prueba

1. 11
Actualizado agosto 2009
Prof: María Consuelo Cortés – Guiomar Mora de Reyes

2. 2
PLANO CARTESIANO.
Ubicación de puntos.
Representación de regiones.
Teorema de Pitágoras.
Fórmula distancia entre dos puntos.
Formula Punto medio.

3. 33
Los ejes x y y dividen al
plano en cuatro partes
llamadas cuadrantes.
Así como a cada punto de una recta se le puede asignar
un número real, a cada punto del plano se le puede
asignar una pareja ordenada de la siguiente manera:
La recta horizontal se llama
eje x y la recta vertical se
llama eje y
Se ubican dos rectas numéricas
que sean perpendiculares y se
corten en el punto cero.
              















x
y
x
y
III
III IV
PLANO CARTESIANO
El punto de corte se llama
origen

4. 44
PLANO CARTESIANO
OJO!!
(x, y) ≠ (y, x). Excepto en
el caso en que x = y
Llamamos a x la abscisa,
y a y la ordenada.
Los puntos en el plano cartesiano son pares ordenados de
números reales (x, y )
NOTA: Para indicar que un
punto (x, y) es un punto
del plano cartesiano
podemos escribir:
  x y x y, , 
x
y
          











x
y
),( yxP
abscisa ordenada

5. 55
OJO!! Los puntos sobre los ejes de coordenadas no se
consideran parte de ningún cuadrante
En el cuadrante I x y y son
positivos.
En el cuadrante II x es
negativo y y es positivo.
En el cuadrante III x y y son
negativos.
En el cuadrante IV x es
positivo y y es negativo.
          











x
y
x
y
III
III IV
x >0 , y >0x<0, y >0
x<0, y <0 x>0, y <0
PLANO CARTESIANO

6. 66
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO
CARTESIANO
Ejemplos
Ubicar en el plano
cartesiano
x
y
)3,4(1P
)3,4(1P
)2,5(2 P
)2,5(2 P
)4,3(3 P
)4,3(3 P
)2,6(4 P
)2,6(4 P
)0,2(5P
)0,2(5P
)2,0(6 P
)2,0(6 P
)3,0(7P
)3,0(7P

7. 77
Ejemplos
        








x
y
x
y
Ubicar en el plano
cartesiano
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO
CARTESIANO






5
2
,
2
3
1P 





5
2
,
2
3
1P






 0,
2
3
2P






 0,
2
3
2P
 3,23 P
 3,23 P







2
1
,24P







2
1
,24P

8. 88
EXPRESIONES VERBALES
Ubicar en el plano un punto de coordenadas (x, y ) cuya
y su es la mitad de la abscisa.
x = 6
Ejemplo 1
2
x
y 
3y
Entonces el punto es (6,3)
P (6,3)
abscisa es 6 ordenada

9. 99
Ubicar en el plano un punto de coordenadas (x, y) cuya ordenada
es -5/2 y la abscisa es dos veces la ordenada.
y= -5/2
Ejemplo 2







2
5
2x
Entonces el punto es
(-5, -5/2)
P (-5,-5/2)
EXPRESIONES VERBALES
5x

10. 1010
Ubicar en el plano un punto de coordenadas (x, y ) que cumple
con la condición de que su ordenada es igual a -8 y su abscisa es
la raíz cúbica de la ordenada.
Ejemplo 3
              

















x
y
x
y
)8,2( P
8y
3
8x
2x
El punto es entonces P (-2,-8)
EXPRESIONES VERBALES

11. 1111
Ejemplo 4
Ubicar en el plano un punto de coordenadas (x, y) cuya :
abscisa tenga como valor el doble producto de la ordenada,
menos 4 unidades y su ordenada sea 2.
y =2
42  yx
0x
P (0,2)
EXPRESIONES VERBALES
4)2(2 x
El punto es entonces P (0,2)

12. 12
Encuentre el siguiente conjunto de puntos en el plano
cartesiano
GRÁFICAS DE REGIONES EN EL PLANO
  1x y y x y, ; ,  
Ejmplo 5
        








x
y
        








x
y
y=1
x
y
y>1
1y

13. 13
                        
x
y
Encuentre el siguiente conjunto de puntos del plano cartesiano.
Recuerde…
111  xóxx
  1x y x x y, ; ,  
Ejemplo 6
x
y
GRÁFICAS DE REGIONES EN EL PLANO
x=-1x<-1 x=1 x>1

14. 14
Ejemplo 7
Dibuje la región dada por el conjunto:
  1 3x y x y x y, , , ,   
3y
1x
GRÁFICAS DE REGIONES EN EL PLANO
        








x
y
        








x
y

15. 15
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos.
(hipotenusa)²= (cateto)² + (cateto)²
hipotenusa
cateto
cateto
c
b
a
c² = a ² + b²
TEOREMA DE PITÁGORAS
Nota: observe que la hipotenusa es
el lado más largo del triángulo.

16. 16
12 yy 
12 xx 
 22 , yx
 11 , yx
2x1x
2y
1y
x
y
Distancia entre dos puntos
Por el teorema de Pitágoras se tiene:
(hipotenusa)²= (cateto)² + (cateto)²
2
12
2
12
2
)()( yyxxd 
Entonces,
2
12
2
12 )()( yyxxd 
d
a
b
 12 , yx
222
bad 
Tomemos dos puntos del plano y y hallemos la
distancia entre ellos:
 22 , yx 11, yx

17. 17
LA FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO
El punto medio M de un segmento de recta A ( x1, y1) a
B (x2 , y2), está definido como:





 
2
,
2
2121 yyxx
M
x
y
 11, yxA
 22 , yxB
1x 2x
1y
2y
M
2
21 yy 
2
21 xx 

18. 1818
Ejemplo 8
Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos P(-3,2) y
Q(1,5).
Solución
Aplicando la fórmula de
distancia se tiene:
     52531)(
22
PQd
P
Q
Aplicando la fórmula de punto
medio se tiene:











 
2
7
,1
2
52
,
2
13
M
M
 2,3
 5,1







2
7
,1

19. 1919
EJEMPLO 9
1. Dibujar un triángulo ABC
con vértices A( -1,3),
B( -3 ,-1 ), C( 3 , 1 ).
C
A
B
 1,2
2
)1(3
,
2
)3(1





 
D
 2,1
2
13
,
2
31





 
E
D
E
 1,2
 2,1
2. Hallar los puntos medios
D y E de los lados AB y AC
respectivamente

20.  2, 1 
 22, y
   2 2
7 2 2 1 y      
 2, 1  7
Los puntos de abscisa 2 son
Los cuales son de la forma  2, y
El punto
Se observa que debe haber dos posibilidades
 12, y
¿Como determinar sus coordenadas con
exactitud?
   2 2
1 2 2 1d x x y y   
1 33y   
   2, 1 33 y 2, 1 33   
 


Cuales tendrán una distancia de 7 unidades
entre ellos?
EJEMPLO 10
20