Propiedades de los vectores

1. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 1
Tema 2. Álgebra de Matrices
Si bien el concepto de matriz fue definido en la primer clase como una forma de obtener
una notación más simple y compacta de un S.E.L., las matrices son estructuras
fundamentales en sí mismas. A menudo se dice que poseen “vida propia” o álgebra
propia puesto que, al igual que hacemos con los escalares (números), sobre ellas
podemos definir distintas operaciones, las cuales poseen ciertas propiedades. Esto es lo
que vamos a tratar a continuación por el resto de la clase.
Pero antes vamos a ver la definición de algunos tipos particulares de matrices que por
sus características ameritan tratarlas por separado.
Matriz transpuesta
Definición: Dada la matriz A = ((aij))  Mmxn se define la matriz transpuesta de A como
AT
= ((aij
T
))  Mnxm / aij
T
= aji i = 1:m, j = 1:n.
Ejemplo: A = 







6
5
4
3
2
1
 AT
=










6
3
5
2
4
1
La matriz transpuesta se obtiene entonces intercambiando filas por columnas de la
matriz original.
Matriz simétrica
Definición: Dada la matriz A = ((aij))  Mnxn decimos que A es simétrica  aij = aji i,j
= 1:n.
Notar que una matriz simétrica, por definición, será siempre cuadrada, es decir, con
igual cantidad de filas y columnas.
Ejemplo: A =










3
4
3
4
2
2
3
2
1
Propiedad: para una matriz simétrica, siempre se cumplirá que: A = AT
.
Matriz anti-simétrica
Definición: Dada la matriz A = ((aij))  Mnxn decimos que A es anti-simétrica  aij = -
aji i,j = 1:n.
Al igual que la matriz simétrica, por definición la matriz anti-simétrica es cuadrada.
Ejemplo: A =













0
3
2
3
0
1
2
1
0

2. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 2
Notar que para cumplir con la definición, las entradas de la diagonal principal de una
matriz anti-simétrica deben ser todas nulas.
Propiedad: para una matriz anti-simétrica, siempre se cumplirá que A = -AT
.
Operaciones con matrices
1) Suma de matrices: Sean la matriz A = ((aij))  Mmxn y la matriz B = ((bij))  Mmxn.
Se define la operación suma +: Mmxn x Mmxn Mmxn como la matriz A + B = C, C =
((cij))  Mnxn / cij = aij + bij
De modo que los elementos de la matriz C se obtienen sumando los correspondientes
elementos de las matrices A y B.
Ejemplo: A = 







5
3
2
1
B = 







4
2
3
2
=> A + B = 






 

9
5
3
2
2
1
Como queda claro en la definición, las matrices a sumar deben poseer las mismas
dimensiones.
2) Producto de escalar por matriz: Sean   K (R ó C) y A = ((aij))  Mmxn. Se define la
operación producto de escalar por matriz .: K x Mmxn Mmxn como la matriz A = B,
B = ((bij))  Mmxn / bij = aij
Los elementos de la matriz B se obtienen multiplicando los correspondientes elementos
de A por el número .
Ejemplo:  = 1/2 A = 







4
3
2
1
 A = 







2
2
/
3
1
2
/
1
Tanto la suma de matrices como el producto de escalar por matriz cumplen una serie de
propiedades que vamos a presentarlas juntas. El propósito de esto no va a quedar claro
ahora pero sí en clases posteriores cuando se trate el tema de espacios vectoriales.
Propiedades de la suma de matrices y del producto de escalar por matriz
Propiedades de la suma de matrices Propiedades del producto de escalar por matriz
i) Asociativa: v) Asociativa:
(A + B) + C = A + (B + C) (A) = ()A
 A, B, C  Mmxn    K,  A  Mmxn
ii) Conmutativa: vi) Existencia de neutro (unidad del cuerpo)
A + B = B + A  1  K / 1.A = A
 A, B  Mmxn  A  Mmxn

3. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 3
iii) Existencia de neutro: vii) Distributiva de suma de escalares
  Mmxn / A +  =  + A ( + )A = A + A
 A  Mmxn    K,  A  Mmxn
iv) Existencia de opuesto: viii) Distributiva de suma de matrices
Dado A  Mmxn  B  Mmxn / (A + B) = A + B
A + B = B + A =     K,  A,B  Mmxn
Notación: B = -A
Vamos ahora a demostrar estas propiedades. Para eso, la estrategia general será definir
matrices auxiliares para cada operación distinta que vaya introduciéndose en el
desarrollo. De esta manera, el planteo resultará más claro.
Demostración:
i) Asociativa de la suma:
Hay que demostrar que (A + B) + C = A + (B + C)
Trabajamos primero sobre el lado izquierdo de la igualdad:
A + B = D, D = ((dij))  Mmxn / dij = aij + bij
(A + B) + C = D + C = E, E = ((eij))  Mmxn / eij = dij + cij = (aij + bij) + cij
Ahora sobre el lado derecho:
B + C = F, F = ((fij))  Mmxn / fij = bij + cij
A + (B + C) = A + F = G, G = ((gij))  Mmxn / gij = aij + fij = aij + (bij + cij)
Aplicando propiedad asociativa de la suma de escalares:
(aij + bij) + cij = aij + (bij + cij)  eij = gij  (A + B) + C = A + (B + C)
ii) Conmutativa de la suma:
Hay que demostrar que: A + B = B + A
Tomando el lado izquierdo de la igualdad:
A + B = C, C = ((cij))  Mmxn / cij = aij + bij
Ahora el lado derecho:
B + A = D, D = ((dij))  Mmxn / dij = bij + aij

4. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 4
Por propiedad conmutativa de suma de escalares:
aij + bij = bij + aij  cij = dij  A + B = B + A
iii) Existencia de neutro de la suma:
Hay que demostrar que:  A  Mmxn   Mmxn / A +  =  + A = A
Demostraremos solamente una de las igualdades dado que la restante quedará
demostrada automáticamente al aplicar la propiedad conmutativa, demostrada
anteriormente.
Notar que no conocemos los elementos de la matriz  que la definiremos como  =
((0ij))  Mmxn
A +  = B, B = ((bij))  Mmxn / bij = aij + 0ij
Como el resultado de la operación debe ser igual a A, se deduce que:
bij = aij
Por propiedad de existencia de neutro de la suma de escalares:
0ij = 0  i = 1:n,  j = 1:m
 =
















0
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
0
0
0
.
.
0
0
Así que, como se podía pensar, y teniendo en cuenta que aplicamos la operación suma
como la conocemos de trabajar con escalares, la matriz neutra de la suma coincide con
la matriz nula.
iv) Existencia de opuesto de la suma:
Hay que demostrar que: dado A  Mmxn  B  Mmxn / A + B = B + A = 
De manera análoga a la propiedad anterior, demostraremos solamente una de las
igualdades.
A + B = C, C = ((cij))  Mmxn / cij = aij + bij
Como C =   cij = 0ij = 0  i = 1:n,  j = 1:m
Por existencia de opuesto en suma de escalares se deduce que:
bij = -aij  B = -A

5. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
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Nuevamente, la forma obtenida para la matriz opuesta se deriva de la forma en que se
realiza la suma de escalares y depende también de la forma de la matriz neutra obtenida
previamente.
Si por el contrario, la suma se hubiera definido de manera distinta, es probable que la
forma de la matriz neutra y de la matriz opuesta no fueran las mismas que las
encontradas aquí.
v) Asociativa del producto de escalar por matriz:
Debemos demostrar que: (A) = ()A
Trabajando sobre el lado izquierdo de la igualdad tenemos que:
A = B, B = ((bij))  Mmxn / bij = aij
(A) =  C, C = ((cij))  Mmxn / cij = bij = aij)
Sobre el lado derecho tenemos:
()A = D, D = ((dij))  Mmxn / dij = ()aij
Por propiedad asociativa de producto de escalares:
aij) = ()aij  cij = dij  (A) = ()A
vi) Neutro del producto de escalar por matriz (unidad del cuerpo):
Hay que demostrar que:  1  K / 1.A = A
1.A = B, B = ((bij))  Mmxn / bij = aij
Por existencia de neutro de producto de escalares:
bij = aij 1.A = A
vii) Distributiva con respecto a suma de escalares:
Hay que demostrar que: ( + )A = A + A
En el lado izquierdo de la igualdad tenemos:
( + )A = B, B = ((bij))  Mmxn / bij = ( + )aij
Sobre el lado derecho tenemos:
A = C, C = ((cij))  Mmxn / cij = aij
A = D, D = ((dij))  Mmxn / dij = aij

6. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 6
A + A = C + D = E, E = ((eij))  Mmxn / eij = cij + dij = aij + aij
Por propiedad distributiva de suma de escalares:
( + )aij = aij + aij  bij = eij  ( + )A = A + A
viii) Distributiva con respecto a la suma de matrices:
Hay que demostrar que: (A + B) = A + B
Sobre el lado de la izquierda de la ecuación tenemos que:
A + B = C, C = ((cij))  Mmxn / cij = aij + bij
(A + B) = D, D = ((dij))  Mmxn / dij = cij = (aij + bij)
En el lado derecho, análogamente:
A = E, E = ((eij))  Mmxn / eij = aij
B = F, F = ((fij))  Mmxn / fij = bij
A + B = E + F = G, G = ((gij))  Mmxn / gij = eij + fij = aij + bij
Aplicando propiedad distributiva de la suma de escalares llegamos a:
(aij + bij) = aij + bij  dij = gij  (A + B) = A + B
3) Producto de matrices: Sean la matriz A = ((aij))  Mmxp y la matriz B = ((bij))  Mpxn.
Se define la operación producto de matrices . : Mmxp x Mpxn Mmxn como la matriz
AB = C, C = ((cij))  Mmxn / cij = 

p
h
b
a hj
ih
1
La definición nos indica que la forma en que se multiplican dos matrices es diferente a
la manera en que se multiplican escalares, a diferencia de las dos operaciones definidas
anteriormente en donde la equivalencia era aparente.
Entonces, para obtener los elementos de la matriz producto, no se multiplican entre sí
los elementos respectivos de las matrices originales. Aunque parecería que esta
definición es un tanto caprichosa, vamos a ver luego el motivo de la misma.
Y cómo hacemos para obtener los elementos de la matriz producto? La definición de la
operación es bastante clara y dice que para obtener el elemento cij, se deben utilizar los
elementos de la fila i de la primer matriz y los elementos de la columna j de la segunda
matriz.
Lo que se hace es obtener los productos de los respectivos elementos de fila y columna
seleccionadas y luego sumar estos productos para obtener el elemento correspondiente
en la matriz resultado.
Veamos cómo se obtiene genéricamente el resultado:

7. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 7
Sean A = ((aij))  Mmxp y B = ((bij))  Mpxn con:
A =
















mp
m
m
ip
i
i
p
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
1
12
11
B =
















pn
pj
p
n
j
n
j
b
b
b
b
b
b
b
b
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
2
21
1
1
.
11
Una forma de facilitar el cálculo es disponer ambas matrices en distintos niveles de
manera que la intersección de las proyecciones de la fila y columna a multiplicar
indique la posición del elemento en el resultado:
















pn
pj
p
n
j
n
j
b
b
b
b
b
b
b
b
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
2
21
1
1
.
11
columna j
















mp
m
m
ip
i
i
p
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
1
12
11
















.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
ij
c
fila i
El elemento cij se obtiene entonces como: ai1b1j + ai2b2j + ….. + aipbpj
Ejemplo: Dadas las matrices A = 







2
1
4
3
2
1
y B =













3
5
2
2
1
3
. Hallar AB.
Tenemos que m = 2, p = 3 y n = 2 por lo tanto AB  M2x2
Operando:













3
5
2
2
1
3








2
1
4
3
2
1


















6
2
4
10
2
12
9
4
1
15
4
3
= 









12
24
14
22
= AB

8. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 8
Para mayor claridad, se hizo explícito el paso de sumar los productos intermedios que se
obtienen al combinar elementos en la misma posición de las correspondientes filas y
columnas.
Volviendo a la definición de producto de dos matrices, hay que tener claro que el
requerimiento para poder multiplicar dos matrices no es que sus filas y columnas
coincidan como era el caso de la suma, sino que lo que se requiere es que el número de
columnas de la matriz que va en primer lugar del producto, sea igual al número de filas
de la matriz que va en el segundo lugar del producto. Cuando esta condición se cumple,
decimos que las matrices son conformables.
Antes de pasar a ver las propiedades con que cumple el producto de matrices, veremos
una, quizás más importante, que el producto no cumple.
Siguiendo con el ejemplo anterior, que pasaría si se planteara el producto BA en vez de
AB? Ya vimos que las matrices son conformables para el producto AB. Qué pasa para
el producto BA? Ahora tendremos que m = 3, p = 2, n = 3. Por ende, BA  M3x3.
Entonces, sin necesidad de realizar ninguna cuenta, ya podemos afirmar que AB ≠ BA
puesto que las dimensiones de ambas matrices son distintas.
Hagamos igualmente la operación para conocer el resultado exacto.
Operando:








2
1
4
3
2
1













3
5
2
2
1
3



















6
15
3
10
12
5
4
6
2
4
8
2
2
9
1
6
4
3
=













9
7
7
2
2
6
7
5
1
= BA
Por lo tanto, ya con este ejemplo puede concluirse que la operación producto de
matrices, NO es conmutativa. Como ya se vio, en este caso el resultado era evidente
dadas las distintas dimensiones de las matrices resultado según se planteara el producto
de una u otra forma. Pero tampoco se cumplirá la propiedad aunque se trate de matrices
cuadradas, es decir, matrices cuya conformabilidad en ambos sentidos arrojará matrices
también cuadradas. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
A = 







4
3
2
1
B = 







1
4
2
3
Calculemos primero el producto AB. Operando:








1
4
2
3








4
3
2
1








10
25
4
11
= AB

9. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 9
Ahora el producto BA. Operando:








4
3
2
1








1
4
2
3








12
7
14
9
= BA
Se llega nuevamente a que AB ≠ BA.
Esto no significa que no exista ningún caso en donde la igualdad se cumpla, pero
evidentemente que no tiene validez general y por lo tanto no puede ser una propiedad de
la operación. En realidad, existen ciertas condiciones para las cuales el producto de
matrices es conmutativo. No es de particular importancia para este curso pero se puede
decir que para que la propiedad conmutativa se cumpla, ambas matrices deben ser
simétricas o antisimétricas y el producto (resultado) también debe cumplir con la misma
condición.
Propiedades del producto de matrices
i) Asociativa:
A(BC) = (AB)C  A  Mmxp,  B  Mpxq,  C  Mqxn
Demostración:
Trabajamos primero el lado derecho de la igualdad. Entonces:
AB = D, D = ((dij))  Mmxq / dij = 

p
h
b
a hj
ih
1
(AB)C = DC = E, E = ((eij))  Mmxn / eij = 

q
sj
s
c
dis
1
=  
 
q p
sj
hs
ih
s h
c
b
a
1 1
)
(
Ahora desarrollamos el lado izquierdo de la igualdad:
BC = F, F = ((fij))  Mpxn / fij = 

q
s
c
b sj
is
1
A(BC) = AF = G, G = ((gij))  Mmxn / gij = 

p
hj
h
h
f
ai
1
=  
 
p q
sj
hs
ih
h s
c
b
a
1 1
)
(
Aplicando propiedades de sumatoria y de producto de escalares a la expresión de los gij:
gij =  
 
q p
sj
hs
ih
s h
c
b
a
1 1
)
( = eij  A(BC) = (AB)C

10. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 10
2) Distributiva:
(A + B)C = AC + BC  A, B  Mmxp, C  Mpxn
Trabajando sobre el miembro izquierdo de la igualdad:
A + B = D, D = ((dij))  Mmxp / dij = aij + bij
(A + B)C = DC = E, E = ((eij))  Mmxn / eij = 

p
h
c
d hj
ih
1
= 


p
h
c
b
a hj
ih
ih
1
( )
Operando sobre el lado derecho tenemos:
AC = F, F = ((fij))  Mmxn / fij = 

p
h
c
a hj
h
i
1
BC = G, G = ((gij))  Mmxn / gij = 

p
h
c
b hj
ih
1
AC + BC = H, H = ((hij))  Mmxn / hij = fij + gij = 

p
h
c
a hj
ih
1
+ 

p
h
c
b hj
h
i
1
Aplicando propiedad distributiva de producto de escalares en la expresión de los eij:
eij = 


p
h
c
b
c
a hj
ih
hj
ih
1
( )
Ahora, por propiedad de sumatorias:
eij = 

p
h
c
a hj
ih
1
+ 

p
h
c
b hj
ih
1
= hij  (A + B)C = AC + BC
Ecuaciones matriciales
Vamos ahora a terminar de establecer la equivalencia entre los S.E.L. y las matrices,
tratando el concepto de ecuaciones matriciales, lo cual nos será también útil para
introducir la última de las principales operaciones del álgebra matricial: la matriz
inversa.
Definición: Dado A  Mmxn, X  Mnx1 y b  Mmx1 definimos la ecuación matricial
como:
AX = b (1)
La resolución de esta ecuación implica encontrar todos los X que la verifican. Notar que
resulta bastante clara la equivalencia entre la ecuación matricial y la matriz ampliada de
sistema (A|b) que habíamos visto la clase pasada, en donde no figuraban explícitamente
las incógnitas. Parece razonable pensar entonces que el resolver un S.E.L. equivale a

11. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 11
resolver la ecuación matricial correspondiente. La siguiente proposición asegura este
hecho.
Proposición:
a11x1 + a12x2 + ……. + a1nxn = b1
Sea S = a21x1 + a22x2 + ……. + a2nxn = b2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + …… + amnxn = bm
un S.E.L. de m ecuaciones y n incógnitas.
Sea A la correspondiente matriz de sistema, A =
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
y b =
















m
b
b
b
.
.
2
1
Entonces s = (x1, x2, ……, xn) es solución de S  X =
















n
x
x
x
.
.
2
1
es solución de AX = b
Aquí está el fundamento más importante para haber definido el producto de matrices
como lo hicimos. Si la definición fuera diferente, la equivalencia entre ecuaciones
matriciales y S.E.L. no sería posible.
En efecto, si calculamos el producto AX, tenemos que:
















mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
2
22
21
1
12
11
















n
x
x
x
.
.
2
1
=

























n
mn
m
m
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
...
.
.
...
...
2
2
11
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
=
















m
b
b
b
.
.
2
1
Matriz inversa
Detengámonos a observar como planteamos el sistema matricial (AX = b). Cualquiera
que pensara que se tratan de magnitudes escalares estaría tentando de despejar la X,
pasando al otro lado de la igualdad la matriz A, dividiendo a b.
Si tuviéramos en realidad la igualdad escalar: ax = b obtendríamos que x = b/a.
Pero qué estamos haciendo en realidad cuando “despejamos” la variable x?

12. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 12
Sencillamente estamos pre-multiplicando ambos miembros de la igualdad por el inverso
del escalar a:
a-1
ax = a-1
b. Por definición a-1
a= 1 x = a-1
b = b/a
A menos que el valor de a sea nulo, siempre existirá el inverso de a.
Volviendo ahora a las matrices, por analogía podríamos pensar que estas, como los
números, tienen también inverso y por lo tanto se podría “despejar” la matriz X de la
ecuación matricial. Pero para lograr esto, lo primero que debemos saber es si existe una
matríz que haga el papel del neutro en la operación de producto de matrices, es decir, el
equivalente al neutro en el producto de escalares que ya sabemos es el 1. La respuesta es
sí, y, sin mencionarlo, lo vimos la clase pasada.
El neutro del producto de matrices es ni más ni menos la matriz identidad del orden que
corresponda, de forma que, dado A  Mnxn e In  Mnxn / se cumple que: AIn = InA = A.
Con esto en mente, ahora podemos definir el concepto de matriz inversa.
Definición: Se A  Mnxn. Decimos que A es invertible (existe la matriz inversa de A) 
 B  Mnxn / AB = BA = In
Notación: B = A-1
Un punto importante, y cuya razón se tratará en clases posteriores, es que solamente las
matrices cuadradas tienen inverso.
Una duda que puede surgir es si, como sucede para los escalares, la matriz inversa es
única. Efectivamente lo es, como lo afirma la siguiente proposición.
Proposición: El inverso de una matriz A  Mnxn es único
Demostración: Sea B1, B2  Mnxn / B1A = B2A = In
Aplicando propiedades  B1 = B1I = B1(AB2) = (B1A)B2 = IB2 = B2  B1 = B2
Luego, la matriz inversa es única.
Entonces, volviendo a la ecuación matricial, si sabemos que existe el inverso (luego
veremos en qué casos esto es cierto) de la matriz de sistema A vamos a poder “despejar”
el vector solución X:
AX = b  A-1
AX = A-1
b  IX = A-1
b  X = A-1
b
Si bien saber esto no agrega demasiado desde el punto de vista práctico dado que
podemos obtener X por otros métodos, en particular el método de escalerización visto
en la primer clase, sí es importante para el cálculo de matrices inversas.
Vamos a ver ahora uno de los métodos existentes para calcular matrices inversas y que
se apoya en estas nociones. Para esto, debemos introducir las llamadas matrices
elementales.

13. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 13
Si se recuerda de la clase pasada, se habían introducido las transformaciones
elementales en los S.E.L. Ahora veremos que por cada transformación elemental que se
define, automáticamente existirá asociada una matriz elemental. Y en realidad, desde el
punto de vista estrictamente formal, las transformaciones elementales se obtienen a
partir de estas matrices elementales.
Definición: Llamamos matriz elemental E, asociada a la transformación elemental e, a
la matriz que se obtiene como resultado de aplicar la transformación elemental e a la
matriz identidad del orden correspondiente.
Vamos a ver algunos ejemplos, en particular uno para cada uno de los tipos de
transformaciones elementales que existen (ver documento del tema 1):
1) I =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
1
0
.
0
.
0
1
0
0
.
.
0
1
e (intercambiar fila 2 y 3) E =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
0
1
.
0
.
1
0
0
0
.
.
0
1
2) I =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
1
0
.
0
.
0
1
0
0
.
.
0
1
e (multiplicar fila 3 por a) E =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
0
.
0
.
0
1
0
0
.
.
0
1
a
3) I =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
1
0
.
0
.
0
1
0
0
.
.
0
1
e (sumar a fila 2 la fila 3 por a) E =
















1
.
.
0
0
.
1
.
.
.
.
.
1
0
.
0
.
1
0
0
.
.
0
1
a
La pregunta que surge es cómo introducir una transformación elemental en un S.E.L. a
partir del uso de la matriz elemental respectiva? Lo que se hace simplemente es pre-
multiplicar la matriz del sistema por la matriz elemental.
Ejemplo:
2x + y = 3
3x + 2y = 2
A = 







2
3
1
2
, A|b = 







2
2
3
3
1
2

14. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 14
1) Intercambio de ecuación 1 y 2  AT = 







1
2
2
3
Utilizando la matriz elemental:
I = 







1
0
0
1
E1 = 







0
1
1
0
 E1A = 







0
1
1
0








2
3
1
2
= 







1
2
2
3
= AT
2) Multiplicación de fila 1 por 2  AT = 







2
3
2
4
Utilizando la matriz elemental:
I = 







1
0
0
1
E2 = 







1
0
0
2
 E2A = 







1
0
0
2








2
3
1
2
= 







2
3
2
4
= AT
3) Suma a fila 1 de fila 2 multiplicada por 2  AT = 







2
3
5
8
Utilizando la matriz elemental:
I = 







1
0
0
1
E3 = 







1
0
2
1
 E3A = 







1
0
2
1








2
3
1
2
= 







2
3
5
8
= AT
Un procedimiento análogo se debería seguir para trabajar con la matriz ampliada de
sistema.
Es evidente que a la hora de resolver S.E.L. por el método de escalerización, se aplican
las transformaciones elementales directamente, sin explicitar el producto por la matriz
elemental respectiva. Pero la base teórica es esta en realidad. Además, las matrices
elementales nos dan una base formal más sólida para el método de escalerización de
resolución de S.E.L., como lo muestra la siguiente proposición.
Proposición:
1) Toda matriz A  Mnxn puede reducirse a una forma escalerizada aplicando una
sucesión de transformaciones elementales:
EkEk-1…….E1A = Aesc con Ei = matriz elemental i-ésima
2) Si A es invertible:
a) A puede reducirse a la matriz identidad aplicando una sucesión de transformaciones
elementales:
EkEk-1…….E1A = In
b) A puede expresarse como un producto de matrices elementales:
A = E1’E2’…….Ek-1’Ek’

15. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 15
Sirviéndonos de estos conceptos, y recordando el método de escalerización visto en la
primer clase, es posible idear un procedimiento para calcular matrices inversas. En
efecto, lo que puede hacerse es introducir transformaciones elementales en una matriz A
hasta obtener la matriz identidad. Al finalizar este proceso, obtendremos también como
resultado la matriz inversa de A (A-1
). Hay que decir que, como veremos más adelante,
no todas las matrices resultarán invertibles y por lo tanto este procedimiento no siempre
podrá aplicarse.
Veamos cómo funcionaría el procedimiento con un ejemplo genérico simple.
Consideremos la matriz A = 







22
21
12
11
a
a
a
a
. Queremos obtener A-1
Aplicando la definición de matriz inversa, se puede plantear el problema utilizando la
ecuación matricial:
AX = I (aquí X = A-1
)
La matriz X es la incógnita, con X = 







22
21
12
11
x
x
x
x
Sustituyendo en la ecuación:








22
21
12
11
a
a
a
a








22
21
12
11
x
x
x
x
= 







1
0
0
1
Resulta claro que al desarrollar la operación producto de matrices, se obtendrían dos
S.E.L. distintos representados por:
a) 







22
21
12
11
a
a
a
a








21
11
x
x
= 







0
1
b) 







22
21
12
11
a
a
a
a








22
12
x
x
= 







1
0
O lo que es lo mismo:
a) (A
0
1
) b) (A
1
0
)
Si se tiene en cuenta que en ambos casos la matriz de sistema es la misma, se pueden
resolver ambos sistemas al mismo tiempo, con lo cual llegamos a:
(A
1
0
0
1
) ó (A I)
En suma, como ya se estableció antes, lo que hacemos es introducir transformaciones
elementales (pre-multiplicar la matriz A por las respectivas matrices elementales) de
forma de obtener la matriz identidad. Concomitantemente se obtendrá la matriz inversa:
(A I) (I A-1
)
ei

16. Apuntes del curso teórico de Álgebra Lineal (Mat 03)
Dr. Federico Iribarne y Dr. Alvaro Mombrú 16
Esto no es otra cosa que aplicar el método de escalerización de Gauss-Jordan en su
forma más completa como ya se hizo en la primera clase en donde la solución del S.E.L.
se “lee” directamente puesto que el resultado de la escalerización es la matriz identidad.
En este caso, la particularidad es que la solución es justamente la matriz inversa que se
está buscando.
Para finalizar, se aplicará el método a un ejemplo concreto.
Ejemplo: Dada A =










1
1
2
1
1
0
2
1
2
Hallar A-1
Aplicando el método de escalerización como recién se describió:










1
0
0
1
1
2
0
1
0
1
1
0
0
0
1
2
1
2
F3T = F3 +(-1)F1











 1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
2
1
2
F2T = F2 + F3T













1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
2
1
2
F1T = F1 + 2F3T














1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
2
0
1
0
1
2
F1T’ = F1T +(-1)F2T














1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
2
F3T’ = (-1)F3T













1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
2
F1T’’ = (1/2)F1T’













1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
2
/
1
2
/
1
0
0
0
1
 A-1
=













1
0
1
1
1
1
2
/
1
2
/
1
0
Verificamos el resultado aplicando la definición de matriz inversa:













1
0
1
1
1
1
2
/
1
2
/
1
0
AA-1
=










1
1
2
1
1
0
2
1
2










1
0
0
0
1
0
0
0
1
= I