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Conjuntos, números reales y desigualdades
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco PNFCP Estado Lara Participante: Rubí Prieto CI: 30395948 Sección: CO1101 Barquisimeto, Septiembre de 2021
- 2. CONJUNTOS Es una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos.
- 3. OPERACIONES CON CONJUNTOS Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
- 4. • UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
- 5. EJEMPLO: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: También se puede graficar del siguiente modo:
- 6. • INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
- 7. EJEMPLO: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 8. • DIFERENCIA DE CONJUNTOS Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente:
- 9. EJEMPLO Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 10. • DIFERENCIA DE SIMÉTRICA DE CONJUNTOS Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
- 11. EJEMPLO: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 12. • COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO. Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
- 13. EJEMPLO Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 14. NÚMEROS REALES Los números reales son el conjunto de números sobre los que estudian las matemáticas, ya que son todos los números que pueden ser representados en una recta numérica, incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
- 15. EJEMPLO: •Números naturales De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N. •Números enteros Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como: •Números racionales El conjunto de números racionales se designa con la letra Q: •Números irracionales Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I. Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales:
- 16. DESIGUALDADES Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales. Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean: mayor que > Menor que < Menor o igual que ≤ Mayor o igual que ≥
- 17. EJEMPLO: Resuelva: Primero, necesitamos aislar el término de la variable en un lado de la desigualdad. Aquí, en la izquierda, 1 se suma al término de la variable, 2 x . La operación inversa de la suma es la resta. Así, reste 1 en ambos lados. Primero, necesitamos aislar el término de la variable en un lado de la desigualdad. Aquí, en la izquierda, 1 se suma al término de la variable, 2 x . La operación inversa de la suma es la resta. Así, reste 1 en ambos lados. Esto es, la desigualdad es verdadera para todos los valores de x que sean menores que 3. Por lo tanto, las soluciones de la desigualdad son todos los números menores que 3.
- 18. VALOR ABSOLUTO La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
- 19. EJEMPLO: Aplicamos la definición de valor absoluto para una función, dejando en el primer tramo la función tal y como está si la función es mayor o igual que cero y en el segundo tramo, la función multiplicada por -1, si la función es menor que cero: Operamos en las desigualdades: El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales:
- 20. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO: Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Ejemplo: Resuelva | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta . x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10