Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Área ciencia de la Salud
Programa de Ingenierı́a Biomédica
Unidad Curricular: Calculo Numérico
Lapso Acádemico 2019- I
PROYECTO DEL TOPICO SOLUCIÓN
NUMÉRICA DE E.D.O. CON P.V.I.
Santa Ana de Coro; Enero 2020
Lcdo. Jaime Morales

2. OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
1. Modelar y formular matemáticamente el problema planteado donde interviene una ecuación diferen-
cial ordinaria con problemas de valor inicial.
2. Conocer e identificar la solución analı́tica de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden para
luego evaluar en un intervalo determinado.
3. Aproximar la solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria con problemas de valor inicial
y posteriormente evaluar los resultados en el intervalo dado en la parte anterior.
4. Comparar y analizar cualitativamente los resultados obtenidos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, Trigonometrı́a básica,manejo de cal-
culadora,Geometrı́a y manipulación algebraica.
MODALIDAD DE TRABAJO:
Interacción docente - alumno, Instancia Grupal.
RECURSOS UTILIZADOS:
Material digital y Textos. (Recomendado por el docente).
EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES:
Actividad Grupal 15 % de la unidad.
Lcdo. Jaime Morales

3. INTRODUCCION
Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función especı́fica de la variable independiente
y de sus parámetros que satisfacen la ecuación diferencial original. Con frecuencia se nos presenta problemas
en los que se quiere hallar una solución y(t) de una ecuación diferencial de tal forma y(t) que satisface
dichas condiciones. El problema que se quiere resolver se conoce como problema de valor inicial (P.V.I),
esto es:
Resolver: y0
= f(t, y)
Sujeto a: y(t0) = α
Donde: t0 6 t 6 tn
A continuación se ilustrara un problema P.V.I donde hallará la solución analı́tica.
PRUEBA DE VALORES CON LA SOLUCIÓN ANALITICA
Consideremos el siguiente problema
Resolver:
dy
dt
= −6ty
Sujeto a: y(t0) = 7
Donde: 0 6 t 6 1
Del curso de matemática IV se tiene que si una ecuación diferencial de la forma
dy
dt
= g(t)φ(y) =
g(t)
f(y)
(1).
En donde φ(y) = 1/f(y), En este caso, las variables pueden ser separadas (aisladas en miembros
opuestos de una ecuación) escribiendo de modo informal la ecuación diferencial.
f(y)dy = g(t)dt
,
que se entiende que es la notación compacta de la ecuación diferencial
f(y)
dy
dt
= g(t) (2)
.
Es fácil resolver este tipo especial de ecuaciones diferenciales simplementes integrando ambos miembros
con respecto a x;
Z
f(y(t))
dy
dt
=
Z
g(t)dt + C
más concisamente,
Z
f(y)dy =
Z
g(t)dt + C (3)
Lo único que se requiere es que las antiderivada F(y) =
R
f(y)dy y G(t) =
R
g(t)dt puedan calcularse.
Para ver (2) y (3) son equivalente, observe la siguiente consecuencia de la regla de la cadena:
Lcdo. Jaime Morales

4. DxF(y(t)) = F0
(y(t))y0
(t) = f(y)
dy
dt
= g(t) = DxG(t)
que a su vez es equivalente a
F(y(t)) = G(t) + C
puesto que dos funciones tienen la misma derivada en un intervalo si y sólo si difieren por una constante.
Ası́, la solución analı́tica para el problema planteado es:
De una manera informalmente, dividimos cada lado de la ecuación diferencial por y y multiplicamos
cada lado por dt para obtener.
dy
y
= −6tdt
.
Por consiguiente
Z
dy
y
=
Z
(−6t)dt
;
ln |y| = −3t2
+ C
Vemos a partir de la condición inicial y(0) = 7 que y(t) es positiva cerca de t = 0, por lo cual podemos
despreciar los simbolos absolutos de valor.
ln y = −3t2
+ C
y por consiguiente
y(t) = e−3t2
+ C = e−3t2
ec
= Ae−3t2
donde A = ec
. La condición y(0) = 7 da como resultado que A = 7. de modo que la solución deseada
es.
y(t) = 7e−3t2
.
Valores para en el intervalo [0, 1].
ti 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(ti) 7.0 6.79312 6.20844 5.34366 4.33148 3.30657 2.37717 1.60948 1.02625 0.61626 0.34851
Cuadro 1: Valores obtenido de la función análitica.
Lcdo. Jaime Morales

5. En la práctica no es posible resolver la mayorı́a de las ecuaciones diferenciales, por esta razón, para
que las ecuaciones diferenciales puedan tener un valor práctico es necesario ver de qué manera se pueden
obtener una aproximación a la solución y(t).
El primer intento que haremos para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es a través del método
de Euler el cual se plantea en la siguiente formula:
Resolver: wi+1 = wi + f(ti, wi)h
Sujeto a: w0 = α
Donde wi es una aproximación a la solución y(ti).
Tamaño del paso: h = b−a
n
número de interaciones: n = b−a
h
n Es el número de partición del intervalo [a, b] con i = 0, 1, 2, 3, ...n .
ti = a + i.h
SOLUCION NUMERICA
Planteamiento del problema:

















Resolver:
dy
dt
= −6ty
Sujeto a: y(0) = 7
Tamaño del paso: h = 0.1
Número de interaciones: 10
Intervalo de estudio: 0 6 t 6 1
Función análitica:y(t) = 7e−3t2
Mediante la ecuación anterior:
Resolver: wi+1 = wi + f(ti, wi)h
Sujeto a: w0 = α
Podemo realizar la siguiente sustitución para el problema planteado:
Resolver: wi+1 = wi + (−6tiwi)0.1
Sujeto a: w0 = 7
Obteniendose la siguiente tabla:
ti 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
wi 7.0 7.0 6.58 5.7904 4.74813 3.60858 2.526 1.61664 0.93765 0.48758 0.22429
Cuadro 2: Valores obtenido de la función objetivo.
observa la siguiente tabla donde se realiza una comparación del cuadro 1 y 2 en los ti de estudio.
ti 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(ti) 7.0 6.79312 6.20844 5.34366 4.33148 3.30657 2.37717 1.60948 1.02625 0.61626 0.34851
wi 7.0 7.0 6.58 5.7904 4.74813 3.60858 2.526 1.61664 0.93765 0.48758 0.22429
Cuadro 3: cuadro comparativo de y(t) y wi.
El segundo intento que haremos para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales es a través del
método de Rugen Kutta el cual se plantea en la siguiente formula:
Lcdo. Jaime Morales

6. Resolver: wi+1 = wi +
h
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Donde:
k1 = f(ti, wi)
k2 = f(ti + h
2
, wi + h
2
k1)
k3 = f(ti + h
2
, wi + h
2
k2)
k4 = f(ti + h, wi + hk3)
Sujeto a: w0 = α
Es decir que wi es una aproximación a la solución y(ti).
Tamaño del paso: h = b−a
n
número de interaciones: n = b−a
h
n Es el número de partición del intervalo [a, b] con i = 0, 1, 2, 3, ...n .
ti = a + i.h
SOLUCION NUMERICA
Planteamiento del problema:

















Resolver:
dy
dt
= −6ty
Sujeto a: y(0) = 7
Tamaño del paso: h = 0.1
Número de interaciones: 10
Intervalo de estudio: 0 6 t 6 1
Función análitica:y(t) = 7e−3t2
Mediante la ecuación anterior:
Resolver: wi+1 = wi +
h
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Sujeto a: w0 = α
Se procede a realizar las sustituciones pertinentes
Obteniendose la siguiente tabla:
ti 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
wi 7.0 6.79312 6.20844 5.34315 4.33149 3.30661 2.37729 1.60971 1.02662 0.61674 0.34906
Cuadro 4: Valores obtenido de la función objetivo.
observa la siguiente tabla donde se realiza una comparación del cuadro 1 y 2 en los ti de estudio.
ti 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y(ti) 7.0 6.79312 6.20844 5.34366 4.33148 3.30657 2.37717 1.60948 1.02625 0.61626 0.34851
wi 7.0 6.79312 6.20844 5.34315 4.33149 3.30661 2.37729 1.60971 1.02662 0.61674 0.34906
Cuadro 5: cuadro comparativo de y(t) y wi.
En la actividad se le pedirá que trabaje con ambos métodos.
Lcdo. Jaime Morales

7. INSTRUCCIONES GENERALES:
Lea detenidamente e interprete correctamente cada una de las partes del problema.
El proyecto será realizado en forma grupal con un máximo de 3 participantes.
El proyecto será entregado para el dı́a 14-06-2019 sin prorroga
Cada problema debe contener los calculo desarrollado para la obtención de la función objetivo.
Cada problema debe contener las conclusiones del resultado requerido.
Para el calculo del tamaño de paso se realizará en función de 8 interaciones.
Los ejecicios se realizaran con el método de Euler.
Los problemas se realizaran con el método de Rugen Kutta.
Para los problemas no es necesario hallar la analı́tica
Debe colocar los resultados obtenidos en tabla.
Lcdo. Jaime Morales

8. EJERCICIOS
a)























dy
dt
=
t −
p
arctan(3t)
1 + 9t2
y(0) = 5
Intervalo de estudio 0 ≤ t ≤ 1
N = 8 (Interaciones)
Exacta: y(t) = 1
8
ln(1 + 9t2
) − 2
9
(arctan(3t))3/2
+ 5
b)























dy
dt
=
sec2
(4t)
1 + tan(4t)
y(0) = 2
Intervalo de estudio 0 ≤ t ≤ 2
h = 1/8
Exacta: y(t) = 1
4
ln(1 + tan(4t)) + 2
PROBLEMAS
Nota: En los problemas deben realizar 8 interaciones
1) Un ambulatorio posee un tanque que contiene agua pura, el cual tiene la forma de cono truncado de
400 cm de altura cuyo radio mayor es de 150 cm, radio menor 100 cm. Debido a un pequeño orificio
situado en el fondo del tanque de 2 pulgadas cuadradas de área se presenta un escape. Si el tanque esta
inicialmente lleno (100 %) de su capacidad.
Nota: Cuidado con las conversiones de las unidades
Se debe trabajar con 5 decimales.
El administrador del ambuatorio necesita determinar el volumen de agua aproxı́mado en el tanque
transcurrido 48 minutos para tomar las previsiones .
R = 150 cm
r = 100 cm
400 cm
Lcdo. Jaime Morales

9. 2) Una clinica posee un tanque, el cual tiene forma trapezoidar con una longitud de 12 metros de largo
y tiene por extremos dos trapecios de 6 metros de altura (H) y bases de 6 metros y 10 metros, el
tanque está completamente lleno de agua. En ese momento se abre un agujero circular de 1 pulgada de
diámetro en el fondo del tanque.
Nota: Cuidado con las conversiones de las unidades
Se debe trabajar con 5 decimales.
El administrador de la clinica necesita determinar el volumen de agua aproxı́mado en el tanque
transcurrido 1.480 minutos para tomar las previsiones .
12
10
6
6
a
H = 6
h
6
10
3) Un tanque contiene inicialmente 1300 galones de agua fresca. Fluye hacia el tanque agua que contiene
1 libra de sal por galón a una velocidad de 14 gal/min y se permite que salga la mezcla con la misma
rapidez.
El proceso se detiene a los 60 minutos.
¿Cuánta sal contiene el tanque en t5 y t8
Entrada 14 gal/min
Salida 14 gal/min
Volúmen 1300 galones de agua
4) Un tanque con una capacidad de 1200 galones (gal) contiene inicialmente 90 lb de sal disuelta en 700 gal
de agua. Hacia el tanque fluye salmuera que contiene 2 lb/gal a razón de 14 gal/min, y la mezcla fluye
hacia fuera del tanque a razón de 13 gal/min
¿Cuánta sal contiene el tanque en t4
¿Cuánta sal contiene el tanque al momento de llenarse?
Entrada 14 gal/min
Salida 13 gal/min
Volúmen 900 galones de agua
Capacidad 1200 galones
Lcdo. Jaime Morales

10. BIBLIOGRAFIA
Steve C. Chapra & Raymond P. Canale, Métodos Numéricos 7a
Edición.
Richard L. Burden & J. Duoglas Faires Análisis Numéricos 7a
Edición.
Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales 6a
Edición.
Eduardo Espinoza Ramos, Ecuaciones Diferenciales-Aplicaciones 5a
Edición;
Murray R. Spiegel, Ecuaciones Diferenciales Aplicadas 3a
Edición.
Lcdo. Jaime Morales