calculo de relaciones gravimétricas

1. MARTIN FRANCISCO ANDRADE PACHECO

2. RELACIONES VOLUMÉTRICAS Y GRAVIMÉTRICAS DE LOS SUELOS
El suelo Constituye el elemento estructural de soporte de cualquier
tipo de cargas de una edificación, por lo tanto es importante el estudio del
comportamiento del suelo ante dichas circunstancias. Para el estudio de la
mecánica de suelos se le considera al suelo como un conjunto de partículas que
están en estado sólido y que poseen vacíos en su estructura, que pueden poseer
líquido.
Son éstas (partículas sólidas y líquidas) las que distribuyen y soportan
las cargas y presiones; y además le dan las propiedades a los suelos
dependiendo en la proporción en que se encuentre. Para encontrar las
propiedades de los suelos es necesario hacer ensayos de laboratorio
1. FASES QUE POSEE UN SUELO
Para facilitar el estudio de las relaciones de masa y volumen, se suele
representar al suelo en tres fases (sólida líquida y gaseosa), las cuales poseen
peso y volumen definido. Es decir que si no hay incremento de presión en su
superficie el volumen de estas fases se mantiene constantes.
A continuación se nombran las fases del suelo.
Fase sólida, formada por las partículas sólidas del suelo, tienen una
notable influencia en sus propiedades físicas y químicas. Pueden provenir de la
desintegración física de las rocas, es decir que mantienen las propiedades de la
roca madre o de la posterior alteración química, es decir que no mantiene las
propiedades iniciales (ejemplo: la arcilla).
Fase líquida, formada mayormente por el agua, que llena parcial o
totalmente los vacíos del suelo, se suele tomar para facilitar el estudio, las
propiedades conocidas del agua, tomando en cuenta que ésta, pueda contener
sulfatos, sales y otros compuestos.
Fase gaseosa, es el aire que llena parcial o totalmente los vacíos que
deja la fase líquida, se desprecia su peso para el cálculo de las propiedades.

3. Figura 1: Esquema de las fases del suelo
𝑉
𝑎 ∶ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑒𝑜𝑠𝑎 𝑜 𝑎𝑖𝑟𝑒.
𝑉
𝑤 ∶ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑎.
𝑉
𝑠 ∶ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠.
𝑉
𝑣 ∶ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑐í𝑜𝑠.
𝑉𝑡 ∶ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎.
𝑊
𝑎 ∶ 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑒𝑜𝑠𝑎 𝑜 𝑎𝑖𝑟𝑒.
𝑊
𝑤 ∶ 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑎.
𝑊
𝑠 ∶ 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠.
𝑊𝑡 ∶ 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎.
Donde,
𝑉
𝑣 = 𝑉
𝑎 + 𝑉
𝑤 … … [1.1]
𝑉𝑡 = 𝑉
𝑣 + 𝑉
𝑠 … … [1.2]
𝑊𝑡 = 𝑊
𝑤 + 𝑊
𝑠 … … [1.3]

4. 2. PROPIEDADES VOLUMÉTRICAS
2.1. Relación de vacíos (𝑒 )
Se define como el porcentaje de volumen que ocupan los
vacíos en el volumen de los sólidos.
𝑒 =
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠
… … [2.1]
2.2. Porosidad (𝜂)
Se define como el porcentaje de volumen que ocupan los
vacíos en el volumen total de la muestra.
𝜂 =
𝑉
𝑣
𝑉𝑡
… … [2.2]
2.3. Grado de saturación (𝐺)
Mide el porcentaje de saturación de una muestra de suelo, es
decir el volumen del agua respecto al volumen de los vacíos.
𝐺 =
𝑉
𝑤
𝑉
𝑣
… … [2.3]
2.4. Correlación entre porosidad y relación de vacíos
Sabemos que la relación de vacíos se expresa como;
𝑒 =
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠
=
𝑉
𝑣
𝑉𝑡 − 𝑉
𝑣
Dividendo el numerador y denominador entre 𝑉𝑡 ,
𝑒 =
𝑉
𝑣
𝑉𝑡
1 −
𝑉
𝑣
𝑉𝑡
; 𝑒 =
𝜂
1 − 𝜂
… … [2.4]
Sabemos que la porosidad se expresa como;
𝜂 =
𝑉
𝑣
𝑉𝑡
=
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠 + 𝑉
𝑣
Dividendo el numerador y denominador entre 𝑉
𝑠 ,
𝜂 =
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠
1 +
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠
; 𝜂 =
𝑒
1 + 𝑒
… … [2.5]

5. 3. PROPIEDADES GRAVIMÉTRICAS
3.1. Contenido de humedad (𝒘%)
Es el porcentaje que representa el peso del agua con relación
al peso de las partículas de los sólidos.
𝑤% =
𝑊
𝑤
𝑊
𝑠
∗ 100 … … [3.1]
También se puede calcular en función del peso de la muestra
húmeda y seca:
𝑤% =
𝑃𝑒𝑠𝑜 ℎú𝑚𝑒𝑑𝑜 − 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑠𝑒𝑐𝑜
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑠𝑒𝑐𝑜
∗ 100 … … [3.2]
Para obtener el peso seco de una muestra de suelo se pone
al horno la muestra por 24 horas.
4. RELACIONES ENTRE PESOS Y VOLUMENES
4.1. Peso específico de la muestra del suelo (𝜸𝒎)
𝛾𝑚 =
𝑊𝑡
𝑉𝑡
… … [4.1]
4.2. Peso específico de los sólidos (𝜸𝒔)
𝛾𝑠 =
𝑊
𝑠
𝑉
𝑠
… … [4.2]
4.3. Peso específico relativo de la muestra del suelo (𝑺𝒎)
Es el cociente que se obtiene al dividir el peso específico de la
muestra del suelo (𝛾𝑚) entre el peso específico del agua a 4°C
(𝛾𝑜) . Es un valor adimensional.
𝑆𝑚 =
𝛾𝑚
𝛾𝑜
… … [4.3]
4.4. Peso específico relativo de los sólidos (𝑺𝒔)
Es el cociente que se obtiene al dividir el peso específico de los
sólidos 𝛾𝑠 entre 𝛾𝑜 , es un valor adimensional.
𝑆𝑠 =
𝛾𝑠
𝛾𝑜
… … [4.4]

6. 5. FORMULAS PROPIAS A SUELOS PARCIALMENTE SATURADOS
Son aquellos suelos que sus vacíos no son ocupados totalmente por
el agua, entonces podemos definir ciertas fórmulas para este caso de suelos
parcialmente saturados.
Figura 2: Esquema de un suelo parcialmente saturado
5.1. Peso específico de una muestra de suelo saturado (𝜸𝒎)
El peso específico de la muestra de un suelo parcialmente
saturado (𝛾𝑚) se puede calcular mediante las siguientes
formulas:
𝛾𝑚 = (
1 + 𝑤%
1 + 𝑒
) 𝛾𝑠 … … [5.1]
Demostración ecuación [5.1]
Partimos de la ecuación [4.1];
𝛾𝑚 =
𝑊𝑡
𝑉𝑡
=
𝑊
𝑠 + 𝑊
𝑤
𝑉
𝑠 + 𝑉
𝑣

7. Dividiendo denominador y numerador entre 𝑉
𝑠;
𝛾𝑚 =
𝑊
𝑠
𝑉
𝑠
+
𝑊
𝑤
𝑉
𝑠
1 +
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠
=
𝛾𝑠 +
𝑊
𝑤
𝑉
𝑠
1 + 𝑒
Multiplicando y dividiendo convenientemente 𝑊
𝑠;
𝛾𝑚 =
𝛾𝑠 +
𝑊
𝑤
𝑉
𝑠
∗
𝑊
𝑠
𝑊
𝑠
1 + 𝑒
=
𝛾𝑠 +
𝑊
𝑤
𝑊
𝑠
∗
𝑊
𝑠
𝑉
𝑠
1 + 𝑒
𝛾𝑚 =
𝛾𝑠 + 𝑤% ∗ 𝛾𝑠
1 + 𝑒
Finalmente factorizando;
𝜸𝒎 = (
𝟏 + 𝒘%
𝟏 + 𝒆
) 𝜸𝒔 … … [5.1]
𝛾𝑚 = (
1 + 𝑤%
1 + 𝑒
) 𝑆𝑠𝛾𝑜 … … [5.2]
Demostración ecuación [5.2]
Partimos de la ecuación [5.1];
𝛾𝑚 = (
1 + 𝑤%
1 + 𝑒
) 𝛾𝑠 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝛾𝑠 = 𝑆𝑠𝛾𝑜
Finalmente reemplazando;
𝜸𝒎 = (
𝟏 + 𝒘%
𝟏 + 𝒆
) 𝑺𝒔𝜸𝒐 … … [5.2]
Observación.- El contenido de humedad se debe reemplazar
en la ecuación [5.1] y [5.2] como decimal menor de 1, mas no
el valor del porcentaje. En la ecuación se coloca porcentaje
para no confundirlo con el peso.

8. 5.2. Grado de saturación (0 < 𝐺 < 1)
El grado de saturación de un suelo parcialmente saturado
también se puede hallar mediante
𝐺 =
𝑤% ∗ 𝑆𝑠
𝑒
… … [5.3]
Demostración ecuación [5.3]
Partimos de la ecuación [2.3];
𝐺 =
𝑉
𝑤
𝑉
𝑣
=
𝑉
𝑤
𝑉
𝑣
𝑉
𝑠
∗ 𝑉
𝑠
𝐺 =
𝑉
𝑤
𝑒 ∗ 𝑉
𝑠
Multiplicando y dividiendo convenientemente: 𝑊
𝑤 y 𝑊
𝑠.
𝐺 =
𝑉
𝑤 ∗ 𝑊
𝑤 ∗ 𝑊
𝑠
𝑒 ∗ 𝑉
𝑠 ∗ 𝑊
𝑤 ∗ 𝑊
𝑠
=
1
𝑒
∗
𝑊
𝑤
𝑊
𝑠
∗
𝑉
𝑤
𝑊
𝑤
∗
𝑊
𝑠
𝑉
𝑠
𝐺 =
1
𝑒
∗
𝑊
𝑤
𝑊
𝑠
∗
1
𝑊
𝑤
𝑉
𝑤
∗
𝑊
𝑠
𝑉
𝑠
=
1
𝑒
∗ 𝑤% ∗
1
𝛾𝑤
∗ 𝛾𝑠
Para casos prácticos se suele tomar el peso específico del
agua de la muestra, igual al peso específico del agua a 4°C
(𝛾𝑤 = 𝛾𝑜)
𝐺 =
1
𝑒
∗ 𝑤% ∗
𝛾𝑠
𝛾𝑜
=
1
𝑒
∗ 𝑤% ∗ 𝑆𝑠
Finalmente;
𝑮 =
𝒘% ∗ 𝑺𝒔
𝒆
… … [5.3]
Observación.- El contenido de humedad se debe reemplazar
en la ecuación [5.3] como decimal menor de 1, mas no el valor
del porcentaje.

9. 𝛾𝑚 = (
𝑆𝑠 + 𝐺 ∗ 𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜 … … [5.4]
Demostración ecuación [5.4]
Partimos de la ecuación [5.3];
𝐺 =
𝑤% ∗ 𝑆𝑠
𝑒
, 𝑤% =
𝐺 ∗ 𝑒
𝑆𝑠
… … [5.3′]
Reemplazando [5.3´] en la ecuación [5.2];
𝛾𝑚 = (
1 + 𝑤%
1 + 𝑒
) 𝑆𝑠𝛾𝑜
𝛾𝑚 = (
1 +
𝐺 ∗ 𝑒
𝑆𝑠
1 + 𝑒
) 𝑆𝑠𝛾𝑜
Finalmente multiplicando el numerador con el 𝑆𝑠 factorizado;
𝛾𝑚 = (
𝑆𝑠 + 𝐺 ∗ 𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜 … … [5.4]
Observación.- La fórmula [5.4] se puede derivar para suelos
totalmente saturados y suelos secos, como se mostrara más
adelante.

10. 6. FORMULAS PROPIAS A SUELOS TOTALMENTE SATURADOS
Un suelo saturado es aquel cuyos vacíos han sido ocupados
completamente por el agua, entonces podemos definir ciertas fórmulas para este
caso de suelos saturados,
6.1. Grado de saturación (𝐺 = 1)
Figura 3: Esquema de un suelo saturado
Sabemos de la ecuación [2.3] que el grado de saturación es;
𝐺 =
𝑉
𝑤
𝑉
𝑣
=
𝑉
𝑣
𝑉
𝑣
𝐺 = 1 … … [6.1]
6.2. Relación de vacíos de un suelo saturado (𝑒 𝑠𝑎𝑡)
Se halla reemplazando la ecuación [6.1] en la ecuación [5.3];
𝐺 =
𝑤% ∗ 𝑆𝑠
𝑒
→ 𝑒 =
𝑤% ∗ 𝑆𝑠
𝐺
𝑒 = 𝑤% ∗ 𝑆𝑠 … … [6.2]

11. 6.3. Peso específico de una muestra de suelo saturado (𝜸𝒔𝒂𝒕)
El peso específico de la muestra de un suelo totalmente
saturado (𝛾𝑚) se puede calcular mediante las siguientes
formulas:
Reemplazando la ecuación [6.1] en la ecuación [5.4];
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑆𝑠 + 𝐺 ∗ 𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜 =
𝑆𝑠 + (1) ∗ 𝑒
1 + 𝑒
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑆𝑠 + 𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜 … … [6.3]
Reemplazando la ecuación [6.2] en la ecuación [6.3]
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑆𝑠 + 𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑆𝑠 + 𝑤% ∗ 𝑆𝑠
1 + 𝑤% ∗ 𝑆𝑠
) 𝛾𝑜
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
1 + 𝑤%
1 + 𝑤% ∗ 𝑆𝑠
) 𝑆𝑠𝛾𝑜 … … [6.4]
7. PESO ESPECÍFICO SECO Y SATURADO
7.1. PESO ESPECÍFICO SECO (𝛾𝑑)
𝛾𝑑 =
𝑊
𝑠
𝑉𝑡
… … [7.1]
7.2. PESO ESPECÍFICO SATURADO (𝛾𝑠𝑎𝑡)
𝛾𝑑 =
𝑊
𝑤 + 𝑊
𝑠
𝑉𝑡
… … [7.2]

12. 8. RELACION ENTRE PESO ESPECÍFICO SECO (𝛾𝑑) Y (𝛾𝑚)
𝛾𝑑 =
𝛾𝑚
1 + 𝑤%
… … [8.1]
Demostración ecuación [8.1]
Partimos de la ecuación [7.1];
𝛾𝑑 =
𝑊
𝑠
𝑉𝑡
Dividiendo y multiplicando por 𝑊𝑡;
𝛾𝑑 =
𝑊
𝑠
𝑉𝑡
∗
𝑊𝑡
𝑊𝑡
=
𝑊𝑡
𝑉𝑡
∗
𝑊
𝑠
𝑊𝑡
Ordenando;
𝛾𝑑 =
𝑊𝑡
𝑉𝑡
∗
1
𝑊𝑡
𝑊
𝑠
= 𝛾𝑚 ∗
1
𝑊𝑡
𝑊
𝑠
Pero sabemos que 𝑊𝑡 = 𝑊
𝑠 + 𝑊
𝑤;
𝛾𝑑 = 𝛾𝑚 ∗
1
𝑊
𝑠 + 𝑊
𝑤
𝑊
𝑠
= 𝛾𝑚 ∗
1
1 +
𝑊
𝑤
𝑊
𝑠
Finalmente;
𝜸𝒅 =
𝜸𝒎
𝟏 + 𝒘%
… … [8.1]

13. 9. FORMULAS PROPIAS A SUELOS SECOS
Un suelo seco es aquel cuyos vacíos han sido desocupados
completamente por el agua, entonces podemos definir ciertas fórmulas para este
caso de suelos secos,
9.1. Grado de saturación (𝐺 = 0)
Figura 3: Esquema de un suelo seco
Sabemos de la ecuación [2.3] que el grado de saturación es;
𝐺 =
𝑉
𝑤
𝑉
𝑣
=
0
𝑉
𝑣
𝐺 = 0 … … [9.1]
9.2. Peso específico de una muestra de suelo seco (𝜸𝒅)
El peso específico de la muestra de un suelo seco (𝛾𝑑) se
puede calcular mediante las siguientes formulas:
Reemplazando la ecuación [9.1] en la ecuación [5.4];
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑆𝑠 + 𝐺 ∗ 𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜 =
𝑆𝑠 + (0) ∗ 𝑒
1 + 𝑒
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑆𝑠
1 + 𝑒
) 𝛾𝑜 … … [9.2]