NÚMEROS COMPLEJOS

1. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
El términonúmerocomplejodescribe lasumade unnúmeroreal y un númeroimaginario(que es
un múltiploreal de launidadimaginaria,que se indicaconlaletrai).
Los númeroscomplejossonlaherramientade trabajo del álgebraordinaria,llamadaálgebrade los
númeroscomplejos,asícomo de ramas de las matemáticaspurasyaplicadascomo variable
compleja,aerodinámicayelectromagnetismoentre otrasde granimportancia.
Contienenalosnúmerosrealesylosimaginariospurosyconstituyenunade lasconstrucciones
teóricasmás importantesde lainteligenciahumana.Losanálogosdel cálculodiferenciale integral
con númeroscomplejosrecibenel nombrede variablecomplejaoanálisiscomplejo.Definiremos
cada complejo zcomo unpar ordenadode númerosreales(a,b) ó(Re(z),Im(z)),enel que se
definenlassiguientesoperaciones:
SUMA
Para sumar númeroscomplejos,se siguenlasnormasbásicasde laaritmética,sumandolosreales
con losrealesylosimaginariosconlosimaginarios:
Ejemplode suma:
el resultadoes7 + 4i
RESTA
Al igual que enla suma,se opera comocon los númerosrealesordinarios:
MULTIPLICACIÓN
Forma Rectangular
La multiplicaciónde formarectángularse compone de unbinomioal cuadrado:

2. Forma Polar
La multiplicaciónde númeroscomplejosesespecialmentesencillaconlanotaciónpolar:
DIVISIÓN
Forma Rectangular
La divisiónenformarectangularse compone de unaracionalización:
Forma Polar
La divisiónde númeroscomplejoses recomendableconlanotaciónpolar:
POTENCIAS
Forma Rectangular
Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables
(cuadrado de la suma). Se debe tener en cuenta la igualdad
estoespara explicarel procesode potenciación
Forma Polar
 Exponente natural yentero.Seael númerocomplejo,ennotacióntrigonométrica,
, según el Teorema de Moivre:
 Enteronegativo

3.  Exponente racional.Laecuación
, endonde se toman encuenta todas lassolucioneszposibles.Se
supone que py q son primosentre sí.
Se deduce
En consecuencia
Considerando se obtienen qresultados.
 Exponente complejo.Si zyα sonnúmeroscomplejosentonces
Un ejemplosencillo:
RAÍCES
Para obtenerlas n raíces de un númerocomplejo,se aplica:
donde k esun númeroenteroque vadesde 0 hasta n-1,que al sustituirloenlafórmulapermite
obtenerlas n raíces diferentesde z.