2n
a24= 2
24 = 16777216
Por lo tanto, al cabo de 6 horas habrá 16.777.216 bacterias, lo que nos demuestra
que se da un crecimiento exponencial.
b) Falta resolver la siguiente parte del problema usando la fórmula de número
total de términos Sn:
Sn= 2 (224-1) / 2-1 = 33554430
Por lo tanto, al cabo de 6 horas habrá 33.554.430 bacterias totales desde la
primera división, lo que nos demuestra que se da un crecimiento exponencial.

9. 9
2.2. CURVA DE CRECIMIENTO
Es la representación gráfica del logaritmo del número de células en función del
tiempo. Cuando una célula bacteriana se encuentra en un medio ambiente en el
que puede sintetizar en forma regulada todos sus constituyentes, se observa
primero un crecimiento individual, es decir, un aumento de su masa y de su
volumen, y luego un crecimiento de la población debido a sucesivas divisiones
celulares. La masa aumenta continuamente, mientras que el número de bacterias
se duplica a intervalos de tiempo regulares.7
La curva teórica sería una recta si los microorganismos estuvieran creciendo
constantemente, pero en la práctica la curva presenta distintas fases (Figura 2).
2.3. FASES DE CRECIMIENTO
Fase de adaptación o fase lag o fase de retardo: durante esta etapa el
metabolismo de las bacterias inoculadas se adapta a las nuevas condiciones de
cultivo. Si bien las bacterias son activas metabólicamente, no se observa aumento
del número. La duración de esta fase es variable, puede ser muy corta o estar
incluso ausente cuando las bacterias están capacitadas para utilizar
inmediatamente los nutrientes del medio en el que se encuentra, o por otro lado,
puede ser relativamente larga cuando los microorganismos tienen ciertas
deficiencias o el medio es diferente a aquel del que provienen.
7 CERRA, Héctor, et al. Manual de Microbiología Aplicada a las Industrias Farmacéutica, Cosmética y de
Productos Médicos. Buenos Aires: Subcomisión de Buenas Prácticas, 2013. 544 p. ISBN 978-987-26716-3-1
Figura 2. Curva de crecimiento bacteriano.

10. 10
Fase de crecimiento exponencial o log: durante esta etapa cada bacteria es
capaz de duplicar su masa y dividirse a intervalos regulares, dando lugar al
crecimiento exponencial de la población. La fase de crecimiento exponencial
representa la etapa en la que la velocidad de crecimiento es constante y máxima
para esas condiciones de cultivo. La velocidad de crecimiento puede ser
modificada cambiando la composición del medio de cultivo y/o las condiciones de
incubación.
Fase estacionaria: el crecimiento bacteriano en un cultivo cerrado, en el que no
hay aporte de nuevos nutrientes ni remoción de los productos del metabolismo, es
autolimitado. Luego de varias generaciones, diversos factores, entre ellos la
disminución o agotamiento de los nutrientes disponibles, la acumulación de
productos metabólicos tóxicos y la disminución del espacio vital, hacen que la
multiplicación bacteriana cese o que su velocidad de crecimiento disminuya a
niveles que se equilibran con la velocidad de muerte.
La concentración de células en esta fase se denomina cosecha máxima, y
depende del tipo de microorganismo, de la composición del medio y de las
condiciones de incubación.
Fase de muerte: desde un punto de vista biológico la muerte celular representa la
pérdida de su capacidad de multiplicación, aunque no significa necesariamente
pérdida absoluta e inmediata de todas las funciones celulares. El único criterio
válido de muerte bacteriana es la pérdida irreversible de la capacidad de
reproducirse en cualquier medio adecuado para ello.
2.4. CRECIMIENTO EXPONENCIAL
Etapa en la que cada bacteria es capaz de duplicar su masa y dividirse a
intervalos regulares, dando lugar al crecimiento exponencial de la población como
una función continua. En esta fase de crecimiento exponencial la velocidad de
crecimiento es constante y máxima para las condiciones de cultivo.
La expresión matemática del crecimiento exponencial es:
Donde:
Nt = número de bacterias al tiempo t.
N0 = número inicial de bacterias (tiempo 0).
n = número de generaciones.

11. 11
Número de generaciones:
La velocidad de crecimiento se puede expresar también como la constante de
velocidad de crecimiento (k), que representa el número de generaciones por
unidad de tiempo.
k = n / t cuando n = 1, t = g Luego k = 1 / g
2.5. TIEMPO DE GENERACIÓN
El período de tiempo entre dos divisiones sucesivas se denomina tiempo de
generación (g) y es una estimación de la velocidad de crecimiento.8
n: número de generaciones que ocurren en un tiempo t.
Si partimos de una célula al cabo de una generación habrá duplicado su número y
así sucesivamente en cada generación. Como se puede comprobar el crecimiento
se produce en progresión geométrica:9
Ejercicio: si se inoculan 1,2x103 bacterias en un medio de cultivo y después de 4
horas de incubación, creciendo en forma exponencial, se tienen 1,8x105 bacterias.
Calcular el número de generaciones y el tiempo generacional.
N0= 1,2x103 bacterias
Nt= 1,8x105 bacterias
t= 4 horas
8 Crecimiento microbiano. [citado 11-agosto-2020]. Disponible en internet: https://bit.ly/2PGSgmQ.
9 Ibíd.

12. 12
a) Aplicamos la expresión matemática del crecimiento exponencial:
= Log (1,8x105/ 1,2x103) / Log2 n= 7,3
Por lo tanto, el número de generaciones será aproximadamente 7,3.
b) Utilizamos la expresión matemática de tiempo de generación:
g= t/n = 4/7,3 = 0,54 h (60 min/1h) = 32,4 min.
Por consiguiente, pasadas 4 horas, el tiempo de generación entre dos divisiones
sucesivas será de aproximadamente 32,4 minutos.
2.6. FACTORES QUE MODIFICAN EL CRECIMIENTO
La multiplicación bacteriana requiere de sustancias químicas y condiciones físicas
y químicas adecuadas.10
Agua y presión osmótica: los microorganismos necesitan de agua en el medio
para crecer, la actividad de agua de un medio es igual a la relación entre la
presión de vapor de la solución y la del agua pura.
Donde:
aw: Cantidad de agua disponible en un medio.
P Solución: Presión de vapor de la solución
P agua: Presión de agua pura.
(La actividad del agua de un alimento tiene un valor comprendido entre 0 y 1.)
10 CERRA, Héctor, et al. Manual de Microbiología Aplicada a las Industrias Farmacéutica, Cosmética y de
Productos Médicos. Buenos Aires: Subcomisión de Buenas Prácticas, 2013. 544 p. ISBN 978-987-26716-3-1

13. 13
La actividad del agua está inversamente relacionada a la presión osmótica.
Donde.
R: Constante gaseosa.
T: Temperatura absoluta.
V: Volumen de un mol de agua.
Nutrientes: un aumento de la concentración del nutriente se traduce en un
aumento de la velocidad de crecimiento.11
Temperatura: la velocidad del crecimiento puede verse afectada por la
temperatura.
PH: la mayoría de las bacterias crecen en un rango estrecho de PH, Cada especie
crece en un rango definido y posee un pH óptimo de crecimiento, una disminución
de PH produce una disminución de la velocidad de crecimiento.12
11 CERRA, Héctor, et al. Manual de Microbiología Aplicada a las Industrias Farmacéutica, Cosmética y de
Productos Médicos. Buenos Aires: Subcomisión de Buenas Prácticas, 2013. 544 p. ISBN 978-987-26716-3-1
12 Ibíd.

14. 14
3. MODELOS DE CRECIMIENTO MICROBIANO
La microbiología predictiva se basa en el desarrollo de modelos matemáticos que
permiten predecir la velocidad de crecimiento de los microorganismos bajo
determinadas condiciones ambientales (Cárdena, 2001).
3.1. MODELOS DE NIVEL PRIMARIO
En este tipo de modelado se describen cambios en el número de microorganismos
en función del tiempo.13
Modelado de Gompertz: es una función doble exponencial basado en
cuatro parámetros que describen una curva sigmoidal asimétrica.
Donde:
Log N: es el logaritmo decimal de los recuentos microbianos al tiempo t dado en
horas.
A: logaritmo de los recuentos asintóticos cuando el tiempo decrece
indefinidamente.
C: es el logaritmo de los recuentos asintóticos cuando el tiempo se incrementa
indefinidamente.
M: tiempo requerido para alcanzar la máxima velocidad del crecimiento.
B: velocidad de crecimiento relativa al tiempo.
t: tiempo dado en horas.
3.2. MODELOS DE NIVEL SECUNDARIO
Describen las respuestas de los parámetros del modelo primario al cambiar
determinadas condiciones como pH, temperatura o aw.14
13 CÁRDENAS, F. Coll. El modelado matemático: Una herramienta útil para la industria alimenticia. Santa
Rosa: Ciencia Veterinaria. Facultad de Ciencias Veterinarias, 2001. 22-28 p.
14 Ibíd.

15. 15
Modelo de Arrhenius: fue originalmente usado para describir como la
velocidad de una reacción química puede variar en función de la
temperatura.
Donde:
T: Temperatura absoluta dada en K.
Eu: es la energía de activación dada en kJoule/mol.
A: Es un factor preexponencial constante.
R: Es la constante de los gases.
3.3. MODELOS DE NIVEL TERCIARIO
Corresponden a software que transforman a los modelos de nivel primario y
secundario en programas más confiables. Estos permiten calcular la respuesta de
los microorganismos en las distintas condiciones, comparar los efectos de dichas
condiciones o contrastar el comportamiento de varios microorganismos.15
Sistemas expertos: Corresponden a programas computacionales que emulan el
razonamiento y la toma de decisiones de expertos humanos. De los programas
utilizados se encuentran Pathogen Modelling Program de USDA; Buchanan y
Whiting (1994); Food Micromodel de MAFF, UK; McClure y otros (1994).
15 CÁRDENAS, F. Coll. El modelado matemático: Una herramienta útil para la industria alimenticia. Santa
Rosa: Ciencia Veterinaria. Facultad de Ciencias Veterinarias, 2001. 22-28 p.

16. 16
CONCLUSIONES
La Microbiología es una ciencia que tiene como fundamento la investigación de los
microorganismos en la naturaleza, en la industria y en los seres vivos. Para
determinar cómo crecen estos organismos es necesario un análisis estadístico
que nos modele de una manera más eficiente el comportamiento de dicho
crecimiento, para así obtener los beneficios que éstos nos brindan. El
conocimiento de las matemáticas es necesario para entender los conceptos
asociados con la construcción de modelos matemáticos, modelos que garantizan
una forma fácil y confiable a la hora de analizar el crecimiento de
microorganismos, obtener datos del tiempo y la manera en la que éstos se
desarrollan en un medio específico, de ahí la importancia de la microbiología
predictiva como herramienta útil para analizar dichos comportamientos.
Además se comprendió cómo diferentes conceptos acerca del crecimiento de los
microorganismos, nos explican su modo de replicación, su ciclo de vida y de
aquellos factores que les afectan para su correcto funcionamiento, mediante la
expresión de diferentes modelos matemáticos que facilitaron la obtención de datos
cuantitativos en el crecimiento microbiano.

17. 17
BIBLIOGRAFÍA
CÁRDENAS, F. Coll. El modelado matemático: Una herramienta útil para la
industria alimenticia. Santa Rosa: Ciencia Veterinaria. Facultad de Ciencias
Veterinarias, 2001. 22-28 p.
CERRA, Héctor, et al. Manual de Microbiología Aplicada a las Industrias
Farmacéutica, Cosmética y de Productos Médicos. Buenos Aires: Subcomisión de
Buenas Prácticas, 2013. 544 p. ISBN 978-987-26716-3-1
MATEMÁTICAS FÁCILES. Blog en construcción. [En línea]. 2018. [citado 10-
agosto-2020]. Disponible en internet: https://bit.ly/3gMsXM9
PEDRIQUE DE AULACIO, Magaly y DE CASTRO, Norma. Reproducción y
crecimiento microbiano. Cátedra de Microbiología - Facultad de Farmacia. UCV
Noviembre 2001. Revisión 2008. [En línea] Disponible en: https://bit.ly/3fJq2Cn
YARCE, Cristhian J. Microbiología predictiva: una ciencia en auge. Cali: Revista
Inge@uan, 2013. Vol. 3. No. 6. 31-43 p.