El documento presenta varios modelos matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en diferentes áreas como matemáticas, física, química y economía. Se describen ecuaciones diferenciales separables, lineales y no lineales, así como sus usos para modelar fenómenos como la forma de un cable colgante, la propagación de enfermedades, la oferta y demanda económica y procesos químicos como la mezcla de agua salada en un tanque.

1. VARIABLES SEPARABLES
Modelo matemático para la forma de un cable flexible colgado de dos postes:
Donde W denota la porción de la carga vertical total entre los puntos p1 y p2. La
ecuación diferencial es separable bajo las siguientes condiciones que describen
un puente suspendido.
Supongamos que los ejes x y y, es decir, el eje x va a lo largo de la superficie de la
carretera y el eje y pasa por (0, a), que es el punto más bajo de un cable en la
región que abarca el puente, que coincide con el intervalo [-L/2, L/2]. En el caso de
un puente suspendido, la suposición usual es que la carga vertical en
Es solo una distribución uniforme de la superficie de la carretera a lo largo del eje
horizontal. En otras palabras, se supone que el peso de todos los cables es
despreciable en comparación con el peso de la superficie de la carretera y que el
peso por unidad de longitud de la superficie de la carretera (digamos, libras por pie
horizontal) es una constante p.
ECUACIONES LINEALES
1. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales se encuentra en el estudio
del decaimiento de un tipo especial de series de elementos radiactivos:
Donde y son constantes, y analizando el sistema sujeto a x (0)= x0, y (0)=y0
2. Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de
voltaje constante E0, un capacitor con capacitancia constante C y un
corazón como un resistor con resistencia constante R. Cuando se cierra el
interruptor, el capacitor se carga; cuando el interruptor se abre, el capacitor
se descarga enviando estímulos eléctricos al corazón. Todo el tiempo el
corazón se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la
ecuación diferencial lineal

2. Y está sujeta a E (4)= E0.
ECUACIONES EXACTAS
Una parte de una cadena de 8 pies de longitud esta enrollada sin apretar
alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte
restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma.
Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de 3 pies, que la
cadena pesa 2 lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo.
Comenzando en t=0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que
la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si
x (t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t>0,
entonces v=dx/dt es su velocidad. Cuando se desprecian todas las fuerzas
de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que
relaciona a V con X esta dado por:
Se resolvería V en términos de X determinando un factor integrante
adecuado.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI
En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos
para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística
Donde a y b son constantes positivas.
DIVERSAS APLICACIONES
Problemas de Epidemiología:
Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia,
propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad
que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este
problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una
población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.

3. Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser
algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la
propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población
grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes
de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios
universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras
comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que
tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la
enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer
contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una fórmula para el
número de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay
un número especificado de estudiantes infectados.
Formulación Matemática:
Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu
estudiantes no infectados. Entonces si N es él número total de estudiantes,
asumido constante, tenemos
N = Ni + Nu
La tasa de cambio en él número de estudiantes infectados está dada entonces por
la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así
de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N,
tenemos entonces que:
dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de
Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados,
y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la
ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N
Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni).
Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No
estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir
que:
Ni = N _
1 + (N/No - 1) e
Aplicaciones a la Economía:

4. En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las
matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra
muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la
formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que,
como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido
teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
Oferta y Demanda
Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este
bien por alguna unidad especificada (por ejemplo un barril de petróleo) en
cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p
(t) es el precio en el tiempo t.
El número de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de
tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D (t), o
brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier
tiempo t, esto es, p (t), sino también de la dirección en la cual los consumidores
creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´
(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen
que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta
dependencia de D en p (t) y p´ (t) puede escribirse:
D = (p (t)), p´ (t)
Llamamos la función de demanda.
Similarmente, el número de unidades del bien que los productores tienen
disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota
por S (t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de
p (t) y p´ (t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los
productores creen que estos pueden subir más, la oferta disponible tiende a
incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S
en p (t) y p´ (t) puede escribirse:
S = g (p (t), p´ (t)
Llamamos g a la función oferta.
Principio económico de la oferta y la demanda:
El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p (t), está determinada por la
condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática
esto quiere decir:
(p (t), p´ (t)) = g (p (t), p´ (t))

5. Las formas que debería tener y g son las siguientes:
D = (p (t), p´ (t)) = A1p (t) + A2p´ (t) + A3
S = g (p (t), p´ (t)) = B1p (t) + B2p´ (t) + B3
Donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la fórmula matemática se
transforma a la siguiente expresión:
A1p (t) + A2p´ (t) + A3 = B1p (t) +B2p´ (t) + B3
(A2 - B2) p´ (t) + (A1 - B1) p (t) = B3 - A3
Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula
como:
p´ (t) + (A1-B1/A2-B2) p (t) = B3-A3/A2-B2
Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como
resultado:
p (t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)] e
Caso I: Si Po = (B3-A3)/ (A1-B1) y p (t)=Po entonces, los precios permanecen
constantes en todo tiempo.
Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.
Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) <0. En este caso vemos que de la ecuación p (t) = B3-
A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)] es que el precio p (t) crece indefinidamente a
medida que t crece, asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1), esto es, tenemos
inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta
que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la
ecuación (A2 - B2) p´ (t) + (A1 - B1) p (t) = B3 -A3.
Ejemplo:
La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p
(t) + 3p´ (t), S = 30 + p (t) + 4p´ (t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien
es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay
estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución: El precio p (t) está determinado al igualar la oferta con la demanda, esto
es,
48 - 2p (t) + 3p´ (t) = 30 + p (t) + 4p´ (t) = p´ (t) + 3 p (t) = 18

6. Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como
resultado: p (t) = 6 + 4e
De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y
el precio de equilibrio es de 6 unidades.
Aplicaciones a la Química:
Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos.
Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Un tanque está lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual
están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal
que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma
tasa.
t Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
t ¿Cuánta sal está presente después de 10min?
t ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?
Formulación Matemática:
Sea Al número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt
es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está dada por:
dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. Conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad
de sal que entra por minuto es:
2gal / min. X 3 lb. /gal = 6 lb. /min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto
que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en
cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La
cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb. / 5min.
De: (dA / dt), (6 lb. /min.) Y (A lb. /5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.
Puesto que inicialmente hay 5lb. De sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la
formulación matemática completa es:

7. dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0
Solución:
Usando el método de separación de variables, tenemos:
“(dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c
Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,
- ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e
La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
Al final de los 10min. La cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también
podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo da / dt = 0, puesto que
también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.