integral

1. ¨Universidad Católica de Cuenca¨
Integrantes:
Karelys Aguirre
David Montenegro
Karla Hugo
Gabriela Carpio
Fernando Villa
Carlos Méndez
Tema:
Integrales Definidas
Carrera:
Ing. Civil
Curso:
Segundo A
Profesor:
Ing. Iván Fernández de Córdova

2. La antiderivada
Concepto:
La antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+ C donde C es una
constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x), es decir F`(x)= f(x).
A la función F(x) se le llama una antiderivada de la función f(x).
Integración
Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de funciones
que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa
mediante los símbolos ∫ o signo de la integral, dx indica la variable respecto a la cual se
lleva el proceso de integración los símbolos siguientes siempre van juntos.
∫f(x)dx
donde f(x) es la derivada de la función desconocida llamada integrando y la respuesta es
una familia de funciones así
∫f(x)dx = F(X) +C
A la constante C se la llama constante de integración
Ejercicio:
Hallar la antiderivada
 f'(x)= 4
Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se
derivo es:
F1 (x)= 4x pero también las funciones
F2 (x)=4x+5
F3 (x)=4x-2
F(x) = 4x+C
 f(x)=3x^2
La función que se derivó es F(x)= pero también x^3
F1 (x)= 3 x +5
F2 (x)= 3 x +9
F(x)= 3 x +C

3. Por lo tanto, en los 2 ejemplos anteriores la antiderivada de f(x) = 4
se escribe mediante una integral indefinida así:
∫ 4dx =4x +C
y la antiderivada de f(x)=3x^2 es ∫ 3x^2 dx =x^3 +C
Técnicas de integración
Integracióninmediata.
Se llaman integrales inmediatas aquellas que están en la tabla de integrales, su solución
va a ser inmediata pues consiste en sustituir de la fórmula en el ejercicio planteado.
Sustitución o cambio de variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa de una derivada
de la función compuesta; ∫ f (x) dx
u= x ∫ (3x − 5)4 dx
du = x′dx u=3x-5 du=3 dx
∫ ƒ(x) dx= ∫ f(u).x′ dx =⅓ (u5/5) + c = u5/15 +c=∫ (3 x − 5)5/15 +c
Sustituciones trigonométricas
Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de
las expresiones:
Es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.
Integraciónpor partes

4. El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de
funciones como se muestra a continuación:
d (u.v) = u dv + v du
Por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican
entre sí
∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du (u.v) = ∫u dv + ∫v du
∫u dv = u v - ∫v du
Integral Directa
Las integrales inmediatas son aquellas que salen directamente por la propia definición de
integral, así podemos decir que se puede resolver de forma más o menos intuitiva
sabiendo que una función cuando la derivamos me dé como respuesta lo que está en el
integral.
Para esto tenemos las fórmulas de integración inmediata:

5. Integral por Sustitución o cambio de variable
Se basa en la derivada de la función compuesta. El método consiste en sustituir el
integrando o parte de éste por otra función para que la expresión resultante sea másfácil
de integrar.
Se basa en la da de la función compuesta. El método consiste en sus
de Cambios de variable recomendados

6. EJEMPLO
∫
1
𝑒−𝑥(𝑒 𝑥 + 1)
𝑑𝑥 = ∫
𝑒𝑥
𝑒 𝑥+1
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
=
ln ⃓ 𝑢⃓ + 𝐶 = ln ⃓𝑒 𝑥
+ 1⃓ + 𝐶
Integral por Sustitución Trigonométrica
Integración por partes

7. Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar
como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que
consiste en aplicar la siguiente fórmula:
La integración por partes nos permite transformar la integral de la izquierda en otra
integral, la del término de la derecha, que sea más sencilla de hallar.
 Las funciones logarítmicas, “arcos” y polinómicas se eligen como “u”.
 Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen
como “dv”
Pasos:
1. El integrando debe ser un producto de dos factores.
2. Uno de los factores será u y el otro será dv.
3. Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
4. Se aplica la fórmula.
Ejemplo:
 Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos
por partes tomando: v' = 1.
Bibliografía:
 https://www.youtube.com/watch?v=jjqvOjQFnhI
 https://es.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cint%5Csqrt%7B4-
x%5E%7B2%7D%7Ddx?or=sug
 https://www.vitutor.com/integrales/.html