investigacion de calculo numerico y el manejo de errores

1. CALCULO NUMERICO Y EL MANEJO DE ERRORES
*El análisisnumérico ocálculonumérico eslaramade las matemáticas encargadade diseñar
algoritmos para,a travésde números yreglasmatemáticassimples,simularprocesos
matemáticosmáscomplejosaplicadosaprocesosdel mundoreal.
El análisisnuméricocobraespecial importanciaconlallegadade losordenadores.Los
ordenadores sonútilesparacálculosmatemáticosextremadamentecomplejos,peroenúltima
instanciaoperancon númerosbinarios yoperacionesmatemáticas simples.
*Los métodosnuméricossontécnicasmediante lascualesesposible formularproblemas
matemáticosde tal formaque puedanresolverse usandooperacionesaritméticas.El análisis
numéricotrata de diseñarmétodospara“ aproximar”de una maneraeficientelassoluciones
de problemasexpresadosmatemáticamente.El objetivoprincipaldel análisisnuméricoes
encontrarsoluciones“aproximadas”aproblemascomplejosutilizandosólolasoperaciones
más simplesde laaritmética.Se requiere de unasecuenciade operacionesalgebraicasy
lógicasque producenlaaproximaciónal problemamatemático.Losmétodosnuméricos
puedenseraplicadospararesolverprocedimientosmatemáticosen:Cálculode derivadas
IntegralesEcuacionesdiferencialesOperacionesconmatricesInterpolacionesAjuste de curvas
PolinomiosLosmétodosnuméricosse aplicanenáreascomo:IngenieríaIndustrial,Ingeniería
Química,IngenieríaCivil,IngenieríaMecánica,Ingenieríaeléctrica,etc…
*NúmeroMáquina"Es un sistemanuméricoque constade dosdígitos:Ceros(0) y unos (1) de
base 2". El término"representaciónmáquina"o"representaciónbinaria"significaque esde
base 2, lamás pequeñaposible;este tipode representaciónrequiere de menosdígitos,pero
enlugar de un númerodecimal exige de máslugares.Estose relacionaconel hechode que la
unidadlógicaprimariade lascomputadorasdigitalesusancomponentesde apagado/prendido,
o para una conexióneléctricaabierta/cerrada.Estose comprenderámejorenejemplos
prácticos.1.2.2 Definiciónde NúmeroMáquinaDecimal "Sonaquellosnúmeroscuya
representaciónvienedadade lasiguiente forma:±0,d1 d2 d3 ... dkx 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k";De loantesdescrito, se indicaque lasmaxicomputadorasIBM
(mainframes)tienenaproximadamentek=6 y –78 £ n £ 76.
*Medir escomparar ciertacantidadde unamagnitud,conotra cantidadde la mismaque se ha
elegidocomounidadpatrón. Porejemplo, paramedirlongitudeslas comparamosconsu
unidadpatrón,el metro.
Magnitudes cualquierpropiedadde uncuerpoque puede sermedida.
Cualquiermedidadebe de iracompañadadel valorestimadodel errorde lamedida,ya
continuación,lasunidadesempleadas.
Por ejemplo,al medirunciertovolumenhemosobtenido 297±2 ml.
Los erroresse debendarsolamente conunaúnicacifra significativa.Únicamente,encasos
excepcionales,se puedendarunacifra y media(lasegundacifra5 ó 0).
Así, esincorrectoexpresar24567±2928 ml.

2. La últimacifrasignificativaenel valorde unamagnitudfísicayen suerror, expresadosenlas
mismasunidades,debende corresponderal mismoordende magnitud(centenas,decenas,
unidades,décimas,centésimas).
Así, esincorrectoexpresar43±0.06 ml
Bienseauna medidadirecta(laque dael aparato) o indirecta(utilizandounafórmula) existe
un tratamientode loserroresde medida.Podemosdistinguirdostiposde erroresque se
utilizanenloscálculos:
 Error absoluto.Esladiferenciaentre el valorde lamedidayel valortomadocomo
exacto.Puede serpositivoonegativo,segúnsi lamedidaessuperioral valorreal o
inferior(larestasale positivaonegativa).Tieneunidades,lasmismasque lasde la
medida.
 Error relativo.Esel cociente (ladivisión) entre el errorabsolutoyel valorexacto.Si se
multiplicapor100 se obtiene el tantoporciento(%) de error.Al igual que el error
absolutopuede serpositivoonegativo(segúnloseael errorabsoluto) porque puede
serpor excesoopor defecto.notiene unidades.
Las reglasque vamosa adoptarenel cálculocon datos experimentalessonlassiguientes:
 Una medidase deberíarepetirtresócuatro vecespara intentarneutralizarel error
accidental.
 Se tomará como valorreal (que se acerca al valorexacto) lamediaaritméticasimple
de losresultados.
 El error absolutode cadamedidaserála diferenciaentre cadaunade lasmedidasy
ese valortomadocomo exacto(lamediaaritmética).
 El error relativode cadamedidaseráel errorabsolutode la mismadivididoporel valor
tomadocomo exacto(lamediaaritmética).
*1.-Cota de error absoluto<½ unidaddel ordende laúltimacifrasignificativa
2. Una cota para el error relativoes:
Cota de error relativo=cotadel errorabsoluto/valorreal
Ejemplonº1.-
Da una cota para el errorabsolutoyotra para el errorrelativocometidosal hacerlas
siguientesaproximaciones:
a) Preciode una casa: 275 milesde €.
b) 45 milesde asistentesa una manifestación.
c) 4 cientosde cochesvendidos.
Solución:
Solución:
a) |Error absoluto| < 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| < 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| <50 coches
error relativo<50/400=0,125

3. *Existendoscausasprincipalesde erroresenloscálculosnuméricos:Errorde truncamientoy
error de redondeo.El Error de Redondeose asociaconel númerolimitadode dígitosconque
se representanlosnúmerosenunaPC(para comprenderla naturalezade estoserroreses
necesarioconocerlasformasenque se almacenanlosnúmerosycomo se llevana cabo las
sumasy restasdentrode unaPC).El Error de Truncamiento,se debe alasaproximaciones
utilizadasenlafórmulamatemáticadel modelo (laseriede Tayloresel mediomásimportante
que se empleaparaobtenermodelosnuméricosyanalizarloserroresde truncamiento).Otro
caso donde aparecenerroresde truncamientoesal aproximarunprocesoinfinitoporuno
finito(porejemplo,truncando lostérminosde unaserie).
*Redondeoytruncamiento
Los erroresnuméricosse generanal realizaraproximacionesde losresultadosde loscálculos
matemáticosyse puedendividirendosclasesfundamentalmente: erroresdetruncamiento,
que resultande representaraproximadamenteunprocedimientomatemáticoexacto,ylos
errores de redondeo,que resultande representaraproximadamente númerosexactos.En
cualquiercaso,larelaciónentre el resultadoexactoyel aproximadoestádadapor: Valor
verdadero = valoraproximado +error, de donde se observaque el errornuméricoestádado
por:Ev = valorverdadero - valor aproximado. Donde Ev significael valorexactodel error.La
deficienciadel truncamientoocortado,esatribuidaal hechode que losaltostérminosenla
representacióndecimal completanotienenrelevanciaenlaversiónde cortaro truncar; por lo
tanto el redondeoproduce unerrorbajoencomparacióncon el truncamientoocortado.Para
que obtengasinformación,estaeslaconexión: Aritméticade PuntoFlotante
Error De Redondeo
El error de redondeose debe alanaturalezadiscretadel sistemanuméricode máquinade
puntoflotante,el cual asu vezse debe asu longitudde palabrafinita.Cadanúmero(real) se
reemplazaporel númerode máquina máscercano.Esto significaque todoslosnúmerosenun
intervalolocal estánrepresentadosporunsolonúmeroenel sistemanuméricode punto
flotante.
"Cualquiernúmeroreal positivo ypuede sernormalizadoa:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n
.
El procedimientose basaenagregar5 x 10 n - (k+1)
a y despuéstruncarpara que resulte un
númerode la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n
.
El últimométodocomúnmente se designapor redondeo. Eneste método,si dk+1 ³ 5, se agrega
uno(1) a d k para obtenera fl ;estoes, redondeamoshacia arriba.Si dk+1 < 5, simplemente
truncamosdespuésde losprimeros kdígitos;se redondea asíhacia abajo
Para que obtengasinformación,estaeslaconexión:

4. Error De Truncamiento
"Cualquiernúmeroreal positivoypuede sernormalizadoa:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n
.
Si y está dentrodel rangonuméricode lamáquina,laforma de puntoflotante de y,que se
representaráporfl , se obtiene terminandolamantisade yenk cifrasdecimales.Existen
dos formasde llevaracabo la terminación.Unmétodoessimplemente truncarlosdígitosdk+1,
dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n
.
Este métodoesbastante precisoyse llama truncarel número.
Este tipode error ocurre cuandoun procesoque requiere unnúmeroinfinitode pasosse
detiene enunnúmerofinitode pasos.Generalmentese refiere al errorinvolucradoal usar
sumasfinitasotruncadas para aproximarlasuma de una serie infinita.El errorde
truncamiento,adiferenciadel errorde redondeonodepende directamente delsistema
numéricoque se emplee.
*Errores De Una Suma Y Una Resta
En estasecciónestudiamosel problemade sumaryrestar muchosnúmerosenla
computadora.Comocada suma introduce unerror,proporcional al epsilonde lamáquina,
queremosvercomoestoserroresse acumulandurante el proceso.El análisisque presentamos
generalizaal problemadel cálculode productosinteriores.
En la práctica muchascomputadorasrealizaránoperacionesaritméticasenregistrosespeciales
que más bitsque losnúmerosde máquinasusuales.Estosbitsextrasse llamanbitsde
protecciónypermitenque losnúmerosexistantemporalmenteconunaprecisiónadicional.Se
debenevitarsituacionesen lasque laexactitudse puede vercomprometidaal restar
cantidadescasi igualesoladivisiónde unnúmeromuygrande entre unnúmeromuypequeño,
locual trae comoconsecuenciasvaloresde erroresrelativosyabsolutospocorelevantes.