segundía guía de cálculo

1. UNIVERSIDAD AUTONOMA
FACULTAD DE CS. EMPRESARIALES
CALCULO I
Profesor: Gustavo Benavente K. Ayudante: Darío Guerrero
Guía 2. Factorial y Sumatoria
Factorial y Combinatoria
El factorial de un número natural es el producto de los “n” factores
consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.
n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ( n − 2 )( n − 3)... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
0! = 1
Calcule los siguientes factoriales:
1) 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 12
2) 10!−6! = 6!( 7 * 8 * 9 * 10 − 1) = 720( 5040 − 1) = 720( 5039 ) = 3628080
n
La expresión   se denomina número combinatorio y se lee “n sobre k”. Una regla
k 
 
sencilla que permite calcular este número combinatorio es:
n n!
Cn =   =
k
 k  k!( n − k )!
 
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas numeradas en cualquier orden,
de una bolsa que contiene 5 bolas?
Serían combinaciones de 5 elementos de los que sacamos 3, es decir, tenemos
5 5!
que calcular: C 5 =   =
 3  3!( 5 − 3)! = 10
3
 
Ejercicio Resuelto
 x  x
3  = 5 
 4  2
   
x! x!
3⋅ =5⋅
4 !( x − 4) ! 2 ! ( x − 2) !

2. 3 x( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ! 5 x( x − 1)( x − 2 ) !
=
4 ⋅ 3 ⋅ 2!( x − 4 ) ! 2 ! ( x − 2) !
Simplificamos factoriales y coeficientes numéricos y nos queda:
x( x − 1)( x − 2 )( x − 3) = 20 x( x − 1)
Eliminamos los factores: x( x − 1)
( x − 2)( x − 3) = 20
x 2 − 5 x − 14 = 0 → ( x − 7 )( x + 2 ) = 0
Las soluciones son x= -2 (eliminada por ser negativa) y x=7 que es la buena.
Ejercicio Propuesto
1. Calcule las siguientes factoriales:
6 6! 8!
a )  =
 4 R = 30 b) = R = 60 c) = R = 56
  3!⋅2! 5!⋅3!
2. Determine el valor de n si:
n n n n
a )  = 28 R = 8
2 b)  = 3
2 R =3 c)  = 2 
5  2 R =8
       
 2n   n 
b)  :   = 44 : 3
3   2  R =6
   
3. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse
para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
4. Simplifica las siguientes expresiones:
6! 7! 10! 9!⋅4!
a) = b) = c) = d) =
3! 8! 6!⋅5! 12!
8!⋅3! 7!⋅5!⋅9!
e) = f) =
7!⋅4 3!⋅10!⋅8!

3. Sumatoria
n
n( n + 1) Propiedad 5:
Propiedad 1: ∑i = n
1
i =1
n
2
∑ i( i + 1) = 3 n( n + 1)( n + 2)
i =1
Propiedad 2: ∑ 2i = n( n + 1)  n( n + 1) 
n 2
i =1
Propiedad 6: ∑i =  3

n
 2 
Propiedad 3: ∑ ( 2i − 1) = n
i =1
2
Propiedad 7:
i =1
n( n + 1)( 2n + 1)
n
∑ k = k ·n → k ≡ cons tan te
n
Propiedad 4: ∑ i =
2
i =1 6 i =1
Ejercicios Resueltos
6
1 1 1 1 1 1 1 60 + 30 + 20 + 15 + 12 + 10 147
1. ∑ i =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
i =1 60
=
60
10
 10·11 
2. ∑ (8i + 9) =8·
i =1  2 
 + 9·10 ≡ 8·5·11 + 90 ≡ 440 + 90 ≡ 530
12 12
12 ⋅ 13 ⋅ 25 
3. ∑ (i − 1) 2 =∑ i 2 − 2i + 1 = 
 6  − [12 ⋅ 13] + 12 = 650 − 156 + 12 = 506

i =1 i =1
Ejercicios Propuestos
1. Efectuar las siguientes sumas.