Ejercicios resueltos

1. 1. ¿Qué valores han de tener “x” e “y” para que los vectores (2,1,x) y (6,y,15) sean
linealmente independientes?
Se comprueba si el primer sistema de vectores es linealmente dependiente:
¿∃ α1 , α2 ∈ R / α1.(2,1, )+ α2. (6, , 15) = (0,0,0)?
RESOLUCIÓN 1
α1.(2,1, )+ α2. (6, , 15) = (0,0,0)
2.α1 + 6. α2=0 (ec.1)
α1 + y. α2=0 (ec.2)
x.α1 + 15. α2=0 (ec.3)
Resolución del sistema de ecuaciones:
Despejo α1 en ec. 1  α1= . α2 = -3. α2  α1 = -3. α2
Despejo α1 en ec. 2  α1 = -y. α2  α1 = -y. α2
Igualando α1 se obtiene: -3. α2=-y. α2; -3. α2=-y. α2  y=3
Ahora despejo x en ec. 3: x=-15. ; sabemos de la ecuación 1 que α1 = -3. α2 y sustituyendo,
se obtiene que x=- . =5
X=5
Sol. Para que estos vectores sean linealmente dependientes x=5 e y=3.
RESOLUCIÓN 2.
“varios vectores son linealmente dependientes cuando forman un determinante nulo”.
En este caso no se podría calcular el determinante porque la matriz no es cuadrada.
2. ¿Y para que sean linealmente independientes?.
Para que sean line Se comprueba si el primer sistema de vectores es linealmente
independiente:
¿∃ α1 , α2 ∈ R / α1.(2,1, )+ α2. (6, , 15) ≠ (0,0,0)?

2. Es decir, esto siempre se cumplirá siempre que y≠ 3 e x≠ 5 ya que son los únicos escalares
capaces de anular la combinación lineal. Para todos los demás valores de α1 , α2 α1.(2,1, )+
α2. (6, , 15) ≠ (0,0,0).
Sol. Para que estos vectores sean linealmente independientes x≠5 e y≠3.
3. a. ¿Pueden ser tres vectores de R2 una base de éste?
b. ¿Y un vector?
c. ¿Puede ser una base un sistema de vectores que contenga el vector nulo?
d. ¿Puede ser una base de R2 dos vectores proporcionales? Por ejemplo {(-2,1),(6,-
3)}.
e. ¿Cuál de estos sistemas de vectores podrá ser una base, atendiendo a lo anterior?
e.1. {(-1,1), (3,-3)} e.2. {(1,1),(-1,0),(2,1)} e.3. {(1,-3)}
e.4. {(4,1),(-2,0)} e.5. {(1,0),(-1,3),(0,0)}
a.y b. En R2 una base está formada exactamente por dos vectores. Un solo vector o más de
dos vectores no pueden ser una base. Dos vectores son una base si son independientes, es
decir, si el determinante formado con ellos no vale cero.
c. No ya que el vector nulo puede expresarse como combinación lineal de los demás, por tanto
no sería linealmente independiente.
d. No, porque puedo escribir uno como combinación lineal del otro. En el ejemplo:
(6,-3)=-3.(-2,1)
Por tanto son linealmente dependientes y no pueden formar una base.
e.1. (3,-3)=-3. (-1,1) Son L.D.
e.2. (1,1)=(2,1)-1.(1,0) Son L.D.
e.3. Sólo es un vector.
e.4. No puede ponerlo en combinación lineal uno de otro u otra forma de verlo es que las
componentes no son proporcionalesL.I.
α1.(4,1)+ α2. (−2,0) = (0,0)?
4.α1- α2=0
α1+α2=0  α2 =- α1 4 α1- α2= 4.α1+α1=0; 5.α1= 0; si α1= 0 y α2= 0  L.I.
Ahora habría que mirar si podría ser un sistema generador. Es decir, que cualquier vector (a,b)
podría escribirse como combinación lineal de éstos:
¿∃ α1 , α2 ∈ R / α1.(4,1)+ α2. (−2,0) = (a,b)?

3. e.5. {(1,0),(-1,3),(0,0)}. Tal y como vimos antes en el apartado c. El vector nulo (0,0) depende
de los demás, luego no son linealmente independientes.
“Cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo será L.D”
Sol. La única combinación de vectores que podría ser una base será la e.4.
4. ¿Cuál es el rango de los sistemas de vectores siguientes?. También se podría
preguntar, ¿cuál es la dimensión de los subespacios generados por los siguientes
sistemas de vectores?.
4.1.{(1,0,1),(-2,1,4)}
4.2.{(1,-2)}
4.3.{(1,-1),(-2,2)}
4.4. {(1,0,1),(-1,1,0),(0,1,1)}
4.5.{(2,1,0),(-2,-1,0),(4,2,0)}
4.6.{(1,0,1),(-1,1,1),(3,1,-2)}
Nota: Dado un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, se denomina
RANGO de ese conjunto, al número máximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
El procedimiento para obtener el rango de un conjunto de vectores consiste en partir del
conjunto total de vectores y decidir si son l.i., en caso de serlo el rango sería el número total de
vectores, si no lo son, se elimina aquel vector que pueda expresarse como combinación lineal
del resto, construyendo así un nuevo conjunto que contiene todos los vectores iniciales salvo
el anterior.
4.1. Ambos vectores son linealmente independientes, no podemos expresarlos como
combinación lineal uno de otro; o dicho de otra forma (al ser sólo dos vectores) sus
componentes no son proporcionales Rango=2.
4.2. Tan sólo es un vector. Luego Rango=1.
4.3. Estos dos vectores son linealmente dependiente. Podemos expresar uno como
combinación lineal del otro y además sus componentes son proporcionalesL.D. El
rango en este caso es 1. Rango=1.
(-2,2)=-1. (1,-1)
4.4. Si sumamos: (1,0,1)+(-1,1,0)=(0,1,1). Por tanto (0,1,1) se puede escribir como
combinación lineal de los otros dos (es linealmente dependiente). Ahora nos fijamos
en los otros dos restantes (1,0,1) y (-1,1,0) vemos que sus componentes no son
proporcionales 1/-1≠0/1≠1/0  El rango= número de vectores L.I = 2. Rango=2.
4.5. Vemos que podemos escribir (4,2,0)=(2,1,0)-1.(-2,-1,0). Luego (4,2,0) es L.D. Ahora
vemos los otros dos: vemos que podemos escribir también uno en función del otro:
(2,1,0)=-1.(-2,-1,0): Luego, el Rango = 1.

4. 4.6. A primera vista no consigo poner ninguno de los vectores en combinación lineal del
resto, tampoco observo que las componente de vectores dos a dos sean
proporcionales. Luego, Rango=3.
Si no estoy segura puedo comprobarlo, viendo si son L.I:
∃ α1 , α2, α2 ∈ R / α1.(1,0,1)+ α2. (−1,1,1) + α3. (3,1, −2) = (0,0,0)?
5. ¿Cuánto tiene que valer “a” para que los vectores (1,-1,0), (2,1,-3),(a,1,6) sean linealmente
dependientes?
Se comprueba si el primer sistema de vectores es linealmente dependiente:
¿ ? ∃ α1 , α2, α2 ∈ R / α1.(1, −1,0)+ α2. (2,1, −3) + α3. ( , 1,6) = (0,0,0)?
α1+2. α2+ a. α3 = 0 (ec. 1)
-α1+α2+ α3 = 0 (ec.2)
-3. α2+ 6. α3 = 0 (ec.3)
Resolución del sistema de ecuaciones:
α2 = 2 . α3
De la ec.3. despejo el valor de α2; α2= . α3; obtengo: (ec. 4)
Ahora me voy a la ec. 1 y despejo el valor de α1; α1=− . α3 -2. α2 . Sustituyendo el valor que
sacamos de α2 (ec.4), obtengo: α1=− . α3 -2. α2=− . α3 -2. (2 . α3)= =− . α3 - 4. α3)= α3 .(-a-4)
α1 =α3 .(-a-4)
Es decir de la ec. 2 obtengo: (ec.5)
Esto mismo que he hecho a partir de la ecuación 1., lo hago ahora para la ecuación 2. Es decir
buscar una expresión de α1 en función de α3. Para luego aplicar el método de igualación.
De la ec. 2 saco que: -α1+α2+ α3 = 0; α1=α2+ α3
Ahora sustituyendo el valor de α2 obtenido en la ec. 4;
α1=α2+ α3= 2 . α3 + α3 = (2+1). α3 = -3. α3.
Es decir de la ec. 1. Obtengo: α1 =3.α3 (ec.6)
Ahora aplico el método de igualación, igualo los valores de α1 obtenidos en ec. 5 y ec. 6:
α3 .(-a-4)= 3.α3
α3 .(-a-4)= 3.α3; -a-4 = 3. = 3; -a+4=3; a=-3-4=-7
Solución: Para que los vectores (1,-1,0), (2,1,-3),(a,1,6) sean linealmente dependientes a debe
valer -7.

5. 6. ¿Cuánto ha de valer “b” para que la dimensión del subespacio vectorial generado por los
vectores (1,-2,2), (b,6,-6):
a. Sea 2?
b. Sea 1?
La dimensión de un subespacio vectorial es el número de vectores que forman la base. Es decir
el número de vectores linealmente independientes y que es un sistema generador.
Lo mismo de siempre:
¿∃ α1 , α2 ∈ R / α1.(1, −2,2)+ α2. ( , 6, −6) = (0,0,0)?
Operando:
α1 + b. α2=0 (ec.1)
-2.α1 + 6. α2=0 (ec.2)
2.α1 - 6. α2=0 (ec.3)
De la ec.2 sacamos que  α1 = 3 .α2
De la ec.1 sacamos que  α1 = -b .α2
Igualando ambas expresiones obtenemos que b=-3; luego para que sean linealmente
independientes y por tanto tendríamos 2 vectores y la dim sería 2.
dim 2  b≠-3
Para que la dimensión fuese 1, ambos vectores tendrían que ser dependientes y esto se
cumple cuando b=3.
dim 1  b=-3
7. ¿Qué tienen que valer “a” y “b” para que los vectores (1,a,-2,0) (2,-3,0,a) (-4,1,4,b) sean:
a. linealmente dependientes?
b. Y para que sean linealmente independientes?
¿ , ? :
∃ α1 , α2, α2 ∈ R / α1.(1, , −2,0)+ α2. (2, −3,0, ) + α3. (−4,1,4, ) = (0,0,0,0)?
Operando se obtiene:
α1 + 2. α2 -4 . α3 =0 (ec.1)
a.α1 - 3. α2 + α3 =0 (ec. 2)
-2 .α1 + 4 . α3 =0 (ec.3)
a. α2 + b . α3 =0 (ec.4)

6. Resolución sistema de ecuaciones:
Utilizaré las dos primeras ecuaciones para sacar de ellas el término α2 y así poder combinarla
con la ec. 3.
3 . (α1 + 2. α2 -4 . α3 =0) 3.α1 + 3.2. α2 -3.4 . α3 =3.0 3.α1 + 6. α2 -12. α3 =0
2 . (a.α1 - 3. α2 + α3 =0) 2.a.α1 – 2.3. α2 + 2.α3 =2.0 2.a.α1 – 6. α2 + 2.α3 =0
3.α1+2.a.α1-12 α3+2. α3=0
(3+2.a) .α1-10.α3=0 (ec. 5)
De esta última ecuación obtenida, despejo α1:
α1 = . α3
.
(ec. 5)
Ahora despejo α1 en la ecuación 3:
.
-2 .α1 + 4 . α3 =0 ; α1 = = 2. α3 α1 = 2. α3
(ec.6)
Igualando ambas expresiones de las α1:
− . α3 = 2. α3 ;
.
. = 2  5 = (3+2.a) ; a=  a=1
.
Teniendo en cuenta la última ecuación; en la única que existe b, sacamos expresión de b:
a.α2 + b . α3 =0
b=
Teniendo en cuenta la ec.1 y la ec. 3:
2 . (α1 + 2. α2 -4 . α3 =0) 2.α1 + 2.2. α2 -2.4 . α3 =2.0 2.α1 + 4. α2 - 8. α3 =0
(-2 .α1 + 4 . α3 =0) -2.α1 + 4. α3 =0 -2 .α1 + 4.α3 =0
4. α2- 4. α3=0
α2 =α3 (ec. 7)
Sustituyendo la ecuación 7 en la expresión b:
.
b= = = -1; b=-1

7. Sol. a. Para que los vectores sean linealmente dependientes a=1 y b=-1.
b. Para que los vectores sean linealmente independientes a ≠1 y b≠ -1 ya que se debe
cumplir: α1.(1, , −2,0)+ α2. (2, −3,0, ) + α3. (−4,1,4, ) ≠ (0,0,0,0).