Tarea formativa de matemática II

1. Ejercicio 1. El ingeniero de producción del Fundo EL PEDREGAL, ha determinado
que la producción de papa nativa varía con el clima, la cantidad de lluvia y los
cuidados que se le tengan en su siembra. La grafica mostrada indica la producción
de maíz en Perú durante los años de 1982 a 1992.
a) Calcule la variación de la producción en cientos de miles de toneladas, desde el
año 1995 hasta el año 1990.
La variación de la producción entre los años 1992 – 1990 en cientos de miles de
Tn:
∆𝑃 = 𝑃(𝑞 + ∆𝑞) − 𝑃(𝑞)
∆𝑃 = 𝑃(18 + 2.8) − 𝑃(18)
∆𝑃 = 2.8 ciento de miles de Toneladas.
La variación de la producción entre los años 1992 y 1990 es de 2.8 ciento de
miles de toneladas.
b) Calcule aproximadamente la producción promedio del maíz entre los años 1982
y 1986.
𝑅𝐶𝐼 = (𝑦2 − 𝑦1)/(𝑥2 − 𝑥1)
𝑅𝐶𝐼 = (12.9 − 9.5)/(4 − 0) = 0.85
La producción promedio de maíz entre los años 1982 y 1986 es de 0.85 ciento de
miles de Toneladas aproximadamente.
c) El crecimiento de la producción ¿Es igual entre 1982 a 1985, que entre 1985 y
1986? Argumente.
Rpta: La variación de la producción si es la misma, pero el crecimiento no porque
se toma en un determinado tiempo, y estos es diferente.
PRODUCCIÓN DE PAPA NATIVA

2. Ejercicio 02.
a) En cierto país, el termino t en años de una hipoteca de $100000 con 6,5% de
interés puede aproximarse usando el modelo 







55,2
ln345,18)(
x
x
xt , x > 1250.
Siendo x el pago mensual en dólares. Modele la expresión que permita calcular
razón de cambio instantánea de 𝑡 con respecto a 𝑥, cuando 𝑥 es $1500.
𝑅. 𝐶. 𝐼. = 𝑡′(𝑥)
𝑡(𝑥) = 18,345ln(
𝑥
𝑥 − 2,55
)
𝑡′(𝑥) = 18,345 (
1
𝑥
𝑥 − 2,55
) .
1
1
𝑡′(𝑥) = 18,345 (
𝑥 − 2,55
𝑥
)
𝑡′(𝑥) =
18,345𝑥 − 46,77975
𝑥
Reemplazando x=1500
𝑡′(𝑥) =
18,345(1500) − 46,77975
1500
𝑡′(𝑥) =
27517,5 − 46,77975
1500
𝑡′(𝑥) =
27470,72025
1500
𝑡′(𝑥) = 18,3138
b) Modele la derivada 𝑦’ , si se sabe que y = 5(1 − 3𝑒 𝑥)3−2𝑥
y = 5(1 − 3𝑒 𝑥)3−2𝑥
𝑦
5
= (1 − 3𝑒 𝑥)3−2𝑥
𝑙𝑛(
𝑦
5
) = 𝑙𝑛(1 − 3𝑒 𝑥)3−2𝑥
lny − ln5 = 3 − 2xln(1 − 3𝑒 𝑥
)
𝑦′
𝑦
− 0 = −2 ln(1 − 3𝑒 𝑥) +
1
(1 − 3𝑒 𝑥)
. (3𝑒 𝑥
)(3 − 2𝑥)
𝑦′
𝑦
= −2 ln(1 − 3𝑒 𝑥) +
(3𝑒 𝑥
)(3 − 2𝑥)
(1 − 3𝑒 𝑥)
𝑦′
𝑦
= −2 ln(1 − 3𝑒 𝑥) +
𝑒 𝑥
(9 − 6𝑥)
(1 − 3𝑒 𝑥)
y′ = y(−2 ln(1 − 3𝑒 𝑥) +
𝑒 𝑥(9 − 6𝑥)
(1 − 3𝑒 𝑥)
)
y′
= 5(1 − 3𝑒 𝑥)3−2𝑥
. (−2 ln(1 − 3𝑒 𝑥) +
𝑒 𝑥(9 − 6𝑥)
(1 − 3𝑒 𝑥)
)

3. Ejercicio 3. Responda según sea el caso.
a) La producción diaria de cierta fábrica es modelada por la expresión
𝑷(𝒌) = 𝟏𝟖𝟎𝟎𝒌 𝟏/𝟐
unidades, donde 𝒌 representa la inversión de capital medidas
en unidades de $ 2000. Si se sabe que la inversión actual de capital es de $
400 000. Si se desea aumentar la producción en 150 unidades por día. ¿Cuál
el porcentaje se debe incrementar el capital?
Productos en unidades de $ 2000
Inversión Actual $ 400 000 → 400 000 ÷ 2000 = 200
𝑘𝑖 = 200 → ∆𝐾𝑓 = 150
𝑉𝑃 =
𝑓( 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ) − 𝑓 (𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙)
𝑓(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 )
100%
𝑉𝑃 =
𝑃 (350) − 𝑃(200)
𝑃 (200)
×100%
𝑉𝑃 =
1800 √350 − 1800 √200
1800√200
×100%
𝑉𝑃 =
1800 √350 − 1800 √200
1800√200
×100%
𝑉𝑃 =
1800( √350 − √200 )
1800√200
×100%
𝑉𝑃 =
√350 − √200
√200
×100%
𝑉𝑃 = 0,3228 × 100%
𝑉𝑃 = 32,28%

4. b) El costo de producir q unidades de un producto está dado por
𝐶(𝑞) = 5000 + 10𝑞 + 0,5𝑞2
Si el precio de 𝑞 unidades está dado por la ecuación 𝑝 = 800 − 1,5𝑞 dólares.
Modele las funciones, ingreso marginal y utilidad marginal del fabricante.
Ingreso marginal= p.q
𝐼 = (800 − 1,5 𝑞)𝑞
𝐼 = 800𝑞 − 1, 5𝑞2
Ingreso marginal
𝐼𝑀 =
𝑑𝑖
𝑑𝑞
= −3𝑞 + 800
Utilidad= I – C
𝑈 = 800𝑞 − 1,5𝑞2
− (5000 + 10𝑞 + 0,5𝑞2)
𝑈 = 800𝑞 − 1,5𝑞2
− 5000 − 10𝑞 − 0,5𝑞2
𝑈 = −2𝑞2
+ 790q – 5000
Utilidad Marginal
𝑈𝑀 =
𝑑𝑢
𝑑𝑞
= −4𝑞 + 790

5. Ejercicio 4.
Los ingenieros de producción de cierta empresa han establecido la demanda de un
producto 𝒑 = 𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟓 √ 𝒒
a) Utilice la elasticidad de la demanda para determinar si un aumento en el precio
aumentara o disminuirá el ingreso total si la demanda es 𝑞 = 900.
𝑛 =
𝑝
𝑞
.
1
𝑑𝑝
𝑑𝑞
Primero derivamos p = 50 − 0,5 √q
𝑑𝑝
𝑑𝑞
= −0,5 𝑞
1
2
𝑑𝑝
𝑑𝑞
= −0,25𝑞
−1
2
𝑛 =
50 − 0,5 √q
𝑞
.
1
−0,25𝑞
−1
2
𝑛 =
50 − 0,5 √q
−0,25𝑞
−1
2 . 𝑞
Reemplazando 𝑞 = 900
𝑛 =
50 − 0,5 √900
−0,25(900)
−1
2 . (900)
𝑛 =
50 − 15
7,5
𝑛 = 4,667
|𝑛| = 4,667 > 1
La demanda del producto cuando esta es igual a 900 es inelástica, es decir, si es
que existiera una variación en el precio la demanda se va a ver afectada
negativamente gracias a esto.
b) Modele la expresión que permita calcular la elasticidad de la demanda en
función de 𝒒
𝑛 =
50 − 0,5 √q
𝑞
.
1
−0,25𝑞
−1
2

6. Ejercicio 5.
Sea la curva definida por la ecuación 𝑦 = −𝑥3
+ 10x2
− 5x + 1
a) Modele la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto (1;5)
𝑦 = −𝑥3
+ 10x2
− 5x + 1
𝑚 = y′(x)
𝑦′(𝑥) = −3𝑥2
+ 20x − 5
Reemplazando x=1
𝑦′(1) = −3(1)2
+ 20(1) − 5
𝑦′(1) = −3 + 20 − 5
𝑦′(1) = 12
Ecuación de la recta para (1;5)
𝑦 − 𝑦0 = m(x − 𝑥0)
𝑦 − 5 = 12(x − 1)
𝑦 − 5 = 12x − 12
𝑦 − 12𝑥 + 7 = 0
b) Determine los valores de 𝑥 para los cuales la recta tangente a la curva dada
sea normal a la recta 𝑥 − 6𝑦 = −6.
Sea 𝐿1la recta tangente a la curva en el punto (x;y) y 𝐿2: 𝑥 − 6𝑦 = −6; por lo que su
𝑚𝐿2 =
1
6
Al saber que las rectas son normales una de la otra, es decir, perpendiculares, se
cumple que:
𝑚 𝐿1. 𝑚𝑙2 = −1
𝑚 𝐿1.
1
6
= −1
𝑚 𝐿1 = −6
Asimismo, se sabe que 𝑚 𝐿1 = 𝑦′(𝑥), de la pregunta a del ejercicio.
𝑚 𝐿1 = 𝑦′(𝑥)
−6 = −3𝑥2
+ 20𝑥 − 5
3𝑥2
− 20𝑥 − 1 = 0
𝑥1 = 6,716
𝑥2 = −0,05

7. Ejercicio 6. Bombones CANDY SAC es una empresa que produce dos tipos de
bombones. El departamento de ventas determina que cuando se producen 𝑥 cajas
de bombones de fresa y 𝑦 cajas de bombones sabor merengue, entonces se puede
generar utilidades definidas por
U(x ; y) = 30x + 8,6y − 0,002𝑥2
− 0,066𝑦2
dólares diarios. En la actualidad, se
producen M cajas de bombones de fresas y N cajas de bombones de merengue.
a) Modele la fórmula que permita obtener la utilidad marginal con respecto a la
cantidad de cajas de bombones producidas.
Se sabe que la utilidad marginal se obtiene mediante la derivada de la función
respecto a la variable:
Derivada parcial con respecto de “x” Derivada parcial con respecto de “y”
𝑈𝑀 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= −0,004𝑥 + 30 𝑈𝑀 =
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= −0,132𝑦 + 8,6
b) Modele la expresión que permita calcular la variación aproximada de la
utilidad al aumentar el número de cajas de bombones de fresas, en ∆M y
disminuir el número de cajas de bombones de merengue, en ∆N.
U(x ; y) = 30x + 8,6y − 0,002𝑥2
− 0,066𝑦2
La variación aproximada se obtiene mediante la diferencial de U, por lo que:
𝑑𝑈 =
𝜕𝑈
𝜕𝑥
. ∆𝑥 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦
. ∆𝑦
Reemplazando
𝑑𝑈 = (−0,004𝑥 + 30)∆𝑥 + (−0,132𝑦 + 8,6)∆𝑦
c) Modele la expresión que permita calcular la variación real de la utilidad al
disminuir una caja de bombones de fresa, y aumentar dos cajas de bombones
de merengue.
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑈𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑈𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
U. inicial = 30x + 8,6y − 0,002𝑥2
− 0,066𝑦2
Se sabe que:
𝐵𝑜𝑚𝑏𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑠𝑎 = 𝑥 − 1
𝐵𝑜𝑚𝑏𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔𝑢𝑒 = 𝑦 + 2
U. final = 30(x − 1) + 8,6(y + 2) − 0,002(𝑥 − 1)2
− 0,066(𝑦 + 2)2
Reemplazando
∆ 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 30(x − 1) + 8,6(y + 2) − 0,002(𝑥 − 1)2
− 0,066(𝑦 + 2)2
− (30x + 8,6y
− 0,002𝑥2
− 0,066𝑦2
)
∆ 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 30(x − 1) + 8,6(y + 2) − 0,002(𝑥 − 1)2
− 0,066(𝑦 + 2)2
− 30x − 8,6y
+ 0,002𝑥2
+ 0,066𝑦2

8. Ejercicio 7.
Elija convenientemente una de las expresiones contenidas en la primera columna y
complete las proposiciones presentadas en la segunda columna, de modo que sean
verdaderas.
COLUMNA I COLUMNA II (PROPOSICIONES)
I.
53𝑥
5
𝐿𝑛(5).
II.
4𝑥−3
2𝑥2−3𝑥
.
III.3𝐿𝑛(5) ∗ 53𝑥
.
IV.(53𝑥)𝐿𝑛(25).
a) Luego de derivar la función definida por
𝑓(𝑥) = ln(2𝑥2
− 3𝑥) , se obtiene
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥) =
(4𝑥−3)
2𝑥2−3𝑥
I. 10
II. 4
III. −4
IV. −8
b) Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2
− 3𝑥𝑦2
+ 𝑥 entonces la variación real de
𝑓 al pasar de (1; 0) a (2; 1) es
𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑓(1,0) = 5(1)2
− 3(1)(0)2
+ 1 = 6
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙: 𝑓(2,1) = 5(2)2
− 3(2)(1)2
+ 2 = 16
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙: 𝑓𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑓𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙: 16 − 6 = 10
I. 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
II. 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
III. 𝑐𝑒𝑟𝑜
IV. 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
c) Consideremos que la variable 𝑞, representa a cantidad
de cierto artículo medido en toneladas, la función de
costo de producción C, de las 𝑞 unidades (en cientos de
dólares) es definida en términos de la cantidad mediante
𝐶(𝑞) = 1500 + 60𝑞 +
5000
𝑞+2
, luego el costo marginal para
cuando la cantidad sea de 4 toneladas, nos resulta un
valor.
CM = C′(q)
𝐶(𝑞) = 1500 + 60𝑞 + 5000(𝑞 + 2)−1
𝐶′(𝑞)
= 60 − 5000(𝑞 + 2)−2
Reemplazando q=4
𝐶′(𝑞)
= 60 − 5000(4 + 2)−2
𝐶′(𝑞)
= −78,89

9. Ejercicio 8.
Si una cantidad A (en miles de dólares) se gasta en marketing por semana, una
compañía obtiene que su volumen de ventas se define mediante
𝑥 = 6000𝐴𝑒−
𝐴
2000. donde x es el volumen de ventas
.
a. ¿Cuál es el volumen de ventas cuando se gasta $12000 en publicidad?
𝐴 =
12000
1000
= 12
𝑥 = 6000(12)𝑒−
12
2000
𝑥 = 71569,2934
b. ¿Cuánto debe gastarse en publicidad para que el volumen de ventas sea
máximo?
𝑥′(𝐴) = 0
6000𝑒−
𝐴
2000 + 𝑒−
𝐴
2000.
−1
2000
. 6000𝐴 = 0
6000𝑒−
𝐴
2000 + 𝑒−
𝐴
2000.
−1
2000
. 6000𝐴 = 0
6000𝑒−
𝐴
2000 = 𝑒−
𝐴
2000. 3𝐴
6000 =
𝑒−
𝐴
2000. 3𝐴
𝑒−
𝐴
2000
6000 = 3𝐴
2000 = 𝐴
Se deberá gastar en publicidad 2 millones de dólares para que el volumen de
ventas sea el máximo.

10. Ejercicio 9.
Dada la ecuación de la demanda 𝑞 = 200√9 − 𝑝
a. Determine la demanda cuando 𝑝 = 2.
𝑞(2) = 200√9 − 2
𝑞(2) = 529,15
b. Determine la elasticidad de la demanda cuando 𝑝 = 5
𝑛 =
𝑝
𝑞
.
𝑑𝑞
𝑑𝑝
𝑞′(𝑝) = 200
1
2
. (9 − 𝑝)−
1
2. −1
𝑞′(𝑝) = −200
(9 − 𝑝)−
1
2
2
𝑛 =
𝑝
200√9 − 𝑝
. −200
(9 − 𝑝)−
1
2
2
Reemplazando 𝑝 = 5
𝑛 =
5
200√9 − 5
. −200
(9 − 5)−
1
2
2
𝑛 =
1
40(2)
. −100. (4)−
1
2
𝑛 = −
5
8

11. Ejercicio 10.
El número de empleados en una empresa multinacional 𝑡 años después de 2010
está dado por
𝑁(𝑡) = 800 ln(5 + 𝑡) empleados.
El costo anual de capacitación a un trabajador puede ser modelado por 𝐶(𝑡) =
1500(1,05) 𝑡
dólares por empleados.
a. Interprete la función 𝐹(𝑡) = 𝑁(𝑡)𝐶(𝑡)
𝐹(𝑡) = 𝑁(𝑡)𝐶(𝑡) = (𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠)
(𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠)
(𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠)
𝐹(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
b. Modele 𝐹’(𝑡)
Determine 𝐹’ para el año 2021 e interprete el resultado.
Ejercicio 11.
En cierta fabrica, la producción diaria es de 𝑄(𝐾; 𝐿) = 60𝐾
1
2 𝐿
1
3 unidades, donde 𝐾
representa el capital invertido medido en unidades de 1000 y 𝐿 el tamaño de la
fuerza de trabajo medido en horas-trabajador. Suponga que el capital invertido
actualmente es de 900000 dólares y que se usan 1000 horas-trabajador de mano de
obra cada día.
a. Use el análisis marginal para estimar el efecto sobre la producción diaria de una
inversión adicional de capital de 1000 unidades, si el tamaño de la fuerza de
trabajo no cambia.
𝐾 =
900000
1000
= 900
𝜕𝑄
𝜕𝐾
= 30𝐾−
1
2 𝐿
1
3
𝜕𝑄
𝜕𝐾
= 30(900)−
1
2(1000)
1
3
𝜕𝑄
𝜕𝐾
= 10
Al aumentar el capital invertido en 1000 unidades, manteniendo el tamaño de la
fuerza de trabajo, la producción diaria aumentaría en 10 unidades.

12. Ejercicio 12.
CAR BABY SA es una empresa dedicada a la fabricación y venta de dos modelos
de coches para bebe. Si se fabrican 𝑥 unidades del primer modelo e y unidades del
segundo modelo, entonces cada uno de ellos puede venderse a p1 = 100 − 2x y
p2 = 150 − 5y soles, respectivamente. Se sabe que el costo de fabricación (en
soles) de ambos modelos de cunas viene dado por C(x; y) = 2xy + 20x + 40y.
a. Modele la función utilidad de la empresa en términos de x e y.
Inversión = x𝑝1 + 𝑦𝑝2
Inversión = x(100 − 2x) + 𝑦(150 − 5𝑦)
Inversión = 100x − 2𝑥2
+ 150𝑦 − 5𝑦2
Utilidad = Inversión − Costos
Utilidad = 100x − 2𝑥2
+ 150𝑦 − 5𝑦2
− 2xy − 20x − 40y
Utilidad = −2𝑥2
− 5𝑦2
− 2xy + 80x + 110y
b. Modele el sistema de ecuaciones que permitan determinar las unidades de cada
modelo de coche que debe fabricar y vender la empresa con el objetivo de
maximizar su utilidad.
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 0
−4𝑥 − 2𝑦 + 80 = 0
𝜕𝑈
𝜕𝑦
= 0
−10𝑦 − 2𝑥 + 110 = 0