5. 5
EVALUACIÓN
𝑓′(𝑥) =
𝑥3
(𝑥2 + 4)2
𝑓`(𝑜) =
𝑥3
(𝑥2 + 4)2
𝑓′′(𝑜) =
3𝑥2
4𝑥(𝑥2 + 4)
𝑓′′(𝑜) =
3 ∗ 02
4 ∗ 0(02 + 4)
𝑓′′(𝑜) = 0
7. En una fábrica se determinó que el ingreso dado por I(x)=23000x-0,8x^2 pesos, cuando se
venden x unidades de cierto articulo al mes. Actualmente, se producen 175 unidades y se
planea incrementar la producción en una unidad.
Usa derivadas para aproximar el ingreso que se genera al producir la unidad 176
𝐼(𝑥) = 2300𝑥 − 0,8𝑥2
Ingreso marginal
𝐼(𝑥) = 2300𝑥 − 0,8𝑥2
𝐼′(𝑥) = 2300 − 1,6𝑥
Evaluación de la derivada para producir la unidad 175
𝐼′(175) = 2300 − 1,6(175)
𝐼′(175) = 2300 − 280
𝐼′(175) = 2020
El ingreso que se genera al producir 175 unidades es de $2020 app.
Ingreso al producir la unidad 176
𝐼 = 𝐼(𝑥 + 1) − 𝐼(𝑥)
𝐼 = 2300(𝑥 + 1) − 0,8(𝑥 + 1)2
− (2300𝑥 − 0,8𝑥2
)
𝐼 = 2300 + 2300𝑥 − 0,8(𝑥 + 1)2
− 2300𝑥 − 0,8𝑥2
𝐼 = 2300 − 0,8(𝑥 + 1)2
− 0,8𝑥2
𝐼 = 2300 − 0,8(𝑥2
+ 2𝑥 + 1 − 𝑥2
)
𝐼 = 2300 − 0,8(2𝑥 + 1)
𝐼 = 2300 − 1,6𝑥 + 0,8
𝐼 = 2299,2 − 1,6𝑥
6. 6
EVALUACIÓN
Sustituir la unidad 176 en la expresión
𝐼 (𝑥) = 2299,2 − 1,6𝑥
𝐼(176) = 2299,2 − 1,6𝑥
𝐼(176) = 2299,2 − 1,6(176)
𝐼(176) = 2299,2 − 281,6
𝐼(176) = 2017,6 ≅ 2018
El ingreso al producir la unidad 176 es de $2018.
8. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
a) Puntos críticos:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 3
b) Sustituir f’(0) para encontrar puntos críticos
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 3
0 = 3𝑥2
− 3
3 = 3𝑥2
3/3 = 𝑥2
1 = 𝑥2
√1 = 𝑥
1 = 𝑥
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 3
0 = 3𝑥2
− 3
−3𝑥2
= −3
𝑥2
= −3 /−3
𝑥2
= −1
𝑥 = √−1
𝑥 = −1
Por lo tanto los puntos críticos son :
X=1
X=-1
c) Determinar los intervalos alrededor del punto crítico:
(−∞, −1), (−1,1), (1, +∞)
7. 7
EVALUACIÓN
d) Escoger un punto para cada intervalo
Intervalo Punto 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 3
(−∞, −1), -2 9 - + D C
(−1,1) 0 -3 + - C D
(1, +∞) 2 9 + + D C
9. Para la función determina:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
El máximo relativo está en x=-1
El mínimo relativo está en x=1
a) El valor x donde la función alcanza un mínimo y cuál es ese valor mínimo
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
𝑓(1) = 13
− 3 ∗ 1 + 2
𝑓(1) = 0
El mínimo que alcanza la función es 0 en x=1
b) El valor x donde la función alcanza un máximo y cuál es ese valor máximo.
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2
𝑓(−1) = −13
− 3 ∗ −1 + 2
𝑓(−1) = 4
El máximo relativo que alcanza la función es 4 en x=-1
8. 8
EVALUACIÓN
10. La demanda de un artículo que produce una compañía varía con el precio que esta cobra por
el artículo. La compañía determino que los ingresos totales anuales, en miles de pesos, son
una función del precio p, en pesos, dada por la expresión:
𝐼(𝑝) = −50𝑝2
+ 500𝑝
Resolver derivada
𝐼(𝑝) = −50𝑝2
+ 500𝑝
𝐼′(𝑝) = −100𝑝 + 500
a) Determine el precio que debe cobrarse con el fin de maximizar los ingresos totales.
𝐼′(𝑝) = −100𝑝 + 500
0 = −100𝑝 + 500
100𝑝 = 500
𝑝 =
500
100
𝑝 = 5
El precio que debe cobrarse es de $5 pesos
b) ¿Cuál es el valor de esos ingresos totales?
𝐼(𝑝) = −50𝑝2
+ 500𝑝
𝐼(5) = −50𝑝2
+ 500𝑝
𝐼(5) = −50(5)2
+ 500(5)
𝐼(5) = 1250
El ingreso total es de $1250
11. Calcula la siguiente integral indefinida
∫ (2𝑒3𝑥
− 3𝑥2
+
1
𝑥
−
5
4
) 𝑑𝑥
∫ 2𝑒3𝑥
𝑑𝑥 − 3𝑥2
𝑑𝑥 +
1
𝑥
𝑑𝑥 −
5
4
𝑑𝑥
2 ∫ 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ln 𝑥 −
5
4
∫ 𝑑𝑥
2 ∗
𝑒3𝑥
3
− 3 ∗
𝑥3
3
+ ln 𝑥 −
5
4
∗ 𝑥 + 𝑐
2𝑒3𝑥
3
− 𝑥3
+ ln 𝑥 −
5
4
𝑥 + 𝑐
10. 10
EVALUACIÓN
(12
) (
1
4
𝑒4∗1
) − (02
) (
1
4
𝑒4∗0
) −
1
4
𝑒4
15. Para las siguientes funciones oferta y demanda, respectivamente,
𝑝 = 𝑆(𝑞) = 52 + 2𝑞
𝑝 = 𝐷(𝑞) = 100 − 𝑞2
Se pide determinar :
a) El grafico que muestre la situación entre las funciones de oferta y demanda
11. 11
EVALUACIÓN
b) El punto de equilibrio entre la oferta y la demanda
52 + 2𝑞 = 100 − 𝑞2
52 + 2𝑞 − 100 + 𝑞2
= 0
𝑞2
+ 2𝑞 + 48 = 0
𝑝 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑝 =
−2 ± √22 − 4 ∗ 1 ∗ 48
2 ∗ 1
𝑝 =
−2 ± √188
2
𝑝 =
−2 ± 13,71
2
𝑝 =
−2 ± 13,71
2
𝑝1 =
−2 − 13,71
2
= −7,85 ≅ −8
𝑝2 =
−2 + 13,71
2
= 5,85 ≅ 6
Se debe considerar el valor positivo al ser una cantidad
𝑆(𝑞) = 52 + 2𝑞
𝑆(6) = 52 + 2 ∗ 6
𝑆(6) = 64
c) El excedente del productor
𝐸𝑝 = ∫[(𝑝(𝑜)) − (𝐷(𝑞))]𝑑𝑥
6
0
𝐸𝑝 = ∫[64 − (100 − 𝑞2)]𝑑𝑥
6
0
𝐸𝑝 = [64dx − (100𝑑𝑥 − 𝑞2
𝑑𝑥)]|
6
0
𝐸𝑝 = [64 − 100 −
𝑞3
3
]|
6
0
