1. 452
Con la regla de Simpson se estiman
integrales mediante la aproximación de
gráficas con parábolas.
TÉCNICAS
DE INTEGRACIÓN
7
Como resultado del teorema fundamental del cálculo, se puede integrar una función si
se conoce una antiderivada, es decir, una integral indefinida. Se resumen aquí las inte-
grales más importantes que se han aprendido hasta el momento.
En este capítulo se desarrollan técnicas para usar estas fórmulas de integración básicas
a fin de obtener integrales indefinidas de funciones más complicadas. En la sección 5.5
se aprendió el método de integración más importante, la regla de sustitución. La otra técnica
general, integración por partes, se presenta en la sección 7.1. Después se aprenden méto-
dos que son especiales para clases particulares de funciones como las trigonométricas y
racionales.
La integración no es tan directa como la derivación; no hay reglas que garanticen de
manera absoluta obtener una integral indefinida de una función. Por lo tanto, en la
sección 7.5 se describe una estrategia para integración.
y
1
sa2 Ϫ x2
dx senϪ1
ͩx
a
ͪϩ Cy
1
x2
ϩ a2
dx
1
a
tanϪ1
ͩx
a
ͪϩ C
y cot x dx lnԽsen xԽ ϩ Cy tan x dx lnԽsec xԽ ϩ C
y cosh x dx senh x ϩ Cy senh x dx cosh x ϩ C
y csc x cot x dx Ϫcsc x ϩ Cy sec x tan x dx sec x ϩ C
y csc2
x dx Ϫcot x ϩ Cy sec2
x dx tan x ϩ C
y cos x dx sen x ϩ Cy sen x dx Ϫcos x ϩ C
y ax
dx
ax
ln a
ϩ Cy ex
dx ex
ϩ C
y
1
x
dx lnԽxԽ ϩ C͑n Ϫ1͒y xn
dx
xnϩ1
n ϩ 1
ϩ C
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 452
2. 453
INTEGRACIÓN POR PARTES
Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. Por ejemplo, la
regla de sustitución para integración corresponde a la regla de la cadena para derivación.
La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para in-
tegración por partes.
La regla del producto establece que si f y t son funciones derivables, entonces
En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en
o bien,
Esta ecuación se puede reordenar como
La fórmula 1 se llama fórmula para integración por partes. Quizás es más fácil recor-
darla en la siguiente notación. Sea y . Entonces las diferenciales son
y ; por lo tanto, por la regla de sustitución, la fórmula para
integración por partes se convierte en
EJEMPLO 1 Encuentre .
SOLUCIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA 1 Suponga que se elige y . Entonces
y . (Para se puede elegir cualquier derivada de .) Así, con la
fórmula 1, se tiene
Es aconsejable comprobar la respuesta mediante derivación. Si se hace así, se obtiene x sen
x, como se esperaba.
Ϫx cos x ϩ sen x ϩ C
Ϫx cos x ϩ y cos x dx
x͑Ϫcos x͒ Ϫ y ͑Ϫcos x͒ dx
y x sen x dx f͑x͒t͑x͒ Ϫ y t͑x͒f Ј͑x͒ dx
tЈtt͑x͒ Ϫcos xfЈ͑x͒ 1
tЈ͑x͒ sen xf ͑x͒ x
y x sen x dx
y u dv uv Ϫ y v du2
dv tЈ͑x͒ dxdu fЈ͑x͒ dx
v t͑x͒u f͑x͒
y f͑x͒tЈ͑x͒ dx f ͑x͒t͑x͒ Ϫ y t͑x͒fЈ͑x͒ dx1
y f͑x͒tЈ͑x͒ dx ϩ y t͑x͒f Ј͑x͒ dx f͑x͒t͑x͒
y ͓ f ͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒fЈ͑x͔͒ dx f ͑x͒t͑x͒
d
dx
͓ f ͑x͒t͑x͔͒ f͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒fЈ͑x͒
7.1
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 453
3. SOLUCIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA 2 Sea
Entonces
y, por lo tanto,
El objetivo de usar la integración por partes es obtener una integral más sim-
ple que aquella con la que se inició. Así, en el ejemplo 1 se inició con y se
expresó en términos de la integral más simple . Si se hubiera elegido
y , entonces y , así que la integración por partes da
Aunque esto es cierto, es una integral más difícil que la inicial. En general,
al decidir sobre una elección para u y dv, a menudo se intenta elegir como una
función que se vuelve más simple cuando se deriva (o por lo menos no más complicada)
siempre y cuando se pueda integrar fácilmente para dar .
EJEMPLO 2 Evaluar .
SOLUCIÓN Aquí no se tiene mucha elección para y . Sea
entonces
Al integrar por partes, se obtiene
La integración por partes es efectiva en este ejemplo, porque la derivada de la función
es más simple que .ff͑x͒ ln x
x ln x Ϫ x ϩ C
x ln x Ϫ y dx
y ln x dx x ln x Ϫ y x
dx
x
du
1
x
dx v x
u ln x dv dx
dvu
y ln x dxV
vdv tЈ͑x͒ dx
u f͑x͒
x x2
cos x dx
y x sen x dx ͑sen x͒
x2
2
Ϫ
1
2
y x2
cos x dx
v x2
͞2du cos x dxdv x dx
u sen xx cos x dx
x x sen x dx
NOTA
Ϫx cos x ϩ sen x ϩ C
Ϫx cos x ϩ y cos x dx
y x sen x dx y x sen x dx x ͑Ϫcos x͒ Ϫ y͑Ϫcos x͒ dx
v Ϫcos xdu dx
dv sen x dxu x
454 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& Es útil usar el patrón:
v ᮀdu ᮀ
dv ᮀu ᮀ
& Se acostumbra escribir como .x dxx 1 dx
& Compruebe la respuesta mediante
derivación.
u d√ u √ √ du
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 454
4. EJEMPLO 3 Determine .
SOLUCIÓN Note que se vuelve más simple cuando se deriva (mientras que no cambia
cuando se deriva o integra), de modo que se elige
A continuación
La integración por partes da
La integral que se obtuvo, , es más simple que la integral original, pero aún no es
obvio. Por lo tanto, se usa una segunda vez la integración por partes, esta vez con
y . Entonces , , y
Al escribir esto en la ecuación 3, se obtiene
EJEMPLO 4 Evalúe .
SOLUCIÓN Ni ni se vuelven más simples cuando se derivan, pero de cualquier mane-
ra se prueba con y . Entonces y , de modo
que la integración por partes da
La integral que se ha obtenido, , no es más simple que la original, pero por
lo menos no es más difícil. Habiendo tenido éxito en el ejemplo precedente al integrar
por partes dos veces, se persevera e integra de nuevo por partes. Esta vez se usa y
. Entonces , , y
A primera vista, parece como si no se hubiera hecho nada porque se llegó a ,
que es donde se inició. Sin embargo, si coloca la expresión para de la
ecuación 5 en la ecuación 4, se obtiene
y ex
sen x dx Ϫex
cos x ϩ ex
sen x Ϫ y ex
sen x dx
x ex
cos x dx
x ex
sen x dx
y ex
cos x dx ex
sen x Ϫ y ex
sen x dx5
v sen xdu ex
dxdv cos x dx
u ex
x ex
cos x dx
y ex
sen x dx Ϫex
cos x ϩ y ex
cos x dx4
v Ϫcos xdu ex
dxdv sen x dxu ex
sen xex
y ex
sen x dxV
donde C1 Ϫ2C t2
et
Ϫ 2tet
ϩ 2et
ϩ C1
t2
et
Ϫ 2͑tet
Ϫ et
ϩ C͒
y t2
et
dt t2
et
Ϫ 2 y tet
dt
tet
Ϫ et
ϩ Cy tet
dt tet
Ϫ y et
dt
v et
du dtdv et
dt
u t
x tet
dt
y t2
et
dt t2
et
Ϫ 2 y tet
dt3
du 2t dt v et
u t2
dv et
dt
et
t2
y t2
et
dtV
SECCIÓN 7.1 INTEGRACIÓN POR PARTES |||| 455
& Un método más fácil, con números
complejos, se da en el ejercicio 50 en el
apéndice H.
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 455
5. Esto se puede considerar como una ecuación que se resolverá para la integral desconoci-
da. Al sumar a ambos lados, se obtiene
Dividiendo entre 2 y sumando la constante de la integración, obtiene
Si se combina la fórmula para integración por partes con la parte 2 del teorema fun-
damental del cálculo, se puede evaluar por partes integrales definidas. Al evaluar am-
bos lados de la fórmula 1 entre y , suponiendo que y son continuas, y usar el
teorema fundamental, se obtiene
EJEMPLO 5 Calcule .
SOLUCIÓN Sea
Entonces
Por consiguiente la fórmula 6 da
Para evaluar esta integral se usa la sustitución (puesto que tiene otro signi-
ficado en este ejemplo). Luego , de modo que . Cuando ,
; cuando , ; así que
Por lo tanto, y
1
0
tanϪ1
x dx
4
Ϫ y
1
0
x
1 ϩ x2
dx
4
Ϫ
ln 2
2
1
2 ͑ln 2 Ϫ ln 1͒
1
2 ln 2
y
1
0
x
1 ϩ x2
dx
1
2 y
2
1
dt
t
1
2 ln ԽtԽ]1
2
t 2x 1t 1
x 0xdx
1
2 dtdt 2x dx
ut 1 ϩ x2
4
Ϫ y
1
0
x
1 ϩ x2
dx
1 ؒ tanϪ1
1 Ϫ 0 ؒ tanϪ1
0 Ϫ y
1
0
x
1 ϩ x2
dx
y
1
0
tanϪ1
x dx x tanϪ1
x]0
1
Ϫ y
1
0
x
1 ϩ x2
dx
du
dx
1 ϩ x2
v x
u tanϪ1
x dv dx
y
1
0
tanϪ1
x dx
y
b
a
f͑x͒tЈ͑x͒ dx f ͑x͒t͑x͒]a
b
Ϫ y
b
a
t͑x͒f Ј͑x͒ dx6
tЈf Јba
y ex
sen x dx
1
2 ex
͑sen x Ϫ cos x͒ ϩ C
2 y ex
sen x dx Ϫex
cos x ϩ ex
sen x
x ex
sen x dx
456 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& En la figura 1 se ilustra el ejemplo 4
mostrando las gráficas de
y . Como una
comprobación visual del trabajo, observe que
cuando tinene un máximo o un
mínimo.
Ff ͑x͒ 0
F͑x͒
1
2 ex
͑sen x Ϫ cos x͒
f ͑x͒ ex
sen x
_3
_4
12
6
F
f
FIGURA 1
& Puesto que para , la inte-
gral del ejemplo 5 se puede interpretar como el
área de la región mostrada en la figura 2.
x ജ 0tanϪ1
x ജ 0
FIGURA 2
y
0
x1
y=tan–!x
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 456
6. EJEMPLO 6 Demuestre la fórmula de reducción
donde es un entero.
SOLUCIÓN Sea
Entonces
así que la integración por partes da
Puesto que , se tiene
Como en el ejemplo 4, se resuelve esta ecuación para la integral deseada, pasando el
último término del lado derecho al lado izquierdo. Así, se tiene
o bien,
La fórmula de reducción (7) es útil porque al usarla de manera repetida se
podría expresar finalmente en términos de (si n es impar) o
(si n es par).x ͑sen x͒0
dx x dx
x sen x dxx senn
x dx
y senn
x dx Ϫ
1
n
cos x sennϪ1
x ϩ
n Ϫ 1
n
y sennϪ2
x dx
n y senn
x dx Ϫcos x sennϪ1
x ϩ ͑n Ϫ 1͒ y sennϪ2
x dx
y senn
x dx Ϫcos x sennϪ1
x ϩ ͑n Ϫ 1͒ y sennϪ2
x dx Ϫ ͑n Ϫ 1͒ y senn
x dx
cos2
x 1 Ϫ sen2
x
y senn
x dx Ϫcos x sennϪ1
x ϩ ͑n Ϫ 1͒ y sennϪ2
x cos2
x dx
v Ϫcos xdu ͑n Ϫ 1͒ sennϪ2
x cos x dx
dv sen x dxu sennϪ1
x
n ജ 2
y senn
x dx Ϫ
1
n
cos x sennϪ1
x ϩ
n Ϫ 1
n
y sennϪ2
x dx7
SECCIÓN 7.1 INTEGRACIÓN POR PARTES |||| 457
& La ecuación 7 se llama fórmula de
reducción porque el exponente n ha
sido reducido a y .n Ϫ 2n Ϫ 1
11. 12.
13. 14.
16.
18.
19.
21. 22.
23. 24. y
0
x3
cos x dxy
2
1
ln x
x2 dx
y
9
4
ln y
sy
dyy
1
0
t cosh t dt
y
1
0
͑x2
ϩ 1͒eϪx
dx20.y
0
t sen 3t dt
y eϪ
cos 2 dy e2
sen 3 d17.
y t senh mt dty ͑ln x͒2
dx15.
y s 2s
dsy t sec2
2t dt
y p5
ln p dpy arctan 4t dt1–2 Evalúe la integral por medio de la integración por partes con
las elecciones indicadas de y .
1. ; ,
2. ; ,
3–32 Evalúe la integral.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10. y senϪ1
x dxy ln͑2x ϩ 1͒ dx
y x2
cos mx dxy x2
sen x dx
y t sen 2t dty rer͞2
dr
y xeϪx
dxy x cos 5x dx
dv cos du y cos d
dv x2
dxu ln xy x2
ln x dx
dvu
EJERCICIOS7.1
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 457
7. 458 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
(b) Use el inciso (a) para evaluar y .
(c) Emplee el inciso (a) para mostrar que, para potencias
impares de seno,
46. Demuestre que, para potencias pares de seno,
47–50 Use la integración por partes para demostrar la fórmula
de reducción.
48.
49.
50.
51. Use el ejercicio 47 para determinar .
52. Use el ejercicio 48 para encontrar .
53–54 Determine el área de la región acotada por las curvas
dadas.
53. , ,
54.
; 55–56 Use una gráfica para hallar las coordenadas aproximadas
de los puntos de intersección de las curvas dadas. Luego encuen-
tre (de manera aproximada) el área de la región acotada por las
curvas.
55. ,
56. ,
57–60 Use el método de las envolventes cilíndricas para hallar el
volumen generado al rotar la región acotada por las curvas dadas
respecto al eje especificado.
, , ; respecto al eje
58. , , ; respecto al eje
59. , , , ; respecto a
60. , , ; respecto al eje xy x 0y ex
x 1x 0x Ϫ1y 0y eϪx
yx 1y eϪx
y ex
y0 ഛ x ഛ 1y 0y cos͑x͞2͒57.
y
1
2 xy arctan 3x
y ͑x Ϫ 2͒2
y x sen x
x
y x ln xy 5 ln x,
x 5y 0y xeϪ0.4x
x x4
ex
dx
x ͑ln x͒3
dx
͑n 1͒y secn
x dx
tan x secnϪ2
x
n Ϫ 1
ϩ
n Ϫ 2
n Ϫ 1
y secnϪ2
x dx
͑n 1͒tann
x dx
tannϪ1
x
n Ϫ 1
Ϫ y tannϪ2
x dx
y xn
ex
dx xn
ex
Ϫ n y xnϪ1
ex
dx
y ͑ln x͒n
dx x͑ln x͒n
Ϫ n y ͑ln x͒nϪ1
dx47.
y
͞2
0
sen2n
x dx
1 ؒ 3 ؒ 5 ؒ и и и ؒ ͑2n Ϫ 1͒
2 ؒ 4 ؒ 6 ؒ и и и ؒ 2n
2
y
͞2
0
sen2nϩ1
x dx
2 ؒ 4 ؒ 6 ؒ и и и ؒ 2n
3 ؒ 5 ؒ 7 ؒ и и и ؒ ͑2n ϩ 1͒
x͞2
0
sen5
x dxx͞2
0
sen3
x dx25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33–38 Primero realice una sustitución y luego use la integración
por partes para evaluar la integral.
33. 34.
36.
37. 38.
; 39–42 Evalúe la integral indefinida. Ilustre, y compruebe que su
respuesta es razonable, graficando tanto la función como su
antiderivada (tome ).
39. 40.
41. 42.
43. (a) Use la fórmula de reducción del ejemplo 6 para mostrar que
(b) Use el inciso (a) y la fórmula de reducción para evaluar
.
44. (a) Demuestre la fórmula de reducción
(b) Use el inciso (a) para evaluar .
(c) Use los incisos (a) y (b) para evaluar .
45. (a) Use la fórmula de reducción del ejemplo 6 para mostrar que
donde es un entero.n ജ 2
y
͞2
0
senn
x dx
n Ϫ 1
n
y
͞2
0
sennϪ2
x dx
x cos4
x dx
x cos2
x dx
y cosn
x dx
1
n
cosnϪ1
x sen x ϩ
n Ϫ 1
n
y cosnϪ2
x dx
x sen4
x dx
y sen2
x dx
x
2
Ϫ
sen 2x
4
ϩ C
y x2
sen 2x dxy x3s1 ϩ x2
dx
y x3͞2
ln x dxy ͑2x ϩ 3͒ex
dx
C 0
y sen ͑ln x͒ dxy x ln͑1 ϩ x͒ dx
y
p
0
ecos t
sen 2t dty
s
s͞2
3
cos͑2
͒ d35.
y t3
eϪt2
dty cos sx dx
y
t
0
es
sen͑t Ϫ s͒ dsy
2
1
x4
͑ln x͒2
dx
y
1
0
r3
s4 ϩ r2
dry cos x ln͑sen x͒ dx
y
2
1
͑ln x͒2
x3
dxy
1͞2
0
cosϪ1
x dx
y
s3
1
arctan͑1͞x͒ dxy
1
0
y
e2y
dy
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 458
8. SECCIÓN 7.1 INTEGRACIÓN POR PARTES |||| 459
Realice la sustitución y después use la integración por
partes en la integral resultante para demostrar que
.
68. Sea .
(a) Muestre que .
(b) Use el ejercicio 46 para mostrar que
(c) Use los incisos (a) y (b) para mostrar que
y deducir que .
(d) Emplee el inciso (c) y los ejercicios 45 y 46 para mostrar
que
Esta fórmula se escribe por lo general como un producto
infinito:
y se llama producto de Wallis.
(e) Se construyen rectángulos como sigue. Empiece con un
cuadrado de área 1 y una los rectángulos de área 1 de
manera alterna al lado o arriba del rectángulo previo (véase
la figura). Encuentre el límite de las relaciones de amplitud
a altura de estos rectángulos.
2
2
1
ؒ
2
3
ؒ
4
3
ؒ
4
5
ؒ
6
5
ؒ
6
7
ؒ и и и
lím
nlϱ
2
1
ؒ
2
3
ؒ
4
3
ؒ
4
5
ؒ
6
5
ؒ
6
7
ؒ и и и ؒ
2n
2n Ϫ 1
ؒ
2n
2n ϩ 1
2
límnl ϱ I2nϩ1͞I2n 1
2n ϩ 1
2n ϩ 2
ഛ
I2nϩ1
I2n
ഛ 1
I2nϩ2
I2n
2n ϩ 1
2n ϩ 2
I2nϩ2 ഛ I2nϩ1 ഛ I2n
In x͞2
0
senn
x dx
y
0 xa b
c
d
x=a
x=b
y=ƒx=g(y)
V xb
a
2x f ͑x͒ dx
y f ͑x͒61. Encuentre el valor promedio de en el intervalo
.
62. Un cohete acelera al quemar su combustible de a bordo, de
modo que su masa disminuye con el tiempo. Suponga que la
masa inicial del cohete en el despegue (incluido su combustible)
es , el combustible se consume a una proporción , y los gases
de escape son expulsados con velocidad constante (respecto
al cohete). Un modelo para la velocidad del cohete en el tiempo
es el que se expresa mediante la ecuación
donde es la aceleración debida a la gravedad y no es
demasiado grande. Si , kg,
kg͞s, y , determine la altura del cohete un
minuto después del despegue.
Una partícula que se mueve a lo largo de una recta tiene veloci-
dad metros por segundo después de segundos.
¿Qué tan lejos viajará durante los primeros segundos?
64. Si y y son continuas, muestre que
65. Suponga que , , , , y
es continua. Encuentre el valor de .
(a) Use la integración por partes para mostrar que
(b) Si y son funciones inversas y es continua, demues-
tre que
[Sugerencia: use el inciso (a) y haga la sustitución
.]
(c) En el caso donde y son funciones positivas y ,
dibuje un diagrama para dar una interprepretación
geométrica del inciso (b).
(d) Use el inciso (b) para evaluar .
67. Se llegó a la fórmula 6.3.2, , por medio
de envolventes cilíndricas, pero ahora se puede usar la
integración por partes para demostrarla con el método de
división de la sección 6.2, por lo menos para el caso donde
es uno a uno y, por lo tanto, tiene una función inversa . Use
la figura para mostrar que
V b2
d Ϫ a2
c Ϫ y
d
c
͓t͑y͔͒2
dy
t
f
V xb
a
2x f ͑x͒ dx
xe
1
ln x dx
b Ͼ a Ͼ 0tf
y f ͑x͒
y
b
a
f ͑x͒ dx bf ͑b͒ Ϫ af ͑a͒ Ϫ y
f ͑b͒
f ͑a͒
t͑y͒ dy
f Јtf
y f ͑x͒ dx xf ͑x͒ Ϫ y xf Ј͑x͒ dx
66.
x4
1
xf Љ͑x͒ dx
f Љf Ј͑4͒ 3f Ј͑1͒ 5f ͑4͒ 7f ͑1͒ 2
y
a
0
f ͑x͒tЉ͑x͒ dx f ͑a͒tЈ͑a͒ Ϫ f Ј͑a͒t͑a͒ ϩ y
a
0
f Љ͑x͒t͑x͒ dx
t Љf Љf ͑0͒ t͑0͒ 0
t
tv͑t͒ t2
eϪt
63.
ve 3 000 m͞s
r 160m 30 000t 9.8 m͞s2
tt
v͑t͒ Ϫtt Ϫ ve ln
m Ϫ rt
m
t
ve
rm
͓1, 3͔
f ͑x͒ x2
ln x
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 459
9. 460 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
En esta sección se usan identidades trigonométricas para integrar ciertas combinaciones de
funciones trigonométricas. Se empieza con potencias de seno y coseno.
EJEMPLO 1 Evalúe .
SOLUCIÓN Sustituir simplemente no es útil, puesto que . A fin de
integrar potencias de coseno, sería necesario un factor extra. De manera similar,
una potencia de seno requeriría un factor extra. Así, aquí se puede separar un factor
coseno y convertir el factor restante a una expresión relacionada con el seno por
medio de la identidad :
Se puede evaluar la integral sustituyendo , de modo que y
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y
coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en tér-
minos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares
de seno y coseno.
EJEMPLO 2 Encuentre
SOLUCIÓN Se convertiría a , pero se tendría una expresión en términos
de sin ningún factor extra. En cambio, se separa un solo factor seno y se
reescribe el factor restante en términos de :
Sustituyendo , se tiene , por lo tanto,
Ϫ
1
3 cos3
x ϩ
2
5 cos5
x Ϫ
1
7 cos7
x ϩ C
Ϫͩu3
3
Ϫ 2
u5
5
ϩ
u7
7
ͪϩ C
y ͑1 Ϫ u2
͒2
u2
͑Ϫdu͒ Ϫy ͑u2
Ϫ 2u4
ϩ u6
͒du
y ͑1 Ϫ cos2
x͒2
cos2
x sen x dx
y sen5
x cos2
x dx y ͑sen2
x͒2
cos2
x sen x dx
du Ϫsen x dxu cos x
sen5
x cos2
x ͑sen2
x͒2
cos2
x sen x ͑1 Ϫ cos2
x͒2
cos2
x sen x
cos xsen4
x
cos xsen x
1 Ϫ sen2
xcos2
x
y sen5
x cos2
x dxV
sen2
x ϩ cos2
x 1
sen x Ϫ
1
3 sen3
x ϩ C
y ͑1 Ϫ u2
͒du u Ϫ
1
3 u3
ϩ C
y cos3
x dx y cos2
x ؒ cos x dx y ͑1 Ϫ sen2
x͒ cos x dx
du cos x dxu sen x
cos3
x cos2
x ؒ cos x ͑1 Ϫ sen2
x͒ cos x
sen2
x ϩ cos2
x 1
cos2
x
cos x
sen x
du Ϫsen x dxu cos x
y cos3
x dx
7.2
& En la figura 1 se muestran las gráficas
del integrando del ejemplo 2
y su integral indefinida (con ). ¿Cuál
es cuál?
C 0
sen5
x cos2
x
FIGURA 1
_π
_0.2
0.2
π
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 460
10. En los ejemplos precedentes, una potencia impar de seno y coseno permitió separar
un solo factor y convertir la potencia par restante. Si el integrando contiene potencias
pares de seno y coseno, esta estrategia falla. En este caso, se puede sacar ventaja de
las siguientes identidades de la mitad de un ángulo (véanse las ecuaciones 17b y 17a en
el apéndice D):
y
EJEMPLO 3 Evalúe .
SOLUCIÓN Si se escribe , no se simplifica la evaluación de la integral.
Sin embargo, al usar la fórmula de la mitad de un ángulo para , se tiene
Observe que mentalmente se hizo la sustitución al integrar . Otro método
para evaluar esta integral se dio en el ejercicio 43 en la sección 7.1.
EJEMPLO 4 Determine .
SOLUCIÓN Se podría evaluar esta integral por medio de la fórmula de reducción para
(ecuación 7.1.7) junto con el ejemplo 3 (como en el ejercicio 43 de la sec-
ción 7.1), pero un mejor método es escribir y usar una fórmula de la
mitad de un ángulo:
Puesto que ocurre , se debe usar otra fórmula de la mitad de un ángulo
Esto da
Para resumir, se listan las directrices a seguir al evaluar integrales de la forma
, donde y son enteros.n ജ 0m ജ 0x senm
x cosn
x dx
1
4 (3
2 x Ϫ sen 2x ϩ
1
8 sen 4x) ϩ C
1
4 y (3
2 Ϫ 2 cos 2x ϩ
1
2 cos 4x) dx
y sen4
x dx
1
4 y ͓1 Ϫ 2 cos 2x ϩ
1
2 ͑1 ϩ cos 4x͔͒ dx
cos2
2x
1
2 ͑1 ϩ cos 4x͒
cos2
2x
1
4 y ͑1 Ϫ 2 cos 2x ϩ cos2
2x͒ dx
y ͩ1 Ϫ cos 2x
2
ͪ2
dx
y sen4
x dx y ͑sen2
x͒2
dx
sen4
x ͑sen2
x͒2
x senn
x dx
y sen4
x dx
cos 2xu 2x
1
2 ( Ϫ
1
2 sen 2) Ϫ
1
2 (0 Ϫ
1
2 sen 0)
1
2
y
0
sen2
x dx
1
2 y
0
͑1 Ϫ cos 2x͒ dx [1
2 (x Ϫ
1
2 sen 2x)]0
sen2
x
sen2
x 1 Ϫ cos2
x
y
0
sen2
x dxV
cos2
x
1
2 ͑1 ϩ cos 2x͒sen2
x
1
2 ͑1 Ϫ cos 2x͒
SECCIÓN 7.2 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS |||| 461
& En el ejemplo 3 se muestra que el área
de la región mostrada en la figura 2 es p/2.
FIGURA 2
0
_0.5
1.5
π
y=sen@ x
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 461
11. ESTRATEGIA PARA EVALUAR
(a) Si la potencia de coseno es impar , ahorre un factor coseno y use
para expresar los demás factores en términos de seno:
Después sustituya .
(b) Si la potencia de seno es impar , ahorre un factor seno y use
para expresar los factores restantes en términos de coseno:
Después sustituya . [Note que si las potencias de seno y coseno son
impares, se puede usar (a) o (b).]
(c) Si las potencias de seno y coseno son pares, use las identidades de la mitad de
un ángulo
Algunas veces es útil usar la identidad
Se puede usar una estrategia similar para evaluar integrales de la forma .
Puesto que , se puede separar un factor y convertir la potencia
restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la
identidad . O bien, puesto que , se puede se-
parar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
EJEMPLO 5 Evalúe .
SOLUCIÓN Si se separa un factor , se puede expresar el factor restante en térmi-
nos de la tangente por medio de la identidad . Se puede evaluar la
integral sustituyendo con :
1
7 tan7
x ϩ
1
9 tan9
x ϩ C
u7
7
ϩ
u9
9
ϩ C
y u6
͑1 ϩ u2
͒du y ͑u6
ϩ u8
͒du
y tan6
x ͑1 ϩ tan2
x͒ sec2
x dx
y tan6
x sec4
x dx y tan6
x sec2
x sec2
x dx
du sec2
x dxu tan x
sec2
x 1 ϩ tan2
x
sec2
xsec2
x
y tan6
x sec4
x dxV
sec x tan x
͑d͞dx͒ sec x sec x tan xsec2
x 1 ϩ tan2
x
sec2
x͑d͞dx͒ tan x sec2
x
x tanm
x secn
x dx
sen x cos x 1
2 sen 2x
cos2
x
1
2 ͑1 ϩ cos 2x͒sen2
x
1
2 ͑1 Ϫ cos 2x͒
u cos x
y ͑1 Ϫ cos2
x͒k
cosn
x sen x dx
y sen2kϩ1
x cosn
x dx y ͑sen2
x͒k
cosn
x sen x dx
sen2
x 1 Ϫ cos2
x
͑m 2k ϩ 1͒
u sen x
y senm
x ͑1 Ϫ sen2
x͒k
cos x dx
y senm
x cos2kϩ1
x dx y senm
x ͑cos2
x͒k
cos x dx
cos2
x 1 Ϫ sen2
x
͑n 2k ϩ 1͒
y senm
x cosn
x dx
462 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 462
12. EJEMPLO 6 Encuentre .
SOLUCIÓN Si se separa un factor como en el ejemplo precedente, queda un factor
, que no se convierte con facilidad a tangente. Sin embargo, si se separa un factor
, se puede convertir la potencia restante en una expresión que implica sólo la
secante por medio de la identidad . Por lo tanto se puede evaluar
la integral sustituyendo , de modo que :
En los ejemplos anteriores, se demuestran estrategias diferentes para evaluar integrales
de la forma para dos casos, que se resumen aquí.
ESTRATEGIA PARA EVALUAR
(a) Si la potencia de la secante es par , ahorre un factor de y use
para expresar los demás factores en términos de :
Luego sustituya .
(b) Si la potencia de la tangente es impar , guarde un factor de
y use para expresar los demás factores en térmi-
nos de :
Después sustituya .u sec x
y ͑sec2
x Ϫ 1͒k
secnϪ1
x sec x tan x dx
y tan2kϩ1
x secn
x dx y ͑tan2
x͒k
secnϪ1
x sec x tan x dx
sec x
tan2
x sec2
x Ϫ 1sec x tan x
͑m 2k ϩ 1͒
u tan x
y tanm
x ͑1 ϩ tan2
x͒kϪ1
sec2
x dx
y tanm
x sec2k
x dx y tanm
x ͑sec2
x͒kϪ1
sec2
x dx
tan xsec2
x 1 ϩ tan2
x
sec2
x͑n 2k, k ജ 2͒
y tanm
x secn
x dx
x tanm
x secn
x dx
1
11 sec11
Ϫ
2
9 sec9
ϩ
1
7 sec7
ϩ C
u11
11
Ϫ 2
u9
9
ϩ
u7
7
ϩ C
y ͑u2
Ϫ 1͒2
u6
du y ͑u10
Ϫ 2u8
ϩ u6
͒du
y ͑sec2
Ϫ 1͒2
sec6
sec tan d
y tan5
sec7
d y tan4
sec6
sec tan d
du sec tan du sec
tan2
sec2
Ϫ 1
sec tan
sec5
sec2
y tan5
sec7
d
SECCIÓN 7.2 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS |||| 463
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 463
13. Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades,
integración por partes y, ocasionalmente, un poco de inventiva. A veces será necesario
poder integrar por medio de la fórmula establecida en (5.5.5):
Se necesitará también la integral indefinida de la secante:
Se podría comprobar la fórmula 1 mediante la derivación de lado derecho, o como sigue.
Primero se multiplican numerador y denominador por :
Si se sustituye , después , también, la
integral se convierte en . Así, se tiene
EJEMPLO 7 Encuentre .
SOLUCIÓN Aquí sólo ocurre , de modo que se emplea para ree-
scribir un factor en términos de :
En la primera integral se sustituye mentalmente de modo que .
Si aparece una potencia par de tangente con una potencia impar de secante, es útil
expresar el integrando completamente en términos de . Las potencias de podrían
requerir integración por partes, como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 8 Encuentre .
SOLUCIÓN Aquí se integra por partes con
du sec x tan x dx v tan x
u sec x dv sec2
x dx
y sec3
x dx
sec xsec x
du sec2
x dxu tan x
tan2
x
2
Ϫ ln Խsec xԽ ϩ C
y tan x sec2
x dx Ϫ y tan x dx
y tan x ͑sec2
x Ϫ 1͒ dxy tan3
x dx y tan x tan2
x dx
sec2
xtan2
x
tan2
x sec2
x Ϫ 1tan x
y tan3
x dx
y sec x dx ln Խsec x ϩ tan xԽ ϩ C
x ͑1͞u͒ du ln ԽuԽ ϩ C
du ͑sec x tan x ϩ sec2
x͒ dxu sec x ϩ tan x
y
sec2
x ϩ sec x tan x
sec x ϩ tan x
dx
y sec x dx y sec x
sec x ϩ tan x
sec x ϩ tan x
dx
sec x ϩ tan x
y sec x dx ln Խsec x ϩ tan xԽ ϩ C1
y tan x dx ln Խsec xԽ ϩ C
tan x
464 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 464
14. Entonces
Si se emplea la fórmula 1 y se resuelve para la integral requerida, se obtiene
Integrales como la del ejemplo anterior podrían parecer muy especiales, pero ocurren
con frecuencia en aplicaciones de integración, como se verá en el capítulo 8. Integrales
de la forma se pueden determinar mediante métodos similares como
resultado de la identidad .
Por último, se puede hacer uso de otro conjunto de identidades trigonométricas:
Para evaluar las integrales (a) , (b) , o
(c) , use la identidad correspondiente:
(a)
(b)
(c)
EJEMPLO 9 Evalúe .
SOLUCIÓN Esta integral podría ser evaluada por medio de integración por partes, pero es
más fácil usar la identidad de la ecuación 2(a) como sigue:
1
2 (cos x Ϫ
1
9 cos 9x͒ ϩ C
1
2 y ͑Ϫsen x ϩ sen 9x͒ dx
y sen 4x cos 5x dx y 1
2 ͓sen͑Ϫx͒ ϩ sen 9x͔ dx
y sen 4x cos 5x dx
cos A cos B
1
2 ͓cos͑A Ϫ B͒ ϩ cos͑A ϩ B͔͒
sen A sen B
1
2 ͓cos͑A Ϫ B͒ Ϫ cos͑A ϩ B͔͒
sen A cos B
1
2 ͓sen͑A Ϫ B͒ ϩ sen͑A ϩ B͔͒
x cos mx cos nx dx
x sen mx sen nx dxx sen mx cos nx dx2
1 ϩ cot2
x csc2
x
x cotm
x cscn
x dx
y sec3
x dx
1
2 (sec x tan x ϩ ln Խsec x ϩ tan xԽ) ϩ C
sec x tan x Ϫ y sec3
x dx ϩ y sec x dx
sec x tan x Ϫ y sec x ͑sec2
x Ϫ 1͒ dx
y sec3
x dx sec x tan x Ϫ y sec x tan2
x dx
SECCIÓN 7.2 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS |||| 465
9. 10.
11. 12.
14.
15. 16. y cos cos5
͑sen ͒ dy
cos5
a
ssen a
dx
y
0
sen2
t cos4
t dty
͞2
0
sen2
x cos2
x dx13.
y x cos2
x dxy ͑1 ϩ cos ͒2
d
y
0
cos6
dy
0
sen4
͑3t͒ dt
1–49 Evalúe la integral.
1. 2.
4.
5. 6.
8. y
͞2
0
sen2
͑2͒ dy
͞2
0
cos2
d7.
y
sen3
͑sx͒
sx
dxy sen2
͑px͒ cos5
͑px͒ dx
y
͞2
0
cos5
x dxy
3͞4
͞2
sen5
x cos3
x dx3.
y sen6
x cos3
x dxy sen3
x cos2
x dx
EJERCICIOS7.2
& Estas identidades de producto se analizan
en el apéndice D.
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:44 Page 465
15. 466 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
53. 54.
Encuentre el valor promedio de la función
en el intervalo .
56. Evalúe por cuatro métodos:
(a) la sustitución ,
(b) la sustitución ,
(c) la identidad , y
(d) integración por partes.
Explique las distintas apariencias de las respuestas.
57–58 Encuentre el área de la región acotada por las curvas dadas.
57.
58.
; 59–60 Use una gráfica del integrando para inferir el valor de la
integral. Después use los métodos de esta sección para demostrar
que su conjetura es correcta.
59. 60.
61–64 Encuentre el volumen obtenido al girar la región acotada por
las curvas dadas respecto al eje especificado.
, , ; respecto al eje
62. , , ; respecto al eje
63. , , ; respecto a
64. , , ; respecto a
65. Una partícula se mueve en una línea recta con función de
velocidad . Encuentre su función
de posición si
66. La electricidad doméstica se suministra en la forma de corrien-
te alterna que varía de V a V con una frecuencia de
60 ciclos por segundo (Hz). Así que el voltaje está dado por
donde es el tiempo en segundos. Los voltímetros leen el
voltaje RMS (media cuadrática), que es la raíz cuadrada del
valor promedio de sobre un ciclo.
(a) Calcule el voltaje RMS de la corriente doméstica.
(b) Muchas estufas eléctricas requieren un voltaje RMS de
220 V. Encuentre la amplitud correspondiente necesaria
para el voltaje .E͑t͒ A sen͑120t͒
A
͓E͑t͔͒2
t
E͑t͒ 155 sen͑120t͒
Ϫ155155
f ͑0͒ 0.s f ͑t͒
v͑t͒ sen t cos2
t
y 10 ഛ x ഛ p͞3y cos xy sen x
y 10 ഛ x ഛ p͞4y cos xy sen x
x0 ഛ x ഛ py 0y sen2
x
xp͞2 ഛ x ഛ py 0y sen x61.
y
2
0
sen 2x cos 5x dxy
2
0
cos3
x dx
Ϫp͞4 ഛ x ഛ 5p͞4y cos3
x,y sen3
x,
Ϫp͞4 ഛ x ഛ p͞4y cos2
x,y sen2
x,
sen 2x 2 sen x cos x
u sen x
u cos x
x sen x cos x dx
͓Ϫ, ͔
f ͑x͒ sen2
x cos3
x55.
y sec4
x
2
dxy sen 3x sen 6x dx17. 18.
19. 20.
21. 22.
24.
25. 26.
27. 28.
30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
44.
45. 46.
47. 48.
49.
50. Si , exprese el valor de
en términos de .
; 51–54 Evalúe la integral indefinida. Ilustre y compruebe que su
respuesta es razonable, graficando el integrando y su antiderivada
(con .
51. 52. y sen4
x cos4
x dxy x sen2
͑x2
͒ dx
C 0͒
I
x͞4
0
tan8
x sec x dxx͞4
0
tan6
x sec x dx I
y t sec2
͑t2
͒ tan4
͑t2
͒ dt
y
dx
cos x Ϫ 1
y
1 Ϫ tan2
x
sec2
x
dx
y
cos x ϩ sen x
sen 2x
dxy sen 5 sen d
y cos px cos 4px dxy sen 8x cos 5x dx43.
y
͞3
͞6
csc3
x dxy csc x dx
y csc4
x cot6
x dxy cot3
␣ csc3
␣ d␣
y
͞2
͞4
cot3
x dxy
͞2
͞6
cot2
x dx
y
sen f
cos3
f
dfy x sec x tan x dx
y tan2
x sec x dxy
tan3
cos4
d
y tan6
͑ay͒ dyy tan5
x dx
y
͞3
0
tan5
x sec6
x dxy tan3
x sec x dx29.
y tan3
͑2x͒ sec5
͑2x͒ dxy
͞3
0
tan5
x sec4
x dx
y
͞4
0
sec4
tan4
dy sec6
t dt
y ͑tan2
x ϩ tan4
x͒ dxy tan2
x dx23.
y
͞2
0
sec4
͑t͞2͒ dty sec2
x tan x dx
y cos2
x sen 2x dxy
cos x ϩ sen 2x
sen x
dx
y cot5
sen4
dy cos2
x tan3
x dx
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 466
16. SECCIÓN 7.3 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA |||| 467
70. Una serie de Fourier finita está dada por la suma
Muestre que el -ésimo coeficiente está dado por la fórmula
am
1
y
Ϫ
f ͑x͒ sen mx dx
amm
a1 sen x ϩ a2 sen 2x ϩ и и и ϩ aN sen Nx
f ͑x͒ ͚
N
n1
an sen nx
67–69 Demuestre la fórmula, donde y son enteros
positivos.
67.
68.
69. y
Ϫ
cos mx cos nx dx ͭ0
si m n
si m n
y
Ϫ
sen mx sen nx dx ͭ0
si m n
si m n
y
Ϫ
sen mx cos nx dx 0
nm
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
En la determinación del área de un círculo o una elipse, surge una integral de la forma
, donde . Si fuese , la sustitución sería
efectiva pero, tal y como aparece, es más difícil. Si se cambia la variable de
x a u por la sustitución , entonces la identidad permite eli-
minar el signo de la raíz porque
Observe la diferencia entre la sustitución (en la que la nueva variable es una
función de la variable previa) y la sustitución (la variable previa es una función
de la nueva).
En general se puede hacer una sustitución de la forma al usar al revés la regla
de sustitución. A fin de simplificar los cálculos, se supone que tiene una función inversa;
es decir, es uno a uno. En este caso, si se reemplazan por y por en la regla de
sustitución (ecuación 5.5.4), se obtiene
Esta clase de sustitución se llama sustitución inversa.
Se puede hacer la sustitución inversa siempre que ésta defina una función uno
a uno. Esto se puede llevar a cabo restringiendo a ubicarse en el intervalo .
En la tabla siguiente se listan las sustituciones trigonométricas que son efectivas para
las expresiones con radicales debido a las identidades trigonométricas especificadas. En
cada caso la restricción sobre u se impone para asegurar que la función que define la susti-
tución es uno a uno. (Éstos son los mismos intervalos empleados en la sección 1.6 al
definir las funciones inversas.)
TABLA DE SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS
͓Ϫ͞2, ͞2͔
x a sen
y f͑x͒ dx y f͑t͑t͒͒tЈ͑t͒ dt
txxut
t
x t͑t͒
x a sen
u a2
Ϫ x2
sa2
Ϫ x2
sa2
Ϫ a2
sen2
sa2
͑1 Ϫ sen2
͒ sa2
cos2
aԽcos Խ
1 Ϫ sen2
cos2
x a sen
x sa2
Ϫ x2
dx
u a2
Ϫ x2
x xsa2
Ϫ x2
dxa Ͼ 0x sa2
Ϫ x2
dx
7.3
Expresión Sustitución Identidad
sec2
Ϫ 1 tan2
x a sec , 0 ഛ Ͻ
2
o ഛ Ͻ
3
2
sx2 Ϫ a2
1 ϩ tan2
sec2
x a tan , Ϫ
2
Ͻ Ͻ
2
sa2 ϩ x2
1 Ϫ sen2
cos2
x a sen , Ϫ
2
ഛ ഛ
2
sa2 Ϫ x2
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 467
17. EJEMPLO 1 Evalúe .
SOLUCIÓN Sea , donde . Entonces y
(Note que porque .) Así, la regla de sustitución inversa da
Puesto que ésta es una integral indefinida, se debe volver a la variable original x. Esto
se puede hacer ya sea por medio de identidades trigonométricas para expresar cot u en
términos de sen u x͞3 o dibujando un diagrama, como en la figura 1, donde u se inter-
preta como un ángulo de un triángulo rectángulo. Puesto que sen u x͞3, se marcan el
cateto opuesto y la hipotenusa con longitudes x y 3. Después por el teorema de Pitágoras
se obtiene la longitud del cateto adyacente como , así que se puede leer simple-
mente el valor de cot u en la figura:
(Aunque u Ͼ 0 en el diagrama, esta expresión para cot u es válida aun cuando u Ͻ 0.)
Puesto que sen u x͞3, se tiene u senϪ1
͑x͞3͒ y, por lo tanto,
EJEMPLO 2 Determine el área encerrada por la elipse
SOLUCIÓN Resolviendo la ecuación de la elipse en favor de y, se obtiene
Debido a que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes, el área total es cuatro
veces el área del primer cuadrante (véase figura 2). La parte de la elipse en el primer
cuadrante está dada por la función
y, por eso, 1
4 A y
a
0
b
a
sa2
Ϫ x2
dx
0 ഛ x ഛ ay
b
a
sa2
Ϫ x2
A
y Ϯ
b
a
sa2
Ϫ x2
o
y2
b2
1 Ϫ
x2
a2
a2
Ϫ x2
a2
x2
a2
ϩ
y2
b2
1
V
y
s9 Ϫ x2
x2
dx Ϫ
s9 Ϫ x2
x
Ϫ senϪ1
ͩx
3
ͪϩ C
cot
s9 Ϫ x2
x
s9 Ϫ x2
Ϫcot Ϫ ϩ C
y ͑csc2
Ϫ 1͒ d
y
cos2
sen2
d y cot2
d
y
s9 Ϫ x2
x2
dx y
3 cos
9 sen2
3 cos d
Ϫ͞2 ഛ ഛ ͞2cos ജ 0
s9 Ϫ x2
s9 Ϫ 9 sen2
s9 cos2
3Խcos Խ 3 cos
dx 3 cos dϪ͞2 ഛ ഛ ͞2x 3 sen
y
s9 Ϫ x2
x2
dxV
468 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
3
¨
x
œ„„„„„9-≈
FIGURA 1
sen ¨ =
x
3
FIGURA 2
≈
a@
¥
b@
+ =1
y
0 x
(0, b)
(a, 0)
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 468
18. Para evaluar esta integral se sustituye . Entonces . Para cam-
biar los límites de integración se nota que cuando , , cuando ; de
modo que , , por lo tanto, . También
puesto que . Por lo tanto,
Se ha mostrado que el área de una elipse con semiejes y es . En particular,
tomando , se ha demostrado la famosa fórmula de que el área de un círculo
con radio es .
Puesto que la integral del ejemplo 2 fue una integral definida, se cambiaron los
límites de integración y no fue necesario convertir de nuevo a la variable original .
EJEMPLO 3 Encuentre .
SOLUCIÓN Sea . Por lo tanto y
Por esto, se tiene
Para evaluar esta integral trigonométrica se escribe todo en términos de y :
Por lo tanto, al hacer la sustitución , se tiene
Se usa la figura 3 para determinar que y, de este modo,
y
dx
x2
sx2
ϩ 4
Ϫ
sx2
ϩ 4
4x
ϩ C
csc sx2
ϩ 4͞x
Ϫ
csc
4
ϩ C
1
4
ͩϪ
1
u
ͪϩ C Ϫ
1
4 sen
ϩ C
y
dx
x2
sx2
ϩ 4
1
4
y
cos
sen2
d
1
4
y
du
u2
u sen
sec
tan2
1
cos
ؒ
cos2
sen2
cos
sen2
cos sen
y
dx
x2
sx2
ϩ 4
y
2 sec2
d
4 tan2
ؒ 2 sec
1
4
y
sec
tan2
d
sx2
ϩ 4 s4͑tan2
ϩ 1͒ s4 sec2
2Խsec Խ 2 sec
dx 2 sec2
dx 2 tan , Ϫ͞2 Ͻ Ͻ ͞2
y
1
x2
sx2
ϩ 4
dxV
x
NOTA
r2
r
a b r
abba
ab 2ab[ ϩ
1
2 sen 2]0
͞2
2abͩ
2
ϩ 0 Ϫ 0ͪ
4ab y
͞2
0
cos2
d 4ab y
͞2
0
1
2 ͑1 ϩ cos 2͒ d
A 4
b
a
y
a
0
sa2
Ϫ x2
dx 4
b
a
y
͞2
0
a cos ؒ a cos d
0 ഛ ഛ ͞2
sa2
Ϫ x2
sa2
Ϫ a2
sen2
sa2
cos2
aԽcos Խ a cos
͞2sen 1x a
0sen 0x 0
dx a cos dx a sen
SECCIÓN 7.3 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA |||| 469
œ„„„„„≈+4
FIGUR A 3
tan ¨=
x
2
2
¨
x
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 469
19. EJEMPLO 4 Encuentre .
SOLUCIÓN Sería posible usar aquí la sustitución trigonométrica (como en el
ejemplo 3). Pero la sustitución directa es más simple, porque y
En el ejemplo 4 se ilustra el hecho de que aun cuando son posibles las sustitu-
ciones trigonométricas, es posible que no den la solución más fácil. Primero se debe buscar
un método más simple.
EJEMPLO 5 Evalúe , donde .
SOLUCIÓN 1 Sea , donde o . Entonces
y
Por lo tanto,
El triángulo de la figura 4 da , así que se tiene
Al escribir , se tiene
SOLUCIÓN 2 Para se puede usar también la sustitución hiperbólica . Si se
emplea la identidad , se tiene
Puesto que , se obtiene
Puesto que , se tiene y
y
dx
sx2
Ϫ a2
coshϪ1
ͩx
a
ͪϩ C2
t coshϪ1
͑x͞a͒cosh t x͞a
y
dx
sx2
Ϫ a2
y
a senh t dt
a senh t
y dt t ϩ C
dx a senh t dt
sx2
Ϫ a2
sa2
͑cosh2
t Ϫ 1͒ sa2
senh2
t a senh t
cosh2
y Ϫ senh2
y 1
x a cosh tx Ͼ 0
y
dx
sx2
Ϫ a2
ln Խx ϩ sx2
Ϫ a2
Խ ϩ C11
C1 C Ϫ ln a
lnԽx ϩ sx2
Ϫ a2
Խ Ϫ ln a ϩ C
y
dx
sx2
Ϫ a2
ln Ϳx
a
ϩ
sx2
Ϫ a2
a
Ϳϩ C
tan sx2
Ϫ a2
͞a
y sec d lnԽsec ϩ tan Խ ϩ C
y
dx
sx2
Ϫ a2
y
a sec tan
a tan
d
sx2
Ϫ a2
sa2
͑sec2
Ϫ 1͒ sa2
tan2
aԽtan Խ a tan
dx a sec tan d
Ͻ Ͻ 3͞20 Ͻ Ͻ ͞2x a sec
a Ͼ 0y
dx
sx2
Ϫ a2
NOTA
y
x
sx2
ϩ 4
dx
1
2
y
du
su
su ϩ C sx2
ϩ 4 ϩ C
du 2x dxu x2
ϩ 4
x 2 tan
y
x
sx2
ϩ 4
dx
470 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
FIGURA 4
sec ¨=
x
a
œ„„„„„
a
¨
x
≈-a@
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 470
20. SECCIÓN 7.3 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA |||| 471
Aunque las fórmulas 1 y 2 se ven bastante diferentes, en realidad son equivalentes por la
fórmula 3.11.4.
Como se ilustra en el ejemplo 5, las sustituciones hiperbólicas se pueden usar
en lugar de las sustituciones trigonométricas y, algunas veces, conducen a respuestas más
simples. Pero por lo general se usan sustituciones trigonométricas porque las identidades
trigonométricas son más familiares que las identidades hiperbólicas.
EJEMPLO 6 Encuentre .
SOLUCIÓN Primero se nota que , de modo que la sustitución
trigonométrica es apropiada. Aunque no es realmente una de las expresiones
de la tabla de sustituciones trigonométricas, se convierte en una de ellas si se realiza la
sustitución preliminar . Cuando se combina esto con la sustitución de la tangente,
se tiene , que da y
Cuando , , por lo tanto ; cuando , , así que
.
Ahora se sustituye de modo que . Cuando , ;
cuando . Por lo tanto,
EJEMPLO 7 Evalúe .
SOLUCIÓN Se puede transformar el integrando en una función para la cual la sustitución
trigonométrica es apropiada, completando primero el cuadrado bajo el signo de la raíz:
Esto hace pensar en que se realice la sustitución . Después y
, de esa manera,
y
x
s3 Ϫ 2x Ϫ x2
dx y
u Ϫ 1
s4 Ϫ u2
du
x u Ϫ 1
du dxu x ϩ 1
4 Ϫ ͑x ϩ 1͒2
3 Ϫ 2x Ϫ x2
3 Ϫ ͑x2
ϩ 2x͒ 3 ϩ 1 Ϫ ͑x2
ϩ 2x ϩ 1͒
y
x
s3 Ϫ 2x Ϫ x2
dx
3
16 ͫu ϩ
1
u
ͬ1
1͞2
3
16 [(1
2 ϩ 2) Ϫ ͑1 ϩ 1͒]
3
32
y
3 s3͞2
0
x3
͑4x2
ϩ 9͒3͞2
dx Ϫ
3
16 y
1͞2
1
1 Ϫ u2
u2
du
3
16 y
1͞2
1
͑1 Ϫ uϪ2
͒du
͞3, u
1
2
u 1 0du Ϫsen du cos
3
16 y
͞3
0
1 Ϫ cos2
cos2
sen d
3
16 y
͞3
0
tan3
sec
d
3
16 y
͞3
0
sen3
cos2
d
y
3 s3͞2
0
x3
͑4x2
ϩ 9͒3͞2
dx y
͞3
0
27
8 tan3
27 sec3
3
2 sec2
d
͞3
tan s3x 3s3͞2 0tan 0x 0
s4x2
ϩ 9 s9 tan2
ϩ 9 3 sec
dx
3
2 sec2
dx
3
2 tan
u 2x
s4x2
ϩ 9
͑4x2
ϩ 9͒3͞2
͑s4x2
ϩ 9)3
y
3 s3͞2
0
x3
͑4x2
ϩ 9͒3͞2
dx
NOTA
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 471
21. 472 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
21.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
(a) Use la sustitución trigonométrica para mostrar que
(b) Use la sustitución hiperbólica para mostrar
que
Estas fórmulas se relacionan mediante la fórmula 3.11.3.
32. Evalúe
(a) por sustitución trigonométrica.
(b) mediante la sustitución hiperbólica .
33. Encuentre el valor promedio de , .
34. Determine el área de la región acotada por la hipérbola
y la recta .x 39x2
Ϫ 4y2
36
1 ഛ x ഛ 7f ͑x͒ sx2 Ϫ 1͞x
x a senh t
y
x2
͑x2
ϩ a2
͒3͞2
dx
y
dx
sx2 ϩ a2
senhϪ1
ͩx
a
ͪϩ C
x a senh t
y
dx
sx2 ϩ a2
ln(x ϩ sx2 ϩ a2 ) ϩ C
31.
y
͞2
0
cos t
s1 ϩ sen2t
dty xs1 Ϫ x4 dx
y
x2
ϩ 1
͑x2
Ϫ 2x ϩ 2͒2 dxysx2
ϩ 2x dx
y
x2
͑3 ϩ 4x Ϫ 4x2
͒3͞2 dxy
x
sx2 ϩ x ϩ 1
dx
y
dt
st2 Ϫ 6t ϩ 13
y s5 ϩ 4x Ϫ x2 dx
y
1
0
sx2 ϩ 1 dx22.y
0.6
0
x2
s9 Ϫ 25x2
dx
1–3 Evalúe la integral por medio de la sustitución trigonométrica
indicada. Bosqueje y marque el triángulo rectángulo relacionado.
1. ;
2. ;
;
4–30 Evalúe la integral.
4.
5. 6.
8.
9. 10.
11. 12.
14.
15. 16.
18.
19. 20. y
t
s25 Ϫ t2
dty
s1 ϩ x2
x
dx
y
dx
͓͑ax͒2
Ϫ b2
͔3͞2y
x
sx2
Ϫ 7
dx17.
y
2͞3
s2͞3
sx2
Ϫ 1
x5
s9x2
Ϫ 1
y
a
0
x2
sa2 Ϫ x2
dx
y
du
us5 Ϫ u2y
sx2 Ϫ 9
x3
dx13.
y
1
0
xsx2 ϩ 4 dxy s1 Ϫ 4x2
dx
y
t5
st2 ϩ 2
dty
dx
sx2 ϩ 16
y
x3
sx2
ϩ 100
dxy
1
x2
s25 Ϫ x2
dx7.
y
2
1
sx2
Ϫ 1
x
dxy
2
s2
1
t3
st2 Ϫ 1
dt
y
2 s3
0
x3
s16 Ϫ x2
dx
x 3 tan y
x3
sx2 ϩ 9
dx3.
x 3 sen y x3
s9 Ϫ x2 dx
x 3 sec y
1
x2
sx2
Ϫ 9
dx
EJERCICIOS7.3
Ahora se sustituye u 2 sen u, y se obtiene y , de
tal manera,
Ϫs3 Ϫ 2x Ϫ x2
Ϫ senϪ1
ͩx ϩ 1
2
ͪϩ C
Ϫs4 Ϫ u2
Ϫ senϪ1
ͩu
2
ͪϩ C
Ϫ2 cos Ϫ ϩ C
y ͑2 sen Ϫ 1͒ d
y
x
s3 Ϫ 2x Ϫ x2
dx y
2 sen Ϫ 1
2 cos
2 cos d
s4 Ϫ u2
2 cos du 2 cos d& En la figura 5 se muestran las gráficas
del integrando del ejemplo 7 y su integral
indefinida ). ¿Cuál es cuál?(con C 0
_4
_5
3
2
FIGURA 5
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 472
22. SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 473
39. (a) Aplique la sustitución trigonométrica para comprobar que
(b) Aplique la figura para proporcionar interpretaciones
trigonométricas de ambos términos en el lado derecho de la
ecuación del inciso (a).
40. La parábola divide en disco en dos partes.
Hallar el área de ambas partes.
41. Determine el área de la región sombreada creciente (llamada
luna) acotada por los arcos de círculos con radios y . (Véase
la figura.)
42. Un tanque de almacenamiento de agua tiene la forma de un
cilindro circular con diámetro de 10 ft. Se monta de modo que
las secciones transversales circulares sean verticales. Si la pro-
fundidad del agua es 7 ft, ¿qué porcentaje de la capacidad total
se está utilizando?
43. Se genera un toroide al hacer girar el círculo
respecto al eje . Encuentre el volumen encerrado por el toroide.x
x2
ϩ ͑y Ϫ R͒2
r2
R
r
Rr
x2
ϩ y2
ഛ 8y
1
2x2
¨
¨
y=œ„„„„„a@-t@
t0
y
a
x
y
x
0
sa2
Ϫ t2
dt
1
2 a2
senϪ1
͑x͞a͒ ϩ
1
2x sa2
Ϫ x2
35. Demuestre la fórmula para el área de un sector
de un círculo con radio y ángulo central . [Sugerencia:
suponga que y coloque el centro del círculo en el
origen de modo que tenga la ecuación . Después A
es la suma del área del triángulo y el área de la región
en la figura.]
; 36. Evalúe la integral
Grafique el integrando y su integral indefinida en la misma
pantalla y compruebe que su respuesta es razonable.
; 37. Use una gráfica para aproximar las raíces de la ecuación
. Luego aproxime el área acotada por la
curva y la recta .
38. Una varilla con carga de longitud produce un campo eléctrico
en el punto dado por
donde es la densidad de carga por longitud unitaria en la
varilla y es la permisividad del espacio libre (véase la
figura). Evalúe la integral para determinar una expresión para
el campo eléctrico .
0 x
y
L
P (a, b)
E͑P͒
0
E͑P͒ y
LϪa
Ϫa
b
40͑x2
ϩ b2
͒3͞2 dx
P͑a, b͒
L
y 2 Ϫ xy x2
s4 Ϫ x2
x2
s4 Ϫ x2 2 Ϫ x
y
dx
x4
sx2
Ϫ 2
O x
y
RQ
¨
P
PQR
POQ
x2
ϩ y2
r2
0 Ͻ Ͻ ͞2
r
A
1
2 r2
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES
En esta sección se muestra cómo integrar cualquier función racional (una relación de poli-
nomios) expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones
parciales, que ya sabe cómo integrar. Para ilustrar el método, observe que tomando las
fracciones y para un denominador común, se obtiene
2
x Ϫ 1
Ϫ
1
x ϩ 2
2͑x ϩ 2͒ Ϫ ͑x Ϫ 1͒
͑x Ϫ 1͒͑x ϩ 2͒
x ϩ 5
x2
ϩ x Ϫ 2
1͑͞x ϩ 2͒2͑͞x Ϫ 1͒
7.4
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 473
23. Si ahora se invierte el procedimiento, se ve cómo integrar la función del lado derecho de
esta ecuación:
Para ver cómo funciona en general el método de fracciones parciales, considere una
función racional
donde P y O son polinomios. Es posible expresar f como una suma de fracciones más sim-
ples, siempre que el grado de P sea menor que el grado de O. Esta clase de función racional
se llama propia. Recuerde que si
donde , por lo tanto el grado de P es n y se escribe .
Si f es impropia, es decir, , entonces se debe emprender el paso preli-
minar de dividir O entre P (por división larga) hasta obtener un residuo tal que
. El enunciado de la división es
donde S y R son también polinomios.
Como se ilustra en el siguiente ejemplo, algunas veces este paso preliminar es todo lo
que se requiere.
EJEMPLO 1 Encuentre .
SOLUCIÓN Puesto que el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero se
efectúa la división larga. Esto permite escribir
El siguiente paso es factorizar el denominador tanto como sea posible. Es posible de-
mostrar que cualquier polinomio O se puede factorizar como un producto de factores lineales
(de la forma ) y los factores cuadráticos irreducibles (de la forma ,
donde ). Por ejemplo, si , se podría factorizar como
El tercer paso es expresar la función racional propia (de la ecuación 1) como
una suma de fracciones parciales de la forma
o
Ax ϩ B
͑ax2
ϩ bx ϩ c͒j
A
͑ax ϩ b͒i
R͑x͒͞Q͑x͒
Q͑x͒ ͑x2
Ϫ 4͒͑x2
ϩ 4͒ ͑x Ϫ 2͒͑x ϩ 2͒͑x2
ϩ 4͒
Q͑x͒ x4
Ϫ 16b2
Ϫ 4ac Ͻ 0
ax2
ϩ bx ϩ cax ϩ b
Q͑x͒
x3
3
ϩ
x2
2
ϩ 2x ϩ 2 lnԽx Ϫ 1Խ ϩ C
y
x3
ϩ x
x Ϫ 1
dx y ͩx2
ϩ x ϩ 2 ϩ
2
x Ϫ 1
ͪdx
y
x3
ϩ x
x Ϫ 1
dxV
f͑x͒
P͑x͒
Q͑x͒
S͑x͒ ϩ
R͑x͒
Q͑x͒
1
gra͑R͒ Ͻ gra͑Q͒
R͑x͒
gra͑P͒ ജ gra͑Q͒
gra͑P͒ nan 0
P͑x͒ an xn
ϩ anϪ1xnϪ1
ϩ и и и ϩ a1 x ϩ a0
f͑x͒
P͑x͒
Q͑x͒
2 lnԽx Ϫ 1Խ Ϫ lnԽx ϩ 2Խ ϩ C
y
x ϩ 5
x2
ϩ x Ϫ 2
dx y ͩ 2
x Ϫ 1
Ϫ
1
x ϩ 2
ͪdx
474 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
x-1
≈+x +2
˛-≈
≈+x
≈-x
2x
2x-2
2
˛ +x)
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 474
24. Un teorema en álgebra garantiza que siempre es posible hacer esto. Se explican los detalles
para los cuatro casos que ocurren.
CASO I & El denominador es un producto de factores lineales distintos.
Esto significa que se puede escribir
donde ningún factor se repite (y ningún factor es un múltiplo constante de otro). En este
caso, el teorema de fracciones parciales establece que existen constantes
tales que
Estas constantes se pueden determinar como en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 2 Evalúe .
SOLUCIÓN Puesto que el grado del numerador es menor que el del denominador, no es
necesario dividir. El denominador se factoriza como
Puesto que el denominador tiene tres factores lineales distintos, la descomposición del
integrando (2) en fracciones parciales tiene la forma
Para determinar los valores A, B y C, se multiplican ambos lados de esta ecuación por el
producto de los denominadores, , y se obtiene
Al desarrollar el lado derecho de la ecuación 4 y escribirlo en la forma estándar de poli-
nomios, se obtiene
Los polinomios de la ecuación 5 son idénticos, de modo que sus coeficientes deben
ser iguales. El coeficiente de en el lado derecho, , debe ser igual al coefi-
ciente de en el lado izquierdo; a saber, 1. Del mismo modo, los coeficientes de son
iguales y los términos constantes son iguales. Esto da el siguiente sistema de ecuaciones
para A, B y C:
Ϫ2A ϩ 2B Ϫ 2C Ϫ1
3A ϩ 2B Ϫ C 2
2A ϩ B ϩ 2C 1
xx2
2A ϩ B ϩ 2Cx2
x2
ϩ 2x Ϫ 1 ͑2A ϩ B ϩ 2C͒x2
ϩ ͑3A ϩ 2B Ϫ C͒x Ϫ 2A5
x2
ϩ 2x Ϫ 1 A͑2x Ϫ 1͒͑x ϩ 2͒ ϩ Bx͑x ϩ 2͒ ϩ Cx͑2x Ϫ 1͒4
x͑2x Ϫ 1͒͑x ϩ 2͒
x2
ϩ 2x Ϫ 1
x͑2x Ϫ 1͒͑x ϩ 2͒
A
x
ϩ
B
2x Ϫ 1
ϩ
C
x ϩ 2
3
2x3
ϩ 3x2
Ϫ 2x x͑2x2
ϩ 3x Ϫ 2͒ x͑2x Ϫ 1͒͑x ϩ 2͒
y
x2
ϩ 2x Ϫ 1
2x3
ϩ 3x2
Ϫ 2x
dxV
R͑x͒
Q͑x͒
A1
a1 x ϩ b1
ϩ
A2
a2 x ϩ b2
ϩ и и и ϩ
Ak
ak x ϩ bk
2
A1, A2, . . . , Ak
Q͑x͒ ͑a1 x ϩ b1 ͒͑a2 x ϩ b2 ͒ и и и ͑ak x ϩ bk ͒
Q͑x͒
SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 475
& Otro método para hallar , y
se da en la nota después de este ejemplo.
CBA
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 475
25. Al resolver el sistema se obtiene , , y , y, por lo tanto,
En la integración del término medio se ha hecho la sustitución mental , que
da y .
Se puede usar otro método para hallar los coeficientes de A, B y C en el ejem-
plo 2. La ecuación cuatro es una identidad; se cumple para todo valor de x. Seleccio-
ne valores de x que simplifiquen la ecuación. Si en la ecuación 4, entonces los
términos segundo y tercero del lado derecho desaparecen y la ecuación se convierte en
, o bien . Del mismo modo, da y da , por
lo tanto y . (Se podría objetar que la ecuación 3 no es válida para ,
, o , de este modo ¿por qué la ecuación 4 debe ser válida para estos valores? De
hecho, la ecuación 4 es cierta para todos los valores de , incluso , , y . Véase
en el ejercicio 69 la razón).
EJEMPLO 3 Hallar , donde .
SOLUCIÓN El método de fracciones parciales da
y, por lo tanto
Con el método de la nota precedente, se escribe en esta ecuación y se obtiene
, así que . Si se escribe , se obtiene , por lo
tanto, . Así,
Puesto que , se puede escribir la integral como
Véase en los ejercicios 55-56 las formas de usar la fórmula 6.
CASO II & es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Suponga que el primer factor lineal se repite veces; es decir,
aparece en la factorización de . Por lo tanto en lugar del término simple A1͑͞a1 x ϩ b1͒Q͑x͒
͑a1 x ϩ b1͒r
r͑a1 x ϩ b1͒
Q͑x͒
y
dx
x2
Ϫ a2
1
2a
ln Ϳx Ϫ a
x ϩ a
Ϳϩ C6
ln x Ϫ ln y ln͑x͞y͒
1
2a
(ln Խx Ϫ aԽ Ϫ ln Խx ϩ aԽ) ϩ C
y
dx
x2
Ϫ a2
1
2a y ͩ 1
x Ϫ a
Ϫ
1
x ϩ a
ͪdx
B Ϫ1͑͞2a͒
B͑Ϫ2a͒ 1x ϪaA 1͑͞2a͒A͑2a͒ 1
x a
A͑x ϩ a͒ ϩ B͑x Ϫ a͒ 1
1
x2
Ϫ a2
1
͑x Ϫ a͒͑x ϩ a͒
A
x Ϫ a
ϩ
B
x ϩ a
a 0y
dx
x2
Ϫ a2
Ϫ2
1
2x 0x
Ϫ2
1
2
x 0C Ϫ
1
10B
1
5
10C Ϫ1x Ϫ25B͞4
1
4x
1
2A
1
2Ϫ2A Ϫ1
x 0
NOTA
dx du͞2du 2 dx
u 2x Ϫ 1
1
2 ln ԽxԽ ϩ
1
10 ln Խ2x Ϫ 1Խ Ϫ
1
10 ln Խx ϩ 2Խ ϩ K
y
x2
ϩ 2x Ϫ 1
2x3
ϩ 3x2
Ϫ 2x
dx y ͩ1
2
1
x
ϩ
1
5
1
2x Ϫ 1
Ϫ
1
10
1
x ϩ 2
ͪdx
C Ϫ
1
10B
1
5A
1
2
476 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& Se podría comprobar el trabajo llevando los
términos a un factor común y sumándolos.
& En la figura 1 se muestran las gráficas
del integrando del ejemplo 2 y su integral
indefinida (con ). ¿Cuál es cuál?K 0
FIGURA 1
_3
_2
2
3
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 476
26. en la ecuación 2, se usaría
A modo de ilustración, se podría escribir
pero se prefiere resolver en detalle un ejemplo más simple.
EJEMPLO 4 Encuentre .
SOLUCIÓN El primer paso es dividir. El resultado de la división larga es
El segundo paso es factorizar el denominador . Puesto que
, se sabe que es un factor y se obtiene
Puesto que el factor lineal aparece dos veces, la descomposición en fracciones
parciales es
Al multiplicar el mínimo común denominador, , se obtiene
Ahora se igualan los coeficientes:
Al resolver el sistema se obtiene , y , por lo tanto,
x2
2
ϩ x Ϫ
2
x Ϫ 1
ϩ ln Ϳx Ϫ 1
x ϩ 1
Ϳϩ K
x2
2
ϩ x ϩ ln Խx Ϫ 1Խ Ϫ
2
x Ϫ 1
Ϫ ln Խx ϩ 1Խ ϩ K
y
x4
Ϫ 2x2
ϩ 4x ϩ 1
x3
Ϫ x2
Ϫ x ϩ 1
dx y ͫx ϩ 1 ϩ
1
x Ϫ 1
ϩ
2
͑x Ϫ 1͒2
Ϫ
1
x ϩ 1
ͬdx
C Ϫ1B 2A 1
ϪA ϩ B ϩ C 0
A Ϫ B Ϫ 2C 4
A ϩ B ϩ C 0
͑A ϩ C͒x2
ϩ ͑B Ϫ 2C͒x ϩ ͑ϪA ϩ B ϩ C͒
4x A͑x Ϫ 1͒͑x ϩ 1͒ ϩ B͑x ϩ 1͒ ϩ C͑x Ϫ 1͒2
8
͑x Ϫ 1͒2
͑x ϩ 1͒
4x
͑x Ϫ 1͒2
͑x ϩ 1͒
A
x Ϫ 1
ϩ
B
͑x Ϫ 1͒2
ϩ
C
x ϩ 1
x Ϫ 1
͑x Ϫ 1͒2
͑x ϩ 1͒
x3
Ϫ x2
Ϫ x ϩ 1 ͑x Ϫ 1͒͑x2
Ϫ 1͒ ͑x Ϫ 1͒͑x Ϫ 1͒͑x ϩ 1͒
x Ϫ 1Q͑1͒ 0
Q͑x͒ x3
Ϫ x2
Ϫ x ϩ 1
x4
Ϫ 2x2
ϩ 4x ϩ 1
x3
Ϫ x2
Ϫ x ϩ 1
x ϩ 1 ϩ
4x
x3
Ϫ x2
Ϫ x ϩ 1
y
x4
Ϫ 2x2
ϩ 4x ϩ 1
x3
Ϫ x2
Ϫ x ϩ 1
dx
x3
Ϫ x ϩ 1
x2
͑x Ϫ 1͒3
A
x
ϩ
B
x2
ϩ
C
x Ϫ 1
ϩ
D
͑x Ϫ 1͒2
ϩ
E
͑x Ϫ 1͒3
A1
a1 x ϩ b1
ϩ
A2
͑a1 x ϩ b1͒2
ϩ и и и ϩ
Ar
͑a1 x ϩ b1͒r7
SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 477
& Otra forma de hallar los coeficientes:
Escriba in (8): .
Escriba : .
Escriba : .A B ϩ C 1x 0
C Ϫ1x Ϫ1
B 2x 1
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 477
27. CASO III & contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite.
Si tiene el factor , donde , entonces, además de las frac-
ciones parciales en las ecuaciones 2 y 7, la expresión para tendrá un término de
la forma
donde y son constantes por determinar. Por ejemplo, la función dada por
tiene una descomposición en fracciones parciales de
la forma
El término dado en (9) se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula
EJEMPLO 5 Evalúe .
SOLUCIÓN Puesto que no se puede factorizar más, se escribe
Multiplicando por , se tiene
Al igualar los coeficientes, se obtiene
Así, , y y, por lo tanto,
A fin de integrar el segundo término, se divide en dos partes:
Se hace la sustitución en la primera de estas integrales de modo que
. Se evalúa la segunda integral por medio de la fórmula 10 con :
ln ԽxԽ ϩ
1
2 ln͑x2
ϩ 4͒ Ϫ
1
2 tanϪ1
͑x͞2͒ ϩ K
y
2x2
Ϫ x ϩ 4
x͑x2
ϩ 4͒
dx y
1
x
dx ϩ y
x
x2
ϩ 4
dx Ϫ y
1
x2
ϩ 4
dx
a 2du 2x dx
u x2
ϩ 4
y
x Ϫ 1
x2
ϩ 4
dx y
x
x2
ϩ 4
dx Ϫ y
1
x2
ϩ 4
dx
y
2x2
Ϫ x ϩ 4
x3
ϩ 4x
dx y ͩ1
x
ϩ
x Ϫ 1
x2
ϩ 4
ͪdx
C Ϫ1B 1A 1
4A 4C Ϫ1A ϩ B 2
͑A ϩ B͒x2
ϩ Cx ϩ 4A
2x2
Ϫ x ϩ 4 A͑x2
ϩ 4͒ ϩ ͑Bx ϩ C͒x
x͑x2
ϩ 4͒
2x2
Ϫ x ϩ 4
x͑x2
ϩ 4͒
A
x
ϩ
Bx ϩ C
x2
ϩ 4
x3
ϩ 4x x͑x2
ϩ 4͒
y
2x2
Ϫ x ϩ 4
x3
ϩ 4x
dxV
y
dx
x2
ϩ a2
1
a
tanϪ1
ͩx
a
ͪϩ C10
x
͑x Ϫ 2͒͑x2
ϩ 1͒͑x2
ϩ 4͒
A
x Ϫ 2
ϩ
Bx ϩ C
x2
ϩ 1
ϩ
Dx ϩ E
x2
ϩ 4
f͑x͒ x͓͑͞x Ϫ 2͒͑x2
ϩ 1͒͑x2
ϩ 4͔͒
BA
Ax ϩ B
ax2
ϩ bx ϩ c
9
R͑x͒͞Q͑x͒
b2
Ϫ 4ac Ͻ 0ax2
ϩ bx ϩ cQ͑x͒
Q͑x͒
478 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 478
28. EJEMPLO 6 Evalúe .
SOLUCIÓN Puesto que el grado del numerador no es menor que el del denominador, se
divide primero y se obtiene
Observe que la ecuación cuadrática es irreducible porque su discriminante
es . Esto significa que no se puede factorizar, de modo que no se
necesita usar la técnica de fracciones parciales.
Para integrar la función dada se completa el cuadrado en el denominador:
Esto hace pensar en hacer la sustitución . En tal caso, y
, de tal manera que,
En el ejemplo 6 se ilustra el procedimiento general para integrar una fracción
parcial de la forma
Se completa el cuadrado en el denominador y luego se hace una sustitución que lleva la
integral a la forma
Después, la primera integral es un logaritmo, y la segunda se expresa en términos de
.
CASO IV & contiene un factor cuadrático irreducible repetido.
Si tiene el factor , donde , luego en lugar de la única
fracción parcial (9), la suma
A1 x ϩ B1
ax2
ϩ bx ϩ c
ϩ
A2 x ϩ B2
͑ax2
ϩ bx ϩ c͒2
ϩ и и и ϩ
Ar x ϩ Br
͑ax2
ϩ bx ϩ c͒r11
b2
Ϫ 4ac Ͻ 0͑ax2
ϩ bx ϩ c͒r
Q͑x͒
Q͑x͒
tanϪ1
y
Cu ϩ D
u2
ϩ a2
du C y
u
u2
ϩ a2
du ϩ D y
1
u2
ϩ a2
du
donde b2
Ϫ 4ac Ͻ 0
Ax ϩ B
ax2
ϩ bx ϩ c
NOTA
x ϩ
1
8 ln͑4x2
Ϫ 4x ϩ 3͒ Ϫ
1
4s2
tanϪ1
ͩ2x Ϫ 1
s2
ͪϩ C
x ϩ
1
8 ln͑u2
ϩ 2͒ Ϫ
1
4
ؒ
1
s2
tanϪ1
ͩ u
s2
ͪϩ C
x ϩ
1
4 y
u
u2
ϩ 2
du Ϫ
1
4 y
1
u2
ϩ 2
du
x ϩ
1
2 y
1
2 ͑u ϩ 1͒ Ϫ 1
u2
ϩ 2
du x ϩ
1
4 y
u Ϫ 1
u2
ϩ 2
du
y
4x2
Ϫ 3x ϩ 2
4x2
Ϫ 4x ϩ 3
dx y ͩ1 ϩ
x Ϫ 1
4x2
Ϫ 4x ϩ 3
ͪdx
x ͑u ϩ 1͒͞2
du 2 dxu 2x Ϫ 1
4x2
Ϫ 4x ϩ 3 ͑2x Ϫ 1͒2
ϩ 2
b2
Ϫ 4ac Ϫ32 Ͻ 0
4x2
Ϫ 4x ϩ 3
4x2
Ϫ 3x ϩ 2
4x2
Ϫ 4x ϩ 3
1 ϩ
x Ϫ 1
4x2
Ϫ 4x ϩ 3
y
4x2
Ϫ 3x ϩ 2
4x2
Ϫ 4x ϩ 3
dx
SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 479
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 479
29. ocurre en la descomposición en fracciones parciales de . Cada uno de los térmi-
nos en (11) se puede integrar completando primero el cuadrado.
EJEMPLO 7 Escriba la forma de la descomposición en fracciones parciales de la función
SOLUCIÓN
EJEMPLO 8 Evalúe .
SOLUCIÓN La forma de la descomposición en fracciones parciales es
Al multiplicar por , se tiene
Si se igualan los coeficientes, se obtiene el sistema
que tiene la solución , , , y . Así,
Se nota que a veces se pueden evitar las fracciones parciales cuando se integra una fun-
ción racional. Por ejemplo, aunque la integral
y
x2
ϩ 1
x͑x2
ϩ 3͒
dx
ln ԽxԽ Ϫ
1
2 ln͑x2
ϩ 1͒ Ϫ tanϪ1
x Ϫ
1
2͑x2
ϩ 1͒
ϩ K
y
dx
x
Ϫ y
x
x2
ϩ 1
dx Ϫ y
dx
x2
ϩ 1
ϩ y
x dx
͑x2
ϩ 1͒2
y
1 Ϫ x ϩ 2x2
Ϫ x3
x͑x2
ϩ 1͒2
dx y ͩ1
x
Ϫ
x ϩ 1
x2
ϩ 1
ϩ
x
͑x2
ϩ 1͒2 ͪdx
E 0D 1C Ϫ1B Ϫ1A 1
A 1C ϩ E Ϫ12A ϩ B ϩ D 2C Ϫ1A ϩ B 0
͑A ϩ B͒x4
ϩ Cx3
ϩ ͑2A ϩ B ϩ D͒x2
ϩ ͑C ϩ E͒x ϩ A
A͑x4
ϩ 2x2
ϩ 1͒ ϩ B͑x4
ϩ x2
͒ ϩ C͑x3
ϩ x͒ ϩ Dx2
ϩ Ex
Ϫx3
ϩ 2x2
Ϫ x ϩ 1 A͑x2
ϩ 1͒2
ϩ ͑Bx ϩ C͒x͑x2
ϩ 1͒ ϩ ͑Dx ϩ E͒x
x͑x2
ϩ 1͒2
1 Ϫ x ϩ 2x2
Ϫ x3
x͑x2
ϩ 1͒2
A
x
ϩ
Bx ϩ C
x2
ϩ 1
ϩ
Dx ϩ E
͑x2
ϩ 1͒2
y
1 Ϫ x ϩ 2x2
Ϫ x3
x͑x2
ϩ 1͒2
dx
A
x
ϩ
B
x Ϫ 1
ϩ
Cx ϩ D
x2
ϩ x ϩ 1
ϩ
Ex ϩ F
x2
ϩ 1
ϩ
Gx ϩ H
͑x2
ϩ 1͒2
ϩ
Ix ϩ J
͑x2
ϩ 1͒3
x3
ϩ x2
ϩ 1
x͑x Ϫ 1͒͑x2
ϩ x ϩ 1͒͑x2
ϩ 1͒3
x3
ϩ x2
ϩ 1
x͑x Ϫ 1͒͑x2
ϩ x ϩ 1͒͑x2
ϩ 1͒3
R͑x͒͞Q͑x͒
480 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& Sería extremadamente tedioso determinar a
mano los valores numéricos de los coeficientes
en el ejemplo 7. Sin embargo, mediante la
mayor parte de los sistemas algebraicos
computacionales, se pueden hallar los valores
numéricos de manera muy rápida. Por ejemplo,
el comando de Maple
o el comando de Mathematica
da los siguientes valores:
I Ϫ1
2 , J
1
2
E
15
8 , F Ϫ
1
8 , G H
3
4 ,
A Ϫ1, B
1
8 , C D Ϫ1,
Apart[f]
convert͑f, parfrac, x͒
& En los términos segundo y cuarto se hizo la
sustitución mental .u x2
ϩ 1
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 480
30. se podría evaluar por el método del caso III, es mucho más fácil observar que si
, entonces y, por lo tanto,
RACIONALIZACIÓN DE SUSTITUCIONES
Algunas funciones no racionales se pueden cambiar a funciones racionales por medio de
sustituciones apropiadas. En particular, cuando un integrando contiene una expresión de la
forma , en tal caso la sustitución puede ser efectiva. Otros ejemplos
aparecen en los ejercicios.
EJEMPLO 9 Evalúe .
SOLUCIÓN Sea . Después , así que y . En-
tonces,
Se puede evaluar esta integral, ya sea factorizando como y por
medio de las fracciones parciales o al usar la fórmula 6 con :
2sx ϩ 4 ϩ 2 ln Ϳsx ϩ 4 Ϫ 2
sx ϩ 4 ϩ 2
Ϳϩ C
2u ϩ 8 ؒ
1
2 ؒ 2
ln Ϳu Ϫ 2
u ϩ 2
Ϳϩ C
y
sx ϩ 4
x
dx 2 y du ϩ 8 y
du
u2
Ϫ 4
a 2
͑u Ϫ 2͒͑u ϩ 2͒u2
Ϫ 4
2 y ͩ1 ϩ
4
u2
Ϫ 4
ͪdu
y
sx ϩ 4
x
dx y
u
u2
Ϫ 4
2u du 2 y
u2
u2
Ϫ 4
du
dx 2u dux u2
Ϫ 4u2
x ϩ 4u sx ϩ 4
y
sx ϩ 4
x
dx
u sn
t͑x͒sn
t͑x͒
y
x2
ϩ 1
x͑x2
ϩ 3͒
dx
1
3 ln Խx3
ϩ 3xԽ ϩ C
du ͑3x2
ϩ 3͒ dxu x͑x2
ϩ 3͒ x3
ϩ 3x
SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 481
(a) (b)
6. (a) (b)
7–38 Evalúe la integral.
7. 8.
9. 10. y
1
͑t ϩ 4͒͑t Ϫ 1͒
dty
x Ϫ 9
͑x ϩ 5͒͑x Ϫ 2͒
dx
y
r2
r ϩ 4
dry
x
x Ϫ 6
dx
1
x6
Ϫ x3
x4
͑x3
ϩ x͒͑x2
Ϫ x ϩ 3͒
t4
ϩ t2
ϩ 1
͑t2
ϩ 1͒͑t2
ϩ 4͒2
x4
x4
Ϫ 1
5.
1–6 Escriba la forma de la descomposición en fracciones parciales
de la función (como en el ejemplo 7). No determine los valores nu-
méricos de los coeficientes.
1. (a) (b)
2. (a) (b)
3. (a) (b)
4. (a) (b)
2x ϩ 1
͑x ϩ 1͒3
͑x2
ϩ 4͒2
x3
x2
ϩ 4x ϩ 3
1
͑x2
Ϫ 9͒2
x4
ϩ 1
x5
ϩ 4x3
x2
x2
ϩ x ϩ 2
x
x2
ϩ x Ϫ 2
1
x3
ϩ 2x2
ϩ x
2x
͑x ϩ 3͒͑3x ϩ 1͒
EJERCICIOS7.4
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 481
31. 482 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
48.
49.
50.
51–52 Use la integración por partes, junto con las técnicas de esta
sección, para evaluar la integral.
51. 52.
; 53. Use una gráfica de para decidir si
es positiva o negativa. Use la gráfica para dar una es-
timación aproximada del valor de la integral, y después use
las fracciones parciales para encontrar el valor exacto.
; 54. Grafique y una antiderivada en la misma
pantalla.
55–56 Evalúe la integral completando el cuadrado y use la
fórmula 6.
56.
57. El matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) observó que
la sustitución convierte cualquier función racional
de y en una función racional ordinaria de .
(a) Si , , bosqueje el triángulo rec-
tángulo o use identidades trigonométricas para mostrar que
(b) Muestre que
(c) Muestre que
58–61 Use la sustitución del ejercicio 57 para transformar el inte-
grando en una función racional de y luego evalúe la integral.
58.
59. 60. y
͞2
͞3
1
1 ϩ sen x Ϫ cos x
dxy
1
3 sen x Ϫ 4 cos x
dx
y
dx
3 Ϫ 5 sen x
t
dx
2
1 ϩ t2
dt
cos x
1 Ϫ t2
1 ϩ t2
y sen x
2t
1 ϩ t2
cosͩx
2
ͪ
1
s1 ϩ t2
y senͩx
2
ͪ
t
s1 ϩ t2
Ϫ Ͻ x Ͻ t tan͑x͞2͒
tcos xsen x
t tan͑x͞2͒
y
2x ϩ 1
4x2
ϩ 12x Ϫ 7
dxy
dx
x2
Ϫ 2x
55.
y 1͑͞x3
Ϫ 2x2
͒
x2
0
f ͑x͒ dx
f ͑x͒ 1͑͞x2
Ϫ 2x Ϫ 3͒
y x tanϪ1
x dxy ln͑x2
Ϫ x ϩ 2͒ dx
y
ex
͑ex
Ϫ 2͒͑e2x
ϩ 1͒
dx
y
sec2
t
tan2
t ϩ 3 tan t ϩ 2
dx
y
cos x
sen2
x ϩ sen x
dx
y
e2x
e2x
ϩ 3ex
ϩ 2
dx47.12.
13. 14.
15. 16.
18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
26.
27. 28.
30.
32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39–50 Haga una sustitución para expresar el integrando como una
función racional y después evalúe la integral.
39. 40.
41. 42.
44.
45. [Sugerencia: sustituya .]
46. y
s1 ϩ sx
x
dx
u 6
sxy
1
sx Ϫ s3
x
dx
y
3
1͞3
sx
x2
ϩ x
dxy
x3
s3
x2 ϩ 1
dx43.
y
1
0
1
1 ϩ s3
x
dxy
16
9
sx
x Ϫ 4
dx
y
dx
2sx ϩ 3 ϩ x
y
1
xsx ϩ 1
dx
y
x3
ϩ 2x2
ϩ 3x Ϫ 2
͑x2
ϩ 2x ϩ 2͒2
dxy
x2
Ϫ 3x ϩ 7
͑x2
Ϫ 4x ϩ 6͒2
dx
y
x4
ϩ 3x2
ϩ 1
x5
ϩ 5x3
ϩ 5x
dxy
dx
x͑x2
ϩ 4͒2
y
x3
x3
ϩ 1
dxy
1
0
x3
ϩ 2x
x4
ϩ 4x2
ϩ 3
dx
y
1
0
x
x2
ϩ 4x ϩ 13
dxy
1
x3
Ϫ 1
dx31.
y
3x2
ϩ x ϩ 4
x4
ϩ 3x2
ϩ 2
dxy
x ϩ 4
x2
ϩ 2x ϩ 5
dx29.
y
x2
Ϫ 2x Ϫ 1
͑x Ϫ 1͒2
͑x2
ϩ 1͒
dxy
x3
ϩ x2
ϩ 2x ϩ 1
͑x2
ϩ 1͒͑x2
ϩ 2͒
dx
y
x2
ϩ x ϩ 1
͑x2
ϩ 1͒2 dxy
10
͑x Ϫ 1͒͑x2
ϩ 9͒
dx25.
y
x2
Ϫ x ϩ 6
x3
ϩ 3x
dxy
5x2
ϩ 3x Ϫ 2
x3
ϩ 2x2
dx
y
ds
s2
͑s Ϫ 1͒2y
x2
ϩ 4
x2
ϩ 4
dx
y
x2
Ϫ 5x ϩ 6
͑2x ϩ 1͒͑x Ϫ 2͒2 dxy
1
͑x ϩ 5͒2
͑x Ϫ 1͒
dx
y
x2
ϩ 2x Ϫ 1
x3
Ϫ x
dxy
2
1
4y2
Ϫ 7y Ϫ 12
y͑y ϩ 2͒͑y Ϫ 3͒
dy17.
y
1
0
x3
Ϫ 4x Ϫ 10
x2
Ϫ x Ϫ 6
dxy
4
3
x3
Ϫ 2x2
Ϫ 4
x3
Ϫ 2x2
dx
y
1
͑x ϩ a͒͑x ϩ b͒
dxy
ax
x2
Ϫ bx
dx
y
1
0
x Ϫ 1
x2
ϩ 3x ϩ 2
dxy
3
2
1
x2
Ϫ 1
dx11.
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 482
32. SECCIÓN 7.5 ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN |||| 483
67. (a) Use un sistema algebraico computacional para hallar la des-
composición en fracciones parciales de la función
(b) Use el inciso (a) para hallar (a mano) y compare
con el resultado de usar el CAS para integrar f de manera
directa. Comente acerca de cualquier discrepancia.
68. (a) Encuentre la descomposición en fracciones parciales de
la función
(b) Use el inciso (a) para hallar y grafique f y su inte-
gral indefinida en la misma pantalla.
(c) Use la gráfica de f para descubrir las características princi-
pales de la gráfica de .
69. Suponga que , y Q son polinomios y
para toda x excepto cuando . Demuestre que
para toda x. [Sugerencia: use la continuidad.]
70. Si f es una función cuadrática tal que y
es una función racional, encuentre el valor de .f Ј͑0͒
y
f ͑x͒
x2
͑x ϩ 1͒3 dx
f ͑0͒ 1
F͑x͒ G͑x͒
Q͑x͒ 0
F͑x͒
Q͑x͒
G͑x͒
Q͑x͒
F, G
x f ͑x͒ dx
x f ͑x͒ dx
f ͑x͒
12x5
Ϫ 7x3
Ϫ 13x2
ϩ 8
100x6
Ϫ 80x5
ϩ 116x4
Ϫ 80x3
ϩ 41x2
Ϫ 20x ϩ 4
CAS
x f ͑x͒ dx
f ͑x͒
4x3
Ϫ 27x2
ϩ 5x Ϫ 32
30x5
Ϫ 13x4
ϩ 50x3
Ϫ 286x2
Ϫ 299x Ϫ 70
CAS
61.
62–63 Determine el área de la región bajo la curva dada de 1 a 2.
62. 63.
64. Encuentre el volumen del sólido resultante si la región bajo la
curva de a se hace girar res-
pecto a (a) el eje x y (b) el eje y.
65. Una manera de desacelerar el crecimiento de una población de
insectos sin usar pesticidas es introducir en la población varios
machos estériles que se aparean con hembras fértiles, pero no
producen descendencia. Si P representa el número de insectos
hembras en una población, S el número de machos estériles in-
troducidos cada generación y r la rapidez de crecimiento natural
de la población, entonces la población de hembras se relaciona
con el tiempo t mediante
Suponga que una población de insectos con 10 000 hembras
crece con una proporción de y se agregan 900
machos estériles. Evalúe la integral para obtener una ecuación
que relacione la población de hembras con el tiempo. (Obser-
ve que la ecuación resultante no se puede resolver de manera
explícita para P.)
66. Factorice como una diferencia de cuadrados sumando
y restando primero la misma cantidad. Use esta factorización
para evaluar .x 1͑͞x4
ϩ 1͒ dx
x4
ϩ 1
r 0.10
t y
P ϩ S
P͓͑r Ϫ 1͒P Ϫ S͔
dP
x 1x 0y 1͑͞x2
ϩ 3x ϩ 2͒
y
x2
ϩ 1
3x Ϫ x2
y
1
x3
ϩ x
y
p͞2
0
sen 2x
2 ϩ cos x
dx
ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN
Como se ha visto, la integración es más desafiante que la derivación. Para hallar la deriva-
da de una función, resulta evidente cuál fórmula de derivación se debe aplicar. Pero podría
no ser obvio con la técnica que se debe usar para integrar una función dada.
Hasta ahora se han aplicado técnicas individuales en cada sección. Por ejemplo, nor-
malmente se usó sustitución en los ejercicios 5.5, integración por partes en los ejercicios
7.1 y fracciones parciales en los ejercicios 7.4. Pero en esta sección se presenta una colec-
ción de diversas integrales en orden aleatorio y la dificultad principal es reconocer qué
técnica o fórmula usar. Ninguna regla invariable se puede dar en cuanto a qué método se
aplica en una determinada situación, pero se da cierta orientación sobre la estrategia que
podría resultar útil.
Un prerrequisito para la selección de estrategia es conocer las fórmulas básicas de in-
tegración. En la siguiente tabla se han reunido las integrales de la lista previa junto con
varias fórmulas adicionales que se han aprendido en este capítulo. La mayor parte se de-
ben memorizar. Es útil conocer todas, pero las marcadas con un asterisco no necesitan
ser memorizadas, puesto que se deducen con facilidad. La fórmula 19 se puede evitar si se
7.5
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 483
33. emplean fracciones parciales, y en lugar de la fórmula 20, se pueden usar sustituciones
trigonométricas.
TABLA DE FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN Se han omitido las constantes de integración.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
*19. *20.
Una vez que se cuenta con estas fórmulas de integración básicas, si no se ve de inme-
diato cómo proceder a resolver una determinada integral, se podría probar la siguiente
estrategia de cuatro pasos.
1. Simplifique el integrando si es posible A veces el uso de operaciones algebraicas
o identidades trigonométricas simplifica el integrando y hace evidente el método
de integración. A continuación se dan algunos ejemplos:
y ͑1 ϩ 2 sen x cos x͒ dx
y ͑sen x ϩ cos x͒2
dx y ͑sen2
x ϩ 2 sen x cos x ϩ cos2
x͒ dx
y sen cos d
1
2 y sen 2 d
y
tan
sec2
d y
sen
cos
cos2
d
y sx (1 ϩ sx) dx y (sx ϩ x) dx
y
dx
sx2
Ϯ a2
ln Խx ϩ sx2
Ϯ a2
Խy
dx
x2
Ϫ a2
1
2a
ln Ϳx Ϫ a
x ϩ a
Ϳ
y
dx
sa2
Ϫ x2
senϪ1
ͩx
a
ͪy
dx
x2
ϩ a2
1
a
tanϪ1
ͩx
a
ͪ
y cosh x dx senh xy senh x dx cosh x
y cot x dx lnԽsen xԽy tan x dx lnԽsec xԽ
y csc x dx lnԽcsc x Ϫ cot xԽy sec x dx lnԽsec x ϩ tan xԽ
y csc x cot x dx Ϫcsc xy sec x tan x dx sec x
y csc2
x dx Ϫcot xy sec2
x dx tan x
y cos x dx sen xy sen x dx Ϫcos x
y ax
dx
ax
ln a
y ex
dx ex
y
1
x
dx lnԽxԽ͑n Ϫ1͒y xn
dx
xnϩ1
n ϩ 1
484 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CAPITULO-07-A 06/04/2009 19:45 Page 484
34. 2. Busque una sustitución obvia Intente hallar alguna función en el integran-
do cuya diferencial también aparece, además de un factor constante.
Por ejemplo, en la integral
se observa que si , entonces . Por lo tanto, se usa la sustitución
en lugar del método de fracciones parciales.
3. Clasifique el integrando de acuerdo con su forma Si los pasos 1 y 2 no han llevado
a la solución, entonces se echa un vistazo a la forma del integrando .
(a) Funciones trigonométricas. Si es un producto de potencias de y ,
de y , o de y , después se usan las sustituciones recomendadas
en la sección 7.2.
(b) Funciones racionales. Si es una función racional, se usa el procedimiento de
la sección 7.4 relacionado con fracciones parciales.
(c) Integración por partes. Si es un producto de una potencia de (o un poli-
nomio) y una función trascendental (como una función trigonométrica, expo-
nencial o logarítmica), entonces se prueba la integración por partes, y se eligen
u y de acuerdo con la recomendación dada en la sección 7.1. Si considera a
las funciones de los ejercicios 7.1, se verá que la mayor parte de ellas son del
tipo recién descrito.
(d) Radicales. Los tipos particulares de sustituciones se recomiendan cuando apare-
cen ciertos radicales.
(i) Si se usa la sustitución trigonométrica de acuerdo con la tabla de
la sección 7.3.
(ii) Si ocurre se usa la sustitución de racionalización . De una
manera más general, esto funciona a veces para .
4. Inténtelo una vez más Si los tres primeros pasos no producen respuesta, recuerde
que hay básicamente sólo dos métodos de integración: sustitución y por partes.
(a) Pruebe la sustitución. Incluso si ninguna sustitución es obvia (paso 2), cierta
inspiración o inventiva (o incluso desesperación) podría sugerir una sustitución
apropiada.
(b) Pruebe por partes. Aunque la integración por partes emplea la mayor parte del
tiempo en productos de la forma descrita en el paso 3(c), a veces es efectiva en
funciones simples. En relación con la sección 7.1, se ve que funciona en ,
, , y todas éstas son funciones inversas.
(c) Realice algunas operaciones en el integrando. Las operaciones algebraicas (quizá
racionalizar el denominador o usar identidades trigonométricas) podrían ser útiles
para transformar el integrando en una forma más fácil. Estas operaciones pueden
ser más sustanciales que en el paso 1, y podrían implicar cierto ingenio. A conti-
nuación se da un ejemplo:
(d) Relacione el problema con problemas previos. Cuando se ha acumulado cierta ex-
periencia en la integración, hay la posibilidad de usar un método en una integral da-
da similar a uno que ya se ha empleado en una integral previa. O incluso se podría
expresar la integral dada en términos de una previa. Por ejemplo, x tan2
x sec x dx
y
1 ϩ cos x
sen2
x
dx y ͩcsc2
x ϩ
cos x
sen2
x
ͪdx
y
dx
1 Ϫ cos x
y
1
1 Ϫ cos x
ؒ
1 ϩ cos x
1 ϩ cos x
dx y
1 ϩ cos x
1 Ϫ cos2
x
dx
ln xsenϪ1
x
tanϪ1
x
sn
t͑x͒
u sn
ax ϩ bsn
ax ϩ b
sϮx2
Ϯ a2
dv
xf͑x͒
f
csc xcot xsec xtan x
cos xsen xf ͑x͒
f͑x͒
u x2
Ϫ 1
du 2x dxu x2
Ϫ 1
y
x
x2
Ϫ 1
dx
du tЈ͑x͒ dx
u t͑x͒
SECCIÓN 7.5 ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN |||| 485
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:48 Page 485
35. es una integral desafiante, pero si se emplea la identidad , se
puede escribir
y si ha sido evaluada antes (véase el ejemplo 8 en la sección 7.2),
entonces ese cálculo se puede usar en el problema actual.
(e) Use varios métodos. Algunas veces se requieren dos o tres métodos para evaluar
una integral. La evaluación podría requerir varias sustituciones sucesivas de dife-
rentes tipos, o podría ser necesario combinar la integración por partes con una o
más sustituciones.
En los siguientes ejemplos se indica una manera de cómo enfrentar el problema, pero
no resuelve por completo la integral.
EJEMPLO 1
En el paso 1 se reescribe la integral:
La integral ahora es de la forma con impar, así que se puede usar la
recomendación de la sección 7.2.
De manera alternativa, si en el paso 1 se hubiera escrito
por lo tanto se podría haber continuado como sigue con la sustitución :
EJEMPLO 2
De acuerdo con (ii) en el paso 3(d), se sustituye . Entonces , por lo tanto,
y
El integrando es ahora un producto de y la función trascendental de modo que se
puede integrar por partes.
eu
u
y esx
dx 2 y ueu
du
dx 2u du
x u2
u sx
y esx
dxV
y
u2
Ϫ 1
u6
du y ͑uϪ4
Ϫ uϪ6
͒du
y
sen3
x
cos6
x
dx y
1 Ϫ cos2
x
cos6
x
sen x dx y
1 Ϫ u2
u6
͑Ϫdu͒
u cos x
y
tan3
x
cos3
x
dx y
sen3
x
cos3
x
1
cos3
x
dx y
sen3
x
cos6
x
dx
mx tanm
x secn
x dx
y
tan3
x
cos3
x
dx y tan3
x sec3
x dx
y
tan3
x
cos3
x
dx
x sec3
x dx
y tan2
x sec x dx y sec3
x dx Ϫ y sec x dx
tan2
x sec2
x Ϫ 1
486 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:48 Page 486
36. EJEMPLO 3
Ninguna simplificación algebraica o sustitución es obvia, de modo que aquí no aplican
los pasos 1 y 2. El integrando es una función racional, así que se aplica el procedimiento
de la sección 7.4, sin olvidar que el primer paso es dividir.
EJEMPLO 4
Aquí todo lo que se necesita es el paso 2. Se sustituye porque su diferencial es
, la cual aparece en la integral.
EJEMPLO 5
Aunque aquí funciona la sustitución de racionalización
[(ii) paso 3(d)], conduce a una función de racionalización muy complicada. Un método
más fácil es hacer algunas operaciones algebraicas [como en el paso 1 o el paso 4(c)].
Al multiplicar numerador y denominador por , se tiene
¿SE PUEDEN INTEGRAR TODAS LAS FUNCIONES CONTINUAS?
Surge la pregunta: ¿La estrategia de integración permitirá hallar la integral de toda función
continua? Por ejemplo, ¿es posible emplearla para evaluar ? La respuesta es no, por
lo menos no en términos de las funciones con las que se está familiarizado.
Las funciones con las que se ha estado tratando en este libro se llaman funciones ele-
mentales. Éstas son polinomios, funciones racionales, funciones de potencia , funciones
exponenciales , funciones logarítmicas, funciones trigonométricas y trigonométri-
cas inversas, funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, y todas las funciones que se
pueden obtener de éstas mediante las cinco operaciones de suma, resta, multiplicación, di-
visión y composición. Por ejemplo, la función
es una función elemental.
Si f es una función elemental, entonces f Ј es una función elemental pero no
necesariamente es una función elemental. Considere . Puesto que f es continua,
su integral existe, y si se define la función F por
F͑x͒ y
x
0
et 2
dt
f ͑x͒ ex2
x f͑x͒ dx
f ͑x͒ ͱ x2
Ϫ 1
x3
ϩ 2x Ϫ 1
ϩ ln͑cosh x͒ Ϫ xesen 2x
͑ax
͒
͑xa
͒
x ex2
dx
senϪ1
x ϩ s1 Ϫ x2
ϩ C
y
1
s1 Ϫ x2
dx Ϫ y
x
s1 Ϫ x2
dx
yͱ1 Ϫ x
1 ϩ x
dx y
1 Ϫ x
s1 Ϫ x2
dx
s1 Ϫ x
u ͱ1 Ϫ x
1 ϩ x
y ͱ1 Ϫ x
1 ϩ x
dxV
du dx͞x
u ln x
y
dx
xsln x
V
y
x5
ϩ 1
x3
Ϫ 3x2
Ϫ 10x
dx
SECCIÓN 7.5 ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN |||| 487
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:48 Page 487
37. por lo tanto de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo se sabe que
Así, tiene una antiderivada , pero se ha demostrado que no es una función
elemental. Esto significa que sin importar el esfuerzo realizado, nunca se logrará evaluar
en términos de las funciones conocidas. (No obstante, en el capítulo 11 se verá có-
mo expresar como una serie infinita.) Lo mismo se puede decir de las siguientes
integrales:
De hecho, la mayoría de las funciones elementales no tienen antiderivadas elementales.
Sin embargo, puede estar seguro de que todas las integrales de los siguientes ejercicios son
funciones elementales.
y sx3
ϩ 1 dx y
1
ln x
dx y
sen x
x
dx
y
ex
x
dx y sen͑x2
͒dx y cos͑ex
͒dx
x ex2
dx
x ex2
dx
FFf͑x͒ ex2
FЈ͑x͒ ex2
488 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
25. 26.
27. 28.
29. 30.
32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
42.
43. 44.
46.
47. 48. y
x
x4
Ϫ a4
dxy x3
͑x Ϫ 1͒Ϫ4
dx
y
1 ϩ sen x
1 Ϫ sen x
dxy x5
eϪx 3
dx45.
y s1 ϩ ex
dxy ex
s1 ϩ ex
dx
y
tanϪ1
x
x2
dxy tan2
d41.
y
1
s4y2
Ϫ 4y Ϫ 3
dyy
sen u tan u
sec2
u Ϫ sec u
du
y
͞4
0
tan5
sec3
dy
͞4
0
cos2
tan2
d
y sen 4x cos 3x dxy
1
Ϫ1
x8
sen x dx
y
͞2
͞4
1 ϩ 4 cot x
4 Ϫ cot x
dxy s3 Ϫ 2x Ϫ x2 dx
y
s2x Ϫ 1
2x ϩ 3
dxy ͱ1 ϩ x
1 Ϫ x
dx31.
y
2
Ϫ2
Խx2
Ϫ 4x Խ dxy
5
0
3w Ϫ 1
w ϩ 2
dw
y sen sat dty
dx
1 ϩ ex dx
y
3x2
Ϫ 2
x3
Ϫ 2x Ϫ 8
dxy
3x2
Ϫ 2
x2
Ϫ 2x Ϫ 8
dx
1–80 Evalúe la integral
1. 2.
3. 4.
5. 6.
8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
18.
19. 20.
21. 22.
24. y ln͑x2
Ϫ 1͒ dxy
1
0
(1 ϩ sx)8
dx23.
y
ln x
xs1 ϩ ͑ln x͒2
dxy arctan sx dx
y e2
dxy exϩe x
dx
y
e2t
1 ϩ e4t
dty x sen2
x dx17.
y
s2͞2
0
x2
s1 Ϫ x2
dxy
dx
͑1 Ϫ x2
͒3͞2
y
x3
s1 ϩ x2
dxy sen3
cos5
d
y
x
x4
ϩ x2
ϩ 1
dxy
x Ϫ 1
x2
Ϫ 4x ϩ 5
dx
y
4
0
x Ϫ 1
x2
Ϫ 4x Ϫ 5
dxy
3
1
r4
ln r dr
y x csc x cot x dxy
1
Ϫ1
earctan y
1 ϩ y2 dy7.
y
x
s3 Ϫ x4
dxy
2
0
2t
͑t Ϫ 3͒2 dt
y tan3
u duy
sen x ϩ sec x
tan x
dx
y
sen3
x
cos x
dxy cos x͑1 ϩ sen2
x͒dx
EJERCICIOS7.5
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:48 Page 488
38. SECCIÓN 7.6 INTEGRACIÓN POR MEDIO DE TABLAS Y SISTEMAS ALGEBRAICOS |||| 489
67. 68.
70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
81. Las funciones y no tienen antiderivadas
elementales, pero sí. Evalúe
.x ͑2x2
ϩ 1͒ex 2
dx
y ͑2x2
ϩ 1͒ex 2
y x2
ex 2
y ex 2
y
sen x cos x
sen4
x ϩ cos4
x
dxy x sen2
x cos x dx
y
sec x cos 2x
sen x ϩ sec x
dxy
sx
1 ϩ x3
dx
y ͑x2
Ϫ bx͒ sen 2x dxy
xex
s1 ϩ ex
dx
y
dx
sx ͑2 ϩ sx͒4y
1
͑x Ϫ 2͒͑x2
ϩ 4͒
dx
y
4x
ϩ 10x
2x dxy
x ϩ arcsen x
s1 ϩ x2
dx
y
ln͑x ϩ 1͒
x2
dxy
e2x
1 ϩ ex
dx69.
y
1
1 ϩ 2ex
Ϫ eϪx
dxy
s3
1
s1 ϩ x2
x2
dx50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
58.
59. 60.
62.
63. 64.
65. 66. y
3
2
u3
ϩ 1
u3
Ϫ u2 duy
1
sx ϩ 1 ϩ sx
dx
y
͞3
͞4
ln͑tan x͒
sen x cos x
dxy
sen 2x
1 ϩ cos4
x
dx
y
1
x ϩ 3
sx
dxy sxesx
dx61.
y
dx
x2
s4x2
Ϫ 1
y cos x cos3
͑sen x͒ dx
y
x ln x
sx2
Ϫ 1
dxy xs3
x ϩ c dx57.
y
dx
sx ϩ xsx
y
dx
x ϩ xsx
y ͑x ϩ sen x͒2
dxy x2
senh mx dx
y
dx
x͑x4
ϩ 1͒
y
1
xs4x2
ϩ 1
dx
y
1
x2
s4x ϩ 1
dxy
1
xs4x ϩ 1
dx49.
INTEGRACIÓN POR MEDIO DE TABLAS
Y SISTEMAS ALGEBRAICOS
En esta sección se describe cómo usar las tablas y los sistemas algebraicos computaciona-
les para integrar funciones que tienen antiderivadas elementales. No obstante, se debe tener
en mente que incluso los sistemas algebraicos computacionales más poderosos, no pueden
hallar fórmulas explícitas para las antiderivadas de funciones como o las otras funciones
descritas al final de la sección 7.5.
TABLAS DE INTEGRALES
Las tablas de integrales indefinidas son muy útiles cuando se afronta una integral que es di-
fícil de evaluar a mano y no se tiene acceso a un sistema algebraico computacional. Una
tabla relativamente breve de 120 integrales, clasificada por forma, se da en las páginas de re-
ferencia al final del libro. Tablas más extensas se encuentran en CRC Standard Mathematical
Tables and Formulae, 31a. ed. de Daniel Zwillinger (Boca Raton, FL: CRC Press, 2002) (709
elementos) o en Gradshteyn y Ryzhik’s Table of Integrals, Series, and Products, 6e (New
York: Academic Press, 2000), que contiene cientos de páginas de integrales. Se debe recor-
dar, sin embargo, que las integrales no aparecen a menudo exactamente en la forma listada en
una tabla. A menudo, es necesario usar sustitución u operaciones algebraicas para trans-
formar una determinada integral en una de las formas de la tabla.
EJEMPLO 1 La región limitada por las curvas , y se hace girar
respecto al eje y. Determine el volumen del sólido resultante.
SOLUCIÓN Con el método de cascarones cilíndricos, se ve que el volumen es
V y
1
0
2x arctan x dx
x 1y arctan x, y 0
ex 2
7.6
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:48 Page 489
39. En la sección de la tabla de integrales titulada Formas tigonométricas inversas se locali-
za la fórmula 92:
Así, el volumen es
EJEMPLO 2 Use la tabla de integrales para hallar .
SOLUCIÓN Si se ve la sección de la tabla titulada Formas relacionadas con , se ve
que el elemento más parecido es el número 34:
Esto no es exactamente lo que se tiene, pero se podrá usar esto si primero se hace la sus-
titución :
Luego se emplea la fórmula 34 con (de modo que ):
EJEMPLO 3 Emplee la tabla de integrales para determinar .
SOLUCIÓN Si se estudia la sección llamada Formas trigonométricas, se ve que ninguno de
los elementos incluye de manera explícita un factor Sin embargo, se puede usar la
fórmula de reducción del elemento 84 con :
Ahora se necesita evaluar . Se puede usar la fórmula de reducción número
85 con , seguida de la integral 82:
x2
sen x Ϫ 2͑sen x Ϫ x cos x͒ ϩ K
y x2
cos x dx x2
sen x Ϫ 2 y x sen x dx
n 2
x x2
cos x dx
y x3
sen x dx Ϫx3
cos x ϩ 3 y x2
cos x dx
n 3
u3
y x3
sen x dx
Ϫ
x
8
s5 Ϫ 4x2
ϩ
5
16
senϪ1
ͩ2x
s5
ͪϩ C
y
x2
s5 Ϫ 4x2
dx
1
8
y
u2
s5 Ϫ u2
du
1
8
ͩϪ
u
2
s5 Ϫ u2
ϩ
5
2
senϪ1
u
s5
ͪϩ C
a s5a2
5
y
x2
s5 Ϫ 4x2
dx y
͑u͞2͒2
s5 Ϫ u2
du
2
1
8
y
u2
s5 Ϫ u2
du
u 2x
y
u2
sa2
Ϫ u2
du Ϫ
u
2
sa2
Ϫ u2
ϩ
a2
2
senϪ1
ͩu
a
ͪϩ C
sa2
Ϫ u2
y
x2
s5 Ϫ 4x2
dxV
͓2͑͞4͒ Ϫ 1͔
1
2 2
Ϫ
͓͑x2
ϩ 1͒ tanϪ1
x Ϫ x͔0
1
͑2 tanϪ1
1 Ϫ 1͒
V 2 y
1
0
x tanϪ1
x dx 2ͫx2
ϩ 1
2
tanϪ1
x Ϫ
x
2
ͬ0
1
y u tanϪ1
u du
u2
ϩ 1
2
tanϪ1
u Ϫ
u
2
ϩ C
490 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& La tabla de integrales aparece en
las páginas de referencia al final del libro.
85.
un
sen u Ϫ n y unϪ1
sen u du
y un
cos u du
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:48 Page 490
40. Al combinar estos cálculos, se obtiene
donde .
EJEMPLO 4 Use la tabla de integrales para hallar .
SOLUCIÓN Puesto que la tabla da formas relacionadas con , , y ,
pero no , primero se completa el cuadrado:
Si se hace la sustitución (de modo que ), el integrando se relacio-
nará con el patrón :
La primera integral se evalúa por medio de la sustitución :
Para la segunda integral se usa la fórmula 21 con :
En estos términos,
SISTEMAS ALGEBRAICOS COMPUTACIONALES
Se ha visto que el uso de tablas requiere comparar la forma del integrando dado con las
formas de los integrandos en las tablas. Las computadoras son particularmente buenas pa-
ra comparar patrones. Y, así como se emplearon sustituciones junto con las tablas, un CAS
puede llevar a cabo sustituciones que transforman una integral dada en una que aparece en
sus fórmulas almacenadas. Así, no es sorprendente que los sistemas algebraicos computa-
cionales sobresalgan en la integración. Eso no significa que la integración a mano sea una
habilidad obsoleta. Se verá que un cálculo manual produce a veces una integral indefini-
da en una forma que es más conveniente que la respuesta dada por una máquina.
Para empezar, se verá lo que sucede cuando se pide a la máquina integrar la función
relativamente simple . Con la sustitución , un cálculo fácil a
mano da
y
1
3x Ϫ 2
dx
1
3 ln Խ3x Ϫ 2Խ ϩ C
u 3x Ϫ 2y 1͑͞3x Ϫ 2͒
1
3͑x2
ϩ 2x ϩ 4͒3͞2
Ϫ
x ϩ 1
2
sx2
ϩ 2x ϩ 4 Ϫ
3
2 ln(x ϩ 1 ϩ sx2
ϩ 2x ϩ 4) ϩ C
y xsx2
ϩ 2x ϩ 4 dx
y su2
ϩ 3 du
u
2
su2
ϩ 3 ϩ
3
2 ln(u ϩ su2
ϩ 3)
a s3
y usu2
ϩ 3 du
1
2 y st dt
1
2 ؒ
2
3 t3͞2
1
3 ͑u2
ϩ 3͒3͞2
t u2
ϩ 3
y usu2
ϩ 3 du Ϫ y su2
ϩ 3 du
y xsx2
ϩ 2x ϩ 4 dx y ͑u Ϫ 1͒ su2
ϩ 3 du
sa2
ϩ u2
x u Ϫ 1u x ϩ 1
x2
ϩ 2x ϩ 4 ͑x ϩ 1͒2
ϩ 3
sax2
ϩ bx ϩ c
sx2
Ϫ a2
sa2
Ϫ x2
sa2
ϩ x2
y xsx2
ϩ 2x ϩ 4 dxV
C 3K
y x3
sen x dx Ϫx3
cos x ϩ 3x2
sen x ϩ 6x cos x Ϫ 6 sen x ϩ C
SECCIÓN 7.6 INTEGRACIÓN POR MEDIO DE TABLAS Y SISTEMAS ALGEBRAICOS |||| 491
21.
ϩ
a2
2
ln(u ϩ sa2
ϩ u2
) ϩ C
y sa2
ϩ u2
du
u
2
sa2
ϩ u2
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:49 Page 491
41. mientras que Derive, Mathematica y Maple producen la respuesta
Lo primero que hay que observar es que los sistemas algebraicos computacionales omi-
ten la constante de integración. En otras palabras, producen una antiderivada particular,
no la más general. Por lo tanto, al hacer uso de una integración de máquina, se tendría que
añadir una constante. Segundo, los signos de valor absoluto se omiten en la respuesta
de máquina. Eso está bien si el problema tiene que ver sólo con valores de mayores que
. Pero si se está interesado en otros valores de , en tal caso es necesario insertar el símbo-
lo de valor absoluto.
En el ejemplo siguiente se reconsidera la integral del ejemplo 4, pero esta vez se pide
la respuesta a la máquina.
EJEMPLO 5 Use un sistema algebraico computacional para determinar
.
SOLUCIÓN Maple genera la respuesta
Esto se ve diferente a la respuesta encontrada en el ejemplo 4, pero es equivalente por-
que el tercer término se puede reescribir por medio de la identidad
Así,
El término extra resultante se puede absorber en la constante de integración.
Mathematica da la respuesta
Mathematica combinó los dos primeros términos del ejemplo 4 (y el resultado de Maple)
en un término simple mediante factorización.
Derive da la respuesta
El primer término es parecido al primer término en la respuesta de Mathematica, y el
segundo término es idéntico al último término del ejemplo 4.
EJEMPLO 6 Use un CAS para evaluar .
SOLUCIÓN Maple y Mathematica dan la misma respuesta:
1
18 x18
ϩ
5
2 x16
ϩ 50x14
ϩ
1750
3 x12
ϩ 4375x10
ϩ 21 875x8
ϩ
21 8750
3 x6
ϩ 156 250x4
ϩ
390 625
2 x2
y x͑x2
ϩ 5͒8
dx
1
6 sx2
ϩ 2x ϩ 4 ͑2x2
ϩ x ϩ 5͒ Ϫ
3
2 ln(sx2
ϩ 2x ϩ 4 ϩ x ϩ 1)
ͩ5
6
ϩ
x
6
ϩ
x2
3
ͪsx2
ϩ 2x ϩ 4 Ϫ
3
2
arcsenhͩ1 ϩ x
s3
ͪ
Ϫ
3
2 ln(1͞s3)
ln
1
s3
ϩ ln(x ϩ 1 ϩ sx2
ϩ 2x ϩ 4)
ln
1
s3
[1 ϩ x ϩ s͑1 ϩ x͒2
ϩ 3]
arcsenh
s3
3
͑1 ϩ x͒ lnͫs3
3
͑1 ϩ x͒ ϩ s|
1
3 ͑1 ϩ x͒2
ϩ 1ͬ
arcsenh x ln(x ϩ sx2
ϩ 1)
1
3 ͑x2
ϩ 2x ϩ 4͒3͞2
Ϫ
1
4 ͑2x ϩ 2͒sx2
ϩ 2x ϩ 4 Ϫ
3
2
arcsenh
s3
3
͑1 ϩ x͒
y xsx2
ϩ 2x ϩ 4 dx
x
2
3
x
1
3 ln͑3x Ϫ 2͒
492 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& Ésta es la ecuación 3.11.3.
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:49 Page 492
42. Es claro que ambos sistemas desarrollaron mediante el teorema del binomio, y
después integraron cada término.
Si se integra a mano, con la sustitución , se obtiene
Para la mayor parte de los propósitos, ésta es una forma más conveniente de la res-
puesta.
EJEMPLO 7 Use un CAS para determinar .
SOLUCIÓN En el ejemplo 2 de la sección 7.2 se encontró que
Derive y Maple dan la respuesta
Mientras que Mathematica produce
Se sospecha que hay identidades trigonométricas que muestran que estas tres respuestas
son equivalentes. De hecho, si se pide a Derive, Maple y Mathematica que simplifiquen sus
expresiones por medio de identidades trigonométricas, en última instancia producen
la misma forma de respuesta que en la ecuación 1.
Ϫ
5
64 cos x Ϫ
1
192 cos 3x ϩ
3
320 cos 5x Ϫ
1
448 cos 7x
Ϫ
1
7 sen4
x cos3
x Ϫ
4
35 sen2
x cos3
x Ϫ
8
105 cos3
x
y sen5
x cos2
x dx Ϫ
1
3 cos3
x ϩ
2
5 cos5
x Ϫ
1
7 cos7
x ϩ C1
y sen5
x cos2
x dx
y x͑x2
ϩ 5͒8
dx
1
18 ͑x2
ϩ 5͒9
ϩ C
u x2
ϩ 5
͑x2
ϩ 5͒8
SECCIÓN 7.6 INTEGRACIÓN POR MEDIO DE TABLAS Y SISTEMAS ALGEBRAICOS |||| 493
11. 12.
13. 14.
15. 16.
18.
20.
21. 22.
23. 24.
25. y
1
0
x4
eϪx
dx26.y
s4 ϩ ͑ln x͒2
x
dx
y sen6
2x dxy sec5
x dx
y
2
0
x3
s4x2 Ϫ x4 dxy
ex
3 Ϫ e2x dx
y
sen 2u
s5 Ϫ sen u
duy sen2
x cos x ln͑sen x͒ dx19.
y
dx
2x3
Ϫ 3x2y ys6 ϩ 4y Ϫ 4y2 dy17.
y x sen͑x2
͒ cos͑3x2
͒ dxy e2x
arctan͑ex
͒dx
y senϪ1
sx dxy
tan3
͑1͞z͒
z2
dz
y x2
csch ͑x3
ϩ 1͒ dxy
0
Ϫ1
t2
eϪt
dt1–4 Use el elemento indicado de la tabla de integrales en las
páginas de referencia para evaluar la integral.
1. ; entrada 33 2. ; entrada 55
3. ; entrada 71 4. ; entrada 98
5–30 Use la tabla de integrales de las páginas de referencia para
evaluar la integral.
5. 6.
7. 8.
9. y
s2y2 Ϫ 3
y2
dy10.y
dx
x2
s4x2 ϩ 9
y
ln͑1 ϩ sx͒
sx
dxy tan3
͑px͒ dx
y
3
2
1
x2
s4x2
Ϫ 7
dxy
1
0
2x cosϪ1
x dx
y e2
sen 3 dy sec3
͑x͒ dx
y
3x
s3 Ϫ 2x
dxy
s7 Ϫ 2x2
x2
dx
EJERCICIOS7.6
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:49 Page 493
43. 494 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
43. (a) Utilice la tabla de integrales para evaluar ,
donde
¿Cuál es el dominio de f y F?
(b) Aplique un CAS para evaluar F(x). ¿Cuál es el dominio
de la función F que produce el CAS? ¿Existe diferencia
entre este dominio y el que encontró en el inciso (a) para
la función F?
44. Los sistemas algebraicos computacionales necesitan a veces
una mano auxiliadora de los seres humanos. Intente evaluar
con un sistema algebraico computacional. Si no obtiene res-
puesta, haga una sustitución que cambie la integral en una
que el CAS pueda evaluar.
45–48 Use un CAS para hallar una antiderivada F de f tal que
. Grafique f y F y localice de manera aproximada las coor-
denadas x de los puntos extremos y los puntos de inflexión de F.
45.
46.
47. ,
48. f ͑x͒
x3
Ϫ x
x6
ϩ 1
0 ഛ x ഛ f ͑x͒ sen4
x cos6
x
f ͑x͒ xeϪx
sen x, Ϫ5 ഛ x ഛ 5
f ͑x͒
x2
Ϫ 1
x4
ϩ x2
ϩ 1
F͑0͒ 0
CAS
y ͑1 ϩ ln x͒ s1 ϩ ͑x ln x͒2 dx
CAS
f ͑x͒
1
xs1 Ϫ x2
F͑x͒ y f ͑x͒ dxCAS28.
30.
31. Encuentre el volumen del sólido obtenido cuando la región
bajo la curva , , se hace girar respecto
al eje .
32. La región bajo la curva de 0 a se hace girar
respecto al eje . Encuentre el volumen del sólido resultante.
Compruebe la fórmula 53 de la tabla de integrales (a) por deri-
vación y (b) por medio de la sustitución .
34. Compruebe la fórmula 31 (a) por derivación y (b) sustituyendo
.
35–42 Use un sistema algebraico computacional para evaluar la in-
tegral. Compare la respuesta con el resultado de usar tablas. Si las
respuestas no son las mismas, muestre que son equivalentes.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42. y
1
s1 ϩ 3
sx
dxy tan5
x dx
y sen4
x dxy xs1 ϩ 2x dx
y
dx
ex
͑3ex
ϩ 2͒
y x2
sx2
ϩ 4 dx
y csc5
x dxy sec4
x dx
CAS
u a sen
t a ϩ bu
33.
x
͞4y tan2
x
y
0 ഛ x ഛ 2y xs4 Ϫ x2
y
sec2
tan2
s9 Ϫ tan2
dy
x4
dx
sx10
Ϫ 229.
y et
sen͑␣t Ϫ 3͒ dty se2x
Ϫ 1 dx27.
En este proyecto se emplea un sistema algebraico computacional para investigar integrales indefi-
nidas de familias de funciones. Al observar los patrones que aparecen en las integrales de varios
miembros de la familia, primero se inferirá, y luego se probará, una fórmula general para la integral
de cualquier miembro de la familia.
1. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) (ii)
(iii) (iv)
(b) Con respecto al patrón de sus respuestas del inciso (a), suponga el valor de la integral
si . ¿Qué pasa si ?
(c) Compruebe su conjetura pidiendo al CAS que evalúe la integral del inciso (b). Después
demuéstrela por medio de fracciones parciales.
a ba b
y
1
͑x ϩ a͒͑x ϩ b͒
dx
y
1
͑x ϩ 2͒2 dxy
1
͑x ϩ 2͒͑x Ϫ 5͒
dx
y
1
͑x ϩ 1͒͑x ϩ 5͒
dxy
1
͑x ϩ 2͒͑x ϩ 3͒
dx
PATRONES DE INTEGRALESCASPROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:49 Page 494
44. SECCIÓN 7.7 INTEGRACIÓN APROXIMADA |||| 495
2. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) (ii) (iii)
(b) En función del patrón de sus respuestas del inciso (a), suponga el valor de la integral
(c) Compruebe su conjetura con un CAS. Después demuéstrela por medio de las técnicas
de la sección 7.2. ¿Para qué valores de a y b es válida?
3. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) (ii) (iii)
(iv) (v)
(b) De acuerdo al patrón de sus respuestas del inciso (a), suponga el valor de
(c) Use la integración por partes para demostrar la conjetura que hizo en el inciso (b). ¿Para
qué valores de n es válida?
4. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) (ii) (iii)
(iv) (v)
(b) Con base en el patrón de sus respuestas del inciso (a), infiera el valor de .
Después utilice su CAS para comprobar su conjetura.
(c) Con base en los patrones de los incisos (a) y (b), haga una conjetura en cuanto al valor
de la integral
cuando n es un entero positivo.
(d) Use la función matemática para demostrar la conjetura que hizo en el inciso (c).
y xn
ex
dx
x x6
ex
dx
y x5
ex
dxy x4
ex
dx
y x3
ex
dxy x2
ex
dxy xex
dx
y xn
ln x dx
y x7
ln x dxy x3
ln x dx
y x2
ln x dxy x ln x dxy ln x dx
y sen ax cos bx dx
y sen 8x cos 3x dxy sen 3x cos 7x dxy sen x cos 2x dx
INTEGRACIÓN APROXIMADA
Hay dos situaciones en las que es imposible encontrar el valor exacto de una integral de-
finida.
La primera situación surge del hecho de que a fin de evaluar por medio del
teorema fundamental del cálculo, se necesita conocer una antiderivada de . Sin embargo,
algunas veces es difícil, o incluso imposible, hallar una antiderivada (véase la sección 7.5). Por
ejemplo, es imposible evaluar de manera exacta las siguientes integrales:
y
1
Ϫ1
s1 ϩ x3
dxy
1
0
ex2
dx
f
xb
a
f͑x͒ dx
7.7
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:49 Page 495
45. La segunda situación surge cuando la función se determina a partir de un experimento
científico a través de lecturas de instrumento o datos reunidos. Podría no haber fórmula pa-
ra la función (véase ejemplo 5).
En ambos casos se necesita hallar valores aproximados de integrales definidas.Ya se co-
noce un método. Recuerde que la integral definida se define como un límite de sumas de
Riemann, así que cualquier suma de Riemann se podría usar como una aproximación a la
integral: Si se divide en n subintervalos de igual longitud , por lo
tanto se tiene
donde es cualquier punto en el i-ésimo subintervalo . Si se elige que sea el
punto final izquierdo del subintervalo, entonces y se tiene
Si , entonces la integral representa un área y (1) representa una aproximación de
esta área mediante los rectángulos mostrados en la figura 1(a). Si se elige que sea el
punto final derecho, en seguida y se tiene
[Véase la figura 1(b)]. Las aproximaciones y definidas por las ecuaciones 1 y 2 se
llaman aproximación de punto final izquierdo y aproximación de punto final derecho,
respectivamente.
En la sección 5.2 se consideró también el caso donde se elige como el punto medio
del subintervalo . En la figura 1(c) se muestra la aproximación de punto me-
dio , que parece ser mejor que o .
REGLA DEL PUNTO MEDIO
donde
y bien
Otra aproximación, llamada regla del trapecio, resulta de promediar las aproximaciones
de las ecuaciones 1 y 2:
⌬x
2
͓ f ͑x0 ͒ ϩ 2 f͑x1͒ ϩ 2 f͑x2 ͒ ϩ и и и ϩ 2 f ͑xnϪ1͒ ϩ f͑xn ͔͒
⌬x
2
͓͑ f ͑x0 ͒ ϩ f͑x1͒͒ ϩ ͑ f ͑x1͒ ϩ f͑x2 ͒͒ ϩ и и и ϩ ͑ f ͑xnϪ1͒ ϩ f͑xn ͔͒͒
y
b
a
f͑x͒ dx Ϸ
1
2
͚ͫ
n
i1
f ͑xiϪ1 ͒ ⌬x ϩ ͚
n
i1
f ͑xi ͒ ⌬xͬ
⌬x
2
͚ͫ
n
i1
͑ f ͑xiϪ1 ͒ ϩ f ͑xi ͒͒ͬ
xi
1
2 ͑xiϪ1 ϩ xi ͒ punto medio de ͓xiϪ1, xi ͔
⌬x
b Ϫ a
n
y
b
a
f͑x͒ dx Ϸ Mn ⌬x ͓ f ͑x1͒ ϩ f͑x2 ͒ ϩ и и и ϩ f ͑xn ͔͒
RnLnMn
͓xiϪ1, xi ͔xi
xi*
RnLn
y
b
a
f͑x͒ dx Ϸ Rn ͚
n
i1
f ͑xi ͒ ⌬x2
xi* xi
xi*
f ͑x͒ ജ 0
y
b
a
f͑x͒ dx Ϸ Ln ͚
n
i1
f ͑xiϪ1͒ ⌬x1
xi* xiϪ1
xi*͓xiϪ1, xi ͔xi*
y
b
a
f͑x͒ dx Ϸ ͚
n
i1
f͑xi*͒ ⌬x
⌬x ͑b Ϫ a͒͞n͓a, b͔
496 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
⁄ ¤– – ––
(a) Aproximación de punto final izquierdo
y
x ¸ ⁄ ¤ ‹ x¢
x ¸ ⁄ ¤ ‹ x¢
‹ x¢
x0
(b) Aproximación de punto final derecho
y
x0
x
(c) Aproximación de punto medio
y
0
FIGURA 1
CAPITULO-07-B 06/04/2009 19:49 Page 496
