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1. UNIVERSIDAD NACIONAL
“PEDRO RUIZ GALLO”
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
Y MATEMÁTICAS
PRACTICA
CURSO : ANALISIS MATEMATICO III
DOCENTE : SIFUENTES JUSTINIANO NELSON
TEMA : INTEGRALES DE SUPERFICIES
ALUMNO : MAYANGA OROZCO GEYNER
CODIGO : 132438-D
Lambayeque, diciembre 2015

2. Integrales de superficies
1.Introducción: los pasos preliminares de esta integral son similares a
combinaciones de los pasos que llevaron a la integral de línea, con
respecto a la longitud de arco, y los pasos que condujeron a la integral
doble. Sea 𝐰 = 𝐟(𝐱, 𝐲, 𝐳) una función definida en una región del espacio
tridimensional que contiene una superficie 𝑆 , la cual es la grafica de una
función 𝐳 = 𝐠(𝐱, 𝐲).sea R la proyección de la superficie sobre el plano 𝑥𝑦
ya sea de tipo I o de tipo II.
*Divida la superficie 𝑺 en 𝑛 parches 𝑺 𝒌con áreas 𝜟𝑺 𝒌 que corresponda a
una partición 𝑷 de 𝑹 en 𝒏 rectángulos 𝑹 𝒌 con áreas 𝜟𝑨 𝒌.
*Sea |𝒑| la norma de la partición o de la longitud de la diagonal mas larga
de 𝑹 𝒌
*Elija un punto muestra (𝒙 𝒌´, 𝒚 𝒌 ´, 𝒛 𝒌´) sobre cada parche de 𝑺 𝒌 como se
ilustra en la figura.
*forme la suma
∑ 𝒇(𝒙 𝒌´, 𝒚 𝒌 ´, 𝒛 𝒌´)𝒏
𝒌=𝟏 𝜟𝑺 𝑲
2. Definición: Sea 𝑓 una función de tres variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 definida en una
región del espacio que contiene a una superficie 𝑆 .Entonces la integral
de superficie de 𝑓 sobre 𝑆 es.
∫∫ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝑺 = 𝐥𝐢𝐦
| 𝒑|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝟎
∑ 𝒇( 𝒙 𝒌´, 𝒚 𝒌 ´, 𝒛 𝒌´)𝒏
𝒌=𝟏 𝜟𝑺 𝑲 …. .𝑺
(𝟏)

3. * Método de evaluación: Recuerde que si 𝐳 = 𝐠(𝐱, 𝐲) es la ecuación de
una superficie 𝑺, entonces la diferencial del área de superficie es
𝒅𝒔 = √ 𝟏 + [𝒈 𝒙(𝒙, 𝒚)] 𝟐 + [𝒈 𝒚(𝒙, 𝒚)] 𝟐 𝒅𝑨
De tal modo que si 𝒇, 𝒈, 𝒈 𝒙, 𝒈 𝒚 sin continuas en una región del espacio
tridimensional que contiene a 𝑺, podemos evaluar en (1) por medio de
una integral doble:
∫∫ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝑺 =
𝑺
∫ ∫ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒈( 𝒙, 𝒚))√𝟏+ [𝒈 𝒙(𝒙,𝒚)] 𝟐 + [𝒈 𝒚(𝒙, 𝒚)] 𝟐 𝒅𝑨… (𝟐)
𝑹
Advierta que cuando 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1, en (1) se reduce la formula para el
área de la superficieen (2) de esta forma:
∫ ∫ 𝒅𝑺 = 𝐥𝐢𝐦
|𝒑| 𝟎
∑ 𝜟𝑺 𝑲
𝒏
𝒌=𝟏𝑺
= 𝑨(𝑺)
*Proyección de 𝑺 en otros planos: Si 𝒚 = 𝒈(𝒙, 𝒛) es la ecuación de una
superficie 𝑆 que se proyecta sobre la región 𝑅 del plano 𝑥𝑦 , entonces la
integral definida de superficiede 𝑓 sobre 𝑆 esta dada por:
∫∫ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝑺 =
𝑺
∫ ∫ 𝒇( 𝒙, 𝒈( 𝒙, 𝒛), 𝒛)√ 𝟏 + [𝒈 𝒙(𝒙, 𝒛)] 𝟐 + [𝒈 𝒚(𝒙, 𝒛)] 𝟐 𝒅𝑨 …(𝟑)
𝑹
De manera similar si 𝒙 = 𝒈(𝒚, 𝒛) es la ecuación de una superficie 𝑆 que se
proyecta sobreel plano 𝑦𝑧 , entonces el análogo de (3) es:
∫ ∫ 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝑺 =
𝑺
∫ ∫ 𝒇( 𝒙, 𝒈( 𝒚, 𝒛), 𝒛)√ 𝟏 + [𝒈 𝒙(𝒚,𝒛)] 𝟐 + [𝒈 𝒚(𝒚, 𝒛)] 𝟐 𝒅𝑨 … (𝟒)
𝑹
*Masa de una superficie: suponga que 𝒑(𝒙, 𝒚, 𝒛) representa la densidad
de una superficie 𝑆 en el punto ( 𝒙, 𝒚, 𝒛), o la masa por unidad de área de
superficie.Entonces la masa 𝒎 de la superficie es:
𝑚 = ∫∫ 𝒑( 𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒅𝑺 … … (𝟓)
𝑺
Ejemplo:
Determine la masa de la superficie del paraboloide 𝑧 = 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
en el
primer octante para 1 ≤ 𝑧 ≤ 5 si la densidad en el punto 𝑃 sobre la
superficiees directamente proporcionala la distancia desde el plano 𝑥𝑦.

4. Solución: La superficie en cuestión y su proyección sobre el plano 𝑥𝑦 se
muestra en la figura:
Ahora bien, puesto que 𝑝( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑧 , 𝑔( 𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
, 𝑔 𝑥 =
2𝑥, 𝑔 𝑦 = 2𝑦, las formulas (5) y (2) producen
𝑚 = ∫ ∫ 𝑘𝑧𝑑𝑆
𝑆
= 𝑘 ∫ ∫ (1 + 𝑥2
+ 𝑦2
)√1 + 4𝑥2 + 4𝑦2 𝑑𝐴
𝑅
Cambiando a coordenadas polares, obtenemos
𝑚 = 𝑘 ∫ ∫ (1 + 𝑟2
)√1 + 4𝑟2
2
0
𝜋/2
0
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑚 = 𝑘 ∫ ∫ [𝑟(1 + 4𝑟2
)
1
2 +
2
0
𝜋
2
0
𝑟3
(1 + 4𝑟2
)
1/2
]𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑚 = 𝑘 ∫ |
1
12
𝜋
2
0
(1 + 4𝑟2
)
3
2 +
1
12
𝑟2
(1 + 4𝑟2
)
3/2
−
1
120
(1 + 4𝑟2
)
3/2
|0
2
𝑑𝜃
𝑚 =
1
2
𝑘𝜋[
5
12
(17)
3
2 −
1
120
(17)
5
2 −
3
40
]
𝑚 = 30.16𝑘
*Superficies paramétricas: Si 𝑆 se define paramétricamente mediante la
función vectorial
𝑟( 𝑢, 𝑣) = 𝑥( 𝑢, 𝑣) 𝑖 + 𝑦( 𝑢, 𝑣) 𝑗 + 𝑧( 𝑢, 𝑣) 𝑘,
Donde(𝑢, 𝑣) es el dominio D del parámetro del plano 𝑢𝑣 y 𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) es
continua sobre 𝑆, tenemos el siguiente resultado.
Sea 𝑆 una superficie parametricasuavedefinida por la ecuación vectorial

5. 𝑟( 𝑢, 𝑣) = 𝑥( 𝑢, 𝑣) 𝑖 + 𝑦( 𝑢, 𝑣) 𝑗 + 𝑧( 𝑢, 𝑣) 𝑘,
Donde(𝑢, 𝑣) varía sobre la región 𝑅 del parámetro en el plano (𝑢, 𝑣), y
sea 𝑓(𝑥. 𝑦. 𝑧) continúa sobre 𝑆.Entonces.
∫ ∫ 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝑺𝑺
= ∫ ∫ 𝒇(𝒙( 𝒖, 𝒗), 𝒚( 𝒖, 𝒗), 𝒛( 𝒖, 𝒗))|
𝒅𝒓
𝒅𝒖
𝒙
𝒅𝒓
𝒅𝒗
| 𝒅𝑨 … . . (𝟔)𝑹
Ejemplo:
Evalué la integral de superficie ∫ ∫ √1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑆𝑆
donde 𝑆 es la
superficie definida por la función vectorial 𝑟( 𝑢, 𝑣) = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣𝒊 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑣𝒋+
𝑣𝒌 , donde 0 ≤ 𝑢 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑢 ≤ 4 𝜋
Solución: la grafica de 𝑟(𝑢, 𝑣) que se muestra en la figura: recibe el nombre
de helicoide circular.
La frontera de un helicoide es una hélice circular.
Al sustituir 𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣 y 𝑦 = 𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣 en el integrando y simplificando,
obtenemos:
√1 + 𝑥2 + 𝑦2 = √1 + 𝑢2 𝑐𝑜𝑠𝑣2 + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛𝑣2 = √1 + 𝑢2
Luego, |
𝒅𝒓
𝒅𝒖
𝒙
𝒅𝒓
𝒅𝒗
| =
𝒊 𝒋 𝒌
𝑐𝑜𝑠𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑣 0
−𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣 𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣 1
= 𝑠𝑒𝑛𝑣𝒊 − 𝑐𝑜𝑠𝑣𝒋+ 𝑢𝒌

6. |
𝒅𝒓
𝒅𝒖
𝒙
𝒅𝒓
𝒅𝒗
| = √ 𝑠𝑒𝑛2 𝑣 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑣+ 𝑢2 = √1 + 𝑢2
La integral dada se convierte en:
∫ ∫ √1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑆𝑆
= ∫ ∫ (√1+ 𝑢2)2
𝑑𝐴𝑆
= ∫ ∫ (1 + 𝑢22
0
4𝜋
0
)𝑑𝑢𝑑𝑣
=
14
3
∫ 𝑑𝑣
4𝜋
0
=
56
3
𝜋
*integrales de campos vectoriales: Si
𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝒊 + 𝑄( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝒋 + 𝑅( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝒌
Es el campo de vectoriales de un fluido, entonces, como se indica en la
figura:
El volumen del fluido que fluye a través de un elemento de aérea de
superficie 𝛥𝑆 por unidad de tiempo se aproxima por medio de
( 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) − ( 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) = ( 𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑛 𝑭) 𝛥𝑆 = (𝑭. 𝒏)𝛥𝑆
Donde 𝒏 es una norma unitaria a la superficie .El volumen total del fluido
que pasa a traces de 𝑆 por unidad de tiempo de recibe el nombre de flujo
de F a través de S y esta dado por:
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 = ∬ (𝐹. 𝑛𝑆
)𝑑𝑠 ……(7)
Ejemplo:

7. Considere que 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝒋 + 𝑧𝒌 representa el flujo de un líquido.
Determine el flujo de 𝐹 a través de la superficie de S dada por la parte del
plano 𝑧 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 en el primer octante orientado hacia arriba.
Solución: El campo vectorial y la superficie se ilustran en la figura:
Definiendo el plano por ℎ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 6 = 0, vemos que la
norma unitaria con componente k positiva es
𝒏 =
∇ℎ
‖∇ℎ‖
=
3
√14
𝒊 +
2
√14
𝒋 +
1
√14
𝒌
Como 𝑭. 𝒏 =
3𝑧
√14
, tenemos
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 = ∬ (𝐹. 𝑛𝑆
)𝑑𝑠 =
1
√14
∬ 3𝑧𝑑𝑠𝑆
Al emplear la proyección 𝑅 de la superficie sobre el plano 𝑥𝑦 que se
muestra en la figura, la ultima integral puede escribirse
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 =
1
√14
∬ 3(6 − 3𝑥 − 2𝑦)(√14𝑑𝑠𝑅
)
= 3 ∫ ∫ 86 − 3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
3−3𝑥/2
0
2
0
= 18

8. 3. bibliografía:
*calculo 2 de varias variables.
Autores:RonLarson-Bruce H. Edwards.
Edición: novena edición.
Editorial:McGrawHill.
*cálculo de varias variables.
Autor:Dennis G. Zill.
Edición: cuarta edición.
Editorial:McGrawHill.
*Análisis MatemáticoIII
Autor:Eduardo EspinozaRamos
Edición: primeraedición.