Métodos para estudiar matemáticas.

1. Universidad Centroccidental ”Lisandro Alvarado”
Decanato de Ciencias y Tecnolog´ıa
Licenciatura en Ciencias Matem´aticas
Orientaci´on Integral en Matem´atica
Br. Graccyela Salcedo
Profesora: Ereu Jurancy

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1. C´omo Plantear y Resolver Problemas
George P´olya (1887-1985) fue un distinguido matem´atico austro h´ungaro, suizo
norteamericano y excepcional educador de las matem´aticas, pocas personas han te-
nido una influencia tan grande dentro del contexto de ense˜nar las matem´aticas v´ıa la
soluci´on de problemas ajustados al proceso de ense˜nanza aprendizaje.
El libro C´omo plantear y resolver problemas publicado en 1945, ha vendido m´as
de un mill´on de ejemplares y se ha traducido al menos a 17 lenguas. Lo citan ma-
tem´aticos, psic´ologos, pedagogos, fil´osofos y didactas. Es el primero de una trilog´ıa
en el que el autor va exponiendo sus ideas sobre c´omo ayudar a los alumnos a pensar
por s´ı mismos, a resolver problemas, al tiempo que trata de desentra˜nar las reglas del
“pensamiento plausible”. En ellos vierte su rica experiencia como matem´atico y como
profesor (Polya tiene 58 a˜nos cuando publica C´omo plantear y resolver problemas),
tratando de hacer expl´ıcitas preguntas y sugerencias que, seg´un ´el, son “naturales,
sencillas, obvias, y nacen del sentido com´un”.
Polya indica cuatro fases en el proceso de resolver problemas: Comprender el
problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la soluci´on. Adem´as, asocia
una lista de preguntas a cada una de sus fases que incluyen ideas acerca del uso de
diversos m´etodos heur´ısticos (estrategias que pueden ayudar a avanzar o resolver un
problema). Es interesante rescatar que esta idea no naci´o de la noche a la ma˜nana,
P´olya desde joven era una persona muy inquieta por la f´ısica y la matem´atica; le
encantaba asistir a conferencias y a clases para observar la demostraci´on de teoremas.
En estas charlas o lecciones, a pesar de que la exposici´on de los conceptos era bastante
clara, la inquietud de ´el siempre era: “s´ı, yo tengo claro el razonamiento, pero no tengo
claro c´omo se origina, c´omo organizar las ideas, por qu´e se debe hacer as´ı, por qu´e se
pone de tal orden y no de otro”. Esto lo llev´o a cuestionar las estrategias que exist´ıan
para resolver problemas o c´omo se concebir´ıa una sucesi´on de pasos l´ogicos para
aplicar a la resoluci´on de cualquier tipo de problema.
Los heur´ısticos identificados por Polya se enmarcan en comunicar su propia ex-
periencia como matem´atico para resolver problemas, y pensaba que las estrategias y

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preguntas de un experto “con gran experiencia en la resoluci´on de problemas” pod´ıan
ser modeladas por los profesores en las aulas. Polya cre´ıa que bajo la gu´ıa del pro-
fesor, los estudiantes pod´ıan internalizar el proceso de c´omo un matem´atico dialoga
consigo mismo durante el proceso de soluci´on y utilizarlo de manera natural sin ayuda
externa.
Las etapas y heur´ısticas que presenta Polya se muestran a continuaci´on:
1. Comprender el problema
¿Cu´al es la inc´ognita?
¿Cu´ales son los datos?
¿Cu´al es la condici´on?
¿Es la condici´on suficiente para determinar la inc´ognita?
¿Es insuficiente?
¿Es redundante?
¿Es contradictoria?
Es decir, esta es la etapa para determinar la inc´ognita, los datos, las condiciones,
y decidir si esas condiciones son suficientes, no redundantes ni contradictorias.
2. Concebir un Plan
Para P´olya en esta etapa del plan, el problema debe relacionarse con problemas
semejantes. Tambi´en debe relacionarse con resultados ´utiles, y se debe deter-
minar si se pueden usar problemas similares o sus resultados (aqu´ı se subraya
la importancia de los problemas an´alogos). Algunas interrogantes ´utiles en esta
etapa son:
¿Se ha encontrado con un problema semejante?
¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
¿Conoce un problema relacionado?
¿Conoce alg´un teorema que le pueda ser ´util?

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¿Podr´ıa enunciar el problema en otra forma?
¿Podr´ıa plantearlo en forma diferente nuevamente? Refi´erase a las defini-
ciones.
3. Ejecutar el plan
Durante esta etapa es primordial examinar todos los detalles y es parte impor-
tante recalcar la diferencia entre percibir que un paso es correcto y, por otro
lado, demostrar que un paso es correcto. Es decir, es la diferencia que hay en-
tre un problema por resolver y un problema por demostrar. Por esta raz´on, se
plantean aqu´ı los siguientes cuestionamientos:
¿Puede ver claramente que el paso es correcto?
¿Puede demostrarlo?
´El plantea que se debe hacer un uso intensivo de esta serie de preguntas en cada
momento. Estas preguntas van dirigidas sobre todo a lo que ´el llama problema
por resolver y no tanto los problemas por demostrar. Cuando se tienen proble-
mas por demostrar, entonces, cambia un poco el sentido. Esto es as´ı porque ya
no se habla de datos sino, m´as bien, de hip´otesis. En realidad, el trabajo de
P´olya es fundamentalmente orientado hacia los problemas por resolver.
En s´ıntesis: al ejecutar el plan de soluci´on debe comprobarse cada uno de los
pasos y verificar que est´en correctos.
4. Examinar la soluci´on
Tambi´en denominada la etapa de la visi´on retrospectiva, en esta fase del proceso
es muy importante detenerse a observar qu´e fue lo que se hizo; se necesita
verificar el resultado y el razonamiento seguido De preguntarse:
¿Puede verificar el resultado?
¿Puede verificar el razonamiento?
¿Puede obtener el resultado en forma diferente?
¿Puede verlo de golpe?

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¿Puede emplear el resultado o el m´etodo en alg´un otro problema?
Estas cuestiones dan una retroalimentaci´on muy interesante para resolver otros
problemas futuros: P´olya plantea que cuando se resuelve un problema (que es en
s´ı el objetivo inmediato), tambi´en, se est´an creando habilidades posteriores para
resolver cualquier tipo de problema. En otras palabras, cuando se hace la visi´on
retrospectiva del problema que se resuelve, se puede utilizar tanto la soluci´on
que se encuentra como el m´etodo de soluci´on; este ´ultimo podr´a convertirse en
una nueva herramienta a la hora de enfrentar otro problema cualquiera.
De hecho, es muy v´alido verificar si se puede obtener el resultado de otra manera;
si bien es cierto que no hay una ´unica forma o estrategia de resolver un problema
pueden haber otras alternativas. Precisamente, esta visi´on retrospectiva tiene
por objetivo que veamos esta amplia gama de posibles caminos para resolver
alg´un tipo de problema.
La obra de Polya ha ayudado a muchos profesores a redescubrir el sentido de la
educaci´on matem´atica y a los investigadores a poner los cimientos de una teor´ıa que
explique el proceso de resoluci´on de problemas .
2. T´ecnicas de Estudio en las Matem´aticas
Las matem´aticas de la universidad son estrechamente distintas a las matem´aticas
de la escuelas, se puede decir que son mas intensas en la universidad, es por ello que
las t´ecnicas a continuaci´on estan dirigidas a estudiantes que est´en comenzando su
estudios universitarios.
1. Lecturas
La gran diferencia entre la escuela y la universidad est´a en las lecturas. Los
profesores tienen muy poco tiempo a la semana para dar el contenido requerido
por lo que, el material viene a usted muy r´apido. Es por esto que, mientras en la
escuela por lo general el profesor espera que entienda lo que dice en clases, en la
universidad habr´an grandes trozos de la notas que no entender´a hasta que haya

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trabajado en ellos m´as tarde, l´ınea por l´ınea si es necesario. Incluso entonces,
puede haber algunas partes del curso que realmente s´olo vienen claras cuando
se llega a revisar el material.
Sin embargo, es importante tratar de entender lo que se dice y como se dice.
Adem´as de ahorrar tiempo m´as tarde, puede de lo contrario perder explicaciones
vitales y puntos de vista. Por lo tanto:
Hacer el esfuerzo de concentrarse. Todos hemos o´ıdo que, en una clase de
matem´aticas, lo que el profesor escribe en la pizarra va directamente al
cuaderno del alumno sin pasar a trav´es de su cerebro. Se debe hacer todo
lo posible para impedir que esto suceda: sentarse en la parte delantera; no
dejar aislar los pensamientos ; y recuerdar que la concentraci´on es s´olo una
cuesti´on de auto-disciplina y de pr´actica.
Hacer preguntas durante la clase en lugar de dejarlo pasar. Si el profesor
est´a escribiendo demasiado r´apido o demasiado ilegible, o est´a hablando
en voz demasiado baja para usted, es probable que otros est´en teniendo la
misma dificultad.
No tener miedo de preguntar lo que puede pensar no tiene porque ser una
pregunta tonta. Nueve de cada diez veces, la mayor parte del resto de
la audiencia quedar´an impresionados (aunque s´olo sea con su valent´ıa) y
muchos de ellos tambi´en van a querer saber la respuesta. Y es posible que
el profesor est´e cometiendo un error.
Tratar de parecer receptivo: mirar hacia arriba cuando haya terminado
de escribir y est´e listo para m´as (esto ayuda a que el profesor regule el
ritmo de la clase); mirar desconcertado cuando tenga dudas (de modo
que el profesor sepa cuando se requiere m´as explicaci´on). (Bob Hope, el
comediante estadounidense, sol´ıa decir que le gustaba el p´ublico brit´anico,
porque incluso si no ten´ıan ganas de re´ır en uno de sus chistes, asentaban
con la cabeza para demostrar que lo hab´ıan entendido.)
La convenci´on habitual en clases es que anoten exactamente lo que el profesor

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escribe en la pizarra o en transparencias. Se puede complementar la escitura du-
rante la clase, pero a menudo no habr´a tiempo. Aqu´ı est´an algunas trivialidades
muy importantes:
Escribir el n´umero de p´agina y el n´umero de la clase en cada hoja; si se
caen sus notas o te metes en un l´ıo fotocopiarlos, usted se dar´a cuenta
que una p´agina de matem´aticas se parece mucho a cualquier otra. Esto
puede parecer un punto absurdamente trivial. Unos a˜nos atr´as, cuando
hab´ıa una grave escasez de agua se colocaban anuncios diciendo a todos
que deb´ıan cerrar el grifo mientras se cepillaban los dientes. El prop´osito
no era s´olo para salvar la taza de agua, sino para poner a la gente en el
estado de ´animo adecuado para hacer otros ahorros m´as significativos. La
numeraci´on de las p´aginas puede ser un gran ahorro de tiempo.
Deja m´argenes amplios; que sin duda tendr´a que anotar a trav´es dde ellos
m´as tarde.
Hacer sus notas (apuntes anotados y material de supervisi´on) de una ma-
nera ordenada; esto le ahorrar´a un mont´on de tiempo al momento de irlo
a revisar.
Este es el consejo m´as importante: se ahorrar´a una cantidad inmensa de tiempo
si consigue siempre enfrentarse con una clase antes de ir a la siguiente. De esta
manera, conseguir´a mucho m´as de las clases, y ahorrar´a tiempo en sus estudios
porteriores. Por lo tanto, debe dejar tiempo cada d´ıa para sus notas de clase
no s´olo para leerlas, si no tambi´en para trabajar l´ınea por l´ınea. Esto es f´acil
de decir pero dif´ıcil de hacer; tan pronto como se atrase requiere un enorme
esfuerzo para ponerse al d´ıa de nuevo.
Un punto final. Usted puede pensar que el profesor est´a hablando con usted
como un grupo grande, pero el profesor realmente ve un gran n´umero de indivi-
duos. Se debe dirigir al profesor con las cortes´ıas normales de una conversaci´on
individual; comportarse como si el profesor est´a hablando con usted personal-
mente. No utilice, por ejemplo, pasar la clase charlando con su compa˜nero o

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leyendo el peri´odico. Esto es m´as molesto para el resto de la audiencia y tam-
bi´en para el profesor, y es una receta segura para una clase pobre. Y por favor
recuerde apagar su tel´efono m´ovil en las clases.
2. Estilos de Lecturas
Podr´a notar que los profesores adoptan una serie de estrategias para transmitir
a usted el material requerido. Por ejemplo, algunos profesores trabajan exclusi-
vamente en la pizarra o en retroproyectores; algunos dan un conjunto completo
de notas impresas; algunos dan a las notas con espacios para los diagramas o
ecuaciones para rellenar por el alumno. Algunos estilos le conviene mejor que
otros, pero es en gran medida un asunto personal; no asuma que otros estar´an
de acuerdo con usted sobre lo que es mejor.
A menudo, los estudiantes (especialmente los nuevos estudiantes) quieren com-
pletar apuntes impresos, pensando que esto es lo que necesitan para aprender el
material. Que puede ser as´ı, pero el objetivo es entender el material, que es un
muy diferente al respecto. Para ello, puede ser mucho m´as ´util tener un conjunto
cuidadosamente seleccionado de notas; el trabajo de detallar el contenido dado
en clase servir´a m´as a largo plazo, que la lectura de un conjunto completo de
notas impresas.
3. Supervisiones
Una supervisi´on no debe ser una mini-clase; si resulta en una, entonces eso
es una valiosa oportunidad desperdiciada, lo que ocurre generalmente, por lo
menos al principio, pues el alumno tiende a ignorar la opini´on del supervisor.
Las conferencias deben ser en cierta medida interactiva; m´as a´un las supervisio-
nes. Los supervisores tambi´en son seres humanos: les gusta que hablen con ellos
y que muestren inter´es (por ejemplo, preguntando) en lo que est´an diciendo.
Las supervisiones de matem´aticas generalmente consisten en que el supervisor
realice una serie de ejercicios, mientras usted se concentra en la explicacio´on,

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para luego anotar lo de la pizarra lo cual le servir´a de material de apoyo para
sus posteriores estudios del tema.
Debe discutir con el supervisor sus principales dudas o fallas en el tema, para
que ´el tome cartas en el asuento. Es su supervisi´on, por lo que el supervisor
debe tratar de encajar con lo que usted desea.
Sus ex´amenes deben ser redactados con cuidado y con l´ogica, de lo contrario
no es matem´atica, para esto pida ayuda al supervisor. Puede pensar que puede
hacer un problema incluso antes de fijar el l´apiz al papel, pero en realidad no
siempre sabe hacer un problema hasta que escribe todos los detalles. Adem´as,
a menos que usted est´e en el h´abito de escribir soluciones cuidadosas, no tiene
la oportunidad de explicar en el exam´en lo que realmente significaba.
Si usted no hace un buen uso de las supervisiones, entonces usted va a des-
pilfarrar uno de los servicios m´as importantes (y costosos). De largos a˜nos de
experiencia, la recomendaci´on para hacer un mejor uso de sus supervisiones,
usted debe:
traer sus notas de clase para el control, tras haber marcado las partes en
que tenga dudas;
d´ıgale a su supervisor (de forma apropiada y educada) exactamente lo que
le gustar´ıa que ´el o ella haga, recordar que a veces su supervisor tendr´a mu-
cha menos experiencia de lo que aparenta, y el espera de su consejo;
asegurarse de que su supervisor anota lo suficiente en cada ejemplo para
que usted pueda reconstruir la soluci´on despu´es;
revisar la supervisi´on tan pronto como sea posible despu´es, mientras que
a´un est´a fresco en su mente.
Por ´ultimo, aqu´ı est´a el consejo m´as importante: no ser perezoso. Es muy f´acil
dejar lo que el supervisor est´a diciendo con la esperanza de que todo saldr´a claro
m´as adelante. Si usted no entiende lo que el supervisor ha hecho, preg´untele.

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4. M´etodos de Estudio
Cada uno tendr´a que decidir individualmente qu´e m´etodo de estudio m´as le
convenga: d´onde estudiar, cu´ando estudiar, la forma de estudiar. S´olo uno mismo
puede decidir lo que es mejor. A algunos les gusta estudiar en sus habitaciones
y a algunos les gusta estudiar en bibliotecas lejos de tentaciones. A algunos les
gusta estudiar hasta altas horas de la noche y algunos prefieren dormir en la
noche. Est´a claro que el mejor ritmo de estudio es el continuo en lugar de dejar
hasta el ´ultimo momento, sobre todo porque no se puede estar seguro de cu´anto
tiempo tomar´a el estudio.
Una pregunta importante para decidir desde el principio es si desea estudiar
solo o en ocasiones reunirse con un amigo. Es esencial recordar si usted estudia
con alguien m´as es que no signifique en alg´un sentido la copia; que est´a muy
bien para discutir el trabajo, pero usted debe tener una buena idea primero y
debe ser una asociaci´on de igualdad con el objetivo de ir m´as lejos en el tiempo
disponible en lugar de reducir a la mitad la cantidad de tiempo que necesita
para gastar en el estudio. Sin embargo para estudiar, debe recordar que la
matem´atica universitaria no debe ser considerado como un deporte competitivo.
Nadie est´a interesado en la rapidez con que te las arreglaste para hacer los
problemas.
5. Escribir Matem´aticas
La mayor´ıa de los matem´aticos pueden escribir prosa gramatical exacta, en-
tender (por ejemplo) la raz´on por la que hay una coma, y no un punto o cun
punto y coma. Hay una gram´atica a la escritura matem´aticas tambi´en. S´ımbo-
los tales como ∀, ⇒, ∃, etc, se deben utilizar de una manera que tenga sentido
gramatical si se lee en su totalidad. Si usted es descuidado en esto, entonces sin
duda se encontrar´a usando l´ogica descuidada, as´ı como la gram´atica matem´atica
descuidada.
Debe tratar de escribir en oraciones completas, usando puntuacion normales:

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punto al final de una frase, incluso si termina en una ecuaci´on, comas normal-
mente en parejas, etc. Las frases deben ser cortas y tan simple como sea posible.
Si se encuentra escribiendo p´arrafos de texto, a continuaci´on, debe considerar
que est´a escribiendo m´as de lo necesario para explicar. Tiene que ser absoluta-
mente preciso en la escritura matem´atica.
Finalmente, recuerde que usted est´a poniendo sus pensamientos para otra per-
sona. Usted no debe pensar ”Bueno, estoy seguro de que ´el o ella sabr´a lo que
quiero decir ”. El lector tambi´en puede ser capaz de adivinar lo que significa,
pero, si el lector es su examinador, esto puede afectar su nota. En cualquier
caso, ¿por qu´e hacer que su lector haga el trabajo?.
6. Soluci´on de Problemas
La matem´atica es todo acerca de la resoluci´on de problemas, y la ´unica manera
de probar su comprensi´on del material es trabajar a trav´es de ejemplos. En la
escuela, los problemas eran bastante cortos y las respuestas sal´ıan ordenada-
mente. Como estudiante, encontrar´a que muchos problemas requieren de a˜nos
para ser resueltos; incluso si sabe exactamente lo que est´a haciendo, cada proble-
ma puede tomar un tiempo considerable y varias hojas para completar.(Esto es
como debe ser: a nivel de investigaci´on, un problema puede llevar meses o a˜nos
o puede ser simplemente imposible de resolver.) Otra diferencia con estudiar
en la escuela es que aqu´ı normalmente tendr´a s´olo un problema en cada tema,
mientras que en la escuela hab´ıa normalmente muchos problemas similares sobre
cada tema tal vez con diferentes n´umeros en ellos.
Aqu´ı est´an algunas ideas sobre los problemas que aborda. Si no puede empezar
a trabajar en un problema, intente lo siguiente, en orden.
Vuelva a leer la pregunta para comprobar que entienda lo que se quiere.
Vuelva a leer la pregunta en busca de pistas. La forma en que est´a redacta-
da,la forma en que una f´ormula se escribe, o de otras partes pertinentes de
la cuesti´on. (Puede pensar que los emisores est´an tratando de establecer

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preguntas dif´ıciles;pero ellos probablemente est´an haciendo todo lo posible
para hacerlo m´as f´acil, tratando de decirte qu´e hacer).
Simplificar la notaci´on. Por ejemplo, escribiendo sumas o vector compo-
nentes de forma expl´ıcita.
Mirar casos especiales (reducir el n´umero de dimensiones, seleccionar va-
lores especiales que simplifican el problema) para tratar de entender por-
qu´e el resultado es verdadero.
Tratar de entender qu´e es lo que desconoce. Por ejemplo, encontrar las
definiciones de los t´erminos t´ecnicos (a menudo esto abrir´a nuevas pers-
pectivas).
Aseg´urarse de que entiende completamente los t´erminos
t´ecnicos utilizados en el enunciado del problema.
Mirar un problema similar en sus notas o en un libro de texto.
Pero aseg´urese de entender completamente el ejemplo
desde el que est´a estudiando.

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Anote sus pensamientos. En particular, trate de expresar la raz´on exacta
por la que est´a detenido.
Resolviendo problemas: escriba sus pensamientos...
Ir a la siguiente pregunta y volver m´as tarde.
Tome un descanso (¡Corto!).
Pregunte a un amigo (pero aseg´urese de que todav´ıa piensa por s´ı mismo,
pues los amigos no son infalibles). PERO: recuerde que seguir alguna so-
luci´on de otra persona (ya sea por el supervisor, profesor o amigo) es ni
remotamente lo mismo que hacer el problema por su cuenta.
Este ´ultimo punto es importante: una vez que han visto la soluci´on de otra
persona por ejemplo, entonces se ven privados, para siempre, de la mayor par-
te del beneficio que podr´ıan haber tenido al tratar de hacerlo por s´ı mismos.
Aunque, al final, se quedan atascados en un problema particular, tienen mucho
m´as beneficio ver la soluci´on de un supervisor a un problema con el que ya han
tenido un estrecho tiempo trabajando, que simplemente seguir una soluci´on a
un problema al que han dado muy poco tiempo.

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Si tiene empezado un problema, pero la respuesta no parece estar llegando a
continuaci´on, compruebe su ´algebra. Por ejemplo: si usted ha escrito la serie
log(1 + x) como
1 − x + x2
/2 − x3
/3+···
entonces una comprobaci´on r´apida revelar´a que no funciona para x = 0; clara-
mente, el 1 no deber´ıa estar all´ı.
Tambi´en debe asegurarse de que lo que ha escrito tiene sentido. Por ejemplo,
en un problema que es dimensionalmente consistente, no se puede agregar x
(con dimensiones de longitud, por ejemplo) a x2
o a exp x (que en s´ı no tiene
sentido). Incluso si no hay dimensiones en el problema, a menudo es posible
asignar mentalmente dimensiones y por lo tanto permitir una comprobaci´on
r´apida.
Tenga cuidado con la aplicaci´on de los procesos familiares para objetos no fa-
miliares (muy f´acil de hacer cuando se siente en el mar): por ejemplo, cuando
se trata con matrices, es muy f´acil escribir AB en lugar de BA con bonitas sim-
plificaciones a la vista; o para resolver la ecuaci´on vectorial ax = 1 dividiendo
ambos lados por a. Si sus c´alculos parecen estar bien, entonces vaya a trav´es de
los pasos anteriores.
Si no est´a atascado, entonces:
Escribir la soluci´on plenamente; no es suficientemente bueno para mirar
un ejemplo y evitarlo si se ve f´acil.
Mirar hacia atr´as sobre lo que has hecho, comprobando que los argumentos
son correctas y asegurarse de que funcionan sin ning´un da˜no. Es sorpren-
dente la frecuencia en la que una cadena de argumentos totalmente falsos
y errores algebraicos brutos conduce a la respuesta dada.
Aseg´urese de que no est´a solicitando irreflexivamente herramientas ma-
tem´aticas que no entiende completamente.

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Trate de ver c´omo encaja el problema en el contexto m´as amplio y ver si
hay un punto especial que se pretende ilustrar.
Aseg´urese de que realmente entiende no s´olo lo que tiene terminado, sino
tambi´en por qu´e lo ha hecho as´ı en lugar de alg´un otra modo. Esto es
especialmente importante si usted ha trabajado desde un ejemplo similar
en las notas (o si usted busc´o asesoramiento de un amigo).
7. Ex´amenes
Hoy en d´ıa, son muy amistosos, est´an dise˜nados para poner a prueba su cono-
cimiento de los cursos que ha asistido m´as su capacidad de saltar a trav´es de
aros matem´aticos. M´as a´un, cuestiones de estrategia. Marcas extremas (altas o
bajas) est´an disponibles en ex´amenes de matem´aticas, lo que significa que jugar
las tarjetas del mantener la mejor nota posible es de vital importancia.
A continuaci´on algunos pensamientos, para las preparaciones adecuadas y el
desarrollo de buenos h´abitos.
Para la revisi´on, trabajar a trav´es de ejemplos al leer la correspondiente
secci´on de las notas (s´olo lectura no es suficiente).
Para la preparaci´on de ´ultimo minuto, mirar las notas de su supervisi´on
para recordar c´omo hacer preguntas.
En el examen, sobre todo, mantener la calma (si es dif´ıcil para usted, es
probable que sea dif´ıcil para todos).
No se apresure en una pregunta. Leer todo el documento cuidadosamente
y comenzar con la pregunta que se sienta m´as confiado.
Analizar exactamente lo que se le pide hacer; tratar de entender los consejos
(expl´ıcitas e impl´ıcitas); recuerde que debe distinguir entre t´erminos como
explicar / probar / definir / etc.
Recuerde que las diferentes partes de una pregunta a menudo est´an vincu-
ladas (se suele ser obvio a partir de la notaci´on) al igual que las variables.

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Presenta su respuesta de manera legible y l´ogica (no garabatear el primer
pensamiento que viene a la cabeza), esto no s´olo le ayuda a evitar errores
tontos, sino tambi´en a dar se˜nales al examinador que usted sabe lo que
est´a haciendo (que puede ser eficaz incluso si usted no tiene la m´as remota
idea de lo que est´a haciendo).
Si se queda atascado al momento de la escritura de una afirmaci´on, siga
adelante (aunque no recibe puntos por el hecho de afirmar proposiciones,
la Ense˜nanza universitaria es generalmente agradecida por cualquier se˜nal
de vida inteligente).
Resoluci´on de problemas: algunos problemas pueden tener profundidades
ocultas.
8. Por ´ultimo...
La matem´atica es dif´ıcil. Sin embargo, no es m´as dif´ıcil que todo, s´olo dif´ıcil de
una manera diferente. La mayor´ıa de la gente no puede leer un cap´ıtulo de un
libro de matem´aticas termiando con una idea bastante acertada del material.
Tiene que ser estudiado de l´ınea por l´ınea. No se desanime: es s´olo una forma

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diferente de aprender. Y hay pocos logros m´as satisfactorios (acad´emicos) que
la prueba exitosa de una proposici´on matem´atica dif´ıcil.
3. Conclusiones
Estudiar las Ciencias Matem´aticas, no es una tarea f´acil, pero existen materiales
digitales e impresos, que nos aportan valiosas t´ecnicas para estudiar, y para resolver
problemas (como G. P´olya) del ´area en cuesti´on; los cuales nos ayudan a mejorar
nuestros h´abitos de estudios, y nuestro uso del tiempo.
Referencias
[1] G. Polya. Primera edici´on en espa˜nol, Editorial Trillas, 1965. C´omo plantear y
resolver problemas.
[2] Handout for first?year students. UNIVERSITY OF CAMBRIDGE, Faculty of
Mathematics October 22, 2013. Study Skills in Mathematics.