Darvin D. Cabello, resumen de los contenidos 1 al 8, Saia Analisis Numero

1. Análisis NuméricoConsiste enprocedimientosque resuelvenproblemasyrealizancálculos
puramente aritméticos,tomandoencuentalascaracterísticasespecialesde losinstrumentos
de cálculo(comocalculadoras,computadoras) que nosayudanenla ejecuciónde las
instruccionesdel algoritmoconel finde calcularo aproximaralgunacantidadofunción,para
el estudiode erroresenloscálculos,aprenderaresolverproblemascomplejosyaprendera
utilizarsistemasnuméricoscomoel de Numerode MaquinasaDecimalesque Esunsistema
numéricoque constade dos dígitos:Ceros(0) y unos (1) de base 2, estosvienenrepresentados
de esta forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9, para cada i=2, 3, 4, ...,k"; asi
como a resolvererroresabsolutosY/Orelativoslocual esladiferenciaentre el valorexacto
(unnúmerodeterminado,porejemplo) ysuvalorcalculadooredondeado,oseael valor
exactomenosel valorcalculado,Normalmente nose conoce PY, por tanto,tampoco se
conoceráel error absoluto(ni el relativo)de tomarP* comouna aproximaciónde P.Se
pretende encontrarcotassuperioresde esoserroreslacual esel error máximoque se puede
cometeral realizaruna medidaotomar unaaproximación.El errorcometidoal tomar 2,718
será menorque unamilésima;diremosque 0,001 esuna cota de dicho error,enestossiempre
se puedenencontrardiversostiposde errores,peroexisten2causasprincipalesde errores en
loscálculosnuméricosloscualesson:Error de truncamiento Este tipode errorocurre cuando
un procesoque requiere unnúmeroinfinitode pasosse detiene enunnúmerofinitode pasos.
Generalmentese refiere al errorinvolucradoal usarsumasfinitasotruncadaspara aproximar
la sumade unaserie infinita.El errorde truncamiento,adiferenciadel errorde redondeono
depende directamente del sistemanuméricoque se emplee. yerrorde redondeoque se debe
a la naturalezadiscretadel sistemanuméricode máquinade puntoflotante,el cual asu vezse
debe a sulongitudde palabrafinita.Cadanúmero(real) se reemplazaporel númerode
máquinamáscercano. El Error de Redondeose asociacon el númerolimitadode dígitoscon
que se representanlosnúmerosenunaPC(para comprenderlanaturalezade estoserroreses
necesarioconocerlasformasenque se almacenanlosnúmerosycomo se llevana cabo las
sumasy restasdentrode unaPC).El Error de Truncamiento,se debe alasaproximaciones
utilizadasenlafórmulamatemáticadel modelo(laseriede Tayloresel mediomásimportante
que se empleaparaobtenermodelosnuméricosyanalizarloserroresde truncamiento,yaque
esuna aproximaciónde funcionesmediante unaseriede potenciasosumade potencias
enterasde polinomioscomo( x − a ) n llamadostérminosde laserie,dichasumase calculaa
partir de lasderivadasde lafunciónpara un determinadovaloropuntoA suficientemente
derivable sobre lafunciónyunentornosobre el cual converjalaserie).Tambiénpodemos
apreciarerroressimplesde sumayrestaya que al aplicardichocalculoen unordenadoreste
va introduciendounerrorproporcional al épsilonde lamaquina loscualesse vanacumulando
durante dichoproceso,estonospuede llevarauncálculoinestable que Puede decirse que un
cálculoesnuméricamente inestablesi laincertidumbre de losvaloresde entradaaumentan
considerablemente porel métodonumérico.Unprocesonuméricoesinestablecuandolos
pequeñoserroresque se producenenalgunade susetapas,se agrandanenetapasposteriores
y degradanseriamente laexactituddel cálculoensuconjunto. Digámoslode estamanera: El
que un procesoseanuméricamenteestableoinestable deberíadecidirse conbase enlos
erroresrelativos,esdecirinvestigarlainestabilidadomal condicionamiento(Laspalabras
condiciónycondicionamientose usande manerainformal paraindicarcuansensible esla
soluciónde unproblemarespectode pequeñoscambiosrelativosenlosdatosde entrada.Un
problemaestámal condicionadosi pequeñoscambiosenlosdatospuedendarlugara grandes
cambiosenlas respuestas.Paraciertostiposde problemasse puede definirunnúmerode
condición:"Unnúmerocondicionadopuede definirse comolarazónde los erroresrelativos),
locual significaque uncambiorelativamentepequeñoenlaentrada,digamosdel 0,01%,

2. produce un cambiorelativamente grande enlasalida,digamosdel 1% o más.Una fórmula
puede serinestablesinimportarconqué precisiónse realicenloscálculos, laestabilidad
numéricaesuna propiedadde losalgoritmosnuméricos, Describecómoloserroresenlos
datosde entradase propagan a travésdel algoritmo, Enunmétodoestable,loserrores
debidosalasaproximacionesse atenúanamedidaque lacomputaciónprocede.(Cuandose
calculansolucionesnuméricasaciertasecuacionesdiferencialesparciales,laestabilidadse
consigue algunasvecesincluyendoladifusiónnumérica.Ladifusiónnuméricaesuntérmino
matemáticoque aseguraque erroresde redondeoyde otrotipoen loscálculosse disemineny
no se sumencausandodesbordesenel cálculo).