1. Símbolo de Christoffel
n esta entrada aprovecharemos las simplificaciones obtenidas al finalde la entrada previa para poder obtener los
símbolos de Christoffelde segundogénerocuandose trata de tensores métricos cuya matrizes una matriz
diagonal.
PROBLEMA: Determinar los símbolos de Christoffelde segundo género para las coordenadas cilíndricas.
Para las coordenadas cilíndricas:
(x1, x2, x3) = (r, φ, z)
el elementode línea es:
ds² = dr² + r²dθ² + dz²
con lo cual las componentes diagonales del tensor métricoson:
g11 = 1 ____g22 = r²____g33 = 1
Puestoque tantog11 comog33 son constantes,de acuerdocon loque v imos en la entrada previa los únicos
símbolos de Christoffelquenoson cerolos tendremos para p = 2.Usandolas fórmulas simplificadas, estos son:
PROBLEMA: Determinar los símbolos de Christoffelde segundo género para las coordenadas esféricas.
Para las coordenadas esféricas:
(x1, x2, x3) = (r, φ, z)
el elementode línea es:
ds² = dr² + r²dθ² + r² sen²θ dθ²
con lo cual las componentes diagonales del tensor métricoson:
g11 = 1 ____g22 = r²____g33 = r² sen² θ
Puestoque tantog11 es constante,de acuerdocon loque vimos en la entrada previa los únicos símbolos de
Christoffel quenoson cerolos tendremos para p = 2 op = 3. Usandolas fórmulas simplificadas, estos son:

2. Los símbolos de Christoffel NO son tensores.Sin embargo, cabe hacernos la siguiente pregunta: si queremos
pasar de un sistema de coordenadas a otro, ¿cuáles serán entonces las propiedades de transformación de los
símbolos de Christoffel,tantodel primer génerocomodel segundogénero?
PROBLEMA: Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffelde primer género.
La naturaleza del problema consisteen obtener el procedimientorequeridopara transformar un símbolode
Christoffel de primer género Γabc a su correspondiente símbolode Christoffel Γabc. (con una barra encima de la
letra gamma). El puntode arranque para la solución empieza,desde luego,con la ley tensorialde transformación
para el tensor métrico:
Tenemos que obtener tres derivadas parciales del tensor métricocon respectoa cada una de las coordenadas del
sistema hacia el cualse v a a llevar el símbolode Christoffela ser transformado. Aplicandola regla de Leibnizpara
la diferencial del productode tres funciones:
d(uv w) = uv ·dw + uw·dv + v w·du
y aplicandotambién la regla de la cadena a ∂gpq /∂xm, la primera derivada parcial será:
Aplicandola misma regla de Leibniz,podemos obtener las otras dos derivadas parciales.Sin embargo,podemos
ahorrarnos algode trabajosi simplemente tomamos la expresión para la primera derivada que acabamos de
obtener y aplicamos una permutación cíclica de los índices para obtener la segunda derivada:

3. j → k
k → m
m → j
que resulta ser:
Otra permutación cíclica de los índices:
k → m
m → j
j → k
nos produce la tercera derivada:
Restando∂gjk/∂xm de la suma de ∂gkm/∂xj y ∂gmj/∂xk,multiplicandopor 1/2 y metiendolas definiciones de los
símbolos de Christoffelde primer género,obtenemos la siguiente ley de transformación:
con la que el símbolode Christoffel de primer género Γpqr es transformadoa Γjkm. Obsérvese que si nofuese por el
segundotérminoen el ladoderecho, los símbolos de Christoffel se transformarían también comotensores.Pero
noson tensores, ya que fueron de hechoconcebidos comoel “factor de corrección” requeridopara que la derivada
de un tensor pueda ser redefinida comoderivada covariante de modotalque esta también sea un tensor.
PROBLEMA: Derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffelde segundo género.
Puestoque los símbolos de Christoffelde segundogénerose obtienen a partir de los símbolos de Christoffelde
primer género, para locualse utiliza el tensor métricoconjugado g-1 para subir el tercer índice, nodebe causar
asombrode que una vezobtenida la ley de transformación para los símbolos de Christoffelde primer géneroen el
problema anterior recurramos al tensor métricoconjugadoaplicándolosobre dichoresultadopara poder obtener
la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de segundogénero.
En este caso, utilizamos la relación quenos define altensor métricoconjugadocomoun tensor,la cuales:

4. Utilizamos esta relación en la ley de transformación para los símbolos de Christoffelde primer géneroque
obtuvimos en el problema anterior, la parte izquierda de la relación en el ladoizquierdode la ecuación y la parte
derecha de esta relación en el ladoderechode la ecuación:
En el ladoizquierdode esta ecuación el tensor métricoconjugado gnm eleva altercer índice m del símbolode
Christoffel de primer género Γjkm convirtiéndoloen un símbolode Christoffel de segundogénerocon el super-
índice n:
Lo mismosucede en el ladoderechode la ecuación en donde el tensor métricoconjugadoeleva al tercer índice del
símbolode Christoffel de primer género convirtiéndoloen unode segundogénero. Obsérvese que hemos
agrupadodos simplificaciones,las cuales nos resultan en la siguiente ley de transformación para los símbolos de
Christoffel de segundogénero:
Obsérv ese que si nofuese por el segundotérminoen el ladoderecho,los símbolos de Christoffelde segundo
génerose transformarían también comotensores.
PROBLEMA: Demostrarla siguiente relación:
Para demostrar la relación proporcionada,usaremos la ley de transformación para los símbolos de Christoffel de
segundogéneroobtenida en el problema anterior.Si multiplicamos ambos lados de dicha ley por ∂x m/∂xn,
tenemos entonces,introduciendoen el ladoderecholos deltas Kronecer δmsy δmp:
Esto se simplifica de inmediatoa losiguiente:

5. Despejandoestoúltimopara ∂²xm/∂xj∂xk obtenemos la relación pedida.
Este últimoresultadonos posibilita llevar a cabouna demostración importante,la demostración de que la
derivada covariantede un tensor es un tensor.
PROBLEMA: Demostrarque la derivada covariante de un tensores un tensor.
Para la resolución de este problema podemos utilizar ya sea un tensor covarianteoun tensor contravariante.La
demostración que será llevada a caboaquí utilizará un tensor contravariante;en el casodel tensor covariante la
demostración es casi idéntica con modificaciones triviales en los pasos.
Considérese el tensor contravariante T = (Tp) de orden uno.Siendoun tensor,entonces debe obedecer la regla
fundamentalde transformación:
Tomaremos ahora la derivada parcialde este tensor con respectoa x k:
Utilizaremos ahora la regla de la cadena en el ladoderechode la expresión:
Tomamos ahora la derivada del productode las dos cantidades ∂x i/∂xry Tr:
Utilizaremos ahora la relación obtenida en el problema anterior, con la cual obtenemos losiguiente:
Puestoque, por la regla de la cadena:

6. Y puestoque, por la misma definición de tensor para el casode un tensor contravariantede orden uno:
la expresión queestamos desarrollandose convierte en:
Factorizandoel ladoderecho, reacomodandolos términos, renombrandoíndices según se requiera y utilizandola
propiedad de simetría de los símbolos de Christoffel,llegamos a losiguiente:
Obsérv ese bien la forma en la cualse han puestotantoel ladoizquierdocomoel ladoderechode la relación.Del
ladoizquierdo, loque tenemos es ni más ni menos que la derivada covariante del tensor T = (Tp)en el sistema de
coordenadas de barra. Y loque tenemos del ladoderechoes ni más ni menos que la derivada covariante del
tensor original T en el sistema de coordenadas original (sin la barra). Estosignifica que la relación se reducea:
Lo que nos está diciendoestoesencialmentees que la derivada covariantedel tensor contravariante de orden
unoT = (Tp),simbolizada mediante el semicolon como T;k = (Tp
;k), se transforma justocomolorequieren las
propiedades de la definición de un tensor. Queda demostradoentonces que la derivada covariante de un tensor
es también un tensor. Esto, desde luego, se lodebemos a la ayuda de los símbolos de Christoffelquenos dieron la
“corrección” necesaria para poder definir a la derivada covariante de un tensor.