academica preuniviersitaria

1. ECUACIONES
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c
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ECUACIONES
N

2. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
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3. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
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4. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
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5. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
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N

6. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Definición
Una ecuación de segundo grado o simplemente ecuación
cuadrática, es aquella que presenta la forma
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita.
Métodos de resolución :
Factorización
Completando cuadrados
Fórmula General
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7. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita, tendremos.
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8. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita, tendremos.
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
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N

9. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita, tendremos.
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
∆ = b2
− 4ac
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10. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita, tendremos.
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
∆ = b2
− 4ac
Su conjunto solución es
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11. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones Cuadráticas
Dada la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
donde a, b y c son números reales y x es la incógnita, tendremos.
El DISCRIMINANTE de la ecuación es la expresión
∆ = b2
− 4ac
Su conjunto solución es
C.S. =
(
−b +
√
∆
2a
,
−b −
√
∆
2a
)
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12. Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Ejemplo
Resolver la ecuación cuadrática x2 + 5x + 6 = 0
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13. Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Ejemplo
Resolver la ecuación cuadrática x2 + 5x + 6 = 0
(1) Por factorización
x2
+ 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2}
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14. Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Ejemplo
Resolver la ecuación cuadrática x2 + 5x + 6 = 0
(1) Por factorización
x2
+ 5x + 6 = 0 ↔ (x + 2)(x + 3) = 0 ↔ C.S. = {−3; −2}
(2) “ Completando cuadrados ”
x2
+ 5x + 6 = 0 ↔ x2
+ 5x +
5
2
2
−
5
2
2
+ 6 = 0
x +
5
2
2
−
1
4
= 0 ↔
x +
5
2
= −
1
2
∨
x +
5
2
=
1
2
C.S. = {−3; −2}
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15. Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Ejemplo
Resolver la ecuación cuadrática 1x2 + 5x + 6 = 0
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16. Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Ejemplo
Resolver la ecuación cuadrática 1x2 + 5x + 6 = 0
(3) Utilizando la fórmula general
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, el discriminante de la ecuación es
∆ = 52
− 4(1)(6) = 1
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17. Ecuación polinomial de segundo grado
Métodos de resolución
Ejemplo
Resolver la ecuación cuadrática 1x2 + 5x + 6 = 0
(3) Utilizando la fórmula general
Siendo a = 1, b = 5 y c = 6, el discriminante de la ecuación es
∆ = 52
− 4(1)(6) = 1
x1 =
−5 −
√
∆
2(1)
= −3 ∨ x2 =
−5 +
√
∆
2(1)
= −2
C.S. = {−3; −2}
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18. Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las raı́ces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
de incógnita x, según el signo de su discriminante, se cumple
que:
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19. Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las raı́ces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
de incógnita x, según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ 0, las raı́ces son números reales y diferentes.
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20. Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las raı́ces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
de incógnita x, según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ 0, las raı́ces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las raı́ces son números reales e iguales.
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21. Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las raı́ces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
de incógnita x, según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ 0, las raı́ces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las raı́ces son números reales e iguales.
Si ∆ 0, las raı́ces son números complejos conjugados.
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22. Ecuación polinomial de segundo grado
Discusión de las raı́ces
Propiedades :
En la ecuación cuadrática
ax2
+ bx + c = 0, a 6= 0
de incógnita x, según el signo de su discriminante, se cumple
que:
Si ∆ 0, las raı́ces son números reales y diferentes.
Si ∆ = 0, las raı́ces son números reales e iguales.
Si ∆ 0, las raı́ces son números complejos conjugados.
Importante: Si ∆ ≥ 0, las raı́ces son números reales
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23. Ecuación polinomial de segundo grado
Interpretación gráfica
Observación 3
Respecto a la relación y = ax2 + bx + c, a 6= 0
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24. Ecuación polinomial de segundo grado
Interpretación gráfica
Observación 3
Respecto a la relación y = ax2 + bx + c, a 6= 0
Su representación geométrica es una parábola que tiene como
vértice
V =
−
b
2a
, −
∆
4a
=
−
b
2a
, c −
b2
4a
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25. Ecuación polinomial de segundo grado
Interpretación gráfica
Observación 3
Respecto a la relación y = ax2 + bx + c, a 6= 0
Su representación geométrica es una parábola que tiene como
vértice
V =
−
b
2a
, −
∆
4a
=
−
b
2a
, c −
b2
4a
Admite un valor máximo (mı́nimo)
y = −
∆
4a
en x = −
b
2a
si y sólo si a 0 (a 0)
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26. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones
Ejemplo
En una empresa el ingreso y, generado por vender x unidades de
cierto producto está dado por la relación
y = 100x − 2x2
donde y se mide en soles, ¿cuánto será el ingreso máximo?
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27. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones
Resolución
Considerando la relación
y = 100x − 2x2
= −2x2
+ 100x + 0
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28. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones
Resolución
Considerando la relación
y = 100x − 2x2
= −2x2
+ 100x + 0
Piden determinar ymax, generado por vender x unidades de cierto
producto. Como a = −2, b = 100 y c = 0, el discriminante de la
ecuación es
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29. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones
Resolución
Considerando la relación
y = 100x − 2x2
= −2x2
+ 100x + 0
Piden determinar ymax, generado por vender x unidades de cierto
producto. Como a = −2, b = 100 y c = 0, el discriminante de la
ecuación es
∆ = (100)2
− 4(−2)(0) = 10000
entonces
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30. Ecuación polinomial de segundo grado
Ecuaciones
Resolución
Considerando la relación
y = 100x − 2x2
= −2x2
+ 100x + 0
Piden determinar ymax, generado por vender x unidades de cierto
producto. Como a = −2, b = 100 y c = 0, el discriminante de la
ecuación es
∆ = (100)2
− 4(−2)(0) = 10000
entonces
ymax = −
∆
4a
= −
10000
4(−2)
= 1250
Por lo tanto, el ingreso máximo es 1250 soles.
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ECUACIONES
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