UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA. UNAN-LEON Centro universitario regional -Jinotega Guía práctica de Matemática Básica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA. UNAN-LEON
Centro universitario regional -Jinotega
Guía práctica de Matemática Básica
Carrera: ………………………………. Grupo No.___
Realizar la grafica de la siguiente función
1. f(x) = x2
+ x – 12
Solución
𝑎 = 1 , 𝑏 = 1, 𝑐 = −12
Vertices
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
=
−1
2(1)
= −
1
2
𝑦 = (−
1
2
)
2
+
1
2
− 12 =
1
4
+
1
2
−
12
1
=
1 + 2 − 48
4
= −
45
4
𝑥 𝑦
−2 −10
−1 −12
−
1
2
−
45
4
0 −12
1 −10
𝑓(−2) = (−2)2
− 2 − 12 = 4 − 2 − 12 = −10
𝑓(−1) = (−1)2
− 1 − 12 = 1 − 1 − 12 = −12
𝑓(0) = (0)2
+ 0 − 12 = 0 + 0 − 12 = −12
𝑓(1) = (1)2
+ 1 − 12 = 1 + 1 − 12 = −10

2. 2. -En los ejercicios siguientes, trace la gráfica de f. halle: (a) Vértice, Interceptos, Valor
máximo o mínimo, (b) en los intervalos en los cuales f es decreciente o creciente (c) el dominio
y contradominio de f, (d) -¿Es la gráfica simétrica con respecto al eje y? Justifique su respuesta.
a) f(x) = 3x2
– 12x + 7
Solución
Vertices
𝑎 = 3 , 𝑏 = −12 , 𝑐 = 7
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−(−12)
2(3)
=
12
6
= 2
𝑘 = 𝑓(ℎ) = 3(2)2
− 12(2) + 7 = 3(4) − 24 + 7 = 12 − 24 + 7 = 5
𝑣(2,5)
Interceptos
Intercepto eje 𝑦 Intercepto eje 𝑥
𝑥 = 0
𝑦 = 3𝑥2
− 12𝑥 + 7
𝑦 = 3(0)2
− 12(0) + 7
𝑦 = 0 − 0 + 7
𝑦 = 7
(0, 7)
𝑦 = 0
3𝑥2
− 12𝑥 + 7 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
12 ± √144 − 84
6
𝑥 =
12 ± √60
6
=
12 ± 2√15
6
=
6 ± √15
3
𝑥1 =
6 − √15
3
≈ 0,7090
𝑥1 =
6 + √15
3
≈ 3,2909
Maximo y minima valor
𝑦′
= 6𝑥 − 12
6𝑥 − 12 = 0
𝑥 =
12
6
= 2 ← 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑓(𝑥) = 3(2)2
− 12(2) + 7 = 3(4) − 24 + 7 = 12 − 24 + 7 = 5
P.c ( 2,5)

3. Intervalos en los cuales f es decreciente o creciente
𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 12𝑥 + 7
𝑓′
(𝑥) = 6𝑥 − 12
Resolver desigualdades
𝑓′(𝑥) > 0 𝑦 𝑓′(𝑥) < 0
6𝑥 − 12 > 0
6𝑥 > 12
𝑥 >
12
6
𝑥 > 2
6𝑥 − 12 < 0
6𝑥 < 12
𝑥 <
12
6
𝑥 < 2
Aplicar el criterio de funciones crecientes y decrecientes: La función es creciente en el intervalo
en el cual la derivada de 𝑓(𝑥) es mayor que cero 𝑓′(𝑥) > 0 y es decreciente en el intervalo en
el cual la derivada 𝑓(𝑥) es menor que cero 𝑓′(𝑥) < 0
𝑥 ∈ (2 , +∞) → 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑥 ∈ (−∞ , 2) → 𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Dominio y contradominio de f
Dominio: 𝑥 ∈ ℝ
Contradominio: [5, +∞)
Es la gráfica simétrica con respecto al eje y
Si, el eje de simetría de una parábola es
una recta vertical que divide a la parábola
en dos mitades congruentes
La recta es x = 2

4. 2. Resolver la siguiente ecuación
(2x + 3)(3x – 2) = 6x + 1
Solución
6𝑥2
− 4𝑥 + 9𝑥 − 6 = 6𝑥 + 1
6𝑥2
+ 5𝑥 − 6𝑥 − 6 − 1 = 0
6𝑥2
− 𝑥 − 7 = 0
(6𝑥 − 7)(6𝑥 + 6)
6
= 0
(6𝑥 − 7)(𝑥 + 1) = 0
6𝑥 − 7 = 0 ; 𝑥 + 1 = 0
𝑥 =
7
6
; 𝑥 = −1
3. Resolver el sistema mediante el método de
a) Reducción.
2x – 3y = 8
4x + 3y = 16
Solución
2𝑥 − 3𝑦 = 8
4𝑥 + 3𝑦 = 16
__________________
6𝑥 = 24
𝑥 =
24
6
𝑥 = 4
Encontrar y
2𝑥 − 3𝑦 = 8
2(4) − 3𝑦 = 8
−3𝑦 = 8 − 8
𝑦 =
0
−3
𝑦 = 0

5. a) Igualación.
3(x + 2) = 2y
2(y + 5) = 7x
Solución
Ordenar el sistema
Ecuación 1
3(𝑥 + 2) = 2𝑦
3𝑥 + 6 = 2𝑦
3𝑥 − 2𝑦 = −6
Ecuación 2
2(𝑦 + 5) = 7𝑥
2𝑦 + 10 = 7𝑥
−7𝑥 + 2𝑦 = −10
El sistema queda: {
3𝑥 − 2𝑦 = −6
−7𝑥 + 2𝑦 = −10
Despejar la letra 𝑦 en ambas ecuaciones
3𝑥 − 2𝑦 = −6
−2𝑦 = −6 − 3𝑥
𝑦 =
−6 − 3𝑥
−2
𝑦 =
6 + 3𝑥
2
−7𝑥 + 2𝑦 = −10
2𝑦 = −10 + 7𝑥
𝑦 =
−10 + 7𝑥
2
6 + 3𝑥
2
=
−10 + 7𝑥
2
12 + 6𝑥 = −20 + 14𝑥
6𝑥 − 14𝑥 = −20 − 12
−8𝑥 = −32
𝑥 =
−32
−8
𝑥 = 4

6. Encontrar el valor de y
𝑦 =
6 + 3𝑥
2
𝑦 =
6 + 3(4)
2
=
6 + 12
2
=
18
2
𝑦 = 9
b) sustitución.
2w – 3z = - 23
8w + 2z = - 22
Solución
Despejar w en la primera ecuación 1
2𝑤 − 3𝑧 = −23
2𝑤 = −23 + 3𝑧
𝑤 =
−23 + 3𝑧
2
Sustituir el valor de w en la 2da
ecuación
8𝑤 + 2𝑧 = −22
8 (
−23 + 3𝑧
2
) + 2𝑧 = −22
−92𝑧 + 12𝑧 + 2𝑧 = −22
14𝑧 = −22 + 92
14𝑧 = 70
𝑧 =
70
14
𝑧 = 5

7. Encontrar w
𝑤 =
−23 + 3𝑧
2
𝑤 =
−23 + 3(5)
2
=
−23 + 15
2
= −
8
2
𝑤 = −4
b) Resolver por la formula general
x2
+ 6x – 216 = 0
Solución
𝑎 = 1 , 𝑏 = 6 , 𝑐 = −216
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−6 ± √36 − 4(1)(−216)
2(1)
𝑥 =
−6 ± √36 + 864
2
𝑥 =
−6 ± √900
2
𝑥 =
−6 ± 30
2
𝑥1 =
−6 + 30
2
=
24
2
= 12
𝑥2 =
−6 − 30
2
=
−36
2
= −18

8. Resolver la siguiente aplicación
La utilidad U(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por U(x)
= 60x – x2
. Determine el número de unidades que deben producirse y vender con objeto de
maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima? Trace la gráfica de U.
Solución
𝑈(𝑥) = 60𝑥 − 𝑥2
Para hallar el máximo de una función se debe de derivar la función e igualarse a cero.
𝑈(𝑥) = 60𝑥 − 𝑥2
𝑈′(𝑥) = 60 − 2𝑥
Entonces
60 − 2𝑥 = 0
−2𝑥 = −60
𝑥 =
−60
−2
𝑥 = 30
Otra forma de calcularlo es con la ecuación
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
=
−60
2(−1)
=
−60
−2
= 30
Por lo tanto, el número de unidades a producirse es 30
Utilidad máxima
𝑈(𝑥) = 60𝑥 − 𝑥2
𝑈(30) = 60(30) − (30)2
𝑈(30) = 1800 − 900
𝑈(30) = 900
La utilidad máxima es de $ 900