OPERACIONES CON MATRICES CO DIFERENTES METODOS

2. Una matriz es un arreglo rectangular de números
de la siguiente forma.
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3. °MATRIZ CUADRADA:Es aquella cuyo número de renglones
es igual al número de columnas; es decir, una matriz de n
renglones con n columnas, recibe el nombre de matriz
cuadrada de orden n.

4. °MATRIZ FILA: Es aquella de orden 1 × n
°MATRIZ COLUMNA: Es
aquella de orden m × 1

5. °TRIÁNGULAR INFERIOR: Es aquella matriz cuadrada de
orden n, donde aij = 0, para i < j, es decir, todos los
elementos por arriba de la diagonal principal son cero

6. °MATRIZ TRIÁNGULAR SUPERIOR: Es aquella matriz
cuadrada de orden n, donde los elementos aij = 0, para i
> j, es decir, todos los elementos debajo de ladiagonal
principal son cero.

7. °MATRIZ IDENTIDAD:Es aquella matriz diagonal de orden n,
cuyos elementos distintos de cero son 1, se denota por I

8. °MATRIZ RECTÁNGULAR:Es aquella matriz que no es
cuadrada, esto es que la cantidad de filas es diferente de
la cantidad de columnas.

9. °MULTIPLICACIÓN: Sea A = (aij) una matriz de orden m × n, y B =
(bij) una matriz de orden n × p, la multiplicación AB da como
resultad la matriz C = (cij) de orden m × p, tal que cij = ai1b1j +
ai2b2j + ..... + ainbnj

10. °SUMA: Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de orden m × n,
la suma de A y B está determinada por:
A + B = (aij) + (bij)
Donde A + B es la matriz de orden m × n que resulta de
sumar los elementos correspondientes.

11. °RESTA:La diferencia o resta de dos matrices m × n, se
define:
A − B = A + (− B)
Donde − B es el inverso aditivo de B

12. °MATRIZ INVERSA: Dada una matriz cuadrada P de orden n,
si existe una matriz Q tal que:
PQ = QP = In
Entonces, se dice que la matriz Q es la matriz inversa de P y
se denota P -¹
, de tal forma que:
P P-¹= P-¹
P = In

13. °MATRIZ TRASPUESTA: La traspuesta AT de una matriz A
puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su
diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta
devuelve los elementos a su posición original. Así, la
traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.

14. El determinante de una matriz A de orden n, es un
número escalar que se relaciona con la matriz,
mediante una regla
de operación. Denotada por detA = A

15. El determinante de una matriz A de orden n, es un
número escalar que se relaciona con la matriz,
mediante una regla
de operación. Denotada por detA = A

16. Las primeras tres columnas de la matriz aumentada
muestran los coeficientes de x, y, y z en el sistema
lineal.
La cuarta columna en la matriz aumentada muestra
los términos constantes en el sistema lineal. La
línea punteada opcional ayuda para identificar los
términos constantes.

17. Para resolver una matriz utilizando el método de Gauss-Jordan, sigue estos
pasos:
1. Escribe la matriz aumentada, que incluye tanto los coeficientes de las
variables como los términos constantes.
2. Comienza con la primera columna y la primera fila. Si el elemento en la
posición actual no es cero, divídelo por sí mismo para obtener un uno en esa
posición.
3. Utiliza operaciones elementales para hacer ceros en todos los demás
elementos de la columna actual.
4. Repite los pasos 2 y 3 para todas las columnas y filas restantes, trabajando
de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.
5. Una vez que hayas obtenido una forma escalonada reducida, verifica si hay
filas nulas o ecuaciones inconsistentes.
6. Si no hay filas nulas ni ecuaciones inconsistentes, realiza operaciones
elementales adicionales para obtener unos en todas las posiciones principales.
7. La matriz resultante a la izquierda de la línea vertical representa la matriz
identidad y a la derecha se encuentran las soluciones del sistema de
ecuaciones lineales.
Recuerda que el método de Gauss-Jordan se aplica a matrices cuadradas y no
singulares.

18. Para resolver matrices por el método de Gauss, sigue
estos pasos:
1. Escribe la matriz aumentada, que incluye tanto los
coeficientes de las variables como los términos
constantes.
2. Realiza operaciones elementales en las filas para
convertir la matriz en una forma escalonada.
3. Aplica el método de sustitución hacia atrás para
encontrar los valores de las variables desconocidas.
4. Verifica la solución encontrada sustituyendo los
valores obtenidos en las ecuaciones originales.
Recuerda que el método de Gauss solo se puede aplicar
a matrices cuadradas y no singulares.

19. Para resolver una matriz utilizando la matriz inversa,
sigue estos pasos:
1. Escribe la matriz de coeficientes y el vector de
términos constantes en forma aumentada.
2. Calcula la matriz inversa de la matriz de
coeficientes.
3. Multiplica la matriz inversa por el vector de
términos constantes.
4. El resultado será el vector solución del sistema de
ecuaciones lineales representado por la matriz.
Recuerda que solo puedes utilizar este método si la
matriz de coeficientes es cuadrada y no singular, es
decir, tiene una inversa.

20. Para resolver matrices por la regla de Cramer, sigue estos pasos:
1. Escribe la matriz de coeficientes y el vector de términos constantes en
forma aumentada.
2. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
3. Para encontrar el valor de cada variable desconocida, reemplaza la
columna correspondiente del vector de términos constantes en la columna
de la variable en la matriz de coeficientes y calcula el determinante de
esta nueva matriz.
4. Divide el determinante obtenido en el paso anterior por el determinante
de la matriz de coeficientes para obtener el valor de cada variable.
Recuerda que este método solo se aplica a sistemas de ecuaciones
lineales con el mismo número de ecuaciones y variables y cuando el
determinante de la matriz de coeficientes no es igual a cero.

21. Un sistema de ecuaciones lineales con matrices es una forma de
representar un conjunto de ecuaciones lineales utilizando matrices. En
este enfoque, las variables y los coeficientes de las ecuaciones se
organizan en matrices y vectores, lo que permite resolver el sistema
utilizando operaciones matriciales como multiplicación, suma y resolución
de sistemas de ecuaciones mediante métodos como la eliminación
Gaussiana o la descomposición LU. Este enfoque es especialmente útil
cuando se trabaja con sistemas grandes o cuando se desea una solución
numérica eficiente.

22. 1. Ecuaciones lineales con una solución: En este caso, el sistema de
ecuaciones tiene un único conjunto de valores para las variables que
satisface todas las ecuaciones. Geométricamente, esto se representa
como la intersección de líneas, planos o hiperplanos en el espacio
vectorial.
2. Ecuaciones lineales con infinidad de soluciones: Estas ecuaciones tienen
múltiples conjuntos de valores que satisfacen todas las ecuaciones
simultáneamente. Geométricamente, esto se representa como un conjunto
de líneas, planos o hiperplanos paralelos en el espacio vectorial.
3. Ecuaciones lineales sin solución: En este caso, no hay ningún conjunto
de valores que satisfaga todas las ecuaciones simultáneamente.
Geométricamente, esto se representa como líneas, planos o hiperplanos
que no se intersectan en el espacio vectorial.

23. 😀