Columnas esbeltas euler parte 1

PROYECTOS DE ACERO
PANDEO
ING. WILLIAM LOPEZ
1
RECOPILACION HECHA POR:
ING. JOSUE A. ECHENAGUCIA

PANDEO
INTRODUCCIÓN
En esta guía se va a estudiar el tema de la
pandeo. Un principio de Resistencia de Materiales
es que un material debe tener:
a) Resistencia
b) Rigidez
c) Estabilidad
Si tomamos un cilindro de concreto de 15 cm de
diámetro y 30 cm de altura (típica probeta de
laboratorio), y lo ensayamos en una prensa, se
demuestra fácilmente que tiene RESISTENCIA,
pues resiste entre 40.000 y 80.000 kg de Carga
Axial antes de fallar, dependiendo de la calidad
del concreto; falla por aplastamiento. 2
ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
INTRODUCCIÓN
Por otro lado, si hacemos un cilindro del mismo
diámetro pero con una altura de 3.00 metros, mucho
antes de que pueda fallar por exceso de compresión
se flexara lateralmente y fallara.
A este tipo de falla se le conoce como PANDEO y
ocurre súbitamente. Falla por falta de ESTABILIDAD
y no por falta de resistencia. Por ser excesiva su
ESBELTEZ, carece de la RIGIDEZ necesaria. Una
medida de la esbeltez es la relación longitud
(Altura/diámetro) o llamada también dimensión
lateral:
L/D= 30 cm/ 15 cm = 2 (Cilindro de ensayo)
L/D = 300 cm/ 15 cm = 20 (Columna esbelta)
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ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
INTRODUCCIÓN
El fenómeno de PANDEO ocurre solamente cuando
hay COMPRESION. Por el contrario, cuando hay
TRACCION la pieza falla por falta de resistencia, no
por falta de estabilidad, o sea por pandeo. En el caso
de las estructuras de acero la esbeltez “necesaria”
para que resulten económicas hace que el pandeo
sea sumamente critico. No solamente las columnas
de acero, o sea los elementos a compresión, fallan
por pandeo, también las vigas pueden fallar por
pandeo de sus fibras sometidas a compresión al
estar la sección sometida a flexión, como veremos
mas adelante.
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ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
CONCEPTOS
El PANDEO puede ser definido así: Proceso por el
cual una Estructura (o parte de ella) cambia de un
estado deflectado a otro sin que se produzca
NINGUNA MODIFICACION de la carga aplicada. A
continuación manejaremos el concepto de
EQUILIBRIO, donde para tratar de aclarar,
tomaremos ilustraciones representativas con los
siguientes casos:
a) Equilibrio Estable
b) Equilibrio Inestable
c) Equilibrio Neutro
5ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
CONCEPTOS
Suponemos en los tres casos una esfera la cual se
encuentra inicialmente en equilibrio perfecto para luego
dejarle libre sometida a una carga.
a) Equilibrio Estable: ejemplo el caso de una viga que se
flecta bajo una carga aplicada pero regresa a su posición
al retirar la carga
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ING. WILLIAM LOPEZ
OSCILA
SUPERFICIE CONCAVA

PANDEO
CONCEPTOS
b) Equilibrio Inestable: ejemplo el caso de una columna
articulada en la base y libre en su parte superior, si es
empujada por una carga cualquiera se cae y no se
recupera.
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ING. WILLIAM LOPEZ
CAE
SUPERFICIE CONVEXA

PANDEO
CONCEPTOS
c) Equilibrio Neutro: ese considera un equilibrio neutral o
NEUTRO, una columna articulada arriba y abajo que es
cargada axialmente; y se flexara ligeramente pero sin
caer. (Mantiene el equilibrio pero toma una nueva
posición).
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ING. WILLIAM LOPEZ
SUPERFICIE PLANA

PANDEO
COLUMNAS
Una COLUMNA puede ser definida como un elemento
sometido a COMPRESION que es tan esbelto que al
recibir carga cada vez mayor fallara por PANDEO
mucho antes de que falle por aplastamiento.
Las columnas pueden ser clasificadas en tres grupos
según su comportamiento:
1) Columnas Largas: Fallan por pandeo o flecha lateral
excesiva
2) Columnas Intermedias: Fallan por una combinación
de aplastamiento y pandeo
3) Columnas Cortas: Fallan por aplastamiento (exceso
de compresión)
9ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
COLUMNAS
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ING. WILLIAM LOPEZ
P
P
eACCIDENTAL
EJE REAL DEBIDO A LA DEFORMACION
INICIAL
EXCENTRICIDAD DE P EN ESTA SECCION
EJE NEUTRO
Figura 1. Excentricidad de la carga en las columnas

PANDEO
COLUMNAS
Por definición la columna ideal es aquella que
reúne las siguientes características: es
homogénea, su sección es constante,
inicialmente recta (al empezar a aplicarle carga
axial). En la realidad las columnas tienen
pequeños defectos de fabricación y existen
excentricidades “accidentales” que resultan de
una combinación de FLEXION y CARGA AXIAL
de magnitud indeterminada tal y como
podemos observar en la figura siguiente.
11ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
COLUMNAS
12
ING. WILLIAM LOPEZ
Figura 2. Flexo-Compresión
P
P2
eACCIDENTAL
a
EJE NEUTRO
P1
c
M= P*e
fa= P/A
P
a
ff= P*e*(c)/I
ff + fa

PANDEO
COLUMNAS
Si la “e” es muy pequeña y la columna es corta, la
deflexión lateral será mínima y el esfuerzo de flexión
despreciable; en cambio, en un elemento largo y por lo
tanto flexible, un valor no muy alto de P puede causar
un esfuerzo grande de flexión acompañado por un
pequeño esfuerzo de compresión axial; dicho de otra
forma, una columna corta recibe principalmente
compresión y una columna larga básicamente
esfuerzos de flexión. A medida que la longitud de la
columna aumenta disminuye la importancia del
esfuerzo de compresión y aumenta la de los esfuerzos
de flexión.
13ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
COLUMNAS - CARGA CRITICA
Tomando como ejemplo el caso de una viga
colocada verticalmente con los extremos
articulados de manera que pueda flexarse en
cualquier sentido, si le aplicamos una carga H, se
flexara tal como podemos observar en la figura 3a.
Si después le aplicamos gradualmente una fuerza
P como en la figura 3b., no habrá ningún cambio
de esfuerzo si al mismo tiempo que aumenta P
vamos disminuyendo H para que la deflexión o
flecha δ permanezca igual (el esfuerzo es
directamente proporcional a la flecha o
deformación).
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ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
COLUMNAS - CARGA CRITICA
El Momento Flector en el centro del tramo L será:
M=(H/2)*(L/2) + P*δ. Cuando H = 0, Mcr= Pcr* δ, es
decir que Pcr es la “carga critica” necesaria para
mantener la columna en su posición deflectada sin
ningún empuje lateral. Cualquier aumento de P por
encima de dicho valor Pcr hará aumentar la flecha, lo
que aumentara el momento, lo que a su vez
incrementara δ, etc. Hasta que la columna falla por
pandeo. La CARGA CRITICA es, pues, la máxima
carga axial bajo la cual una columna permanece recta
pero en una condición tan inestable que un pequeño
empuje lateral la hará flexar como se ve en la figura 3-
(c). 15
ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
COLUMNAS
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ING. WILLIAM LOPEZ
Figura 3. Viga y Columna con igual Flecha
P
H
L
P
L/2
L/2
δ
H/2
H/2
(a)
P
H
L
P
L/2
L/2
δ
H/2
H/2
(b)
Pcr
Pcr
δ
(c)

PANDEO
COLUMNAS – FORMULA DE EULER
Leonhard Euler fue un
matemático suizo, quien
en 1.757 analizo la
carga critica para
columnas largas,
basándose en la
columna bi-articulada
deformada pero en
EQUILIBRIO NEUTRO
de la figura 4.
17
ING. WILLIAM LOPEZ
Figura 4: Columna de Euler
y
P
L
P
δ
P
y
P
x
y
M= P*y

PANDEO
Según el análisis de EULER, basado en la 2da
derivada de la elástica:
E*Iy” = - M o E*I d2 x/d x2 = - M
se llega a la expresión donde
P (Carga critica o Carga de Euler)
n ( numero de veces que se forma la sinuosidad)
P = n2*E*I*π2/L2
Esta formula es valida para columnas bi-articuladas, es
decir libres de rotar arriba y abajo. Para otras
condiciones de apoyo varia la carga critica. Todos lo
casos están contemplados en la Norma COVENIN
pagina C-60. 18
ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
Resumiremos los casos con que estaremos trabajando
durante el desarrollo de esta guía:
19
ING. WILLIAM LOPEZ
P
L
P
δ
1er.Caso
P
L
P
δ
2do.Caso
P= E*I*∏2/L2
Cuando n= 1; siendo
su formula general
P= n2*E*I*∏2/L2
P= 4*E*I*∏2/L2
Donde K= 0,5; siendo
su formula general
P= E*I*∏2/(0,5L)2
O sea que Le= 0,5L
Mo
Mo

PANDEO
Resumiremos los casos con que estaremos trabajando
durante el desarrollo de esta guía:
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ING. WILLIAM LOPEZ
P
L
P
δ
4to.Caso3er.Caso
L
P
P
δ
P= E*I*∏2/4L2
Donde k= 2; siendo
su formula general
P= E*I*∏2/(2L)2
P= 2,05*E*I*∏/L2
Donde K= 0,7; siendo
su formula general
P= E*I*∏2/(0,7L)2
O sea que Le= 0,7L
Mo/L
Mo
M=P*δ
Mo/L

PANDEO
Limitaciones de la Formula de Euler:
Es muy importante tomar en cuenta que la formula de
Euler es valida solamente hasta el Limite de
Proporcionalidad del acero. También es fundamental
estar conscientes de que una columna pandea en la
dirección en que es mas débil, por lo cual el valor de “I”
que se debe tomar es el mas bajo. La formula
demuestra que la CRAGA CRITICA no depende de la
resistencia del acero sino de su modulo de elasticidad
E y de las dimensiones de la columna. Para que sea
valida la formula de Euler, el esfuerzo durante el
pandeo no debe sobrepasar el Limite de
Proporcionalidad del Acero. 21
ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
La Relación L/r Limite:
Se puede calcular fácilmente para cualquier material
del cual se conozca el limite de proporcionalidad y el E.
Por ejemplo, para un acero con Limite de
Proporcionalidad L.P = 1.400 Kg/cm2 y E= 2.1x106 kg/cm2.
(L/r)2 = 2.100.000*π2/ 1.400 = 14.804
L/r = 121,7 aproximadamente 120
Esto nos indica que la ecuación de Euler puede ser
usada para calcular Pcr de una columna bi-articulada
solo si L/r ≥ 120 pues si L/r < 120 el esfuerzo critico
puede presentarse antes de que pueda ocurrir el
pandeo en cuyo caso la ecuación “NO” es aplicable. 22
ING. WILLIAM LOPEZ

PANDEO
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ING. WILLIAM LOPEZ
Curva de Euler: (P/A) = E*π2/(L/r)2
L.P
120 L/r
f =P/A
Figura 5:Esfuerzo Critico (Vale solo para la línea Solida)

PANDEO
BIBLIOGRAFIA:
 Norma Venezolana COVENIN 1618-82: Estructuras de
Acero para Edificaciones, Proyectos, fabricación y
construcción.
 “Specification for the Design, Fabrication and Erection
of Structural Steel for Buildings” del American Institute
of Steel Construction (AISC).
 “Strength of Materials” (Resistencia de Materiales) de
Ferdinand L. Singer.
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