1. 1. Biografía de Joseph V. Boussinesq
Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929) destacó como un eminente matemático y
físico francés cuya dedicación se centró en el campo de la mecánica de fluidos,
dejando una huella duradera en esta disciplina.
Nacido en un humilde entorno agrícola en un pequeño
pueblo entre Béziers y Montpellier, Boussinesq desafió las
expectativas familiares al abandonar el hogar paterno y
trasladarse a la ciudad de Montpellier para perseguir una
educación superior. A pesar de los deseos de su padre de
que continuara con la explotación de la granja familiar, en
1861 obtuvo con éxito su licenciatura en ciencias en la
Universidad de Montpellier. Estos primeros pasos
marcaron el inicio de una trayectoria que lo llevaría a ser
un influyente educador e investigador.
Después de completar su doctorado en la Facultad de Ciencias de París en 1867,
Boussinesq atrajo la atención de Saint-Venant, un respetado ingeniero de la época,
quien lo tomó bajo su protección y allanó el camino para su carrera académica y
científica. Esta mentoría fue un punto de inflexión, ya que Boussinesq empezó a
forjar su camino como educador e investigador universitario.
Su compromiso con la excelencia académica lo llevó a obtener reconocimientos y
logros significativos. Inicialmente, se especializó en física y luego ascendió al cargo
de profesor de cálculo en la Universidad de Lille en 1873. Mantuvo este puesto
durante más de una década, hasta que en 1886 fue elegido miembro de la
prestigiosa Academia de Ciencias de Francia. Este logro marcó una nueva etapa en
su vida, lo que lo llevó a trasladarse a París y a ocupar varias cátedras en la
Sorbona, incluyendo Mecánica, Física Teórica y Probabilidad.
El legado académico de Boussinesq se centra principalmente en la dinámica de
fluidos e hidráulica. Sus obras académicas y sus contribuciones científicas
revolucionaron la comprensión de estos campos, estableciendo nuevas bases
teóricas y formulaciones matemáticas que siguen siendo relevantes en la actualidad.
En resumen, Joseph Valentin Boussinesq superó sus orígenes modestos para
convertirse en una figura fundamental en la mecánica de fluidos y la academia
científica de su tiempo. Su trabajo sigue inspirando a generaciones de científicos y
sigue siendo relevante en la investigación contemporánea en fluidos.
2. 2. En qué consiste la teoría de la distribución de esfuerzos
desarrollada por Boussinesq.
La teoría de la distribución de esfuerzos desarrollada por Joseph Valentin
Boussinesq es un concepto fundamental en la mecánica de suelos y la ingeniería
geotécnica. Esta teoría se utiliza para analizar el comportamiento de las cargas
aplicadas a la superficie de un medio elástico semi-infinito, como el suelo, y
cómo esas cargas se distribuyen en profundidad.
En esencia, Boussinesq propuso una solución matemática para determinar cómo las
cargas puntuales o distribuidas en la superficie de un medio elástico generan
esfuerzos y deformaciones en el interior del suelo. La teoría asume que el suelo es
un material elástico lineal y homogéneo, y que las cargas aplicadas son pequeñas
en comparación con la longitud característica del problema.
Boussinesq introdujo una ecuación integral que relaciona los esfuerzos en un punto
en el interior del suelo con las cargas aplicadas en la superficie. Esta ecuación es
conocida como la "ecuación de Boussinesq" y toma en cuenta la influencia de las
dimensiones de las cargas y su posición en la superficie.
3. La distribución de esfuerzos según la teoría de Boussinesq no solo se utiliza para
analizar cargas puntuales, sino que también puede extenderse para considerar
cargas distribuidas de manera más compleja. Además, esta teoría es una
aproximación útil para estimar la distribución de esfuerzos debajo de cimientos,
placas y otros elementos superficiales utilizados en la construcción.
Es importante tener en cuenta que la teoría de Boussinesq tiene sus limitaciones.
No considera aspectos como la variación en las propiedades del suelo con la
profundidad ni la interacción entre partículas individuales del suelo. A pesar de estas
limitaciones, la teoría sigue siendo una herramienta valiosa en la ingeniería
geotécnica para obtener estimaciones iniciales de la distribución de esfuerzos y
deformaciones en suelos bajo cargas superficiales.
4. 3. ¿Qué factores intervienen en el fenómeno de la distribución de
esfuerzos a diferentes profundidades?
El fenómeno de la distribución de esfuerzos a diferentes profundidades en un medio
elástico, como el suelo, es influenciado por varios factores. Estos factores
determinan cómo las cargas aplicadas en la superficie se transmiten y redistribuyen
en el interior del medio. Algunos de los factores clave que intervienen en este
fenómeno son:
❖ Tipo de Carga:
➢ La naturaleza de la carga aplicada, ya sea una carga puntual, una
carga distribuida o una combinación de ambas, afecta cómo se
propagan los esfuerzos en el medio. Las cargas puntuales tienden a
generar esfuerzos más concentrados en profundidad, mientras que las
cargas distribuidas generan un perfil de esfuerzos más gradual.
❖ Profundidad de la Carga:
➢ La profundidad a la que se aplica la carga en la superficie también es
un factor determinante. Las cargas más cercanas a la superficie
tienden a tener un impacto más inmediato en las capas superficiales
del suelo, mientras que las cargas más profundas afectan las capas
más profundas.
❖ Propiedades del Medio:
➢ Las propiedades elásticas y mecánicas del suelo, como la rigidez, la
densidad, la cohesión y el ángulo de fricción interna, juegan un papel
crucial en la distribución de esfuerzos. Un suelo más rígido transmitirá
y distribuirá las cargas de manera diferente en comparación con un
suelo más suave.
❖ Geometría y Dimensiones de la Carga:
➢ La forma y las dimensiones de la carga aplicada también influyen en
cómo se distribuyen los esfuerzos en profundidad. Cargas más
grandes o cargas con una forma específica pueden generar patrones
de distribución de esfuerzos distintos.
❖ Profundidad de Análisis:
➢ El nivel de profundidad que se está analizando en el medio también es
un factor importante. A medida que se profundiza en el suelo, los
esfuerzos tienden a dispersarse y suavizarse debido a la influencia de
las capas superiores.
5. ❖ Interacción de Capas:
➢ En el caso de suelos con capas diferentes en términos de propiedades
mecánicas y estratigrafía, la interacción entre estas capas puede llevar
a distribuciones de esfuerzos más complejas.
❖ Interacción entre Partículas:
➢ A nivel microscópico, las interacciones entre las partículas individuales
del suelo también juegan un papel en la distribución de esfuerzos. La
estructura y la compresibilidad del suelo influyen en cómo se
transmiten las fuerzas a través del medio.
❖ Condiciones de Contorno:
➢ Las condiciones en los bordes o límites del medio también pueden
influir en la distribución de esfuerzos. Las condiciones de contorno
pueden limitar o modificar la propagación de esfuerzos.
En resumen, la distribución de esfuerzos a diferentes profundidades en un medio
elástico es el resultado de una interacción compleja entre varios factores, que
incluyen la naturaleza de la carga, las propiedades del suelo, la geometría y
dimensiones de la carga, y las condiciones de contorno. Comprender estos factores
es esencial para un análisis preciso de la respuesta del suelo a las cargas
aplicadas.
7. 5. Ecuaciones de Boussinesq
El matemático francés Joseph Valentin Boussinesq (1842-1929) desarrolló en 1885
una expresión matemática para obtener el incremento de esfuerzo en una masa
semi-infinita de suelo debido a la aplicación de una carga puntual en su superficie.
Dicha expresión se puede integrar para obtener soluciones para áreas cargadas.
Para ello se supone que dicho semi-espacio es infinitamente grande, siendo un
medio homogéneo, elástico lineal e isótropo.
Sabiendo que el terreno dista de ser un semiespacio de Boussinesq, se puede
aplicar la Teoría de la Elasticidad para estimar los asientos producidos por una
carga rectangular como pudiera ser la de una losa de cimentación o la de una
zapata. Estos asientos pueden producirse instantáneamente o bien con el paso del
tiempo, los llamados asientos de consolidación. El modelo elástico proporciona
soluciones para una gran variedad de problemas, y si bien el comportamiento del
terreno no es generalmente elástico, hoy día se dispone de una amplia experiencia
respecto al uso y limitaciones.
Para el cálculo de las deformaciones con la teoría elástica es necesario conocer el
módulo de elasticidad o módulo de Young, E, así como el coeficiente de Poisson, γ.
Sin embargo, según el Principio de Terzaghi, “las deformaciones en suelos se deben
a la variación de las tensiones efectivas“, por lo que las ecuaciones de Hooke deben
escribirse en términos efectivos. Es decir, se deben utilizar E‘ y γ‘, obtenidos en
condiciones drenadas del suelo, es decir, a largo plazo. Este método sería válido
para cargas de servicio o de trabajo, alejadas de la carga de rotura (factor de
seguridad del orden de 3), que probablemente generen asientos elásticos. El
método elástico será tanto más aceptable cuanto más se asemeja el
comportamiento del suelo al del sólido lineal-elástico, como es el caso de los suelos
granulares o las arcillas fuertemente sobreconsolidadas, bajo presiones normales de
cimentación.
En las Tablas D.23 y D.24 del Código Técnico de Edificación se recogen valores
orientativos de los módulos de elasticidad E‘ y del coeficiente de Poisson γ‘. En
algunos casos no es posible trabajar con tensiones efectivas, por lo que en
Geotecnia se hace en totales, utilizando unos parámetros elásticos en totales o
aparentes.
8. Como un suelo saturado responde a corto plazo sin variar su volumen, ello supone
un coeficiente de Poisson de 0,5 trabajando en tensiones totales. En ese caso se
utiliza un módulo de elasticidad Eu denominado “módulo de elasticidad sin drenaje“.
Este módulo es de difícil determinación, aunque se suele considerar Eu = 500·Cu,
pero con errores del orden del 50%. Skempton recomienda adoptar como Eu el
módulo secante correspondiente a una tensión aplicada igual al 65% de la tensión
de rotura (coeficiente de seguridad F=3 en cimentaciones superficiales). Como los
esfuerzos cortantes son iguales en tensiones totales o en efectivas, los módulos de
rigidez G coincidirán, lo cual permite deducir Eu conocidos E‘ y γ‘ con la siguiente
expresión:
Llegado a este punto, ¿cómo calculamos las deformaciones verticales al aplicar una
carga sobre el terreno? Llamaremos “asientos” a dicha deformación vertical,
distinguiéndose los “asientos instantáneos” los que ocurren a corto plazo, es decir,
en condiciones sin drenaje. A ellos habría que sumar los asientos a largo plazo, en
condiciones de drenaje, que son los “asientos de consolidación“. Por tanto, los
asientos totales se calcularán con E‘ y γ‘ (condiciones drenadas, a largo plazo) y los
asientos instantáneos con Eu y con γ = 0,5. La diferencia serán los asientos
diferidos (semejantes a los de consolidación). Veamos ahora los cálculos.
9. Para cargas flexibles con forma circular, cuadrada o rectangular, el asiento bajo
el centro de las mismas se obtiene con la siguiente expresión:
En la que B es el lado menor del área cargada y IS es un coeficiente de influencia
que vale IS =1 en cargas circulares y IS =1,122 en cargas cuadradas. Para cargas
rectangulares se puede obtener el asiento en una esquina con la fórmula anterior
pero adoptando un coeficiente de influencia que viene dado por esta expresión,
donde n=L/B:
El Cuadro 1 y la Figura 1 nos dan valores para este coeficiente de influencia.
10. 6. Solucion grafica de Newmark, en qué consiste su método
Fórmula General
Newmark, Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los
incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussinesq, en
medio semi infinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación:
Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga
circular uniformemente distribuida Considerando una profundidad unitaria z, y
determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%.
11. Radios de la carta de Newmark.
En función del porcentaje de esfuerzo Con lo que se puede elaborar una carta de
acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en
sectores más pequeños (en este caso a través de familias de rectas que pasan por
el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno
de los sectores: valor de influencia.
12. 7. Gráficas de Fadum
Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite
obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de
Boussineq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las
ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros
Expresándose la fórmula para una carga lineal:
13. 8. Esfuerzos bajo diferentes condiciones de carga
El problema de transmisión de esfuerzos al continuo semi infinito, homogéneo,
isótropo y lineal elástico, provocado por cargas superficiales obedientes a diferentes
leyes de distribución de interés práctico.
CARGA LINEAL DE LONGITUD INFINITA
Corresponde a la influencia de una carga lineal de longitud finita, y, esta magnitud
crece hasta ser mucho mayor que las x y z que intervengan en el caso, su valor
podrá considerarse como (+∞) y en tal situación el valor tiene por límite.
Que corresponde al esfuerzo en un punto situado en el plano normal a la línea de
carga, trazado por su extremo, extendiéndose la línea infinitamente desde el punto
origen de coordenadas, en la dirección del eje Y, hacia (+∞) (carga semiinfinita).
ÁREA CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARGADA
Este caso ya ha sido tratado en el punto anterior, pero únicamente para encontrar
los esfuerzos verticales a lo largo de una normal al área trazada por su centro. L.
Jurgenson presenta una solución más general, que permite calcular los esfuerzos
verticales y los cortantes máximos en cualquier punto del medio semi infinito.
14. CARGA RECTANGULAR DE LONGITUD INFINITA
En este caso, ha sido resuelto por Terzaghi y Carothers quienes dieron las fórmulas
que proporcionan distintos esfuerzos.
Estas fórmulas son:
Los esfuerzos principales y el cortante están dados por:
CARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA (TRIÁNGULO ISÓSCELES).
La solución para este caso fue propuesta por Carothers.
Las expresiones son:
15. CARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA (TRIANGULO ESCALENO)
También Carothers dio la solución para este caso con las formula:
CARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA (TRIANGULO RECTÁNGULO)
Este importante caso práctico fue resuelto por Hamilton Grey, quien dio para los
esfuerzos fórmulas que se incluyen a continuación:
16. CARGA TRAPECIAL DE LONGITUD INFINITA
El problema también resuelto por Carothers tiene, según las siguientes soluciones:
17. PLANO SEMI INFINITO UNIFORMEMENTE CARGADO
Los esfuerzos principales en los distintos puntos del continuo del suelo están dados
por:
PLANO SEMI INFINITO, UNIFORMEMENTE CARGADO, CON TALUD
Las siguientes ecuaciones responden a la solución planteado por Carothers:
PLANO INFINITO UNIFORMEMENTE CARGADO CON FAJA TRAPECIAL
DESCARGADA DE LONGITUD INFINITA
Los esfuerzos en cualquier punto de la masa de suelo en este caso pueden
resolverse con las siguientes ecuaciones.
18. 9. Método 2:1 para distribución de esfuerzos.
Método 2:1. Este permite hallar el incremento de esfuerzos verticales a una cierta
profundidad situada debajo del centro de un área uniformemente cargada. Este
método consiste en dibujar superficies inclinadas descendentes a partir del borde
del área cargada, como se muestra en la Figura. Tales superficies tienen una
pendiente de 1 horizontal a 2 vertical.
Para calcular el incremento de esfuerzos Dsv a una profundidad z debajo el área
cargada, simplemente basta con dibujar una superficie horizontal plana a esa
profundidad y calcular el área del plano ubicado dentro de estas superficies
inclinadas, dividiendo luego la carga total aplicada P por el área
calculada.
Cuando el área uniformemente cargada es un área rectangular de dimensiones B x
L; Fig., el método 2:1 presenta la siguiente ecuación para el cálculo del incremento
de esfuerzo vertical a una profundidad z:
Donde:
Dsv = Incremento de esfuerzo vertical
q = Carga aplicada por unidad de área
B = Ancho del área rectangular
L = Largo del área rectangular
19. 10. Teoría de Westergaard.
Westergaard publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta más a las
condiciones elásticas de suelos estratificados.
Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por láminas
horizontales, proponiendo la siguiente fórmula para determinar el incremento de
esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del
suelo.
Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de
esfuerzo que se toma con Boussinesq.
Incremento de esfuerzo vertical en una partícula de suelo, producto de una carga
puntual.
20. 11. Teoría de Burmister.
Burmister estudió el problema de la distribución de esfuerzos y desplazamientos en
un sistema formado por dos capas, homogéneas, isótropas y elásticas, la primera
capa horizontal de longitud infinita y de espesor h (finito), la segunda subyacente y
semi-infinita. Se considera una frontera plana entre dos capas, de contacto continuo
y rugoso.
Los estudios están enfocados al diseño de pavimentos en los cuales el módulo de
elasticidad de la capa superior (E1) es mayor que el de la capa subyacente (E2), de
estudio el caso de interés práctico, con la aplicación al diseño de pavimentos, en el
cual E1>E2.
Se muestran las curvas de influencia de carga superficial, supuesta circular y
uniformemente distribuida, en lo referente a los esfuerzos verticales bajo el centro
del área cargada, suponiendo que el radio del círculo de carga es igual al espesor
de la capa.
Las curvas mostradas se refieren a distintas relaciones E1/E2 en materiales cuya
relación de Poisson se fijó en el valor 0.5 para ambas capas.
Puede notarse que la frontera para el caso E1/E2=1, que corresponde al problema
de Boussinesq ya tratado, el esfuerzo vertical es el 70% de la presión aplicada en la
superficie en tanto que, si E1/E2 se considera de 100, dicho valor se reduce a sólo
un 10% de la presión superficial.
21. En la sig fig. Se muestran las curvas de influencia distribuida de la carga superficial,
supuesta, circular y uniformemente distribuida.
22. 12. Teoría de Frolich.
a) Cargas verticales
La distribución de esfuerzos verticales en la masa de suelo debido a cargas
aplicadas en la superficie se puede calcular por medio de la siguiente expresión
para una carga concentrada Q en la superficie, según Fröhlich (1942)
Aquí X, es el factor de distribución de esfuerzos de Fröhlich. Dicho factor depende
de las condiciones estratigráficas y mecánicas de compresibilidad del suelo:X = 1.5,
Aproximadamente la solución de Westergaard para un suelo fuertemente
estratificado reforzado por estratos horizontales múltiples e indeformables, V=0
X = 2, suelo estratificado, con estratos de diferentes deforma bilidades. X = 3,
solución de Boussinesq, suelo homogéneo e isótropo.
X = 4, suelo homogéneo en que la compresibilidad se reduce con la profundidad,
como en el caso de las arenas.
23. 13. Conclusiones de todos estos trabajos de todos estos
investigadores sobre la teoría de distribución de esfuerzos.
Boussinesq se centra principalmente en la dinámica de fluidos e hidráulica. Sus
obras académicas y contribuciones científicas revolucionaron la comprensión de
estos campos, estableciendo nuevas bases teóricas y formulaciones matemáticas
que siguen siendo relevantes en la actualidad. La teoría de la distribución de
esfuerzos, desarrollada por Boussinesq, es un concepto fundamental en la
mecánica de suelos y la ingeniería geotécnica. Tiempo después otros físicos
hicieron aportaciones para mejorar la teoría de distribución de esfuerzos.
Newmark, desarrolla una sencilla aplicación gráfica que permite obtener esfuerzos
verticales rápidamente en una semi-infinito, homogéneo, isótropo y elástico medio.
Este método es útil en aplicaciones de diferentes presiones a la superficie del
medio.
Método 2:1 es un método sencillo para determinar la presión, en que la carga es
distribuida bajo una pendiente de dos veces la altura por una vez la base, y la
máxima presión se estima 1.5 veces la anterior.
La teoría de Westergaard se ajusta a las condiciones elásticas en una masa de
suelo estabilizada. Sugiere un suelo homogéneo, elástico, reforzado, sin líneas
horizontales deformables ni partículas deformables. La fórmula calcula el esfuerzo
vertical incrementado por una carga concentrada sobre una superficie compresible.
Ambas ecuaciones se pueden utilizar para calcular incrementos de esfuerzo.
Burmister estudió el problema de distribución de esfuerzos y desplazamientos en
un sistema no homogéneo formado por dos capas, cada una elástica, isótropa y
linealmente elástica. Se supone un contacto continuo entre las dos capas, y las
curvas de influencia de la carga superficial son supuestamente circulares y
uniformemente distribuidas, relacionales a distintas relaciones en materiales con
una relación de Poisson en el valor 0.5.
Fadum aportó su conocimiento de tal manera que al desarrollar el método gráfico
permitió obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo.
