Características de campo eléctrico

1. TABLA DE CONTENIDO
1. LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB
2. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO
3. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE
CARGA VOLUMÉTRICA
4. CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA
5. CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA
6. LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

2. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB
Coulomb afirmó que la fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el
vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en
relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, o sea:
F es la fuerza [Newtons – N]
Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o
negativa [coulombs – C]
R es la separación [metros – m]
K es una constante de proporcionalidad
→
1
2
2
1
R
Q
Q
k
F 
Unidades
Sistema mks
0
4
1


k
Aquí de nuevo, …
Qué creen, ¿Es ε0 adimensional?

3. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB
ACLARANDO :
ε0 → permitividad del espacio libre →
LEY DE COULOMB
[Forma Escalar]
2
m
F
9
12
0 10
36
1
10
854
.
8 







2
2
9
12
0 10
36
1
10
854
.
8 m
N
C




 



2
0
2
1
4 R
Q
Q
F


RECORDANDO :
Carga Electrón → 1.602 x10-19 C
Carga 1 Coulomb → 6 x 1018 electrones
Fuerza 2Q de 1C y R=1m → 9 x 109 N
[Casi 1 millón de Toneladas]
Masa en Reposo Electrón → 9.109 x 10-31 kg
Radio Electrón → 3.8 x 10-15 m

4. LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)
LEY DE COULOMB (CONT.)
[Forma Vectorial]
donde a12 es un vector unitario en la
dirección de R12, es decir:
Observe la siguiente figura, y
verifique que si Q1 y Q2 tienen el
mismo signo, el vector fuerza F2 sobre
Q2 tiene la misma dirección que el
vector R12.
3
12
2
12
0
2
1
2
4
a
F
R
Q
Q


1
2
1
2
12
12
12
12
12
r
r
r
r
R
R
R
a





R

5. 4
Ejemplo 2.1:
Para ilustrar el uso de la forma vectorial de la Ley de Coulomb ubiquemos una
carga Q1 = 3 x 10-4 C en M(1,2,3) y otra carga Q2=-10-4 C en N(2,0,5) en el vacío. Se
desea encontrar la fuerza que ejerce Q1 en Q2.
Solución:
1. Se determina el vector R12 y su magnitud:
R12 = r2 – r1 = (2-1)ax + (0-2)ay + (5-3)az= ax - 2ay + 2az
2. Se determina el vector unitario a12:
3. Se determina la fuerza F2:
      3
2
2
1
2
2
2
12 




R
z
y
x
3
2
3
2
3
1
a
a
a 



12
12
R
R
12
a
LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)
 
 
N
N
z
y
x
z
y
x
z
y
x
a
a
a
F
a
a
a
F
a
a
a
F
20
20
10
3
2
2
30
3
2
2
3
10
36
1
4
10
10
3
2
2
2
9
4
4
2











 










 




 





6. 5
Algunas Conclusiones sobre la Ley de
Coulomb:
1. La fuerza expresada por la Ley de
Coulomb es una fuerza mutua, esto es:
2. La Ley de Coulomb es lineal.
3. La fuerza debida a la acción de varias
cargas es la suma de las fuerzas que sobre
dicha carga ejercerían individualmente
cada una de las otras cargas.
LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)
12
2
12
0
2
1
21
2
12
0
2
1
2
1
4
4
a
a
F
F
R
Q
Q
R
Q
Q








7. 6
D2.1
La carga QA = - 20 μC está en el punto
A(-6,4,7), y la carga QB = 50 μC está en
el punto B(5,8,-2) en el espacio libre. Si
las distancias están dadas en metros,
encontrar:
a) RAB
b) |RAB|
c) F vectorial ejercida por QB sobre QA
si ε0 es →
d) F vectorial ejercida por QB sobre QA
si ε0 es →
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a) 11ax + 4ay – 9az m
b) 14.76 m
c) 30.76ax + 11.184ay – 25.16az mN
d) 30.72ax + 11.169ay – 25.13az mN
LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)
m
F
9
10
36
1 


m
F
12
10
854
.
8 

Otro más. → Realizar Problema 2.1

8. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO
7
Campo Eléctrico en una Carga Puntual
en el Origen
Campo Eléctrico en una Carga Puntual
Fuera del Origen
El vector r′ localiza la carga puntual Q, el
vector r determina cualquier punto P
(x,y,z) del espacio, y el vector R de Q a
P(x,y,z) es entonces R=r- r′.
t
t
t
t
R
Q
Q
1
2
1
0
1
4
a
F
E


 Fuerza sobre
unidad de carga
   
3
0
2
0 4
4 r'
r
r'
r
r'
r
r'
r
r'
r
r
E









Q
Q

9. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
8
En el escenario de la gráfica, la suma
vectorial de las intensidades de campo
eléctrico total en P debido a Q1 y Q2
puede hacerse por el carácter lineal de
la ley de Coulomb, es decir:
Si se agregan más cargas en otras
posiciones del campo debido a n cargas
puntuales, entonces:
  2
2
0
2
1
2
0
1
4
4
a
r
r
a
r
r
r
E
2
1 





Q
Q
 
  
 











n
m
m
m
n
n
Q
Q
Q
Q
1
2
0
2
0
2
2
0
2
1
2
0
1
4
4
4
4
a
r
r
r
E
a
r
r
a
r
r
a
r
r
r
E
m
n
2
1





10. 9
Ejemplo 2.2:
Encontrar E en el punto P(1,1,1) que
causan cuatro cargas idénticas de -3
nC localizados en los puntos P1(1,1,0),
P2(-1,1,0), P3(-1,-1,0) y P4(1,-1,0), como
se verifica en la siguiente figura.
INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
Solución:
1. Del gráfico se observa que el vector r
= ax + ay + az y r1 = ax + ay
deduciendo que : r - r1 = az
2. Adicionalmente se confirma que:
| r - r1 |= 1, | r - r2 |= √5, | r - r3 |=
3, | r - r4 |= √5.
3. Puesto que
4. Entonces resulta :
m
V
Q
.
96
.
26
10
854
.
8
4
10
3
4 12
9
0




 



   
m
V
z
y
x
z
y
z
y
x
z
x
z
a
a
a
E
a
a
a
a
a
a
a
a
E
8
.
32
82
.
6
82
.
6
5
1
5
3
1
3
5
1
5
1
1
1
96
.
26 2
2
2
2










 







2
2
2
2

11. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)
10
D2.2
Una carga de – 0.3 μC se encuentra en
el punto A(25,-30,15) en cms, y una
segunda carga de 0.5 μC en el punto B(-
10,8,12) cms. Encontrar E en :
a) El origen
b) En P(15,20, 50) cms
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a) 92.3ax – 77.6ay – 94.2az kV/m
b) 11.9ax – 0.519ay + 12.4az kV/m
Y ahora porque no vemos, …
Solución en Ms Excel

12. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE
CARGA VOLUMÉTRICA
11
Sea ρv la densidad de carga volumétrica en C/m3, entonces la carga para un ∆v
se expresa:
Para que la densidad de carga volumétrica corresponda a una distribución suave
y continua, se evalúa la expresión anterior mediante un proceso de acercamiento
en el límite, es decir:
De lo anterior, se verifica que la carga total dentro de cualquier volumen finito
se obtiene por integración sobre todo el volumen, es decir:
v
Q v

 
v
Q
v




v
Q
v
v




 0
lim

 

vol
v v
Q 

13. 12
Ejemplo 2.3:
Encontrar la carga total contenida en
el haz de electrones de un tubo de
rayos catódicos de longitud igual a 2
cm, como se muestra a continuación.
Solución:
1. De la figura se observa que:
2. Se considera el diferencial de
volumen en coordenadas cilíndricas
para encontrar la carga total, esto es:
3. Integrando respecto a se tiene:
CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE
CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.)
3
10
6 5
10
5
m
C
e z
v

 




  





04
.
0
02
.
0
2
0
01
.
0
0
10
6 5
10
5




 dz
d
d
e
Q z

 




04
.
0
02
.
0
01
.
0
0
10
5 5
10 dz
d
e
Q z


 

14. 13
Ejemplo 2.3 (Cont.) :
Solución:
4. Integrando respecto a z, se tiene
5. Finalmente:
CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE
CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.)
 























01
.
0
0
4000
2000
5
01
.
0
0
04
.
0
02
.
0
10
5
5
10
10
10 5









d
e
e
Q
d
e
Q
z
z
z
pC
Q
e
e
Q
0785
.
0
4000
1
2000
1
10
4000
2000
10
10
01
.
0
0
4000
2000
10
































15. 14
Si se suman todas las contribuciones de toda la carga dentro del volumen de una
región dada y se deja que el elemento de volumen ∆v se aproxime a cero, cuando
el número de elementos se hace infinito, entonces dicha suma se convierte en una
integral, esto es:
CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE
CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.)
   
 



vol
v dv
'
'
'
'
r
r
r
r
r
r
r
r
E 2
0
'
4

D2.4
Calcular la carga total dentro de los volúmenes siguientes:
a) 0.1 ≤ |x|, |y|, |z| ≤ 0.2 y
b) 0 ≤ ρ ≤ 0.1, 0 ≤ Ф ≤ π, 2 ≤ z ≤ 4; ρv= ρ2z2sin(0.6 Ф)
c) En el universo;
3
3
3
1
z
y
x
v 

2
2
r
e r
v



Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a) 0
b) 1.018 mC
c) 6.28 C

16. 15
Densidad de Carga [C/m].
Para una densidad (lineal y uniforme) en una línea de carga que se extiende
desde - ∞ a +∞ a lo largo del eje z, se tiene :
CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA
L

L

(1) Al variar Ф, con ρ y z contantes, la línea
de carga conserva simetría azimutal.
(2) Si se varía z, con ρ y Ф constantes, la línea
de carga conserva simetría axial, por tanto,
el campo es independiente de z.
(3) Si varía ρ, con z y Ф constantes, el campo
disminuye cuando ρ se incrementa,
debido a la ley de Coulomb.
(4) Si EФ=0, entonces Ez
+ y Ez
- se cancelan.
(5) Eρ varía únicamente con variación de ρ.

17. 16
De la gráfica se verifica que:
CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE
CARGA (CONT.)
 
 
   

 
























0
0
0
0
0
2
0
2
2
'
'
'
'
2
0
'
'
2
0
cos
4
sin
4
csc
4
sin
csc
csc
csc
sin
csc
cot
cot
tan
sin
sin
4
sin
4

















































a
a
a
E
R
z
E
R
E
L
L
L
L
L
d
d
R
R
R
d
dz
z
z
z
R
d
d
z
  







a
E 





0
0 2
1
1
4
L
L
Observe que el campo decae inversamente a
la distancia a la línea de carga, a diferencia
del caso puntual donde el campo disminuye
con el cuadrado de la distancia.

18. 17
Ejemplo 2.4:
Considere una línea de carga infinita
situada a lo largo del eje z. La misma
pasa por x=6 y y=8. Se desea
encontrar E en un punto P(x,y,z)
cualquiera del campo
Solución:
1. Reemplazamos R en la ecuación:
Siendo R igual a:
Por tanto,
CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE
CARGA (CONT.)





a
E 

0
2
L
   2
2
8
6 



 y
x
R 
   
   
   
   
   2
2
0
2
2
2
2
0
8
6
8
6
2
8
6
8
6
8
6
2




















y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
L
y
x
R
R
L
a
a
E
a
a
R
R
a
a
E




Observe que el
campo no es
función de z

19. 18
D2.5
A lo largo de los ejes x y y (positivo y
negativo) en el espacio libre se
encuentran líneas de carga uniforme e
infinitas de 5 nC/m. Encontrar el valor
de E en:
a) PA(0,0,4)
b) PB(0,3,4)
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a) 45az V/m
b) 10.8ay + 36.9az V/m
CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE
CARGA (CONT.)

20. 19
CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA
DE CARGA
Densidad de Carga Superficial [C/m2].
Consideremos una lámina infinita dividida en tiras de ancho infinitesimal, como
se muestra a continuación:
s

La densidad de carga lineal de una tira
es:
La contribución al campo de la tira en el
punto P es:
'
dy
s
L 
 
2
'
2
'
0
2
'
2
0
'
2
cos
cos
2
y
x
xdy
dE
R
x
y
x
dy
dE
s
x
s
x














21. 20
CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA
DE CARGA (CONT.)
Recordemos que una integral de la forma:
Por tanto:
Vectorialmente:




 a
u
du
u
a
a 1
2
2
tan
0
0
'
1
0
2
'
2
'
0
2
'
2
'
0
2
2
2
2
tan
2
2
2












s
s
x
s
s
s
x
E
x
y
y
x
xdy
y
x
xdy
E






 















 











N
s
a
E
0
2


Observe que el campo es constante
en magnitud y dirección

22. 21
CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA
DE CARGA (CONT.)
Si el punto que se elige sobre el eje x es negativo, en la ecuación :
el vector unitario aN es normal a la lámina, esto significa que se aleja de ella
[hacia afuera].
Sea una lámina con carga ρs. Si se coloca otra lámina con carga ρs , que se sitúa en
x=a, el campo total resultante para x>a es:
y
Resultado
Para x<0: ; ;
Para 0<x<a: ; ;
N
s
a
E
0
2


x
s
a
E
0
2



x
s
a
E
0
2




0


 

E
E
E
x
s
a
E
0
2




x
s
a
E
0
2



0


 

E
E
E
x
s
a
E
0
2



x
s
a
E
0
2



x
s
a
E
0



Este es el
campo
existente entre
las placas de
un capacitor

23. 22
D2.6
Tres láminas infinitas cargadas
uniformemente se localizan en el
espacio libre como sigue:
a) 3nC/m2 en z=-4
b) 6nC/m2 en z=1
c) -8nC/m2 en z=4
Encontrar E en el punto:
a) PA(2,5,-5)
b) PB(4,2,-3)
c) PC(-1,-5,2)
d) PD(-2,4,5)
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a) -56.5az V/m
b) 283az V/m
c) 961az V/m
d) 56.5az V/m
CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE
CARGA (CONT.)

24. 23
Representación Gráfica Líneas de Campo en
dos Dimensiones
LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE
CAMPOS
(a) Un esquema muy pobre.
(b) Gráfica correcta.
(c) Gráfica correcta.
(d) Forma común de una
gráfica de línea de
corriente. En esta última
gráfica, las flechas
representan la dirección
del campo en cada punto a
lo largo de la línea, y el
espaciamiento entre las
líneas es inversamente
proporcional a la
magnitud del campo.

25. 24
Ecuación Líneas de Flujo:
Por geometría, se deduce que:
como se verifica en el siguiente gráfico:
LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE
CAMPOS (CONT.)
dx
dy
E
E
x
y

Ejemplo:
Considere el campo de una línea de
carga uniforme con
Resultando
En coordenadas cartesianas se tiene:
Estableciendo la Ec. Diferencial:
Por tanto:
0
2
 
L


a
E
1

y
x
y
x
y
y
x
x
a
a
E 2
2
2
2




x
y
E
E
dx
dy
x
y


x
dx
y
dy

Cx
y
C
x
y 

 ln
ln
ln
Esta es la Ec.
De las líneas
de flujo
1
ln
ln C
x
y 


26. 25
D2.7.a
Obtener la ecuación de las líneas de
flujo que pasan por el punto P(1,4,-
2), en donde el campo es
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a) x2+2y2=33
LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE
CAMPOS (CONT.)
y
x
y
x
y
x
a
a
E 2
2
4
8


