Baroody arthur matematica informal

EXCLUSIVAMENTE PARA USO INTERNO

ody, Arthur J. (1997) “Matemá
r
),
ática inform
mal: el pas intermedio esencial”,
so
Baroo
“Técn
nicas para contar” y “D
c
Desarrollo del número” en El pensamiento m
”,
matemático de
los niñ
ños. Un ma
arco evoluti para ma
ivo
aestros de preescolar, ciclo inicia y educac
al
ción
espec
cial, Genís Sánchez B
Barberán (t
trad.), 3ª.ed Madrid, Visor (Apr
d.,
rendizaje, 4
42),
pp. 33
3-47, 87-10 y 107-14
06
48.

1

Digitalizado por: Alfredo Téllez Carranza


Matemá
ática info
ormal:
El pa inte
aso ermedio esencia
al

¿Llegan los niños a la escue
ela con u
unos cono
ocimientos matemátic
cos
icativos? ¿Q papel ha desemp
Qué
peñado la e
experiencia concreta, e
especialmente
signifi
el con
ntar, en el desarrollo histórico del conocimiento ma
o
atemático? ¿ Cuál es la
s
natura
aleza y el alcance d la mate
de
emática na
atural de lo niños? ¿Por qué es
os
impor
rtante que lo niños do
os
ominen la m
matemática formal y cu es la me manera de
uál
ejor
a
abord la instru
dar
ucción inicia ¿Cuále son las c
al?
es
consecuenc
cias de pas por alto la
sar
o
matem
mática de lo niños?
os
A) EL CONOCI
IMIENTO M
MATEMATICO DE LO
OS
PREESCOL
LARES
Toda compre
ensión teórica de un materia debe basarse en la realidad y
na
a
d
verific
carse en la práctica. P
Para que teo y práct
oría
tica estén s
sólidamente enlazadas a
e
s,
lo larg de este libro se pres
go
sentarán diversos estu
udios de casos concre
etos. Por tan
nto,
el exa
amen de los conocimientos de lo preescol
os
lares se inicia con una mirada a un
a
caso real.
El caso de Alison
Alis
son, que co
ontaba con tres años y medio de edad, se h
hallaba cele
ebrando el
segun anivers
ndo
sario de su hermana.

PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A

Alison, ¿cuántos años hace hoy Ariann
e
ne?
[Levan dos ded
nta
dos.]
¿Cuán
ntos años ti
iene Alison?
[Levan tres ded
nta
dos.]
¿Cuán
ntos años ti
iene papá?
?
[Tras u
unos instan
ntes, levant cuatro de
ta
edos.]

2



Varias semanas más tarde se produjo la siguient conversa
s
o
te
ación
[Levan
ntando tres dedos.] ¿C
Cuántos de
edos hay?
[Va se
eñalando co un dedo mientras c
on
cuenta.] 1, 2 3.
2,
[Levan
ntando dos dedos.] ¿C
Cuántos dedos hay?
Es com Eanne [ edad de Arianne ]
mo
[la
e
¿ Cuá
ántos dedos son?
s
2.
[Saca tres moned
das.] ¿Me p
puedes decir con los de
edos cuánt
tas
moned tengo a
das
aquí?

ALISON:
A
[Levan tres ded y se po a contar.] 1, 2, 3, 4
nta
dos
one
4.
Au
unque sin perfeccionar, las aptitu
p
udes matem
máticas de esta niña preescolar ya
tienen cierta imp
n
portancia. A
Alisan es mu experta e contar co
uy
en
olecciones de uno, dos y,
s
con fr
recuencia, hasta tres o
h
objetos.
Lo cie es que hasta pued reconoc automát
erto
de
cer
ticamente c
colecciones de uno o d
s
dos
objeto como «uno» y «d
os
«
dos», respe
ectivamente. Si se le presenta un peque
e
a
eño
conjunto de obje
etos como, por ejemplo tres mon
o,
nedas, es ca
apaz de cre un mod
ear
delo
con s
sus dedos. En realidad, para A
Alison los d
dedos son un medio natural para
o
expre
esar ideas matemática (los usa
as
aba, por ej
jemplo, pa represe
ara
entar edade
es).
Adem
más, parecía escoger deliberadam
a
mente cuat dedos p
tro
para repres
sentar la ed
dad
de su padre, en una repre
u
n
esentación distinta de la emplea
e
ada para la edad de su
a
herma
ana y la suya propia Aunque de manera inexacta, pudo haber elegido un
a.
a
núme mayor para indica una com
ero
p
ar
mparación e
entre edade papá es mayor. ¿
es:
¿Es
Alison una niña preescolar típica? ¿Ll
n
legan a la e
escuela la m
mayoría de los niños c
con
técnic
cas matem
máticas bás
sicas como contar, r
o
reconocer, emparejar y compa
r
arar
conjuntos?
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P
ALISON:
A
PADRE:
P

La matemátic de Aliso se basa en exper
ca
on
a
riencias co
oncretas, co
omo contar y
emple los ded
ear
dos. ¿Qué importancia tienen es
a
stas experie
encias conc
cretas para el
a
desar
rrollo mate
emático de los niños? La ma
e
atemática de Alison tiene claras
limitac
ciones. Po ejemplo, contaba con exactitud y rec
or
conocía co
onjuntos m
muy
peque
eños, pero no conju
o
untos may
yores. ¿Cu
uáles son las limitac
ciones de la
matem
mática conc
creta de los niños? La matemát
tica de Alison es muy práctica. P
y
Por
ejemp conecta las repre
plo,
a
esentacione con los dedos con acontecim
es
mientos imp
portantes en su vida (usaba do dedos p
s
a
os
para representar la edad de su hermana) y los
emple para co
ea
omunicar s
sus ideas y necesid
dades. ¿Qu importa
ué
ancia tiene la
neces
sidad prácti para el desarrollo m
ica
matemático
o?

3



Do puntos de vista so
os
d
obre el niño preescol
o
lar
La teoría de la absorción parte del supuesto d que los n
n
de
niños llegan a la escuela
n
como pizarras en blanco sobre la que pueden escr
o
as
ribirse dire
ectamente las
matem
máticas esc
colares. Ap
parte, quizá, de alguna técnicas de contar a
as
aprendidas de
memo
oria, se con
nsidera que los preescolares car
e
recen de té
écnicas mat
temáticas. De
hecho el famos teórico a
o,
so
asociacionis E. L. T
sta
Thorndike (1
1922) cons
sideraba a los
niños pequeños tan inepto matemá
os,
áticamente hablando, que afirmaba: «Pare
ece
poco probable qu los niños aprendan aritmética antes de se
ue
s
n
egundo cur por muc
rso
cho
tiempo que se de
edique a el aunque hay mucho datos ar
llo,
os
ritméticos que se pued
den
apren
nder durante el primer curso» (p. 198). Adem
e
más, la teor de la absorción ind
ría
dica
que la técnica pa contar q tienen los niños cu
a
ara
que
uando se in
ncorporan a la escuela es
a
esenc
cialmente ir
rrelevante o constituy un obstá
ye
áculo para llegar al d
dominio de la
e
matem
mática form
mal. Con l instrucción formal, la adquis
la
sición del conocimiento
matem
mático real vuelve a partir básica
amente desde cero.
La teoría cogn
nitiva sostie que los niños no llegan a la e
ene
s
escuela com pizarras en
mo
blanco La recie
o.
ente investi
igación cog
gnitiva dem
muestra que, antes de empezar la
r
escola
arización formal, la mayoría d los niñ
f
de
ños adquie
ere unos c
conocimientos
consid
derables so
obre contar el númer y la aritm
r,
ro
mética. Ade
emás, este conocimiento
adquirido de manera inform actúa co
mal
omo fundam
mento para la compre
a
ensión y el d
dominio de las mat
temáticas im
mpartidas e la escuel En poca palabras, las raíces de
en
la.
as
las aptitudes matemáticas llegan hasta la ép
m
s
poca prees
scolar y el éxito de la
enseñ
ñanza esco se fund en este conocimiento aprend
olar
da
dido de man
nera inform
mal.
Para a
apreciar me la impo
ejor
ortancia de este eleme
ento básico, examinare
emos cómo ha
evoluc
cionado el conocimien matemá
nto
ático en el t
transcurso de la histor humana.
ria
B) BREVE HI
ISTORIA D LA MAT
DE
TEMÁTICA
Inicios concr
retos
Se
entido numé
érico básico El ser hu
o.
umano, com algunas otras esp
mo
s
pecies, pare
ece
estar dotado de un sentid numéric primitivo Podemo percibir fácilmente la
e
do
co
o.
os
e
difere
encia entre un conjunto de un elem
u
o
mento y una colección de muchos elementos o
a
s
s,
inclus entre una colección pequeña y otra gran
so
n
nde. Podem ver si s añade o se
mos
se
quita algo de una colecc
u
ción. Esta percepción directa puede ser muy útil en
n
r
determ
minadas circunstancia pero no en otras, como en e caso de distinguir u
as
el
una
banda de ocho aves de o de nue
ada
otra
eve.
Mé
étodos con
ncretos de contar. P
Para llevar la cuenta del tiempo y de s
a
sus
perten
nencias, nu
uestros ant
tepasados prehistórico idearon métodos b
os
basados en la
n

4



equiva
alencia y la correspo
ondencia b
biunívoca. La equival
lencia podía ofrecer un
registro de los días transcu
urridos, por ejemplo, d
desde el último plenilunio: añadir un
guijar cada noc hasta q la luna l
rro
che
que
llena volviera a aparec De la m
cer.
misma mane
era,
para l
llevar la cu
uenta de un colección de pieles animales, un cazado podía ta
na
s
,
or
allar
una m
muesca en un palo o un hueso por cada piel a
u
n
r
añadida al montón. Es proceso de
ste
o
equiva
alencia crea una corre
espondencia biunívoca ni más ni menos que un elemento
a:
e
del co
onjunto de muescas p cada ele
por
emento del conjunto d pieles. M adelan
de
Más
nte,
para comprobar si todaví estaban todas las pieles (s seguía h
r
ía
s
si
habiendo u
una
corres
spondencia biunívoca), éstas pod
a
dían empar
rejarse una a una con ·las muesc
a
cas
del pa para con
alo
ntar.
Re
estos del pasado. Nu
p
uestras len
nguas toda
avía tienen restos de las époc
n
e
cas
prenu
uméricas. Por ejemplo, en castella hay varias formas de expresar «dos»: p
P
ano
s
par,
pareja dúo, dob día da, etc. En ép
a,
ble,
pocas más primitivas, estos térm
s
minos pued
den
haber
rse usado para desig
gnar una pluralidad de objetos o categoría de obje
as
etos
espec
cíficos: un par de ojos, una pareja de personas, un dúo musical, un bifurcación.
p
a
na
De la misma ma
anera, los d
diversos tér
rminos para expresar «muchos» (por ejemp
a
plo,
multitud, masa, banda, ma
anada) des
scribían en su día colecciones e
específicas de
más d dos o tre elemento (por ejem
de
es
os
mplo, un ca
ardumen de peces, una bandada de
e
aves). Inicialmen el número no era más que u cualidad o una car
nte,
una
d
racterística de
un ob
bjeto determ
minado (Chu
urchill, 1961).
Má allá de lo puramen concret
ás
o
nte
to
Am
medida que las sociedades cazad
e
doras-recolectoras dab paso a comunidad
ban
des
seden
ntarias basa
adas en la agricultura y el comer
rcio, llevar l cuenta del tiempo (por
la
ejemp las esta
plo,
aciones) y las posesio
ones fue hac
ciéndose cada vez má importan
ás
nte.
En co
onsecuencia también fue en aum
a,
mento la ne
ecesidad de métodos más precis
e
sos
de numeración y medición b
basados en contar. Co
n
ontar es la b
base sobre la que hem
mos
edifica
ado los sis
stemas num
mérico y a
aritmético, de papel t
tan esencia en nues
al
stra
civiliza
ación avan
nzada. A su vez, el de
u
esarrollo de contar es íntimam
e
stá
mente ligado a
o
nuestros diez de
edos. Dantz (1954, p 7) afirma:
zig
p.
A s diez ded articulad debe e! h
sus
dos
dos
hombre su é
éxito en e! c
cálculo. Esto dedos le h
os
han
enseñ
ñado a conta y, en cons
ar
secuencia, a extender infinitamente e! alcance d número. Sin
de!
este in
nstrumento, la aptitud n
numérica del hombre no podría hab ido much más allá del
l
o
ber
ho
sentido rudimenta
ario del núm
mero. y es razonable a
aventurar qu sin nues
ue,
stros dedos, el
rollo del núm
mero y, en c
consecuencia, el de las ciencias ex
s
xactas a las que debem
s
mos
desarr
nuestr progreso material e in
ro
ntelectual, se hubiera vis irremedia
e
sto
ablemente m
menguado.

5



Co
ontar con lo dedos e el tramp
os
es
polín que p
permite sup
perar las lim
mitaciones de
nuest sentido numérico natural. D
tro
Donde los antropólog
gos no han encontra
ado
señales del emp
pleo de los dedos pa contar, la percepc
s
ara
ción del nú
úmero es m
muy
da
g,
estudios realizados co aborígen
on
nes
limitad (Dantzig 1954). Por ejemplo, en unos e
de Au
ustralia que no había alcanzad la etapa de contar con los d
e
an
do
a
r
dedos sólo se
encon
ntraron uno pocos que pudieran identificar e 4 y ningu que pud
os
el
uno
diera disting
guir
el 7. E este est
En
tado natura los aborí
al,
ígenes no d
desarrollan conceptos básicos de la
e
cantid y la me
dad
edida (Dase 1972; De Lemos, 1
en,
1969).
Nú
úmero abstr
racto. Es p
probable qu contar f
ue
fuera el medio por el que nues
stra
civilización desa
arrolló un c
concepto a
abstracto de número: un concepto que ha
el
ace
posible la matem
mática (Dan
ntzig, 1954). El matemá
ático Bertra Russell afirmaba q
and
l
que
do
e
nociera que las distintas
e
pudieron haber transcurrid eras antes de que se recon
dades (por ejemplo, un par de oj
jos, una pa
areja de pe
ersonas, un bifurcació
na
ón)
dualid
eran c
casos del número 2. N
n
Nuestros de
edos constituyen la ba común para designar
ase
distint dualida
tas
ades concre
etas como casos del n
número 2. Los dedos proporcion
nan
mode
elos fácilme
ente asequ
uibles de c
colecciones de uno a diez objetos. Pued
s
den
levant
tarse dos dedos, por ejemplo, para indica un par d ojos o una yunta de
d
r
ar
de
caballos. Con el tiempo, el nombre de esta colección modelo (<
e
e
<<dos») pu
udo
aplica
arse a cualq
quier colecc
ción concre que se c
eta
correspondiera con do dedos.
os
Du
urante un largo perío
l
odo de la historia, lo términos para «do
os
s
os», «tres» y
»
«muc
chos» sirvie
eron adecua
adamente (
(Smith, 192 A medi
23).
ida' que fue creciendo la
e
o
neces
sidad de un precisión mayor, co
na
n
ontar se co
onvirtió en un instrume
ento esenc
cial.
Conta coloca lo nombres de las co
ar
os
s
olecciones modelo en un orden y ofrece u
n
una
altern
nativa conve
eniente a la equivalencia para a
asignar nom
mbres num
méricos. Podía
hacer una pet
rse
tición direct
tamente co la palabr siete y c
on
ra
cumplirse p
posteriormente
contando siete objetos.
o
Con
nectar los dos aspecto del núme El núm
d
os
ero.
mero tiene d funciones: nombra y
dos
ar
orden
nar. El aspe
ecto nomin
nal, o cardi
inal, trata d los elem
de
mentos que contiene un
e
conjunto dado. Nombrar u conjunto no requie contar necesariamente. Como
un
o
ere
amos de ve un conju
er,
unto puede clasificarse como «cin
e
nco», por e
ejemplo, si s
sus
acaba
eleme
entos se corresponde exactam
c
en
mente (es decir, pueden formar una corr
responde
encia biunív
voca) con los element de una colección m
tos
modelo (po ejemplo, los
or
dedos de una mano) den
s
nominada «cinco». P tanto, nombrar conjuntos s
Por
sólo
requie coleccio
era
ones modelo como los ojos para representa dos, una hoja de tré
s
ar
ébol
para r
representar tres, las p
r
patas de un caballo pa el cuatro etc.
ara
o,
El aspecto de orden, u ordinal, de número, está relac
e
el
cionado con contar y se
refiere a colocar coleccione en sucesión por orde de magn
e
es
en
nitud. Conta proporcio
ar
ona

6



una s
secuencia ordenada d palabras (la serie numérica) que puede asignarse a
o
de
s
e
e
colecc
ciones cad vez may
da
yores. Para contar una colecció una pe
a
ón,
ersona asig
gna
suces
sivamente términos de la serie nu
t
e
umérica a c
cada elemento de la co
olección ha
asta
que h asignado un nombr a cada uno de los e
ha
o
re
elementos. El número asignado a la
colecc
ción especifica la mag
gnitud relativa del conjunto. Por e
ejemplo, si s ha conta
se
ado
una c
colección y se le ha asignado la palabra «cinco», será may que ot
a
a
yor
tras
designadas con uno, dos, tres o cuatro y menos q las des
o
que
signadas co seis o más.
on
ontar con lo dedos pu
os
uede enlazar los aspe
ectos cardin y ordina del núme
nal
al
ero.
Co
Para representa una cole
ar
ección com por eje
mo,
emplo, el n
número ca
ardinal 4, u
una
ona sólo tie
ene que le
evantar cua
atro dedos simultáne
eamente. P
Para contar la
r
perso
misma colección la person levanta cuatro ded en suce
n,
na
dos
esión. Los resultados de
conta son idé
ar
énticos a los de le
evantar sim
multáneame
ente cuatr dedos (la
ro
repres
sentación cardinal). P tanto, n
c
Por
nuestros de
edos son u medio p
un
para pasar sin
esfue
erzo de un aspecto del número al otro (Dantzig, 1930-1954).
a
l
El de
esarrollo de un sistem de num
e
ma
meración co órdenes de unida
on
s
ades de bas
se
diez
A medida qu las soc
ue
ciedades y las econ
nomías se fueron h
e
haciendo m
más
.comp
plejas, aumentó la pres
sión encam
minada a con
ncebir siste
emas de rep
presentació y
ón
de cá
álculo que pudieran aplicarse con efica
e
acia a gra
andes cant
tidades. Pa
ara
repres
sentar un rebaño de 124 ove
ejas, el empleo de un sistem de con
ma
ntar
estableciendo corresponde
c
encias es muy incóm
modo. Las tareas co cantidad
on
des
grand inspiraro la idea d hacer ag
des
on
de
grupamiento y nuestr diez ded ofrecieron
os,
ros
dos
una b
base natura para ello (
al
(Churchill, 1961). Por ejemplo, cuando una oveja pasa
aba
junto al pastor, éste la co
ontaba con los dedo Cuando llegaba a diez, podía
n
os.
o
sentar esta cantidad con un gu
a
uijarro. Con las mano libres ot vez, podía
n
os
tra
repres
prose
eguir el recu
uento. A me
edida que s iban acu
se
umulando lo guijarros podía haber
os
s,
simpli
ificado aún más el proceso sus
n
stituyendo diez guijarros por un piedra. P
na
Por
tanto, la piedra pasaría a represen
a
ntar 10 de
ecenas, o sea 100. Como es
stos
agrup
pamientos se basan en el 10 y en múltiplos de 10, el s
s
s
sistema em
mpleado por el
pastor se denom
mina sistem de base diez. Si tu
ma
uviéramos d
doce dedos es proba
s,
able
hubiéramos hechos es
stas agrupa
aciones de doce en do y hoy tendríamos un
oce
que h
sistem de base doce. Nues sistema de base d
ma
stro
diez es, sim
mplemente, un «accidente
fisioló
ógico» (Dan
ntzig, 1930-1954).
El primer sist
tema numé
érico conoc
cido apareció hacia e año 350 a. de C e
el
00
C.
incorp
poraba un concepto d base die (Bunt, J
de
ez
Jones y Bedient, 1976 El sistema
6).
cuneif
forme de lo sumerios y el siste
os
s
ema jeroglíf
fico de los e
egipcios em
mpleaban u
una
colecc
ción de traz para re
zos
epresentar los números del 1 al 9 (véase la fig. 2.1.A). Un

7



agrup
pamiento de decenas s representaba con u símbolo especial. M adelan
e
se
un
o
Más
nte,
los gr
riegos y los romanos d
s
desarrollaro sistemas diferentes Sin embargo, ningu
on
s.
uno
de est sistema numérico antiguos se prestab con facilidad al cálculo aritmético,
tos
as
os
s
ba
como demostrar rápidame
rá
ente el inten de realizar la suma de la figura 2.1.B.
nto
a
Aunque los símbolos es
s
scritos se han usado para repr
o
resentar nú
úmeros des
sde
tiempos prehistó
óricos, el de
esarrollo de unos procedimientos de cálculo eficaces tu
e
s
o
uvo
que esperar hast la invenc
ta
ción de un s
sistema de n
numeración posicional. En un sistema
n
posici
ional o de órdenes d unidades, el lugar de una ci
de
ifra define su valor. P
Por
ejemp en el nú
plo,
úmero 37 el 3 ocupa e lugar de la decenas y de ahí que represente
el
as
s
tres d
decenas, y no tres unid
n
dades. Esto elimina la necesidad de símbol especia
o
a
d
los
ales
para r
representar 10 y múltiplos de 10, como ocu
r
urre con los jeroglíficos egipcios. En
s
s
un sis
stema con órdenes de unidades pueden u
e
s,
usarse diez cifras (de 0 al 9) pa
z
el
ara
repres
sentar cualquier núme aun los números g
ero,
s
grandes, de una mane compac
e
era
cta.
¡Piéns
sese, por ejemplo, e lo que haría falta para rep
en
a
presentar 9
9.999.999 c
con
jeroglíficos!
Fig
gura 2.1 Co
omparación de distinto sistemas numéricos
os
s
s

* El siste
ema babilonio se adoptó a pa
artir del anterior sistema sum
merio. Obsérve
ese que la num
meración babilo
onia
empezó
ó como un sistema de base d
diez pero juego
o cambió a agru
upamientos ba
asados en 60 y múltiplos de 6
60.
Nótese que los símbo
olos para 1 y 60
0 son idénticos
s (Bunt et al., 1
1976). La posici
ión se usaba pa
ara indicar el

8



valor (p
por ejemplo, 63
3 se escribía Ῡ Ῡ Ῡ Ῡ). Al igual que el sistem
ma babilonio, l
la numeración romana no era
un siste
ema puro de ba
ase diez.

Con t
todo, la numeración p
posicional es una ide relativam
ea
mente abstracta y no se
impro
ovisó con ra
apidez. Es p
probable qu el impuls para un sistema po
ue
so
osicional fuera
produ
ucido por la necesidad de anotar por escrito las operac
d
o
ciones realizadas con un
ábaco El ábaco ilustrado e la figura 2.2 utiliza u modelo d base die la colum
o.
en
un
de
ez:
mna
de la derecha re
epresenta la unidade la siguie
as
es,
ente representa grupo de diez y la
os
siguie
ente grupos de cien. D acuerdo con esto, la figura 2.2 represe
s
De
a
2.A
enta el número
cuatro
ocientos tre
einta y dos (432) Y la f
figura 2.2.B el cuatroc
B
cientos dos (402).
Los usuarios de ábacos no debiero tener dif
s
s
on
ficultades c las colu
con
umnas vac
cías
hasta que tuviero que hac un regis perman
on
cer
stro
nente de su cuentas. El registro de
us
la figu 2.2.C, por ejemplo ¿represe
ura
p
o,
enta 42,402 ó 4.002? Parece se que el 0 se
2
er
invent para sim
tó
mbolizar un columna vacía y e
na
a
evitar esta confusión (por ejemp
plo,
Engle
ehardt, Ashl
lock y Webe 1984). Parece que, al principio el O significaba algo v
e,
o,
vacío o en blanco, no la nad (ningún objeto). Co la inven
da
on
nción del O fue posible la
e
conce
epción de un sistema n
numérico po
osicional (c órdenes de unidad
con
s
des). Esto h
hizo
posible la elabor
ración de algoritmos a
aritméticos q podían ser aprend
que
n
didos por c
casi
todo el mundo. La invenc
ción del O e uno de los mayor
es
res logros de la histo
oria
huma
ana, y fue un hito cruc que hiz posible la ciencia y el comer
u
cial
zo
rcio modern
nos
(Dantzig, 1954).
En realidad, los procedimientos de cálculo e
escrito sólo se han ve
o
enido usan
ndo
duran los últim trescien
nte
mos
ntos años d la historia de la hum
de
a
manidad. Ha sólo un
ace
nos
centenares de añ
ños, lo norm en Euro Occiden era con con los dedos. En los
mal
opa
ntal
ntar
libros y las unive
ersidades s enseñab a hacer cálculos ar
se
ba
ritméticos c los dedos.
con
plear los de
edos para contar y re
ealizar las operacione aritmétic
es
cas
«El arte de emp
llas era, en aquellos tiempos, uno de los logros de la persona cultivad
s
e
da»
sencil
(Dantzig, 1954, p. 11). .
p

9



Fig
gura 2.2 Re
epresentaciones concr
retas y escr
ritas de núm
meros en un ábaco.

o
ormalizada
El desarrollo de la matemática fo
omo la histo del número, la historia de la matemáti en gene (véase la
oria
a
ica
eral
e
Co
tabla 2.1) indica que los m
a
métodos y las formula
aciones de cariz inform o intuit
mal
tivo
eden a la matemática e
m
exacta y fo
ormalizada y actúan co
omo base p
para la misma
prece
(Kline 1974). Lo normal e que las pruebas d
e,
o
es
deductivas rigurosas ( empleo de
(el
principios generales para d
demostrar p
proposicion de una manera ló
nes
a
ógica) sigan a
n
ideas inductivas (descubrimiento de relaciones mediante el exame de caso
s
s
e
en
os).
Básicamente, los matemátic utilizan pruebas pa compro
s
cos
ara
obar sus ide intuitiva o
eas
as
inform
males. Las pruebas pu
p
ueden deter
rminar si un idea es lógicament coherente o
na
te
no. También pueden demo
ostrar si un idea se aplica a u caso ais
na
un
slado o a u
una
amplia gama de casos.
a
La perspectiv histórica indica que la matem
va
e
mática se en
ncuentra en permanente
n
evoluc
ción. Nues
stros siste
emas numérico y aritmético s
son la culminación de

10



literalmente mile de año de inve
es
os
entiva y pe
erfeccionam
miento. El conocimiento
mático se ha construido lentamente, idea tras idea. El conocim
miento que el
e
matem
adulto medio de nuestra cul
o
ltura da por sentado no estaba dis
r
o
sponible ha unos mi
ace
iles
de añ y ni siquiera ciento de años atrás. Con frecuenci se inven
ños
os
s
ia
ntaban nuev
vos
métod a partir de necesid
dos
dades prácticas y se ad
doptaban a causa de s utilidad. P
su
Por
ejemp
plo, los egipcios se v
vieron forza
ados a inv
ventar la ar
ritmética y la geomet
tría
eleme
entales par poder vo
ra
olver a colo
ocar las hita que mar
as
rcaban los límites de los
campos que el Nilo inundab cada pri
N
ba
imavera (Bunt et al., 1
1976). La verdad es que,
como se muestra en la ta
abla 2.1, no era frecu
o
uente que los nuevos métodos se
s
adopt
taran de in
nmediato ya que no «
a
«caían bien es dec no enca
n»,
cir,
ajaban en las
pauta de pensa
as
amiento pro
opias de la é
época.

Ta
abla 2.1 Bre historia del desarr
eve
a
rollo de la m
matemática
0-300 a. de C.
3.000

Egipcios y bab
bilonios con
nciben los p
principios e
esenciales d
de
la m
matemática rudiment
a:
tos de ARITMETICA (NUMERO
OS
ENT
TEROS PO
OSITIVOS Y FRACC
CIONES), A
ALGEBRA Y
GEOMETRIA. Los resultados se ac
ceptan pura
amente sob
bre
una BASE EM
a
MPIRICA. Lo números negativos y el 0 no se
os
s
s
con
nocen.

600-3 a. de C.
300

La G
Grecia clás
sica es la pr
rimera civilización en la que florece
la m
matemática Los grieg
a.
gos clásico son los primeros e
os
en
con
ncebir la M
MATEMATIC DEDUC
CA
CTIVA. Los Element
tos
(pru
uebas geométricas) d Euclide son el producto d
de
es
de
tres
scientos años de ensa intuitivo y error.
ayo
o
Los griegos de Alejandría, los hindúes y los árabes
s
con
nciben y e
emplean N
NUMEROS IRRACIONALES (p
por
ejem
mplo, √2 ) q son ac
que
ceptados gr
radualmente a causa d
de
su u
utilidad (por ejemplo, √ = la diag
r
√2
gonal de un cuadrado d
de
lado = 1).
os

600 d. de C.

Los hindúes in
s
ntroducen los NUMER
ROS NEGA
ATIVOS, qu
ue
no son acepta
ados durant mil años a causa d su falta d
te
s
de
de
sop
porte intuitivo. Por ejemplo, los grandes matemáticos
s
Des
scartes y Fermat re
echazaron trabajar c
con númer
ros
neg
gativos.

11



700 d. de C. aprox.

Los hindúes in
s
nventan, o adoptan, u símbolo para el «0
un
o
0»
para indicar u
una column vacía o en blanco. Los árabes
na
optan la num
meración h
hindú y, des
spués de ce
entenares d
de
ado
año las cifras arábigas llegan a se de uso co
os,
s
er
omún.

1540 d. de C. ap
prox.

Apa
arecen los NUMEROS COMPLE
S
EJOS (por e
ejemplo, √-1)
pero no son ac
o
ceptados ha
asta cerca d doscient años más
de
tos
tard
de.

1650-1725 d. de C.
e

New
wton y Leib
bniz crean e CALCULO Cada un de las tr
el
O.
na
res
edic
ciones de The Mat
thematical Principies of Natur
s
ral
Phil
ilosophy de Newton o
e
ofrece una explicación distinta d
n
del
con
ncepto bás
sico (las d
derivadas). El primer artículo d
r
de
Leib
bniz recibió el nom
mbre de «
«enigma» en vez d
de
«ex
xplicación». A pesar de sus funda
.
e
amentos vagos e incluso
inco
orrectos, e cálculo encontró m
el
muchas ap
plicaciones a
trav de enfo
vés
oques intuiti
ivos.

Finale del s. XIX
es
X

Se establecen los funda
n
amentos ló
ógicos del sistema n
numér
rico, el á
álgebra y el análisis (el cál
lculo y sus
amp
pliaciones).

Véase en Burn et al (1976, pp 22
l
26-230) una e
explicación más detallada.

C) DE
ESARROLL MATEM
LO
MÁTICO DE LOS NIÑO
E
OS
En muchos aspectos, e desarrollo matemát
a
el
tico de los niños cor paralelo al
s
rre
o
desar
rrollo histór
rico de la matemátic el cono
ca:
ocimiento m
matemático impreciso y
o
o
concr
reto de los niños se va haciendo cada vez m preciso y abstract Parece ser
n
a
más
o
to.
que, a igual que los seres humanos primitivos, los niños p
al
e
poseen algú sentido del
ún
núme
ero. Con el tiempo, los preescola
s
ares elabor una am
ran
mplia gama de técnicas a
partir de su mate
emática intu
uitiva. Reca
apitulando la historia, l matemát
la
tica no esco
olar
o mat
temática inf
formal de lo niños se desarrolla a partir de necesidades práctica y
os
e
as
exper
riencias con
ncretas. Co
omo ocurrió en el desa
ó
arrollo histó
órico, conta desempe
ar
eña
un pa
apel esenc
cial en el d
desarrollo d este co
de
onocimiento informal. A su vez, el
o
,
conoc
cimiento inf
formal de lo niños pre
os
epara el ter
rreno para la matemáti formal q
ica
que
se imparte en la escuela. A
Además, y re
eproducien la histor cultural, el dominio de
ndo
ria
la num
meración posicional y de los algoritmos de cálculo ba
p
asados en e
este concepto
constituye un pa gigante
aso
esco para lo niños. E realidad, los niños no aceptan y
os
En

12



apren
nden de inm
mediato la m
matemática formal que se imparte en la escuela ya que, en
e
gener choca con sus pau
ral,
c
utas actuale de pensa
es
amiento.
Cono
ocimiento intuitivo
Se
entido natur del núm
ral
mero. Duran mucho tiempo se ha creído que los niñ
nte
ños
peque
eños carec
cen esencia
almente de pensamie
e
ento matem
mático. En una ocasión,
Willia J ames caracterizó el mundo infantil com una confusión resp
am
c
mo
plandecient y
te
rumorosa. Sin embargo, in
e
nvestigacion recientes (por eje
nes
emplo, Stark y Coop
key
per,
1980; Starkey, Spelke y G
S
Gelman, en prensa) ind
dican que i
incluso los niños de s
seis
es
tre
os
s
s,
mese de edad pueden distinguir ent conjunto de uno, dos y tres elementos y
entre conjuntos de tres y cu
uatro eleme
entos.
¿C
Cómo pueden determi
inar los psicólogos qu los niños pequeños poseen e
ue
s
s
este
sentid numéric básico? Para ver si un niño pequeño puede disc
do
co
criminar en
ntre
conju
untos de can
ntidades dis
stintas, el p
psicólogo le presenta, por ejemplo una imag
e
o,
gen
con tr objetos (por ejemp Starkey y Cooper 1980). Interesado por este nue
res
s
plo,
r,
evo
estím
mulo, e beb fija su mirada en la image Sin em
bé
n
en.
mbargo, tra varias p
as
presenta
aciones seg
guidas de tr
res, la nove
edad desap
parece y la atención d
a
disminuye. En
este momento, el psicólogo introduce un conjun de cuat (o dos) objetos. Si el
e
nto
tro
niño n se percata de la d
no
diferencia, s
seguirá sin prestar ate
ención. Sin embargo, los
niños tienden a prestar a
s
atención otra vez, ind
dicando qu se dan cuenta de la
ue
e
difere
encia.
¿R
Realmente presta aten
nción el niñ a los ca
ño
ambios de c
cantidad? E el ejemplo
En
anterior, los niño se van a
os
aburriendo paulatinam
mente con e «tres» aun cuando se
el
introd
duzcan obje
etos distint
tos o se m
modifique la posición de los tre objetos. La
a
es
distrib
bución de los objetos no influye en la aten
nción. En re
ealidad, y tras ver var
rios
ejemp
plos de tres objetos, lo niños se interesan m
s
os
menos en o una secu
oír
uencia de t
tres
sonid que una secuencia de dos o c
dos
a
a
cuatro. Pare que es la cualidad de tres lo q
ece
d
que
dejan de encont
n
trar interesa
ante. Al parecer, los n
niños peque
eños posee un proce
en
eso
de enumeración o corres
n
spondencia que les permite dis
stinguir entre pequeñ
ños
conju
untos de obj
jetos.
El alcance y la precisión del sentido numérico de un niño pequeño son limitados.
l
n
o
o
Los n
niños peque
eños no pu
ueden distin
nguir entre conjuntos mayores c
como cuatro y
o
cinco. Además, el hecho de que pa
arezcan ca
apaces de tratar, por ejemplo, los
r
untos de tres y cua
t
atro elementos de u
una maner distinta, no signif
ra
fica
conju
neces
sariamente que sepa que 4 e más qu 3. Es d
e
an
es
ue
decir, aunq
que los niñ
ños
peque
eños disting
guen entre números p
pequeños, q
quizá no pu
uedan orde
enarlos por orden d magnitud
de
d.

13



No
ociones intu
uitivas de magnitud y equivalen
ncia. A pesar de tod el sentido
do,
numé
érico básico de los niños constit
o
tuye la bas del des
se
sarrollo mat
temático. L
Los
prees
scolares pa
arten de e
este sentido del núm
mero y desarrollan c
conocimient
tos
intuitiv más so
vos
ofisticados. Es a partir de la exp
periencia co
oncreta de la percepción
directa que los niños empie
n
ezan a com
mprender nociones co
omo la mag
gnitud relativ
va.
Concr
retamente, se da una diferencia evidente e
entre el uno y coleccio
o
ones mayor
res
(Von Glasersfeld 1982). U niño, po ejemplo, puede tom un blo
d,
Un
or
,
mar
oque con u
una
mano Tomar do bloques requiere la dos man o dos in
o.
os
as
nos
ntentos suc
cesivos con la
n
misma mano. Tres bloque no se p
a
T
es
pueden tom simultá
mar
áneamente con las d
dos
mano Aunque estas difer
os.
rencias pue
eden parec triviales para un a
cer
s
adulto, son de
impor
rtancia fund
damental p
para el niñ pequeño que juega, y ofrece otra ba
ño
ase
concr
reta para distinguir y o
ordenar el 1, el 2 y muc
chos.
Cu
uando emp
piezan a an
ndar, los n
niños no só distingu
ólo
uen entre conjuntos de
tamañ diferente sino que p
ño
e
pueden hac compar
cer
raciones gru
uesas entre magnitudes.
e
A los dos años de edad aproximad
s
s
damente, lo niños a
os
aprenden p
palabras pa
ara
expre
esar relacion matemáticas (Wagner y Walt
nes
ters, 1982) que puede asociarse a
en
e
sus ex
xperiencias concretas Pueden c
s
s.
comprender «igual», «
r
«diferente» y «más». P
Por
ejemp
plo, Alfred Binet (196
69), el padr de las m
re
modernas p
pruebas de inteligenc
e
cia,
pregu
untó a su hij de cuatro años de e
ja
edad, Made
eleine, que comparara los tamañ
e
a
ños
de co
onjuntos pa
arecidos a los dos q
que se mu
uestran en la figura 2.3. Aunq
n
que
Made
eleine sólo podía con
ntar hasta tres, pudo señalar co mucha exactitud los
on
conjuntos que te
enían más e
elementos.
Po
osteriores pr
ruebas dem
mostraron que los juicio intuitivo s de Madeleine sobre los
os
conjuntos que te
enían más elementos se basaba en indic
s
an
cios percep
ptivos como la
o
zona abarcada por cada co
p
onjunto (Gin
nsburg, 198 De manera intuitiv Madeleine
82).
va,
escog como «más» el conjunto q
gía
«
que abarca
aba más ex
xtensión. O
Otros indic
cios
perce
eptivos, como la lon
ngitud, tam
mbién pued
den ofrece una ba
er
ase para las
evaluaciones int
tuitivas. En muchos ca
asos, la má larga de dos hilera suele ten
ás
e
as
ner
objetos.
más o
Inv
vestigacione reciente confirman los result
es
es
tados de Binet. Cuand se les pide
do
que d
determinen cuál de dos conjuntos tiene «má
s
s
ás», los niño de tres a
os
años de edad,
los preescolares atrasado y los niños peque
s
os
eños de cu
ulturas no alfabetizad
das
en
ody
burg, 1982b Casi tod
b).
dos
puede hacerlo rápidamente y sin contar (Baroo y Ginsb
los ni
iños que se incorpor
s
ran a la es
scuela deb
berían ser capaces de distinguir y
nomb
brar como «más» el m
«
mayor de do conjunto manifies
os
os
stamente di
istintos. (Usar
correc
ctamente «menos» es mucho má difícil y pu
s
ás
uede que n se aprend antes de la
no
da
e
escue
ela). El niño que no pue usar «m
o
eda
más» de es manera intuitiva puede presen
sta
ntar
consid
derables pr
roblemas educativos.

14



Fig
gura 2.3 Ele
ementos de una prueb para la n
e
ba
noción «má
ás»

n
o,
os
s
en
ariencias, las
Sin embargo como lo niños basan sus juicios e las apa
comparaciones que hacen entre mag
n
gnitudes pueden ser incorrectas Aunque es
s.
frecue
ente que el aspecto re
efleje fielme
ente la cant
tidad, los in
ndicios perc
ceptivos como
el área y la longit no siem
tud
mpre son ind
dicadores p
precisos de la cantidad. Por ejemp
plo,
dos b
bandejas de caramelos pueden ocupar l misma superficie pero pued
d
n
la
den
contener cantida
ades difere
entes porqu los cara
ue
amelos está agrupad más de
án
dos
ena
tra. Por otr parte, po
ra
odemos ten dos bandejas con el
ner
n
samente en una que en ot
elos pero que ocupan una superficie distinta porque los
mismo número de carame
caram
melos están más juntos en una qu en otra.
n
ue
La tarea de co
onservación de la cant
n
tidad (por ej
jemplo, Pia
aget, 1965) demuestra de
a
nte
aciones del conocimie
l
ento intuitivo de los niñ
o
ños. En prim
mer
forma concluyen las limita
lugar, se estable la igua
ece
aldad de do conjunto por equivalencia. E examinad
os
os
El
dor
forma una hilera de, digam
a
a
mos, siete b
bloques bla
ancos y pide al niño que coloque la
e
e
misma cantidad de bloque azules. S insta al niño a que haga cor
es
Se
e
rresponder un
bloque azul a cada bloqu blanco. Una vez establecida esta cor
c
ue
a
rresponden
ncia
biunív
voca (véase la fig. 2.4.A) se pide al niño que confirme s las dos hileras tienen el
e
e
si
n

15



mismo número de objetos. Puesto que la longitud proporcion una base precisa pa
d
e
d
na
e
ara
ciar las can
ntidades re
elativas, aun los niños de tres a
s
años de ed
dad están de
aprec
acuer en que ambas hile
rdo
eras tienen la misma c
cantidad.
Ac
continuació se modifica el aspecto de uno de los conj
ón
juntos para ver si el niño
a
contin
núa creyendo o no qu los dos conjuntos son coordinables (tienen la misma
ue
cantid
dad). Mient
tras el niño observa, s alarga o se acorta una de la hileras. P
o
se
a
as
Por
ejemp en la fi
plo,
igura 2.4.B se observ que se h alargado la hilera a
va
ha
o
azul. Una v
vez
modif
ficada la lon
ngitud se vu
uelve a preg
guntar al niñ si las do hileras tie
ño
os
enen la misma
cantid
dad. Como la longitud y no refleja fielmente la cantidad los niños que se bas
ya
e
d,
san
en el aspecto pa juzgada se equivoc
ara
a
can. ¡En re
ealidad, los niños pequ
ueños insist
ten
en qu la hilera más larga tiene más Parecen estar conv
ue
a
s!
vencidos de que los d
e
dos
conjuntos de lon
ngitudes dis
stintas no s equivale
son
entes. Piag (1965) d
get
denominó «
«no
conse
ervación» a este fenóm
meno porque el niño no mantiene (conserva) la relación de
o
)
equivalencia ini
icial tras una transf
formación del aspec
cto (irreleva
ante para la
dad). Es ev
vidente que la comp
prensión int
tuitiva que tienen los niños de la
s
e
cantid
magn
nitud y de la equivalenc es Impr
a
cia
recisa.
No
ociones intu
uitivas de la adición y la sustracc
a
ción. El sen
ntido del número tamb
bién
permi a los niños reconoc si una co
ite
cer
olección ha sido altera
a
ada. Los niñ reconoc
ños
cen
muy p
pronto que añadir un objeto a una colección h
a
a
hace que se «más» y que quitar un
ea
r
objeto hace que sea «me
o
e
enos». En un estudio (Brush, 1978) se m
o
mostraban d
dos
recipientes a unos preesco
olares. Se c
colocaban p
pantallas delante de lo recipien
os
ntes
para que el niño examinado no los pudiera ver. Me
ediante un proceso de
corres
spondencia se coloca
a,
aba el mism número de objeto en cada recipiente: al
mo
o
os
tiempo que se colocaba un objeto en uno de los recipiente se coloca otro en el
c
n
s
es
aba
n
otro r
recipiente. Cuando el niño había manifesta que los dos recipientes ocul
C
a
ado
s
ltos
contenían la mis
sma cantida de objetos, se le ha
ad
acía observ cómo se añadía o se
var
ba
to
de
pientes. Lo niños no tenían difi
os
icultades para
quitab un objet de uno d los recip
recon
nocer que la adición o la sustrac
a
cción de ob
bjetos modificaba la ca
antidad de un
recipiente y, com resultad modific
mo
do,
caba la rela
ación de eq
quivalencia entre amb
a
bos
e
ntificaban fá
ácilmente c
como «más el recipiente
s»
recipientes. Por ejemplo, los niños iden
e
a
rece que lo preescola
os
ares ya pos
seen una ba
ase
al que se había añadido un objeto. Par
intuitiv para com
va
mprender la adición y la sustracc
a
ción.
Sin embargo, la aritmét
n
,
tica intuitiva se limita a modifica
a
aciones evid
dentes. Si los
recipientes cont
tienen inicialmente c
cantidades desiguales la aritmética intuit
s,
tiva
sa.
emplo, si al principio se coloc
o
can cinco objetos en uno de los
n
fracas Por eje
recipientes y nueve en el o
otro, los niños identifi
icarán corr
rectamente a este último
como «más». Pe si a con
ero
ntinuación se añaden dos objeto al recipie
os
ente que tie
ene
e
a
e
nsan que ah
hora es ést el que tie
te
ene
nueve y cuatro al que tiene cinco, los niños pien

16



más. Para los ni
iños peque
eños, 5 + 4 es «más q
que» 9 + 2 porque han visto que se
n
ían
bjetos al pri
imer recipie
ente. Evide
entemente, la aritmétic intuitiva es
ca
añadí más ob
impre
ecisa.

Cono
ocimiento informal
na
ación prácti
ica. Los niñ encuen
ños
ntran que e conocimi
el
iento intuitiv
vo,
Un prolonga
simple y llaname
e
ente, no es suficiente p
para aborda tareas cu
ar
uantitativas. Por tanto, se
apoya cada vez más en in
an
z
nstrumentos más prec
s
cisos y fiable numera y contar. En
es:
ar
realidad, poco después de empezar a hablar, los niños empiezan a aprender los
d
e
nomb
bres de los números. Hacia los d años de edad, em
dos
mplean la p
palabra «do
os»
para d
designar to
odas las plu
uralidades: dos o más objetos (W
Wagner y W
Walters, 198
82).
Hacia los dos años y med los niño empieza a utilizar la palabra «tres» pa
a
dio,
os
an
a
ara
designar «mucho (más de dos objet
os»
tos). Al igua que Alliso muchos niños de tr
al
on,
s
res
años usan «uno «dos» y «tres» cor
o»,
rrectamente y emplea un términ mayor q
e
an
no
que
tres (por ejemplo, «cuatro» para ind
»)
dicar «much
hos». Al et
tiquetar col
lecciones c
con

17



núme
eros, los niñ poseen un medio p
ños
preciso par determinar «igual», «diferente» o
ra
»
«más Los pree
s».
escolares i
incluso lleg
gan a descubrir que c
contar pued servir pa
de
ara
determ
minar exact
tamente los efectos de añadir o s
s
e
sustraer can
ntidades, al menos si s
son
peque
eñas, de un colección.
na
Po tanto, con se bas en el con
or
ntar
sa
nocimiento intuitivo y lo complem
menta en gr
ran
parte. Por ejemp contar proporcion una etiqueta común «<tres») a tripletas de
.
plo,
na
objeto distintos y distribuc
os
s
ciones difer
rentes que los niños v como e
ven
equivalentes a
s
una e
edad tan corta como los seis m
meses. Med
diante el empleo de la percepción
direct juntamen con contar, los niños descu
ta
nte
ubren que las etiquetas numéric
cas
como «tres» no están ligada a la apar
o
e
as
riencia de c
conjuntos u objetos y s útiles pa
son
ara
espec
cificar conju
untos equiv
valentes. Co el tiempo, esta com
on
mprensión p
proporciona la
a
base para el em
mpleo de e
etiquetas numéricas c
como «siete o «diec
e»
cinueve» pa
ara
identif
ficar como equivalent conjunt que no pueden ve
tes
tos
erse como tales. Con
ntar
ofrece a los niño el vínculo entre la p
e
os
o
percepción directa con
ncreta, si bi limitada y
ien
a,
las id
deas mate
emáticas abstractas, pero gene
erales. Contar coloca el núme
ero
abstra
acto y la aritmética ele
emental al a
alcance del niño pequeño.
l
Lim
mitaciones. Aunque la matemática infor
rmal representa una elaboración
a
funda
amentalmen
nte importa
ante de l matemá
la
ática intuit
tiva, también presen
nta
limitac
ciones prác
cticas. El contar y la a
aritmética informal se hacen cad vez men
da
nos
útiles a medida que los núm
q
meros se hacen mayo
ores. El tiem y el esfuerzo men
mpo
ntal
reque
eridos par~ contar o ca
alcular de un manera informal se hacen eno
na
e
ormes y lleg
gan
a ser prohibitivos A medida que los números aumentan, los métodos informales se
s.
a
s
van haciendo ca vez más propenso al error. E realidad, los niños pueden lleg
ada
s
os
En
gar
a ser completam
mente incapaces de u
usar proced
dimientos i
informales con númer
ros
grand
des. Más aún: aunqu los mét
a
ue
todos infor
rmales proporcionan una solución
inmed
diata, no pu
ueden propo
orcionar reg
gistros a largo plazo.

Co
onocimient formal
to
La matemátic escrita y simbólica que se im
ca
a
mparte en las escuela supera las
as
limitac
ciones de la matemática informal. La mate
emática for
rmal puede liberar a los
e
niños de los co
onfines de su matem
mática relat
tivamente concreta. L
Los símbo
olos
escritos ofrecen un medio para anota números grandes y trabajar c
ar
s
con ellos. L
Los
proce
edimientos escritos p
proporciona medios eficaces para real
an
s
lizar cálculos
aritmé
éticos con números gr
n
randes. Más aún, los s
símbolos y las expresi
iones escri-

18



tas pu
ueden ofrec registro claros y p
cer
os
permanente que pueden amplia
es
ar
enorm
memente la capacidad de la mem
a
d
moria.
Es esencial que los niños aprendan los conceptos de los órdenes de unidades de
n
e
base diez. Para tratar con c
cantidades mayores es important pensar e términos de
te
en
unidades,' decen
nas, centen
nas, etc. (Payne y Rat
thmell, 1975). Pensar en decena y
as
múltip
plos de diez ofrece a los niños flexibilidad y facilidad p
z
para abordar una amp
plia
gama de tareas matemátic
a
cas, incluye
endo orden (compa
nar
arar) númer grandes y
ros
realizar aritmétic mental c número de varia cifras. Lo órdenes de unidad
ca
con
os
as
os
s
des
propo
orcionan el razonamien subyacente a muc
nto
chas técnica básicas como escr
as
ribir
núme
eros de varias cifras y sumar o restar co acarreo («llevando») (Resni
on
o
ick,
1982-1983). En pocas palabras, la ma
atemática fo
ormal perm a los niñ pensar de
mite
ños
r
una m
manera más abstracta y poderosa y aborda con efica
s
a,
ar
acia los prob
blemas en los
que in
ntervienen números gr
n
randes.
Au
unque la ma
atemática fo
ormal pued potencia mucho la capacidad de los niños,
de
ar
a
d
comporta apren
nder nueva técnicas y concep
as
s
ptos que, a principio les pued
al
o,
den
parec extraños y difícile Los niños llegan a acostum
cer
es.
mbrarse a p
pensar en los
núme
eros y en la aritmétic en térm
l
ca
minos de co
ontar. Un número co
omo el 14 se
contempla como 14 unidad o como 13 unidades y una m
o
des
o
más. Los niñ pequeñ
ños
ños
no ca
aptan de in
nmediato la notación posiciona Como o
n
al.
ocurrió en la historia, la
comprensión de la notació posicion en los n
e
ón
nal
niños es el resultado de una lenta
l
evolución. Así, lo niños pu
os
ueden tarda bastante tiempo en ver, por eje
ar
emplo, que 14
es una decena y cuatro unidades La idea del 0 c
a
o
s.
a
como cifra significat
a
tiva
(repre
esentante de una columna vacía) puede tard mucho tiempo en desarrollar
d
)
dar
rse.
De he
echo, much niños pueden cont
hos
tinuar aferr
rándose a lo métodos informales o
os
s
concr
retos bastante despué de habérseles pres
és
sentado los órdenes d unidades y
s
de
los alg
goritmos pa realizar operacione con acarreo.
ara
r
es
D) IM
MPLICACIO
ONES EDU
UCATIVAS: LOS CON
:
NOCIMIENT
TOS
IN
NFORMALE COMO BASE
ES
La teoría cognitiva indica que los n
a
niños que acaban de in
ncorporarse a la escuela
e
r
e
narse de conocimiento La mayo
os.
oría
no son simples recipientes vacíos que deben llen
de los niños, incl
s
luyendo los procedent de famil
s
tes
lias de bajo nivel económico, llega a
o
la esc
cuela con una gran can
ntidad de co
onocimiento matemá
os
áticos inform
males (Russ
sell
y Gin
nsburg, 198
84). En rea
alidad, muc
chos niños de educa
s
ación espec tienen, al
cial
,
meno algunos conocimie
os,
entos inform
males (Baro
oody, 1983 Baroody y Ginsbu
3a;
y
urg,
1984; Baroody y Snyder, 1983). Los preescola
s
ares apren
nden mucha matemát
a
tica
mal
milia, los co
ompañeros, la TV y los juegos ant de llega a la escue
s
tes
ar
ela.
inform de la fam

19



. La matemátic informa de los niños es el paso intermedio cru
a
ca
al
ucial entre su
conoc
cimiento int
tuitivo, limit
tado e impr
reciso y bas
sado en su percepción directa, y la
u
matem
mática pode
erosa y pre
ecisa basad en símbo
da
olos abstrac
ctos que se imparte en la
e
n
escue Como ocurrió en la historia, la experienc práctica y relativam
ela.
o
a
a
cia
mente concre
eta
de contar ofrece a los niños una base para adquir técnicas numéricas y aritméticas.
s
rir
Puest que el aprendizaje implica una constr
to
e
rucción a partir de c
conocimientos
anteri
iores, el co
onocimiento informal d
o
desempeña un papel c
a
crucial en e aprendizaje
el
signifi
icativo de la matemática formal. Como el aprendizaje es un proc
a
ceso activo de
asimil nueva in
lar
nformación a lo que y se conoc el conoc
ya
ce,
cimiento inf
formal es u
una
base fundamental para com
mprender y aprender la matemáticas que se imparten en
as
cuela. La in
nvestigación cognitiva indica que independ
e,
dientemente de cómo se
e
la esc
introd
duzcan las técnicas, símbolos y co
t
onceptos m
matemáticos en la escu
s
uela, los niñ
ños
tiende a interpr
en
retar y a ab
bordar la ma
atemática f
formal en fu
unción de s matemát
su
tica
inform (Hieber 1984). Por tanto, la matemátic informal es fundam
mal
rt,
a
ca
l
mental para el
a
domin de las técnicas bá
nio
t
ásicas y par enfrenta
ra
arse con éx a la ma
xito
atemática m
más
avanz
zada. A con
ntinuación s describe dos implicaciones e
se
en
educativas de este punto
de vis que tien una imp
sta
nen
portancia clave.
1. La enseñ
ñanza form debe basarse e el con
mal
en
nocimiento matemát
tico
inform de los niños. E esencia que la p
mal
s
Es
al
planificació educati
ón
iva tenga en
cuent el conoc
ta
cimiento m
matemático informal d los niño Los mae
o
de
os.
estros deb
ben
explo
otar las po
otencialida
ades inform
males para que la e
a
enseñanza formal s
a
sea
signif
ficativa e interesante. Además de aum
mentar la p
probabilida de que el
ad
e
apren
ndizaje esc
colar tenga éxito, la e
a
explotación de los pu
n
untos fuerte informales
es
puede tener importantes consecuen
ncias afect
tivas. El pr
rincipio de relacionar la
r
instru
ucción form con el conocimie
mal
ento inform es aplica
ma
able a toda la gama de
a
temas de nivel primario, desde el dominio d las com
s
de
mbinacione numéric
es
cas
básic hasta el aprendiz
cas
e
zaje de con
nceptos y procedimie
entos relac
cionados c
con
los ór
rdenes de unidades como el c
cálculo con acarreo. También v
n
veremos q
que
este p
principio se aplica a niños con una gran v
e
variedad de aptitudes incluyen
s,
ndo
los qu tienen problemas de aprend
ue
p
s
dizaje y los que pres
s
sentan retr
raso menta
al.
2. En gener
ral, las lag
gunas exis
stentes ent
tre el cono
ocimiento informal y la
instru
ucción form pueden explicar las dificult
mal
n
tades de a
aprendizaje Cuando la
e.
enseñ
ñanza form se intr
mal
roduce con demasiada rapidez y no se basa en el
n
z
e
conoc
cimiento inf
formal que ya posee los niño el resul
e
en
os,
ltado es un aprendiz
zaje
memo
orístico y la aparición de pro
oblemas d aprendi
de
izaje y/o de creenc
cias
destru
uctivas. Inc
capaces de conectar la matemá
e
ática forma con algo significati
al
o
ivo,
muchos niños se limitan a m
e
memorizar y utilizar mecánicame
ente las mat
temáticas q
que
se im
mparten en la escuela. Muchos n
niños inclus llegan a no poder memorizar ni
so
r

20



datos ni técnicas Otros pie
s.
erden interé en la materia, desarrollan un s
és
sentimiento de
azo
a
ncluso llega a temerl
an
la.
recha hacia la misma e in
So
obre todo es muy proba
s
able que las lagunas e
s
existentes e
entre la instr
rucción form
mal
y el co
onocimiento informal d los niños provoque dificultad de apre
de
s
en
des
endizaje de las
técnic y los co
cas
onceptos, re
elativament abstracto relacionados con lo órdenes de
te
os,
os
unidades de bas diez. Co
se
omo consec
cuencia, mu
uchos niños tienen pr
roblemas pa
ara
ón
al
mentan dificultades con las técnica de acarr
n
as
reo.
captar la notació posiciona y experim
Otros tienen problemas con la represe
n
entación en base diez y no pueden desarro
n
z
ollar
técnic
cas eficace para ma
es
anejar números grand
des. Sobre todo, son los niños de
educa
ación especial los qu pueden tener gran
ue
ndes dificultades para franquear la
a
r
transición entre la aritmética informal b
l
a
basada en c
contar y la aritmética f
formal basa
ada
osicional.
en la notación po

21



Técnicas para contar
T
s
Co
ontar oralmente, ¿imp
plica aptitud
des numéri
icas? ¿Qué técnicas de contar se
é
suelen desarrolla durante l años preescolares ¿Podemo suponer que los niñ
ar
los
s?
os
r
ños
de ed
ducación especial ad
e
dquirirán té
écnicas bás
sicas para contar de una mane
era
inform
mal? ¿Qué técnicas s
suelen requ
uerir instrucción durante los primeros curs
sos
escola
ares?
A) EL DESARROLLO DE T
L
TECNICAS PARA CO
S
ONTAR
El cas de Alex
so
xi
Ha
acia los vein
ntiséis mes de edad Alexi podía contar de palabra del 1 al 10 y
ses
d,
a
había empezado a experim
a
o
mentar con los númer hasta el 20. Cuando se le pidió
ros
que c
contara los tres puntos de una fo
s
ormación tr
riangular, A
Alexi señaló los puntos y
ó
soltó a toda prisa: «1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9, 10.» C
8,
Cuando se le pidió que contara tres
e
punto en fila, señaló al az y varias veces e c
os
zar
s
conjunto mie
entras decí «8, 9, 10.»
ía:
Aun d
después de poder con con exa
e
ntar
actitud conj
juntos de h
hasta cinco objetos, Al
lexi
se de
esconcertaba cuando se le pr
o
reguntaba cuántos ha
abía conta
ado. Si se le
enseñ
ñaban dos conjuntos (por ejemp una tarjeta con n
plo,
nueve puntos y otra c
con
ocho) también le sorprend que se le pidiera que señal
)
día
lara la tarje que tenía
eta
«más».
e
a
ralmente no garantiza
aba una ca
apacidad pa
ara
La técnica de Alexi para contar or
contar con exac
ctitud conju
untos de o
objetos o p
para el em
mpleo de o
otras técnic
cas
1
éricas. Sin embargo, h
e
hacia los cin años de edad , lo niños no sólo pued
nco
os
o
den
numé
contar de palabr casi hasta 29, sino que inmed
ra
diatamente determinan que ••• y •••
«tres». Además, para un niño típ
pico de cinc años es evidente c
co
cómo se de
ebe
son «
resolv el prob
ver
blema de d
determinar cuál de do conjunto (por ejemplo, uno de
os
os
nueve y otro de ocho) tien más elem
e
ne
mentos: só hay que contar cada conjunto y
ólo
e
o
comparar las can
ntidades resultantes. D
Después de contar cad conjunto de puntos la
e
da
o
s,
soluci del prob
ión
blema tamb
bién es fácilmente visib para los niños de cinco años: «El
ble
conjunto con 9 es más.» P tanto, en cuestión de pocos a
e
Por
años los niños aprend
den
una variedad de técnicas pa contar y muchas m
ara
maneras de aplicarlas (Fuson y H
e
Hall,
1983) Lo complicado que p
).
pueda ser e
este desarro
ollo, o en qué medida llegan a da
arlo
por se
entado los adultos, qu
ueda revela por un examen d
ado
n
detallado de las técnic
e
cas
menc
cionadas en el párrafo anterior.
n
1 Las conductas que se des
s
scriben más adelante se basan en las normas de la prueba E
s
Early
ematical Ability (Ginsburg y Baroody, 1983) y represe
y
entan la capac
cidad -media» de un niño d 4
»
de
Mathe
años y 11 meses de edad.
e

22



Una j
jerarquía de técnicas
d
s
En su mayor parte, la ca
apacidad de contar se desarrolla j
e
jerárquicam
mente (Klah y
hr
ace, 1973). Con la pr
ráctica, las técnicas p
para contar se van h
haciendo m
más
Walla
autom
máticas y su ejecución requiere m
u
n
menos atención. Cuando una técn
nica ya pue
ede
ejecutarse con eficiencia, p
e
puede proce
esarse simu
ultáneamen o integra
nte
arse con otras
cas
m
o)
mar
cnica aun m
más
técnic en la memoria de trabajo (a corto plazo para form una téc
comp
pleja (por ej
jemplo, Sch
haeffer, Eggleston y S
Scott, 1974 Consider
4).
remos qué se
neces para re
sita
ealizar la tarea aparen
ntemente se
encilla de d
determinar s un conjunto
si
de nu
ueve puntos es «más" o «menos" que otro d ocho. Re
s
"
de
ealizar esta comparación
a
entre magnitude numérica requiere la integrac
es
as
ción de cuat técnicas
tro
s.
En primer lugar, la técnic más bás
ca
sica es gen
nerar sistem
máticamente los nombres
e
s
en
do.
dos
de
Alexi ya había
de los números en el orde adecuad A los d años d edad, A
empe
ezado a dom
minar la ser numérica oral y, a v
rie
a
veces, podía contar ha
asta 10 de u
uno
en uno. Sin embargo, cuand se le ped que con
do
día
ntara objeto aún no p
os,
podía decir los
núme
eros en el orden corre
o
ecto de for
rma cohere
ente. Por ej
jemplo, a v
veces no e
empezab a contar desde «uno Hacia lo tres años de edad, lo niños su
ba
o".
os
s
os
uelen empez
zar
a con
ntar un con
njunto a partir de «uno» y al em
mpezar párv
vulos ya pu
ueden usar la
r
secue
encia correcta para co
ontar conju
untos de 10 elemento como mí
0
os
ínimo (Fuson,
Richa
ards y Briars 1982).
s,
En segundo lugar, las palabras (
(etiquetas) de la sec
cuencia num
mérica deb
ben
aplica
arse una po una a cad objeto d un conjunto. La acc
or
da
de
ción de con objetos se
ntar
denom
mina enum
meración. A
Aunque Alex podía ge
xi
enerar la s
serie numé
érica hasta 10
correc
ctamente, no podía en
n
numerar un conjunto de nueve ele
ementos, y ni siquiera de
tres, p
porque toda
avía no hab aprendid que debe aplicarse una, y sólo una, etiqueta
bía
do
e
o
a cada elemento de un conj
o
junto. La en
numeración es una téc
n
cnica comp
plicada porq
que
el niño debe coo
ordinar la ve
erbalización de la serie numérica con el señ
n
a
ñalamiento de
d
cción para crear una c
corresponde
encia biunív
voca entre las
cada elemento de una colec
etas y los ob
bjetos. Com los niños de cinco a
mo
s
años puede generar c
en
correctamente
etique
la ser numéric y señalar una vez c
rie
ca
cada uno d los elem
de
mentos de u colecció
una
ón,
puede coordina con efica
en
ar
acia las dos técnicas p
s
para ejecuta el acto c
ar
complejo de la
e
enumeración (al menos con conjuntos de hasta 1 elementos).
n
s
10
En tercer lug
gar, para h
hacer una comparació un niño necesita una mane
ón,
era
conve
eniente de representa los elem
ar
mentos que contiene cada conju
e
unto. Esto se
consig median la regla del valor c
gue
nte
cardinal: la ú
última etiqu
ueta numéri expresa
ica
ada
duran el proce de enum
nte
eso
meración re
epresenta e número total de ele
el
ementos en el
n
conjunto. En otra palabras un niño de cinco año puede re
as
s,
os
esumir la se «1,2, 3, ...
erie
, 9", c «nueve y la seri «1, 2, 3, ... , 8" con «ocho». Como Alex no podía ni
con
e»
ie
,
xi
a
enumerar conjun
ntos, no ha
abía descubierto que la última e
etiqueta de este proce
eso

23



tiene un significa especia A sus do años de edad, Alex todavía n asociaba la
ado
al.
os
xi
no
a
c
e
nto.
serie numérica con la definición de la cantidad de un conjun
En cuarto lugar, las tres técnicas acabadas de describir son indispe
e
ensables pa
ara
e
n
cuencia def
fine la magnitud. A los dos años de
s
comprender que la posición en la sec
ros
nían tamaño relativos para Alexi Sin emba
os
s
i.
argo, los niñ
ños
edad, los númer no defin
peque
eños llegan a aprende tarde o temprano, que la ser numérica se asocia a
n
er,
rie
a
una m
magnitud relativa. Aun los niños m pequeñ pueden realizar co
muy
ños
n
omparacion
nes
grues entre ma
sas
agnitudes c
como «10 e más gran que 1», quizá porq saben q
es
nde
que
que
el 10 v
viene much más tard en la sec
ho
de
cuencia de enumeració Hacia lo cinco años,
ón.
os
los n
niños pued
den llegar a hacer con rapide compar
ez
raciones precisas en
ntre
magnitudes de números se
n
eguidos com el 8 y el 9, porque e
mo
están muy familiarizad
dos
con la relacione de suce
as
es
esión numé
érica («cuan me pongo a cont
ndo
tar, el 9 vie
ene
despu del 8, así que el 9 es más gra
ués
a
ande»).
Po tanto, con para de
or
ntar
eterminar qu un conju
ue
unto de nueve puntos e más que un
es
e
conjunto de och no es, c
ho
cognoscitiva
amente hablando, un acto trivia Aunque los
al.
adulto pueden dar por sentadas las cuatro técn
os
nicas implic
cadas, ésta constituy
as
yen
un ret intelectua imponente para los niños de dos años de edad. Cua
to
al
e
ando lleguen a
los cinco años, la mayoría de los niño habrán dominado e
l
os
estas técnicas básica y
as
estará listos pa enfrenta
án
ara
arse a nuev desafíos
vos
s.
Alg
gunos de ellos -sobre t
todo los que proceden de entorna con care
e
n
as
encias, los q
que
tienen lesiones cerebrales o los menta
n
c
almente atr
rasados- pu
ueden no ha
aber llegado a
domin estas té
nar
écnicas bás
sicas y nece
esitarán una atención especial. E lo que re
a
En
esta
de ca
apítulo se de
escribirán c mayor d
con
detalle las c
cuatro técn
nicas básica para con
as
ntar
y otra técnicas más elaboradas que se desarrollan durante las prime
as
e
eras etapas de
la esc
colarización
n.
Co
ontar oralm
mente
Se
erie numéri
ica. A una edad tan corta com los diec
mo
ciocho mes
ses, los niñ
ños
empie
ezan a cont oralmen de uno e uno («1, 2, 3 ... »). La mayoría de los niñ
tar
nte
en
a
ños
de do años pue
os
eden contar «1, 2» pero luego em
r
mpiezan a o
omitir términos (Fuson et
n
al., 19
982). Al prin
ncipio, los n
niños puede aprende partes de la serie nu
en
er
e
umérica ha
asta
10 pa unirlas más adelan Por eje
ara
m
nte.
emplo, Alex (hacia los veinte me
xi
s
eses de eda
ad)
empe a usar, de una man
ezó
nera regula la serie « 9, 10». Más adelan añadió «2,
ar,
«8,
nte
3, 4» para hacer «2, 3, 4, 8, 9, la». De
r
espués añad el 5 y el 6 y, finalm
dió
mente, el 1 y el
7 para completar la serie ha
a
asta 10. A l veintiséis meses, A
los
Alexi añadió los números
ó
de do cifras 19 y 20 r' muy poco despu
os
ués, inserta la ristra «11, 12, 13» entre el 10
aba
a
y el 9.

24



Co
ontar oralme
ente suele e
equipararse con «contar de mem
e
moria».
Como ilustra el caso de Ale contar de memoria es una b
o
c
exi,
buena desc
cripción de las
prime
eras técnica orales qu emplean los niños para conta Su man
as
ue
n
ar.
nera de con
ntar
era, s
simplemente una cant
e,
tinela verba sin sentid La serie numérica inicial de Al
al
do.
lexi
parec no ser más que u
cía
una cadena de asocia
a
aciones ap
prendidas d memoria y
de
a
enlaza
adas gradu
ualmente en sí. Sin embargo, contar de m
ntre
memoria es una descr
s
ripción menos adecuada de los poste
e
eriores inte
entos de c
contar. Co demasia
on
ada
encia, este término se emplea pa indicar q los niño aprenden toda la se
ara
que
os
n
erie
frecue
numé
érica por memorización. Aunqu la mem
m
ue
morización desempeña un pa
apel
determ
minado, sob todo du
bre
urante las et
tapas inicia
ales, el apre
endizaje reg
gido por reg
glas
tiene una importa
ancia funda
amental para ampliar e
esta serie. Aunque es probable q
s
que
2
los té
érminos has el 15 se aprend
sta
dan de me
emoria, la mayor part de la se
te
erie
numé
érica poste
erior puede generars mediante reglas (Ginsburg, 1982). L
e
se
Los
restan
ntes númer
ros hasta e 20 pued
el
den genera
arse continu
uando con la secuen
ncia
original (6, 7, 8, 9) Y anteponiendo «la y>; (por e
a
ejemplo, «d
dieciséis, di
iecisiete ... »).
Los números de la segunda decena (2
a
21,22, 23, .. , 29) se p
..
pueden generar mediante
la regla de antep
poner «20,> a cada un de las un
>
na
nidades (de 1 al 9) un por una. En
el
na
realidad, para co
ontar de un en uno h
no
hasta 99 el niño sólo tiene que a
l
aprender e
esta
regla y el orden de las dece
enas (10, 20, 30..., 90).
Los e
errores que cometen l niños a contar so una buena señal de que existen
e
los
al
on
reglas que suby
s
yacen a su cuenta oral, sobre tod de 20 pa arriba. Muchos niñ
do
ara
ños
-incluyendo los que presentan ret
s
traso men
ntal- se in
nventan términos como
«diec
cicinco» por 15, «diec
cidiez» por 20, o «veintidiez, ve
eintionce», para 30 y 31
(Baro
oody y Gins
sburg, 1984 Baroody y Snyder, 1
4;
1983; Ginsb
burg, 1982b Estos er
b).
rrores in
ndican clara
amente que los niños no se limit a imitar a los adu
e
tan
ultos, sino q
que
tratan de construir sus propios sistem de reglas (Barood y Ginsbu
n
mas
dy
urg, 1982). Se
trata d errores razonables porque son ampliacio
de
r
n
ones lógicas aunque in
s,
ncorrectas, de
las p
pautas de la serie nu
umérica qu el niño ha abstraído. Así, a
ue
aun los niñ
ños
menta
almente atr
rasados pa
arecen ser capaces d ver, emp
de
plear y, a v
veces, aplicar
malla pautas de la serie numérica.
as
e

2 En el original se hace refencia al núme 13. Debid a las características qu presentan los
ero
do
ue
res de los números 11 a 19 en ing
n
glés, se ha optado por adaptar la traducción a las
nombr
caracte
erísticas de lo nombres de estos núme
os
e
eros en castellano. Véase t
también la not número 12 (N.
ta
del T.).

25



Au
unque la mayoría de l niños q
los
que se acaban de inc
corporar a la escuela ya
hacen progresos con la par de la se numéric regida p reglas, m
n
s
rte
erie
ca
por
muchos no se
dan cuenta de qu las dece
ue
enas (<<10, 20, 30,... , 90») sigue una pauta paralela a la
,
en
a
secue
encia de las unidades (Fuson et al., 1982). Aún no se sabe con certeza cóm
s
mo
llegan los niños a resolver e «problem de las de
n
el
ma
ecenas», es decir, su o
s
orden correcto
para c
contar hast 100 de u en uno. Una hipót
ta
uno
tesis es que los niños aprenden las
e
decen de mem
nas
moria en fo
orma de ex
xtremos fina
ales de cad serie (po ejemplo, el
da
or
,
niño forma la asociación entre «29
a
9-30» o «3
39-40»). H
Hay alguno datos q
os
que
respa
aldan esta conjetura. A
c
Algunos niño no puede contar p decenas pero pued
os
en
por
s
den
contar hasta 30 ó 39 porqu parecen haber apr
ue
n
rendido que 30 va de
espués de 2
29,
ués
g,
Otra
pero no han aprendido qué va despu de 39 (Baroody y Ginsburg 1984). O
esis
aprenden las decenas (
s
(contar de d
diez en diez de memo
z)
oria
hipóte es que los niños a
y emp
plean este conocimien para re
nto
ellenar la se
ecuencia de contar de uno en un
e
e
no.
Otra h
hipótesis, co
ompletame
ente distinta es que los niños apre
a,
s
enden las d
decenas como
una versión mod
dificada de la secuencia del 1 al 9 y emplean esta pauta (repetir la s
a
secuenc de las unidades y añadir -ent para rel
cia
u
ta)
llenar la cu
uenta de un en uno. Un
no
ejemp de esta última hipótesis es el c
plo
caso de Ter una niña levemente atrasada q
ri,
e
que
cuand llegaba al final de u decena (por ejemplo, «..., 58 59») se p
do
a
una
a
8,
ponía a con
ntar
para sí para ave
eriguar la s
siguiente decena (por ejemplo, «
r
«1,2, 3, 4, 5, 6 -ah, . ,
...
sesen
nta») (Baro
oody y Ginsburg, 198
84). Luego iba repitie
endo este p
procedimien
nto
hasta llegar a 10
00.
En realidad, la mayoría de los n
n
a
niños puede aprende de mem
en
er
moria algun
nas
decen (hipótes 1 y 2) Y emplear r
nas
sis
reglas para generar el resto (hipó
ótesis 3). Esto
tiene sentido po
orque la ma
ayoría de las decenas sigue una pauta y sería inefic
s
caz
apren
nderlas todas de mem
moria. Sin embargo, se puede tener que aprender de
memo la prime parte, in
oria
era
ncluyendo q
quizá algun casos regulares co
nos
omo 40, antes
de de
escubrirse la pauta. Por tanto, aprender las decenas (contar de diez en die
s
ez)
puede ser algo parecido a aprender a contar de uno en un al princi
e
p
e
no:
ipio, los niñ
ños
adquieren una parte por memorizació y luego e
p
ón
emplean un pauta pa ampliar la
na
ara
r
secue
encia.
Ela
aboraciones de la ser numéric Con la experiencia los niños aprenden a
s
rie
ca.
a,
s
n
usar su represe
entación m
mental de la serie n
numérica c
con más e
elaboración y
n
flexibi
ilidad (Fuso et al., 19
on
982). A med
dida que se van familiarizando m y más c
e
más
con
la serie numéric correcta los niño pueden citar autom
ca
a,
os
máticament el núme
te
ero
ente a un nú
úmero dado A los vei
o.
intiséis mes
ses, Alison ya podía h
hacerlo si se le
e
siguie
«daba el pie».
a

26



MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:

Alison, ¿qué núme va desp
ero
pués del 9?
?
[No responde.]
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y ...
10.

De no ser así, Alison no lo podía hace sólo lo ha
o
er
acía a vece
es.
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:
MADR
RE:
ALISO
ON:

¿Qué n
número va d
después de ocho? El ocho.
el
El ocho
o.
¿Y desp
pués del do
os?
El nuev
ve
¿Y desp
pués del se
eis?
[No responde.]
(Un poc más tard ¿Qué v después del ocho?
co
de):
va
Nueve, diez
¿Y desp
pués del do
os?
El cuatr
ro.

Ha
acia los cua o cinco años de ed
atro
dad, los niñ ya no necesitan em
ños
mpezar des
sde
el 1 para respo
onder de m
manera co
oherente y automática pregunta relativas a
a
as
s
núme
eros seguid
dos, al men hasta c
nos
cerca del 2 (Fuson et al., 1982 Ginsburg y
28
2;
g
Baroo
ody, 1983). Uno de los desarrollos que pueden producir un poco más tarde es
s
s
rse
o
e
la cap
pacidad de citar el nú
e
úmero ante
erior. Cuando los niño captan l relacion
os
las
nes
entre un númer dado y el anterior ya está preparado el terreno para con
ro
r,
o
ntar
regres
sivamente. Además, los niños de edad e
escolar aprenden gra
adualmente a
e
conta por grupo Entre la más prec
ar
os.
as
coces de e
estas nueva pautas s encuentr
as
se
ran
conta por pareja de cinco en cinco y de diez en diez.
ar
as,
o
umeración
Nu
Enumeración. Los niños deben apre
.
ender que c
contar objetos implica algo más q
que
r
nto
zado por e
encima de otro mientras
agitar un dedo señalando un conjun o desliz
pronu
uncian con rapidez la s
r
serie numér
rica. Aunque los niños pequeños aprenden c
con
rapide al meno la parte memorístic de la se
ez
os
ca
erie numéri (véase, por ejemp
ica
plo,
Fuson y Hall, 19
n
983) Y no tienen problemas para señalar los objetos d uno en u
a
de
uno
(Beck
kwith y Restle, 1966), coordinar e
estas dos té
écnicas par enumera un conjunto
ra
ar
no es una tarea fácil. En rea
f
alidad, la enumeración -sobre tod de conju
n
do
untos con m
más
uatro eleme
entos- sólo llega a h
o
hacerse au
utomática d una ma
de
anera gradual
de cu
(Beck
kwith y Res
stle, 1966; G
Gelman y G
Gallistel, 19
978, y Schaeffer et al 1974). C
l.,
Con

27



colecc
ciones gran
ndes y, sobre todo, d
desordenad
das, los niñ tienen que aprend
ños
der
estrat
tegias para llevar la c
a
cuenta de lo element que han contado y los que no.
os
tos
Cuand los elem
do
mentos se p
ponen en fila, hace fal poco es
lta
sfuerzo para no perder la
a
r
cuent si se empieza desde uno de lo extremo Si la colección está colocada en
ta
os
os.
á
círculo, el niño sólo necesit recordar el elemento por el que ha empez
ta
o
e
zado a cont
tar.
Con d
distribucion
nes desord
denadas, el niño debe recordar qué elem
r
mentos ha e
etiqueta y cuále quedan p etiquetar. Esto se ve facilita por el e
ado
es
por
e
ado
empleo de un
métod sistemát
do
tico (por eje
emplo, cont de izquierda a dere
tar
echa y de a
arriba abajo o
o)
separ
rando los elementos etiquetados de los n etiquetad
e
no
dos. Fuson (en prens
n
sa)
encon
ntró que muchos de s sujetos de párvul no emp
sus
s
los
pleaban la estrategia de
crear un montón aparte con los eleme
n
n
entos ya con
ntados.
Regla del valor cardinal. A principio, los niños p
a
Al
pueden no darse cue
enta de que la
e
enumeración sirv para numerar. Cua
ve
ando se les pide que c
s
cuenten un conjunto, los
n
niños se limitan a enumera y esperan que es en sí m
arlo
sto,
mismo, satis
sfará al adu
ulto
).
cuántos ob
bjetos acab
ban de cont
tar,
(cosa que ocurre a veces) Si se les pregunta c
vuelve a enume todos los element del conj
en
erar
tos
junto. Por e
ejemplo, Ida una niña de
a,
tres a
años de eda enumer cuatro es
ad,
ró
strellas (« 1 2, 3, 4») sin hacer n
1,
ningún intento
serio de emplear o recordar la informa
r
ación. Cuan se le pr
ndo
reguntó cuá
ántas estrel
llas
había acabado de contar, a
a
d
alzó los hom
mbros y volv a enume
vió
erarlas otra vez. Como la
a
o
enumeración se contempla como un fi en sí mis
in
sma y no co
omo un med para lleg
dio
gar
a un fin, los niñ
ños muy pe
equeños pu
ueden no llegar a co
omprender el sentido de
pregu
untas como « ¿Cuánto hay?» ni preocupar de reco
os
i
rse
ordar los res
sultados de lo
e
que han contado
o.
Cu
uando tiene cerca de dos años, muchos niños des
en
sarrollan un concien
na
ncia
primit
tiva de que contar es un proce
e
s
edimiento e
empleado p
para asigna números a
ar
s
colecc
ciones (para respond a pregu
der
untas del t
tipo « ¿Cuántos hay?
?»). Ahora ya
realizan el intento de recor
rdar lo que han conta
e
ado. Sin em
mbargo, com no se d
mo
dan
cuent de que el proceso d enumera
ta
e
de
ación se pu
uede resum respond a este t
mir,
den
tipo
de pre
eguntas rep
pitiendo la s
serie numé
érica. Despu de «sol
ués
ltar» varios términos («7,
s
8, 9») o de repet el mismo («9, 9, 9» ante un c
)
tir
o
»)
conjunto de tres objeto un niño de
e
os,
dos a
años puede designar e
este conjun volviend a contar (por ejemp «7, 8,9» o
nto
do
plo,
«9, 9, 9») (Wagn y Walte 1982). A despué de habe aprendido .a enume
,
ner
ers,
Aun
és
er
o
erar
correc
ctamente, los niños pu
ueden no darse cuenta de que es innecesario recitar o
s
otra
vez to
oda la sec
cuencia cuando se le pregunta por una cantidad. Por ejemp
es
plo,
despu de enum
ués
merar cuatr estrellas que había en una tarj
ro
jeta, George (sin volve a
er
mirar la tarjeta) respondió a la pregun ¿«Cuántas estrella hay»? co «Pues h
r
nta
as
on:
hay
1, 2, 3 y 4 estrellas.» Sin em
mbargo, a u edad ta corta com los dos años y me
una
an
mo
edio
de edad, algunos niños des
s
scubren el «
«atajo» con
nsistente en recitar la ú
n
última etiqueta
del pr
roceso de enumeració para indicar la cant
e
ón
tidad. En el fondo, la r
l
regla del va
alor

28



cardin traduce el término aplicado a un elemento determinado de un conjunto (el
nal
último al término cardinal q represe
o)
o
que
enta el conj
junto entero
o.
Re
egla de la cu
uenta cardin La regla inversa a la del valor cardinal es la regla de la
nal.
a
r
s
e
cuent cardinal. Esta regla específic que un término ca
ta
.
ca
ardinal com «5» es la
mo
s
etique asignad al último elemento cuando s enumer un conju
eta
da
o
se
ra
unto de cin
nco
objeto (Fuson y Hall, 198
os
83). Parece que los n
e
niños tiene que apre
en
ender que un
términ como cin es al m
no
nco
mismo tiemp el nombr de un co
po
re
onjunto (núm
mero cardin
nal)
y un n
número par contar. C
ra
Consideremos el caso de un niño al que se d un conjunto
da
de cin canicas junto con la consigna «Aquí ha cinco can
nco
s
a:
ay
nicas; pon c
cinco ca!1ic
cas
en la taza.» El ni que no aprecia la r
iño
regla de la c
cuenta card
dinal tiene q ponerse a
que
conta las canica a medida que las va soltando en la taza. Este niño n puede p
ar
as
a
no
prever qu la etique cinco e
ue
eta
empleada p
para design el conju
nar
unto es la m
misma que se
debe aplicar al resultado de contar el conjunto En cambio, el niño que da por
o.
o
senta la regla de la cuen cardinal se limita a colocar todo el conju
ada
nta
unto en la ta
aza
sin co
ontar.
Se
eparación. Contar (sep
C
parar) un nú
úmero conc
creto de ob
bjetos es un técnica q
na
que
emple
eamos a diario (por e
ejemplo, «D
Dame tres lápices», «
«Me queda con cua
aré
atro
camis
sas», «Tom cinco clavos»). Sin e
ma
embargo, n se trata d una tarea cognoscit
no
de
a
tiva
sencil porque implica: a) o
lla
observar y recordar el número de elementos solicitado (el
e
s
objetivo); b) etiq
quetar cada elemento separado con una etiqueta numérica, y c)
a
o
o
contro
olar y dete
ener el pro
oceso de s
separación. En otras palabras se requie
s,
ere
almac
cenar el ob
bjetivo en la memoria de trabajo, un proces de enum
a
so
meración y, al
mismo tiempo, ir compara
ando los números de proceso de enume
el
eración con el
n
núme almacen
ero
nado y dete
ener este p
proceso cua
ando se llegan a igualar (Resnic y
ck
Ford, 1981). La regla de la cuenta car
rdinal ofrece al niño un razón pa tomar nota
e
na
ara
del ob
bjetivo en la memoria d trabajo y constituye la base pa detener el proceso de
a
de
e
ara
r
o
enum
meración (Ba
aroody y Mason, 1984 Por ejem
4).
mplo, si se p
pide a un niñ que sepa
ño
are
tres lápices tien que dar
ne
rse cuenta de que pa realizar la tarea e importante
ara
r
es
record «tres» y que deb parar de contar lá
dar
be
e
ápices cuan
ndo llegue a la etiqueta
«tres»
».
Comp
paración de magnitu
d
udes
Cu
uando tienen unos tres años de ed
s
dad, los niños descubr que los términos para
ren
contar más altos se asocian a magnitu
s
n
udes superi
iores (Wagner y Walte 1982). A
ers,
Así
se dan cuenta de que «dos» no sólo sigue a «uno sino que también re
e
o»
e
epresenta u
una
cantid mayor. Hacia los 3 años y m
dad
medio, los n
niños suelen apreciar que «tres» es
mayor que «dos» (Shaeffer et al., 1974 Partiend de estos datos, los n
»
r
4).
do
niños de cerca

29



de cu
uatro años de edad pa
d
arecen des
scubrir una regla gene
eral: el térm
mino numér
rico
que v
viene despu en la s
ués
secuencia s
significa «m
más» que e término d un núme
el
de
ero
anteri Aun ant de entra en la escuela, los niñ parece usar su re
ior.
tes
ar
ños
en
epresentac
ción
menta de la ser numérica para hace compara
al
rie
a
er
aciones toscas, pero e
eficaces, en
ntre
magn
nitudes, es decir, para comparar c rapidez y exactitu dos núm
d
con
z
ud
meros bastante
separ
rados entre sí dentro de la secu
e
uencia (por ejemplo, e 3 y el 9, o el 2 y el 8)
el
l
(Resn
nick, 1983) A medid que la relación « siguient de» se va hacien
).
da
«el
te
ndo
autom
mática, los niños pued llegar a ser capac de hac compar
den
ces
cer
raciones en
ntre
magn
nitudes más próximas (
s
(entre núme
eros seguid
dos). En rea
alidad, cuan la mayo
ndo
oría
de los niños em
mpiezan a asistir al parvulario ya pueden realizar con bastante
sión compa
araciones en números adyacen
ntre
ntes hasta e 5 e inclus hasta el 10.
el
so
precis
B) IM
MPLICACIO
ONES EDUCATIVAS: DIFICULT
TADES PAR CONTA Y
RA
AR
SO
OLUCIONE
ES
Conta oralmen
ar
nte
Se
erie numéri
ica. La ma
ayoría de l
los niños, incluyendo los que pertenecen a
o
n
minor
rías y a cla
ases sociales desfavo
orecidas, re
eciben una exposición intensa a la
n
prime parte -la memorísti
era
a
ica- de la serie numér
rica por par de famili
rte
iares, amigos,
perso
onal de guardería, la te
elevisión, et antes de llegar a la escuela. S un niño q
tc.,
a
Si
que
acaba de incorp
a
porarse al ja
ardín de inf
fancia man
nifiesta inca
apacidad pa generar la
ara
r
secue
encia memo
orística has un mín
sta
nimo de 10, puede da señal de un problema
ar
e
grave y de la necesidad de una in
e
ntervención de apoyo inmediata e intens
n
o
a
siva
(Baroody y Gins
sburg, 1982
2b). Aunque se dan g
grandes dif
ferencias in
ndividuales, el
domin de la pa memor
nio
arte
rística de la serie numérica no de
a
ebería darse por senta
ado
en niñ atrasad del ciclo medio (Ba
ños
dos
o
aroody y Gin
nsburg, 198 La may
84).
yoría de los niños de cuatro y medio a sei años de e
m
is
edad puede llegar a c
en
contar hast 29 ó 39. S
ta
Sin
emba
argo, y dado que todav no han resuelto el problema de las dece
o
vía
enas, much
hos
de ello son inca
os
apaces de a
ampliar la p
parte regida por reglas más allá de estas cifr
a
ras.
Muchos niños pe
equeños co retraso m
on
mental nece
esitarán ayu para lle
uda
egar a dominar
inclus la primer parte de l secuencia regida po reglas (de 16 al 19 y del 20 al 2
so
ra
la
or
el
29).
Ap
partir del 15 aproxima
5,
adamente, la enseñan de la se numéric no debe
nza
erie
ca
ería
insisti en la me
ir
emorización En camb se debe
n.
bio,
ería animar a los niño a busca y
os
ar
discut las pauta subyace
tir
as
entes a la s
serie numérica. En alg
gunos caso el maes
os,
stro
puede tener que dar «pistas o ayudar a que las p
e
s»
r
pautas se hagan explíc
citas (véase el
e
ejemp 6.1). Ad
plo
demás, es positivo qu los niños cometan errores al aplicar reglas
ue
s
como sustituir 30 por «veintidiez». Se trata de un señal pro
0
na
ometedora porque indica
to
auta numér
rica y const
tituye un int
tento activo por parte del
o,
el reconocimient de una pa
niño, de tratar co lo desco
on
onocido en f
función de las reglas o de la com
mprensión q
que

30



ya tie
ene. Cuando un niño comete un error al ap
plicar una regla, el m
maestro pue
ede
aprov
vechar el co
onocimiento que ya tiene diciéndo por ejem
o
ole,
mplo: «Otro nombre pa
o
ara
veintid
diez es 30» Se trata d una man
».
de
nera constr
ructiva de c
corregir al n
niño porque el
e
maestro aprecia su capac
a
cidad para pensar sin dejar de ofrecerle el feedba
a
e
e
ack
neces
sario para su desarroll posterior
s
lo
r.
plo
pleo de pau
utas para enseñar las decenas
Ejemp 6.1 Emp
Aun los niños algo retrasados pued benefic
s
den
ciarse de la instrucción que explo
a
ota
las pa
autas subya
acentes a la serie num
a
mérica. Tom
memos el c
caso de Mik un homb
ke,
bre
de veinte años de edad con un el de 40 Mike trat
n
0.
taba de aprender cómo decir la ho
o
ora
ajustá
ándola a los cinco min
s
nutos más próximos, p
pero como no conocía las decen
a
nas
super
riores a 30 no podía pasar de 35. Después de 3 se limita
0,
e
35
aba a repetir
expre
esiones usa
adas previamente (por ejemplo, 5 10, 15, 20, 25, 30, 3 30»). Pa
r
5,
35,
ara
establecer una conexión e
entre la se
ecuencia de las unidades y las decenas, la
s
educa
adora de Mike escribió los núme
M
ó
eros del 1 a 6 en una tarjeta. De
al
ebajo de ca
ada
cifra e
escribió la decena co
orrespondie
ente y le ex
xplicó que podía usar los primeros
r
núme
eros que em
mpleaba pa contar para averiguar las de
ara
ecenas. «¿Ves? El 1 es
como el 10, e! 2 como el 20 e! 3 como el 30, el 4 como el 4 el 5 com el 50 y e 6
0,
40,
mo
el
como el 60». Mik usó la lis numéric de esta ta
ke
sta
ca
arjeta para contar de c
cinco en cin
nco
y al v que con ella podía expresar t
ver
n
a
todas las horas del re se puso tan contento
eloj
o
que p
pidió más copias de la tarjeta para usarlas en clase y en casa. L siguientes
c
a
Los
pasos se encam
s
minaron a h
hacer que M
Mike determ
minara la s
siguiente de
ecena usan
ndo
menta
almente la secuencia p
s
para contar y a que pr
r
racticara co
ontando de diez en die y
ez
de cin en cinc hasta qu estas té
nco
co
ue
écnicas se h
hicieran au
utomáticas. Al final, M
Mike
decía en seguida la hora sin necesitar la tarjeta.
a
r
La edu
ucación de Mike y la recopilación del ca se deben a Cathy A. M
aso
Mason.

Los obstáculo más frecuentes para los niños, sea cual s su capa
s
os
a
,
sea
acidad mental,
son lo nombres irregulares de los núm
os
s
s
meros 14 y 15 Y de las decenas 3 (por ejemp
s
plo,
Baroo y Snyde 1983, y Fuson et al 1982). Co
ody
er,
l.,
omo 14 y 15 son una e
excepción a la
pauta de elabora
a
ación, es fr
recuente qu sean los últimos nú
ue
s
úmeros que se aprend
e
den
hasta 19. Alguno niños sim
os
mplemente se los salta («…,13, 16,...) o los cambian p
an
s
por
3 Se ha hecho una adapta
o
ación al cas
stellano de l
las dificultad
des que, en el original, se
en
e
n
ase
mero 12. (N. del
refiere al nombre de ciertos números en inglés. Véa también la nota núm
T.)

31



otro («…,13, 16, 16, 16,…) Un diagn
,
)
nóstico exp
peditivo, el empleo de modelos y la
r
cia
da
n
ntes de que se
práctica pueden establecer la secuenc adecuad como un hábito an
instau una sec
ure
cuencia inco
ompleta o incorrecta.
Elabo
oraciones de la serie numérica Cuando están en párvulos, los niños no
d
e
a.
deberían tener problemas para citar el número siguiente a otro, y ni siquiera el
r
o
e
a
rior, al men hasta e (Fuson et al., 1982 Ginsburg y Barood 1983). L
nos
ella
n
2;
g
dy,
Los
anter
niños de bajo re
s
endimiento y con retras mental p
so
puede que n sean capaces de c
no
citar
el núm
mero siguie
ente y quizá deban em
á
mpezar a contar desde ello hacer c
conjeturas. Es
proba
able que citar el núm
c
mero anterior sea rela
ativamente difícil porq
que los niñ
ños
deben operar so
obre la serie numérica en dirección opuesta a la seguida durante su
a
a
e
apren
ndizaje. Ad
demás, pu
uede que el concept de ante
to
erior sea m
más difícil de
comp
prender que el de sigu
e
uiente. Por tanto, al pr
rincipio lo m
mejor sería concentrar la
enseñ
ñanza de apoyo en el número sig
a
guiente. Esta enseñan debería empezar c
nza
a
con
la par más fam
rte
miliar de la s
secuencia numérica (d 1 al 4 o al 5). Adem
del
más, si el n
niño
puede leer las cifras se pu
c
uede empez con act
zar
tividades en las que in
n
ntervenga u
una
repre
esentación concreta de la serie n
c
e
numérica (u lista numérica). Un vez el n
una
na
niño
ha co
omprendido la cuestión relativa al número siguiente (anterior) y puede dar
o
a
o
e
respu
uestas con facilidad m
mediante el empleo de una lista n
e
numérica, p
puede pasa a
ar
actividades sin lista numérica que le e
exijan deter
rminar men
ntalmente la respuesta
a
a.
Co
ontar regres
sivamente desde 10 depende d conocim
del
miento de las relacion
nes
existe
entes entre un número y su anter
o
rior, y es un técnica oral relativa
na
amente difí
ícil.
Con todo, suele ser domina por los niños cuan llegan a primer cu
ada
ndo
urso (Fuson et
n
al., 1982; Ginsb
burg y Baro
oody, 1983 Contar regresivam
3).
mente desd 20 es u
de
una
técnic especialm
ca
mente difíc y no suele dominars hasta poc antes de tercer curs
cil
e
se
co
e
so.
Los m
maestros de educación especial d
e
n
deben espe muchas dificultade con las d
erar
s
es
dos
técnic
cas. La enseñanza de apoyo pue empeza haciendo que el niño lea una lis
ede
ar
o
o
sta
numé
érica hacia atrás (de d
derecha a i
izquierda). Con los niños que do
ominan o h
han
domin
nado el núm
mero siguiente, se pue tapar la lista numé
ede
a
érica dejand a la vista el
do
a
núme de parti
ero
ida. Entonc
ces, a med
dida que el niño va contando ha
acia atrás, se
puede ir desta
en
apando suc
cesivamente los núme
e
eros menores. Este p
procedimien
nto
confir
rma las resp
puestas cor
rrectas y of
frece un fee
edback corre
ector para la respuest
as
tas
incorr
rectas.
Para contar a intervalos d cinco co
de
omo mínimo puede an
o,
nimarse a lo niños a q
os
que
een la sec
cuencia fam
miliar de c
contar de u
uno en uno, pero su
usurrando los
emple
núme
eros intermedios y de
estacando los que forman la pa
auta. Por e
ejemplo, pa
ara
apren
nder a conta de dos en dos, pued decirse a niño que cuenta así: «uno [en v
ar
n
de
al
:
voz
baja], dos [en voz alta], tre [en voz baja], cuat [en voz alta]... ». Si hace fal
es
tro
z
lta,
puede empezars con una lista numé
e
se
a
érica para aligerar el esfuerzo de expresar el
r
términ correcto y permitir q el niño se concent en la pauta. En el e
no
o
que
tre
ejemplo 6.2 se

32



mues otro mé
stra
étodo para contar a intervalos a partir de la secuencia familiar pa
a
a
ara
conta de uno en uno.
ar
n

Eje
emplo 6.2 Enseñanza de contar a intervalos
E
s
Se puede ha
acer que contar a i
intervalos tenga sign
nificado pa
ara los niñ
ños
relacionándolo con el proce
c
edimiento fa
amiliar de contar objeto reales de uno en un
os
no.
Josh, un adolesc
cente con r
retraso mod
derado, est
taba aprend
diendo a co
ontar de cin
nco
en cin
nco. Su edu
ucadora le h
había dicho que coloca unos dis
o
ara
scos de plá
ástico de co
olor
que le gustaban mucho en pilas de a c
e
cinco y des
spués le ayu a conta
udó
arlos de cin
nco
en cin
nco. Luego, hizo que J
,
Josh los desparramara y los cont
a
tara de uno en uno. Jo
osh
se qu
uedó muy so
orprendido al ver que obtenía el mismo resultado. Lue compro
ego
obó
la val
lidez gener de este descubrim
ral
e
miento con distintos n
números de pilas. En la
e
sesión siguiente, Josh insis en repe el exper
stía
etir
rimento por su cuenta.
r
Duran la tercera sesión, J
nte
Josh pidió t
tarjetas con números (5, 10, 15,2 25, etc.) y
n
20,
las em
mparejó con sus pilas. A continua
n
ación añadió una nuev etapa a s proceso de
va
su
comprobación: le los núm
eer
meros de las tarjetas a medida que iba contan los disc
s
e
ndo
cos
de uno en uno. Comprobó e resultado de contar la primera p de uno en uno con el
C
el
o
pila
n
ero
ta
sos, el resultado era «5
5».
núme de la primera tarjet y encontró que, en ambos cas
Al continuar con
ntando de uno en uno la segun
o
nda pila, en
ncontró que el resulta
e
ado
coinci
idía con el número de la segund tarjeta (10), y así s
e
da
sucesivame
ente. Mientras
Josh iba contand de uno en uno, la educadora recalcaba el número final de ca
do
ada
grupo (5, 10, 15, etc.) dicién
o
,
ndolo en vo alta con él. Luego, J
oz
Josh se inv
ventó un jue
ego
de ad
divinar en el que se tapaba los ojos, la e
e
educadora t
tomaba un tarjeta (p
na
por
ejemp la del 15) y Josh tenía que adivinar de qué núm
plo,
1
e
mero se trat
taba. Hacia la
a
cuarta sesión ya podía con
a
a
ntar hasta 30 de cinc en cinco y sin ayud El uso de
co
o
da.
objeto reales y la secuen
os
ncia para c
contar de u
uno en uno hicieron que contar a
o
intervalos fuera, para Josh, algo comp
prensible e interesante
e.
La edu
ucación de Josh y la recopilación del ca se deben a Cathy A. M
aso
Mason

Nume
eración
En
numeración. Cuando lo niños lle
os
egan al jard de infan
dín
ncia suelen ser bastante
n
comp
petentes para contar co
onjuntos de uno a cinc objetos, y la mayorí de los niñ
e
co
ía
ños
de cin años en
nco
numera con exactitud h
n
hasta 20 ob
bjetos (Fuso en prensa). Por tan
on,
nto,
si un niño que empieza el c
e
curso de pá
árvulos pre
esenta dificu
ultades con conjuntos de
n
uno a cinco elem
mentos, es q necesit de inmed
que
ta
diato una at
tención individual. El n
niño
que n haga nin
no
ngún intento de etique
etar cada o
objeto de un conjunto, por peque
,
eño

33



que é
éste sea, co una palabra para contar (soltando al az palabra para con
on
zar
as
ntar
mient
tras desliza el dedo p encima de los obj
a
por
jetos) ni de llevar la cuenta de los
e
objeto contados y sin con (etiquet
os
ntar
tando los o
objetos del conjunto de una manera
e
totalm
mente asiste
emática) pr
resenta gra
aves problemas (Baroo y Ginsb
ody
burg, 1982b
b).
Co
omo la en
numeración requiere la coordi
n
inación de dos sub
e
btécnicas, los
errore pueden deberse a tres causa a) gene
es
as:
erar una se numérica incorrecta
erie
(error de secu
res
uencia); b) llevar un c
)
control inex
xacto de los elemento contado y
os
os
no co
ontados (errores de p
partición), y c) no co
oordinar la elaboració de la se
ón
erie
numé
érica y el proceso de control de los ele
ementos co
ontados y no contad
dos
(error
res de co
oordinación (Gelman y Gallis
n)
n
stel, 1978) En la f
).
figura 6.1 se
mues
stran algun ejemplo de cada tipo de error. En oc
nos
os
a
casiones, lo niños pu
os
ueden t
tener un desliz al g
d
generar un serie n
na
numérica, pero si los errores de
secue
encia son sistemático (por eje
os
emplo, etiquetar siste
emáticamen conjuntos
nte
de 13 y 14 elem
3
mentos con «13») es señal de que hace f
n
s
falta una e
enseñanza de
apoyo orientada a reforza la técnic necesar para co
o
a
ar
ca
ria
ontar oralm
mente. El niño
que c
comete con regularida errores de partició como pa
n
ad
ón
asar algún elemento p
por
alto o contarlo más de u
una vez, d
debe apre
ender estra
ategias de control m
más
eficac
ces.
En la figura 6.1 se pued observa que hay tipos de er
n
6
de
ar
rrores muy distintos q
y
que
pueden produc las mis
cir
smas resp
puestas. Por ejemplo el doble etiqueta
o,
ado
(seña
alar un obj
jeto una vez y asign
narle dos e
etiquetas), al igual que contar un
mism objeto más de una vez, aume
mo
m
a
enta en un unidad e número d elementos
na
el
de
de un conjunto. Sin emba
n
.
argo, el dob etiqueta es un error de co
ble
ado
oordinación y
no de partición. En realid
e
dad, se pue
eden comb
binar vario errores p
os
para produ
ucir
una r
respuesta correcta. C
c
Como las re
espuestas incorrectas pueden p
s
producirse de
varias maneras y como, matemát
s
s
,
ticamente, dos error
res no equivalen a un
aciert es impo
to,
ortante que los maes
e
stros observen la act
tividad de enumerac
ción
de los alumnos que tenga alguna d
s
an
dificultad.
Si un niño tie
n
ene proble
emas para ejecutar con efica
a
acia algun de est
na
tas
subté
écnicas, es probable que se de errores de coordin
s
en
nación. Po ejemplo, un
or
niño q tiene que detener y pensa qué viene después del 3 cuan cuenta un
que
rse
ar
ndo
conjunto de cinc element
co
tos, puede olvidar po dónde ib «1 [señ
or
ba:
ñala el prim
mer
eleme
ento], 2 [se
eñala el segundo], 3 [
[señala el tercero], a ver, a ver, 4 [señala el
a
quinto elemento] Igualme
o
]».
ente, si un n
niño tiene que dedicar mucha atención para no
perde
erse, puede equivoc
carse (por ejemplo, saltarse un número). Fuson y
Mierk
kiewicz (198 encontr
80)
raron que lo niños pe
os
equeños tendían a cometer error
res
de coordinación a medio co
ontar.

34



Los errores de coordinación tamb
d
bién puede darse al principio o al final del
en
eso de en
numeración (Gelman y Gallistel, 1978). Algunos niños tien
n
nen
proce
dificultades para empezar las dos sub técnicas a mismo tie
a
b
al
empo. En c
consecuenc
cia,
er
o,
o
an
tar
ado
señalan el prime elemento pero no lo etiquetan o empieza a etiquet demasia
o
mplo, dicen «1» sin se
eñalar el pr
rimer eleme
ento, que a continuación
pronto (por ejem
recibe la etiqueta «2»). A ve
e
a
eces, los niñ tienen d
ños
dificultades para acabar con las d
s
dos
técnic coordin
cas
nadas y señ
ñalan, pero no etiquet
o
tan, el últim elemento o continú
mo
úan
etique
etando después de ha
aber señala el último elemento. Los niños mentalmente
ado
o
s
retras
sados parecen ser pro
opensos a cometer e
errores de c
coordinació (Baroody y
ón
y
Ginsb
burg, 1984)
).
El «frenesí» y «pasar de largo» so dos grav errores de enume
on
ves
s
eración. En el
n
prime
ero, el niño empieza c una cor
con
rresponden
ncia biunívo
oca, pero no la mantie
ene
hasta el final, y en el segundo no inten establec la corres
a
e
nta
cer
spondencia al empeza o
a
ar
acaba el proce de enumeración (
ar
eso
(Fuson y H
Hall, 1983). El frenesí puede darse
como resultado de no contr
o
d
rolar los ele
ementos etiq
quetados y no etiqueta
ados (error de
partic
ción), no coordinar la c
cuenta oral y la acción de señalar (error de c
r
coordinació
ón),
o amb a la vez (véase la fig. 6.1). Pa
bos
z
asar por alt comporta no hacer n
to
a
ningún intento
de co
ontrolar o co
oordinar la serie numé
érica con la acción de señalar cad element
da
to.
Co los niño que «pasan por alto» algún elemento la enseñanza de la·
on
os
n
o,
enum
meración de
ebe destac
car: a) contar despac y con a
cio
atención; b aplicar u
b)
una
etique a cada elemento; c) señalar cada elemento una ve r sólo un y d) con
eta
ez
na,
ntar
organ
nizadament para ahorrar esfuerz en el con
te
zo
ntrol. Con e
elementos f
fijos, el cont
trol
de lo objetos contados y los que quedan p contar se puede facilitar c
os
e
por
e
con
estrat
tegias de aprendizaje como em
a
e
mpezar por un lugar b
bien definido y continu
uar
sistem
máticament en una dirección (por ejemp
te
plo, de izqu
uierda a d
derecha). U
Una
estrat
tegia adecuada para contar ele
ementos m
móviles es separar cl
laramente los
eleme
entos conta
ados de los que queda por conta
an
ar.
Regla del valor cardinal. Cu
a
c
uando llega a párvulo los niño aplican r
an
os,
os
rutinariamente
la regla del valor cardinal a conjuntos a mayore (Fuson, P
r
aún
es
Pergament, Lyons y H
Hall,
).
ño
o
acer es señal de que tiene grav
e
ves
1985) Si un niñ de esta edad no lo puede ha
proble
emas. Aun
nque much
hos niños mentalme
ente retrasados pued
den aprend
der
espon
ntáneamente la regla del valor cardinal, otros necesitan una enseñanza explícita Si un niño simpleme
a.
o
ente adivina el valor ca
a
ardinal de un conjunto que acaba de
conta o vuelve a enumer el conju
ar
rar
unto, se le puede ex
e
xplicar la re
egla del va
alor
cardin de la manera siguiente: «Cua
nal
m
ando cuent
tes, recuerd el último número q
da
o
que
dices porque así sabrás cuántas cosa has conta
í
as
ado.» Si un niño repite toda la se
n
e
erie
érica empleada en el p
proceso de enumeración, se le puede decir que existe un
numé
atajo: «Deja que te enseñe una manera más fáci Después de contar, me vuelve a
e
il.
es

35



decir el último nú
úmero que hayas dich y así sab cuántas cosas has contado.» A
ho
bré
s
»
s
e
ro
re
so
s
en
»:
veces es útil que el maestr demuestr el proces mientras «piensa e voz alta» «
¿Cuán
ntos dedos tengo leva
s
antados? V a conta
Voy
arlos, a ver Uno, dos tres, cuat
r.
s,
tro.
Vaya, el último número q
,
que he dic
cho es cua
atro, así q
que tengo cuatro ded
dos
levantados.»

” Ind
dica la acción de señalar.
• Ind
dica una combinación de e
errores de sec
cuencia y par
rtición.
•• In
ndica una com
mbinación de errores de pa
artición y coor
rdinación.

36



Re
egla de la cuenta card
c
dinal. Los n
niños que e
empiezan la escuela s
a
suelen dar por
sentada esta no
oción más a
avanzada d valor ca
del
ardinal; muc
chos niños de educac
ción
espec no lo hacen así (
cial
h
(Baroody y Mason, 1984). Esta regla pued enseñarse
de
media
ante un pro
ocedimiento de dos e
o
etapas con
ncebido por Secada, Fuson y H
Hall
(1983 (Véase la fig. 6.2). La primera e
3)
a
etapa consiste en pres
sentar un co
onjunto al n
niño
e indi
icar (verbalmente y m
mediante un número e
n
escrito) la d
designación cardinal del
conjunto. El mae
estro pide a niño que cuente el c
al
conjunto y o
observe qu el resulta
ue
ado
cide con la designació cardinal. Para la se
ón
egunda etap el maes
pa,
stro
de contarlo coinc
prese
enta otro conjunto. Se le vuelve a dar al niño la designa
o
ación cardin y se le p
nal
pide
que cuente los elementos d conjunto Sin emba
e
del
o.
argo, antes de que aca de cont
abe
tar,
de
do.
el maestro le pid al niño que prediga el resultad
eparación. Los niños suelen llegar a párvulos pudiendo separar co precisión al
L
s
o
on
n
Se
meno conjuntos de peque tamaño. Si un niño es incapa de separa hasta cin
os
s
eño
o
az
ar
nco
objeto cuando se le pide es que n
os
e,
necesita un enseñan
na
nza de apo
oyo intensi
iva.
Muchos niños co deficienc
on
cias mental tienen d
les
dificultades con esta ta
area (Baroo
ody
y Ginsburg, 198 Baroody y Snyder, 1983; Spr
84;
y
,
radlin, Cott
ter, Stevens y Friedman,
s
1974) Y necesita una ense
)
an
eñanza esp
pecial.

37



Un de los err
no
rores más c
comunes cu
uando se re
etiran objeto de un co
os
onjunto es «
«no
parars
se», es dec no deten el proce de cont cuando se ha llega al objeti
cir,
ner
eso
tar
ado
ivo.
A Mat un niño deficiente m
tt,
d
mental, se le enseñaron ocho lápices y se le pidió: « Toma
e
cinco para dárse
elos al maes
stro; recuer
rda, saca sólo cinco.» Sin embar
rgo, se limit a
tó
contar los ocho lápices. Cabe atribuir este tipo de errores a un fallo de memoria (por
l
e
ejemp véase Resnick y F
plo,
R
Ford, 1981) Según un de las hipótesis qu atribuyen el
).
na
ue
n
error a un fallo de memoria, los niños no mantienen e! ob
d
bjetivo en la memoria de
a
trabaj es decir, no toman nota de la cantidad s
jo,
solicitada. O propue
Otra
esta es que al
e,
estar tan ocupad con e! proceso de contar, se olvidan de! objetivo. Por ejemp
dos
e
e
.
plo,
cuand se le pr
do
reguntó a M
Matt cuánto lápices debía tomar, respond
os
dió: «No sé.»
Como no recorda e! obje
o
aba
etivo o no lo tenía en su memoria de trabajo, Matt se lim
o
mitó
a contar todos lo lápices q tenía de
os
que
elante.
Al i
igual que muchos otro niños (vé
m
os
éase Flavell, 1970), es posible que Matt supie
e
era
que h
hace falta un esfuerzo especial para memo
u
o
orizar infor
rmación, es decir, que a
s
e
veces necesitam ensayar o repetir u informa
s
mos
una
ación para f
facilitar e! re
ecuerdo. Pa
ara
este niño, la en
nseñanza d apoyo debe recal
de
lcar la imp
portancia de recordar el
r
objetiv de la tar y, de ser necesario debe también enseñ
vo
rea
o,
ñarle cómo r
recordarlo. Se
debe estimular al niño a ensayar (r
repetir) e! objetivo pa que qu
ara
uede graba
ado
firmem
mente en su memoria de trabajo antes de co
u
ontar los ob
bjetos. Si ha falta, se le
ace
e
puede instar a que anote el número an
e
l
ntes de em
mpezar a contar.
Los n
niños que tienen la e
t
edad de em
mpezar a a
andar (Wag
gner y Walters, 1982 y
2)
algunos niños deficientes m
mentales (Baroody y Ginsburg, 1984) tienen problem
mas
con e
esta tarea aun cuando parecen recordar el objetivo. Por ejempl cuando se
a
o
lo,
pidió a un niño, Fred, que quitara tre objetos d un mont de cinc se limitó a
es
de
tón
co,
ó
contarlos todos: «1,3,4,6, 11 [y despué volviend a señala e! último elemento] 3»,
1
és,
do
ar
ciendo que había reco
ordado e! objetivo. E
Este niño d
deficiente había vuelto a
o
parec
etique
etar el últim elemento con la pa
mo
alabra «tres Cuando se le pidió que retira
s».
o
ara
cinco elementos de un total de nueve v
l
volvió a com
meter el err de no de
ror
etenerse, pe
ero
acabó la cuenta con la etiq
ó
a
queta corre
ecta: «1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 5.» A
Aunque no se
detuv cuando se encontró por prime vez con la etiqueta buscada, Fred pare
vo
s
ó
era
n
a
ecía
record
darla e hizo que el último elemen tuviera l etiqueta apropiada.
o
nto
la
Este error de «finalizar c el objet
con
tivo» puede explicarse mediante otra hipóte
e
e
esis
referid a la memoria. Au
da
unque algu
unos niños guardan e objetivo y lo pued
el
den
record más tar
dar
rde, el proc
ceso de con objetos absorbe t
ntar
s
tanto su ate
ención que no
puede compara la serie numérica de proceso d separación con el o
en
ar
el
de
objetivo. Como
la memoria de tra
abajo de Fr estaba t copada por el proc
red
tan
a
ceso de sep
paración qu
uizá
e
mente a los procesos d contar y de compar
de
rar.
no fue capaz de atender simultáneam
Una v liberada su atenció del proce de cont Fred pu recorda el objetiv y
vez
a
ón
eso
tar,
udo
ar
vo
enme
endar su conducta.

38



Cu
uando un niño no tiene problema para rec
as
cordar el ob
bjetivo, la e
enseñanza de
apoyo debe cent
o
trarse en el proceso de comparac
l
ción. Prime se debe hacer que el
ero,
e
e
niño a
anote el objetivo. A continuació sacamo nosotros el primer elemento (o
ón,
os
s
r
dejam que lo haga el niño). Luego le preguntamos (señalando el número anota
mos
h
e
ado
si es n
necesario): « ¿Es la ca
antidad cor
rrecta? ¿Ha que para
ay
arse aquí?» Continuam
mos
así ha
asta llegar a la cantida solicitada Debemos explicar c
ad
a.
s
claramente por qué se ha
detenido el proce de contar: «Nos h
eso
hemos para en N [de el número desead
ado
ecir
do)]
ue
alar el obje
etivo] es la cantidad que neces
a
sitamos.» S
Sobre todo a
o
porqu N [seña
principio, se deb ayudar al niño a enc
be
contrar la m
manera más fácil posib de ejecu
s
ble
utar
oceso de co
ontar. Por e
ejemplo, se puede sim
e
mplificar el proceso de controlar los
e
el pro
eleme
entos que se han cont
s
tado y los q no, apartando los primeros es un montón
que
s
claram
mente sepa
arado.
Ha otra expli
ay
icación para este tipo de errores y es que lo niños mu pequeño y
os
uy
os
algunos escolare con def
es
ficiencias m
mentales no poseen la base con
o
nceptual pa
ara
comprender la tarea. Quizá los niños que no comprenden la noción de la cuenta
s
n
cardin no se da cuenta d que debe compara lo que cue
nal
an
de
en
ar
entan con e objetivo. A
el
Así
pues, cuando un maestro d
n
desea subs
sanar las dificultades que tiene u niño con la
un
n
separ
ración, prim
mero deber comprob que po
rá
bar
osea la téc
cnica nece
esaria para la
a
cuenta cardinal (Baroody y Mason, 19
(
984).
omparación entre ma
n
agnitudes
Co
Cu
uando llega al curso de párv
an
vulos, casi todos los niños pueden realizar
s
comparaciones entre núme
e
eros separados y entre números s
e
seguidos pe
equeños (de 1
el
al 5), y la gran mayoría ya h
habrá llegad a domina estas últimas con los números del
do
ar
1 al 1 Los niño de educ
10.
os
cación espe
ecial durante la prime enseñan y much
era
nza
hos
niños deficientes de nivel intermedio pueden llegar a te
o
ener proble
emas con las
comparaciones entre núme
e
eros separa
ados y entr números seguidos pequeños. La
re
s
educa
ación de ap
poyo deber empezar con objet concret y núme
rá
r
tos
tos
eros familiares
que s
sean manifie
estamente diferentes en cuanto a magnitud (compara 1, 2 ó 3 c
d
ar
con
núme
eros mayore como 9 ó 10; comp
es
parar númer seguido como 1 y 2, o 2 y 3).
ros
os
Pueden cons
seguirse va
arios juegos en los q
s
que intervie
enen mode
elos concre
etos
(véase el ejempl 6.3). En el juego Invasores de la luna, po ejemplo, los jugadores
lo
e
or
comparan la long
gitud o la altura de dos conjuntos de cubos que encaja entre sí. De
s
s
an
esta m
manera, la comparació de núme
c
ón
eros se conecta con in
ndicios perc
ceptivos claros
y queda reforzad por ellos «Tú tiene ocho nav espacia
da
s:
es
ves
ales en la lu y yo ten
una
ngo
dos. M qué la
Mira
arga es la fila de nave que tienes. Ocho n
es
naves es m que do
más
os.»
Gradu
ualmente, el niño irá a
e
aprendiendo la idea de que los nú
o
e
úmeros se a
asocian con la
n
magn
nitud y que los número que viene después en la serie numérica son mayor
l
os
en
s
e
res.
Una v
vez hayan arraigado estas idea básicas el niño d
as
s,
deberá ser apartado de
r

39



activid
dades con objetos c
concretos y se le pe
edirá que resuelva lo problem
os
mas
menta
almente.

plo
egos de com
mparación entre núme
eros concre
etos
Ejemp 6.3. Jue
INVASOR
RES DE LA LUNA
A

bjetivo:
Ob
Comparacione entre nú
es
úmeros del 1 al 10 sep
parados o s
seguidos.
Ma
aterial:
1. Varias luna (círculos de papel) de distinto color.
as
s
2. Dos conjun
ntos de cub encajab
bos
bles de disti
into color.
3.U peonza con los nú
Una
a
úmeros del 1 al 10 (pa compara
ara
aciones ent números
tre
separ
rados) o un conjunto d tarjetas e las que s listen comparacione específic
de
en
se
es
cas
para c
cada objetiv
vo.
Instrucciones
s:
Esp
parcir los círculos por la mesa. D un conj
c
Dar
junto de cubos a cada uno de los
a
dos ju
ugadores. Explicar qu los círcu
ue
ulos son lu
unas y que los cubos son naves
e
s
espac
ciales. El ju
ugador que haga «alun
nizar» más naves en u luna se queda con
una
e
ella y el que conq
quiste más lunas gana la partida. Usar la peo
a
onza o las t
tarjetas para
a
determ
minar la can
ntidad de naves que puede hacer alunizar ca jugado Pregunta
r
ada
or.
ar
a uno de los niñ qué jug
o
ños
gador ha he
echo aluniz más, po ejemplo: «Tú tienes
zar
or
:
cinco naves y Billy tiene tre ¿Cuánt es más, cinco o tre
es.
to
es?» De ser necesario
o,
señalar las dist
tintas long
gitudes (o alturas) de los dos conjuntos de cubos
s
encajables.
DOMINO MA (MENO UNO Ob
D
AS
OS)
bjetivo:
omparar núm
meros segu
uidos (más o menos uno) de! 1 a 10. Mater
al
rial:
Co
Fic
chas de dom
minó. Instru
ucciones:
Est juego, ba
te
asado en u propues en e! cu
uno
sto
urrículo de Wynroth (1
1969-1980)
),
se jue como e! dominó n
ega
e
normal per con una excepción. En vez de empareja
ro
.
e
ar
conjuntos numér
ricamente e
equivalente para ir añ
es
ñadiendo fic
chas, las fic
chas que se
e
añade deben tener un co
en
t
onjunto de puntos ma
ayor (o menor) en una unidad a
al
conjunto de la fic de! extr
cha
remo de la hilera. La fi
igura que s
sigue ilustra un caso de
a
e
«Dom
minó menos uno». Un jugador va a añadir u ficha co «8» al e
s
a
una
on
extremo que
e
tiene «9».

40



on
s
ción especi puede se muy útil indicar la estrategia pa
ial
er
ara
Co los niños de educac
conta que pued usarse para comp
ar
de
parar núme
eros seguid y cómo se relacio
dos
o
ona
esta e
estrategia con las técn
c
nicas básica para sab el número «que vie después
as
ber
ene
s».
Explic
car, por ejemplo: «Pa saber qué númer es mayo contemos a ver q
ara
ro
or,
qué
núme viene de
ero
espués. Pa los núm
ara
meros 3 y 4 contamos "1, 2, J" Y c
como despu
ués
del 3 viene el 4, e14 es ma
ayor.» Tamb
bién puede ser útil dem
mostrar el p
procedimien
nto
para el niño y em
mplear una lista numér
rica o bloqu encajab
ues
bles para co
ontar. Llega
ado
el mo
omento, el procedimien de conta se puede interrump para preg
p
nto
ar
e
pir
guntar al niñ
ño:
«¿Qu es más, 4 ó 3? ¿
ué
¿Qué núme viene d
ero
después cu
uando cont
tamos?» O
Otra
mane de hace explícita la conexión entre la co
era
er
n
omparación y la técnic del núme
n
ca
ero
«que viene des
spués» es continuar las pregun
ntas sobre el número «que vie
o
ene
el
ál
».
mplo, se pue pregunt
ede
tar:
después» con preguntas de tipo «cuá es mayor» Por ejem
ué
sto
s
ndo
mos? Decim 3, ¿y lu
mos
uego... ?» U
Una
«¿Qu viene jus después del 3 cuan contam
vez h
haya respondido el niñ pregunt
ño,
tarle: « ¿Y cuál es más, 3 ó 4?» (nótese q
»
que
para forzar al niño a pens realmente en la c
n
sar
comparació el núme mayor se
ón,
ero
menc
ciona en pr
rimer lugar o «sin seguir el orden usual» la mitad de las veces,
r
aprox
ximadamen
nte).
C) IM
MPLICACIONES EDU
UCATIVAS LA ENSE
S:
EÑANZA DE TECNICA PARA
AS
CONTAR
C
A continuació se resum alguna directrice generale para la e
ón
men
as
es
es
enseñanza.
1. Lo niños de
os
eben domi
inar cada t
técnica para contar h
hasta que llegue a se
er

41



automática. Es es esen
sto
ncial porqu las técn
ue
nicas para contar se basan la u
una
a
ven
se
cnicas más compleja como ha
s
as
acer sumas o
s
en la otra y sirv de bas para téc
devo
olver camb
bios. Si las técnicas b
básicas no son eficaces, no pu
o
ueden
integ
grarse bien con otras técnicas para la eje
n
s
ecución de funciones más
e
s
comp
plejas.
2. La enseña
anza de apo debe ba
oyo
asarse en e
experiencia concretas Para que la
as
s.
e
enseñanza de una técnica básica para contar sea significa
u
a
ativa, deber basarse en
rá
activi
idades con
ncretas. Ad
demás, y sobre todo con pob
o
blaciones d educación
de
especial, puede ser import
e
tante enlaza explícitamente activ
ar
vidades con
ncretas con la
n
técnic que se enseña.
ca
e
3. La enseña
anza de apo debe of
oyo
frecer, dura
ante un larg período de tiempo, un
go
ejercicio regular con activi
r
idades de i
interés para el niño. N
a
Normalmente, el dominio
incom
mpleto de las técnica básicas para conta suele atribuirse a una falta de
as
ar
experiencia o in
nterés. Si los ejercicio no son interesante algunos niños no se
os
es,
s
sentir compro
rán
ometidos co ellos y n alcanzar la exper
on
no
rán
riencia necesaria para el
a
dominio de la técnica. Por e
ejemplo, los niños se c
cansan en seguida de los ejercic
e
cios
de re
epetición or para apr
ral
render a co
ontar. Los niños se sienten más dispuestos a
s
gene la serie numérica e el contex de enum
erar
en
xto
merar objeto porque s trata de u
os
se
una
activi
idad que tie más se
ene
entido para ellos (Fuson et al., 1982). La fo
a
orma concre
eta
que d
deberá tene el ejercic depend
er
cio
derá del niñ Muchos niños resp
ño.
s
ponderán c
con
entus
siasmo a dis
stintos tipos de juegos que se bas en cont otros pr
s
s
san
tar;
referirán jug
gar
con u títere de «Barrio sés
un
samo» y otr podrán disfrutar co el contac de un tut
ros
on
cto
tor,
sea niño o adu
ulto, interes
sado y ent
tusiasta. Lo esencial es que el ejercicio no
o
necesita -es má no debe- carecer de interés pa el niño.
ás,
ara
.
A continuació se prese
ón
entan otros juegos y ac
ctividades p
para enseña a contar de
ar
palab a nume y a com
bra,
erar
mparar mag
gnitudes.

Juego y actividades
os
ESTRELLA ESCON
AS
NDIDAS
Ob
bjetivos:
1. Enumerar.
2.R
Regla del va cardina
alor
al.
Ma
ateriales:
Tarjetas con estrellas u o
e
otros objeto dibujado (de 1 a 5 para princ
os
os
cipiantes ).
Ins
strucciones
s:
Explicar: <<Vamos a jugar al juego de las estre
ellas escon
ndidas. Te v a enseñ
voy
ñar

42



una c
carta con es
strellas y cuentas cuá
ántas hay. C
Cuando hayas acabad de conta
do
ar,
escon
nderé las estrellas y, s me dices cuántas e
si
s
estoy escon
ndiendo, ha
abrás ganad
do
un pu
unto.» Leva
antar la pri
imera tarjeta y hacer que el niñ cuente las estrella
r
ño
as.
Tapar
rlas con la mano o un trozo de cartulina y preguntarle: « ¿Cuán
n
ntas estrellas
estoy escondiendo?» El niñ deberá re
ño
esponder c
citando únic
camente el v
valor cardin
nal
del co
onjunto. Si el niño em
mpieza a co
ontar desde 1, pregun
e
ntarle si hay alguna ot
y
tra
mane más fác para indicar las est
era
cil
trellas que se han co
ontado. Si e necesar
es
rio,
enseñ al niño directame
ñar
ente la regla del valor cardinal d
r
demostrand la tarea y
do
a
«pens
sando en vo alta» (de
oz
escribiendo el procedim
miento y el razonamien en que se
nto
basa)
).
CIR
NTIDAD
PREDEC LA CAN
Ob
bjetivos:
Co
oncepto de cuenta card
dinal.
Materiales:
M
Ob
bjetos pequeños que s puedan c
se
contar como bloques o fichas.
Ins
strucciones:
Da al niño un conjunto de bloques (por ejem
ar
n
s
mplo, cinco) y decirle: «Toma cinco
)
bloques. ¿Cuánt habría si los conta
tos
aras?» Des
spués, hace que el niño cuente el
er
conjunto para qu comprue su resp
ue
ebe
puesta. Tam
mbién puede hacerse con un dad
do.
Despu de una tirada, no permitir que el niño cu
ués
a
uente inmediatamente los puntos y
e
s
seguir, en cambi el proce
io,
edimiento de
escrito ante
eriormente.
CARRE
ERA DE CO
OCHES
bjetivos:
Ob
1. Enumerar.
Separar.
2.S
Ma
ateriales:
1. Un tablero con pista d carreras (una hilera de casillas en espiral).
de
a
s
2. U dado (co O a 5 puntos al prin
Un
on
ncipio; 5 a 1 para niño más ava
10
os
anzados).
3. Coches en miniatura.
Ins
strucciones:
Ha
acer que los niños escojan los coches que m les gus
s
más
sten. Coloca los coches
ar
al prin
ncipio de la pista. Tirar el dado por turnos y h
r
hacer avanz los coch el núme
zar
hes
ero
corres
spondiente de casillas Hacer qu los jugad
s.
ue
dores cuenten los pun
ntos del dad
do
(enum
meración) y las casil
llas cuando avanzan los coche (separa
o
n
es
ación). Estas
técnic también pueden p
cas
n
practicarse con otros juegos de tablero bá
e
ásicos de t
temática diversa, de acuerdo con los int
d
o
tereses de los niños.

43



RELLENAR
R
R
Ob
bjetivos:
1. Enumerar.
2. Separar.
Ma
ateriales:
1. Tableros de juego o pistas de c
d
carreras ind
dividuales.
2. Fichas.
3. Baraja de cartas con puntos (1 a 5 para pr
e
n
rincipiantes 6 a 10 pa niños más
s;
ara
avanz
zados).
4. Bandejas pequeñas (p ejemplo tapas de plástico).
p
por
o,
Ins
strucciones:
Da a cada niño un tabl
ar
n
lero o una pista de ca
arreras. De
ecir: «Vamo a ver qu
os
uién
rellena primero su tablero (pista de c
carreras).» Hacer que cada niño, por turn
e
nos,
levant una cart de la baraja y cuen los puntos para de
te
ta
nte
eterminar c
cuántas fich
has
debe tomar. Dec
cirle al niño que tome esta cantidad. Hace que el niño separe las
o
e
er
fichas que le han tocado en una band
s
n
n
deja pequeñ (este procedimient hace que la
ña
to
e
correc
cción de los errores de separació sea men confusa Si se com
s
e
ón
nos
a).
mete un err
ror,
vaciar la bandeja Hacer que el niño lo vuelva a in
r
a.
ntentar o, si es necesar ayudarle a
rio,
extrae el númer correcto. Una vez e
er
ro
.
extraído el número correcto, hacer que el n
niño
coloque las ficha en su tab
as
blero. Gana el niño qu llena antes su table
a
ue
ero.
EL NUM
MERO TAP
PADO
Ob
bjetivos:
De
eterminar el número an
l
nterior o po
osterior a un número d
n
dado (del 1 al 9).
Ma
ateriales:
Tarjetas nume
eradas del 1 al 9.
strucciones:
Ins
La versión bá
ásica de est juego se describe co más det
te
on
talle en Bley y Thomps
y
son
(1981) junto con otros juegos como W
n
Walk On [«S
Sigue andando»] y Pee [«Echa u
ek
una
ojeada,,] que so útiles pa enseña números posteriore a otro d
on
ara
ar
s
es
dado. Para la
a
versió básica de El númer tapado, e
ón
ro
extender las tarjetas n
numeradas, boca arrib y
,
ba
por or
rden, encim de la me
ma
esa. Decir al niño que c
cierre los ojos, poner u carta bo
una
oca
abajo y decir al niño que y puede m
ya
mirar para a
averiguar qu carta es la que se ha
ué
s
to
ajo.
r
nterior (pos
sterior) a la carta tapad y decir, por
da
puest boca aba Señalar la carta an
ejemp « ¿Qué carta es é
plo:
é
ésta? ¿Qué viene justo después [
o
[antes] del 6 Continuar
6?»
hasta que se hay tapado c
ya
cada númer una vez. La versión básica es e
ro
especialmente
ara
os
pueden res
sponder a e
esta pregun empeza
nta
ando a con
ntar
útil pa los niño que no p
desde el 1 y para los que co
e
a
onfunden e número anterior con el posterior. Una vers
el
sión
más a
avanzada comporta eliminar los indicios visibles de la s
c
serie numér
rica y requiere

44



que e niño resu
el
uelva el pro
oblema men
ntalmente. Para ello, no hay má que colocar
ás
todas las tarjetas boca aba y levant una de e
ajo
tar
ellas, pidién
ndosele al niño que d
diga
qué n
número va antes o des
a
spués del le
evantado.
CARRE
ERA DE NUMEROS
Ob
bjetivos:
Co
omparaciones entre nú
úmeros sep
parados del 1 al 10.
Ma
ateriales:
1. Una hilera de casillas (de 15 x 75 cm, aproximadament con los n
d
5
te)
números de 1
el
al 10 (véase la fi 6.3).
ig.
2. Coches en miniatura

Ins
strucciones:
:
Ha
acer que cad jugador escoja el coche que g
da
guste. Coloc los coch en la lín
car
hes
nea
de sa
alida (unos 15 cm a la izquierda d la casilla con e! nú
de
a
úmero « 1» . Decir a los
»)
niños que sus co
oches van a echar una carrera y que ganará e! coche q vaya m
a
á
que
más
rápido Hacer qu los niños den un em
o.
ue
s
mpujón a su coches a lo largo de la pista. L
us
Los
coche que se salgan po el otro e
es
or
extremo o por los lad
dos de la pista qued
dan
desca
alificados. Si un coche se detiene sobre una línea de s
S
e
e
a
separación entre casillas,
se colocará en la casilla en la que de
a
n
escanse la m
mayor parte de! coche Cuando los
e
e.
dos ju
ugadores ha empujad sus coch
an
do
hes, pregun a uno d ellos: «Tu coche se ha
ntar
de
ido a1 y e! de Jane se ha ido al 3. ¿
15
J
a
¿Qué es má 5 ó 3? ¿
ás,
¿Quién gan
na?» Variar e!
r
orden en que se mencionan los númer para que e! mayor s encuent unas vec
n
n
ros
e
se
tre
ces
al prin
ncipio y otra al final. S es necesa
as
Si
ario, correg al niño ensenándole sobre la lista
gir
e
de nú
úmeros que un número mayor implica recorr más cas
o
rer
sillas.
DE
ECUCIÓN
JUEGO D PERSE
bjetivos:
Obj
Co
omparacione entre nú
es
úmeros seg
guidos.
Ma
ateriales:
1. Tablero co casillas e espiral.
on
en
2. Dos fichas
s.

45



3.T
Tarjetas con diferentes comparac
n
s
ciones (del 1 al 5 para principiante número
es;
os
mayores para niños más ad
delantados).
Ins
strucciones:
:
De
ecirle al niño que nues ficha va a persegu a la suya por el tab
o
stra
a
uir
a
blero de juego.
Sacar una tarjeta y leer los d número escritos en ella. Dec
r
a
dos
os
cirle al niño que escoja el
o
a
núme mayor. La elección del niño indica cuánta casillas d
ero
L
as
debe avanz su ficha el
zar
a;
otro n
número indica la cantid de casi
dad
illas que de avanzar la nuestra Después de
ebe
a.
cada turno, com
mentar las p
posiciones d las ficha diciendo por ejemplo: «Pues sí,
de
as
o,
éste e el que tiene más. T ficha tod
es
Tu
davía va po delante», o «No, és no es más.
or
se
Mira, mi ficha ya está pillando a la tuya Si e! niñ tiene dificultades, p
a».
ño
pueden usarse
sta
omparación
n.
bloques o una lis de números para ilustrar la co
N
D) RESUMEN
enerar de pa
alabra la se numérica sólo es un primer p
erie
paso hacia e! dominio de
Ge
un complejo de técnicas im
t
mportantes q los adu
que
ultos emple de manera rutinari y
ean
ia
autom
mática. Cua
ando llegan a la escue los niño suelen se capaces de generar la
ela,
os
er
parte memorístic de la ser numérica y un poco de la parte basada en la aplicac
ca
rie
a
o
e
n
ción
de reg
glas, adem de pode enumera y separa conjuntos de objeto emplear la
más
er
ar
ar
os,
regla de valor ca
ardinal para resumir u enumer
a
una
ración e inc
cluso emple relacion
ear
nes
de orden numér
rico (númer anterior y posterio a otro d
ros
or
dado) para determinar la
r
mayor de dos cantidades. Algunos niños, sob todo lo deficient
c
bre
os
tes mental
les,
puede necesita una educ
en
ar
cación de a
apoyo para dominar e
estas técnic informa
cas
ales
básica Durante los primeros años de escuela, los niños re
as.
e
e
esuelven e problema de
el
las de
ecenas y am
mplían su ca
apacidad de contar de palabra ha
e
e
asta 100 y m
más. A med
dida
que s van fami
se
iliarizando con la serie numérica aprenden a contar por interva
a,
n
alos
(por e
ejemplo, po parejas) y a contar regresivam
or
mente. La e
enseñanza especial o de
apoyo debe asegurar que s llegue al dominio d cada com
o
se
de
mponente s
sucesivo de la
e
jerarq
quía de téc
cnicas para contar. La enseñanz deberá ser concre
a
a
za
eta, intensa e
a
intere
esante.

46



De
esarroll del n
lo
número
o
La capacidad para co
omprender y emplear el núm
mero, ¿ s desarro
se
olla
direct
tamente a partir de la experienc de con
a
cia
ntar que tie
enen los ni
iños? ¿ O el
desar
rrollo de una manera s
significativa de contar necesita un adquisic
a
na
ción previa d
de
conce
eptos y ac
ctitudes nec
cesarias? ¿Qué puede aprender un niño acerca d
o
del
núme
ero a partir de su experiencia de cont
a
tar? ¿Qué papel de
esempeña el
recon
nocimiento de pautas e el desar
d
en
rrollo matem
mático? El enfoque ca
ardinal (teor
ría
de co
onjuntos) de la Matem
e
mática Mode
erna o la fo
ormación ló
ógica de lo programas
os
piagetianos, ¿so útiles co los niños pequeños ¿Qué pa
on
on
s
s?
apel deben desempeñ
ñar
las ex
xperiencias de conta en la en
s
ar
nseñanza d concep
de
ptos numér
ricos a niños
peque
eños?
A) D
DOS PUNTO DE VISTA SOBRE EL DESA
OS
E
ARROLLO DEL NUME
ERO
Probl
lemas de conservaci
c
ión: el caso de Peter
o
r
Pe
eter, un niño de edad preescolar, c
o
colocó siete fichas azu
e
ules en fila f
frente a sí. Y
Yo
coloqué otra fila de siete fichas bla
a
ancas en c
corresponde
encia biunívoca con la
anteri y, mient
ior
tras Peter m
miraba, aña otra fich blanca. E
adí
ha
Entonces ju
unté las ocho
fichas blancas pa que la h
s
ara
hilera fuera más corta y pedí a Pe que con
eter
ntara para v
ver
si hab el mism número de fichas en cada hilera o si ha
bía
mo
abía alguna que tuvie
a
era
más. Peter respo
ondió: «Mi hilera tiene [contando las fichas azules] 1, 2 3, 4, 5,6, 7.
e
2,
La tuy tiene [co
ya
ontando las fichas blan
s
ncas] 1, 2, 3,4, 5, 6, 7 8. ¿Ves? ¡La tuya sólo
7,
tiene ocho: la mí tiene má
ía
ás!»
A pesar de haber con
ntado los dos conju
untos, Pete seguía respondien
er
ndo
incorr
rectamente a la pregunta de cons
servación d la no equivalencia. Al parecer la
de
r,
capac
cidad para contar de palabra y enumera no implica necesa
e
ar
ariamente u
una
comprensión de número bie desarrol
en
llada. ¿Por qué contar no ayudó a Peter, y q
r
qué
tipo de enseñanz podría m
za
mejorar su c
comprensió del núme
ón
ero?
El punto de vista de los requisito lógicos
v
s
os
Los psicólogos ofrecen dos explicaciones distintas d la comprensión d
s
n
de
del
signifi
icado de los nombres de los números y del a
s
acto de con
ntar. Desde uno de estos
punto de vista, los niños, antes de ll
os
legar a tene «uso de razón» (ha
er
acia los sie
ete
años de edad), son incap
paces de c
comprende el núme y la ar
er
ero
ritmética (p
por
ejemp Piaget, 1965). La c
plo,
curiosa resp
puesta de P
Peter se atribuye a una incapacida
a
ad
de pe
ensar lógica
amente. Es decir, se s
supone que Peter care de razo
e
ece
onamientos y
s

47



los co
onceptos ló
ógicos nec
cesarios pa un con
ara
ncepto del número y para cont
tar
signifi
icativament Como c
te.
contar no im
mplica tener éxito en t
tareas· de c
conservació
ón
de la desigualda o la des
ad
sigualdad, algunos ps
sicólogos (por ejemplo, Wohlwill y
l
n
ón
la
tar
Lowe, 1962) han llegado a la conclusió de que l experiencia de cont tiene poco
da
sarrollo de un concep numéric Por eje
pto
co.
emplo, Piag
get
o nad que ver con el des
(1965 afirmaba que los niños apre
5)
a
enden a re
ecitar la s
serie numé
érica y dat
tos
aritmé
éticos a mu corta eda y que se trata de actos completamente v
uy
ad
e
verbales y s
sin
signifi
icado. Ni siquiera la numeració garantiz una com
s
ón
za
mprensión del númer
ro.
Desde este pun de vista el desar
e
nto
a,
rrollo de un concepto del núme y de una
n
o
ero
mane significa
era
ativa de con depend de la evo
ntar
de
olución del pensamien lógico.
nto
El modelo ca
ardinal. Seg
gún uno de los modelos que es
e
stablecen la lógica como
a
requis
sito previo los niño deben entender la clasific
o,
os
cación ante de pod
es
der
comp
prender el significado esencial de número. Esto implica aprende a definir un
s
el
er
conjunto, es dec a clasif
cir,
ficar objetos para pod asignar cada uno de ellos a un
der
conjunto correct Por ejem
to.
mplo, un co
onjunto de f
formas curv puede incluir c, C, u,
vas
U, s, S y O, pero no L, v, V, F Y #.
o
Co
omprender la lógica d clases t
de
también requiere com
mprender la clasificac
a
ción
jerárq
quica o «inc
clusión de c
clases»: una clase es la suma de sus partes (subclases) y,
a
a
por ta
anto, es may que cua
yor
alquier subc
clase. Por e
ejemplo, si a un niño se le presentan
e
tres ro
osas y cinc violetas y se le preg
co
gunta «¿Ha más viole
ay
etas o hay más flores?»,
deber respond que la clase (flores) es má que la subclase (
ría
der
ás
(violetas). S
Sin
emba
argo, los niñ pequeñ tienen dificultades con estos problemas de inclus
ños
ños
s
s
sión
de cl
lases (por ejemplo, Piaget, 19
965). Estos resultado se han considera
s
os
ado
evidencias de que los niñ
q
ños pequeñ
ños no cap
ptan la lógica de clas
ses y que, en
conse
ecuencia, son incapac de comprender verdaderame
s
ces
ente el núme
ero.
Ad
demás, la lógica de clases co
omporta comprender la idea de conjuntos
r
equiv
valentes. La equivalencia de dos conj
L
juntos se define m
mediante u
una
corres
spondencia biunívoca Dos conju
a
a:
untos pertenecen a la misma clas si se pue
se
ede
estab
blecer una correspond
dencia biunívoca ent sus ele
tre
ementos re
espectivos. La
equiv
valencia y la corresp
pondencia biunívoca, que son el funda
n
amento de la
matem
mática form se cons
mal,
sideran el f
fundamento psicológic del aprendizaje de las
o
co
matem
máticas.
El modelo de Piaget. Seg Piaget (por ejemp 1965), los niños de
gún
plo,
eben entender
gica de las relacione (seriación) y la c
es
clasificación para comprender las
n
la lóg
relaciones de equivalencia y, a cons
a
secuencia de ello, el significado del núme
o
ero.
Piage estaba de acuerdo e que la e
et
e
en
equivalencia (la corres
a
spondencia biunívoca) es
)
el fun
ndamento psicológico de la comprensión de número. Sin embar
p
el
rgo, creía q
que

48



comp
prender la correspo
ondencia b
biunívoca implicaba comprend
der tanto la
clasificación com la seria
mo
ación. Por ejemplo, igualar imp
plica obser
rvar el prim
mer
eleme
ento de cad conjunto y luego e segundo, el tercero el cuarto, etc. En ot
da
o,
el
o,
,
tras
palab
bras, para establecer u igualda los niño tienen qu llevar la cuenta de los
e
una
ad,
os
ue
eleme
entos que han empare
h
ejado media
ante la imposición de un orden.
De la misma manera, Pia
e
m
aget consid
deraba que el número es la unión de concep
ptos
de se
eriación y de clasifica
d
ación. Por e
ejemplo, en
numerar un conjunto implica tra
n
atar
todos sus elem
s
mentos com miembr
mo
ros de la misma cla
ase y al m
mismo tiem
mpo
difere
enciar dentro del conj
junto el primer eleme
ento, el seg
gundo, etc. Además, los
núme
eros forman un orden y constituye una jerar
n
en
rquía de cla
ases. Por ejemplo, tres es
s
una c
clase que contiene com subclas uno y d (y, a su vez es una subclase de
mo
ses
dos
a
los números ma
ayores). En resumen Piaget a
n,
afirmaba qu el núme no pue
ue
ero
ede
enten
nderse ~n té
érminos de un único co
oncepto lóg
gico sino qu constituy una sínte
ue
ye
esis
única de concep
a
ptos lógicos (Sinclair y Sinclair, en prensa).
s
Para Piaget (1965), el de
esarrollo de la compre
e
ensión del n
número y de una manera
signifi
icativa de contar está ligada a l aparición de un estadio más avanzado del
c
á
la
n
pensa
amiento. Los requis
L
sitos lógico del nú
os
úmero (co
onceptos d seriación,
de
clasifi
icación y corresponde
c
encia biunív
voca) apar
recen con e «estadio operacion
el
o
nal»
del de
esarrollo me
ental. Los n
niños que no han llegad al estadi operacional no pued
o
do
io
den
comp
prender el número ni c
n
contar signif
ficativamen mientra que los n
nte,
as
niños que h
han
llegad a él sí pueden hac
do
p
cerlo. Por tanto, el número es u concept de «todo o
un
to
o
nada»
».
Pia
aget (1965) afirmaba q la cons
)
que
servación de la cantida tenía un importan
ad
na
ncia
extrao
ordinaria porque señ
p
ñalaba la llegada al estadio op
peracional, es decir: la
adquisición del pensamiento lógico; la comprens
p
a
sión de las clases, las relacione y
s
s
es
orrespondencias biunív
vocas; un v
verdadero c
concepto de número; y una manera
el
las co
signifi
icativa de contar. Má concreta
ás
amente, se
egún Piage la conse
et
ervación de la
e
cantid
dad indicab la comprensión de que una v estable
ba
vez
ecida la equ
uivalencia (no
equivalencia) de dos conjun
e
ntos, los ca
ambios en la configura
ación de los conjuntos no
s
modif
fica la relac
ción de equ
uivalencia (no equivalencia). Es decir, las relaciones de
equivalencia (n
no equiva
alencia) se conserv
e
van a tra
avés de cualesquiera
transf
formaciones no releva
antes en la apariencia física de u conjunto El niño q
a
un
o.
que
conse
erva se da cuenta de que el nú
e
úmero de e
elementos d un conjunto no va
de
aría
cuand varía su aspecto fís
do
sico.
El punto de vista basad en cont
v
do
tar
Un punto de vista alternativo considera que la dificultad de Peter co la tarea de
n
v
a
on
conse
ervación es el resultado de un con
nocimiento incompleto de cómo s debe con
o
se
ntar

49



y no d una com
de
mpleta inca
apacidad pa pensar lógicamente. Algunos psicológic
ara
s
cos
(por e
ejemplo, Gelman, 197 Zimiles 1963), ha llegado a la concl
G
72;
s,
an
lusión de q
que
conta es esenc para el desarrollo de la com
ar
cial
mprensión d número por parte del
del
niño. El número no se con
o
nsidera un concepto t
tipo «todo o nada» que es posible
gracia a un cam
as
mbio genera en la manera de pensar de los niños (una nueva eta
al
s
a
apa
de de
esarrollo me
ental). En c
cambio, el m
modelo que basa su e
e
explicación en la mane
era
de co
ontar aduce que la c
comprensió del núm
ón
mero evoluciona lenta
amente como
result
tado directo de las exp
o
periencias d contar.
de
De
esde este punto de vis los con
p
sta,
nceptos num
méricos y c
contar significativamente
se de
esarrollan de manera gradual, paso a pa
d
a
aso, y son el resultad de aplicar
do
técnic para co
cas
ontar y conc
ceptos de u sofistic
una
cación cada vez mayor. Al princip
a
pio,
los pr
reescolares suelen ap
s
prender a em
mplear los números d una man
de
nera mecán
nica
para descubrir o construir gradualme
ente signific
cados cada vez más profundos del
a
núme y de co
ero
ontar (por e
ejemplo, Ba
aroody y G
Ginsburg, en prensa; Fuson y H
Hall,
1983; von Glase
;
ersfeld, 198 Wagner y Walters, 1982). A medida que aumenta su
82;
r
e
comp
prensión de número y de co
el
o
ontar, los niños aplican el número y los
proce
edimientos para contar de una ma
p
r
anera cada vez más so
ofisticada. A su vez, esta
crecie
ente sofistic
cación dese
emboca en una comp
n
prensión ma
ayor, etc. E el fondo, el
En
desar
rrollo de téc
cnicas y con
nceptos est entrelaza y, de he
tá
ado
echo, duran los últim
nte
mos
años algunos piagetianos (por ejem
p
s
mplo, Elkind, 1964; P
Piaget, 197 Sinclair y
77;
Sincla en pren
air,
nsa) han lleg
gado a la c
conclusión d que un a
de
análisis del desarrollo del
núme sería psicológicamente incom
ero
mpleto si no se tuviera e cuenta la contribuc
en
a
ción
de las actividade de conta
s
es
ar.
Conc
ceptos rela
acionados c
con contar
r
Al principio, los niños se limitan a recitar nombres de númer
n
ros. En es
stos
entos, cont no pare ser nad más que un sonso
tar
ece
da
e
onete caren de sent
nte
tido
mome
(Ginsburg, 1982). Por ejem
mplo, Ariann a los 22 meses, canturrea «do cinco, d
ne,
os,
dos,
cinco» mientras baja saltan cuatro escalones. Ha oído a sus herma
»
ndo
.
anos geme
elos
de 3 años de edad recitar nombres de números mientra bajan las escaleras o
e
as
s
s
juegan a algo. Al parecer, Arianne h aprendid que ciertas activid
A
,
ha
do
dades pued
den
verse acompaña
adas por la r
recitación d nombres de número Imita el p
de
s
os.
procedimiento
lo
te
ca
por
Los
(y sól una part de la serie numéric correcta) seguido p sus hermanos. «L
nomb
bres de los números so palabras y, como o
on
s
ocurre con otras palab
bras, los niñ
ños
puede aprende a decirla mucho a
en
er
as
antes de fo
ormar [imág
genes men
ntales], por no
hablar ya de con
nceptos abs
stractos qu asociar a las misma ….» (von Glasersfe
ue
as
eld,
1982, p. 196).

50



Al principio, los niños pueden h
hacer enumeraciones sin inten
s
ntar nume
erar
Arianne pa
arece disfr
rutar, a su dos años de eda
us
ad,
conjuntos. Por ejemplo, A
etique
etando obje
etos mientras busca e
entre sus ju
uguetes; no hace ning intento de
o
gún
emple una etiqueta para cada elem
ear
a
mento o de resumir la cuenta. C
e
a
Cuando se le
e
hacen preguntas del tipo «¿Cuántos hay?», sa
n
s
s
abe que el procedimiento correc
cto
implic responde con un número, per todavía n parece a
ca
er
ro
no
apreciar que los númer
e
ros
se em
mplean par designar el valor c
ra
r
cardinal de un conjunt y para d
to
diferenciar un
conjunto de otr
ros conjun
ntos con d
distintos va
alores card
dinales. Co
onsidérese la
siguie
ente conver
rsación entr Arianne y su padre:
re

PADR
RE:
ARIAN
NNE:
PADR
RE:
ARIAN
NNE:
PADR
RE:
ARIAN
NNE:

[Señalando un dibujo c dos gatos.] ¿Cuán
[
con
ntos gatos hay en este
e
dibujo?
d
Dos.
D
[Señalando un dibujo c tres per
[
con
rros.] ¿ Cuá
ántos perros hay en es
ste
dibujo:
d
Dos.
D
[Señalando un dibujo c un gato ¿Cuánto hay?
[
con
o.]
os
Dos.
D

arece que «dos» es la respues «como
sta
odín» para Arianne a la hora de
Pa
respo
onder a preg
guntas del t
tipo «¿Cuá
ántos hay?» En estos momentos, contar es un
».
acto e
enterament verbal y sin significa
te
ado. Obsér
rvese, no obstante, qu ya trata los
ue
núme
eros como una clase e
u
especial de palabras. S
Sólo emplea números cuando se le
e
pregu
unta cuánto hay o cua
os
ando se le pide que cuente. Los niños pare
ecen disting
guir
muy p
pronto entre las palabr que son para conta y las que no (Fuson et al., 198
e
ras
n
ar
e
n
82).
Los preescolares sólo emplean letras muy rara v cuando se les pide que cuent
s
vez
e
ten
(por e
ejemplo, Ge
elman y Ga
allistel, 1978 Incluso los niños le
8).
evemente d
deficientes d
del
ciclo m
medio reco
onocen siem
mpre los nú
úmeros com una cla especia de palabr
mo
ase
al
ras
aplica
ables a activ
vidades de contar (Ba
aroody y Gin
nsburg, 198
84).
Pri
incipio del orden esta
able. Con e tiempo, a medida q
el
que los niñ usan s
ños
sus
técnic para co
cas
ontar y refle
exionan sob ellas, aprenden a descubrir r
bre
regularidades
impor
rtantes en sus accion
nes de contar y en los númer
ros. Los ni
iños parecen
apren
nder los prim
meros térmi
inos de la s
serie numér
rica de mem
moria. Al principio, puede
que n empleen los mismo términos o el mismo orden cuando recita números o
no
n
os
s
an
s

51



cuent
tan objetos. Por ejem
mplo, cuand Alexi ten tres año de edad no siemp
do
nía
os
d
pre
empe
ezaba desde el uno pa contar c
e
ara
conjuntos. T
Tarde o tem
mprano, los niños se dan
cuent implícitam
ta
mente, o h
hasta explíc
citamente, de que con
ntar requie repetir los
ere
nomb
bres de los números en el mismo orden cada vez. El pri
n
n
a
incipio del o
orden estab
ble
estipu que par contar es indispensable el esta
ula
ra
s
ablecimient de una s
to
secuencia c
coheren Los niños cuyas a
nte.
acciones es
stán guiada por este principio pu
as
ueden utiliz
zar
la sec
cuencia nu
umérica con
nvencional o una sec
cuencia' propia (no co
onvenciona
al),
pero s
siempre de manera c
e
coherente (Gelman y G
Gallistel, 19
978). Por e
ejemplo, Be
eth
siemp usa la secuencia co
pre
orrecta del uno al diez en tanto que Carol us siempre su
z
sa
propia versión (« 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 1 18») para contar diez objetos.
a
«1,
10,
Prin
ncipio de co
orrespondenc Como r
cia.
resultado de la imitació al princ
e
ón,
cipio los niños
puede recitar números -co
en
n
omo Ariann mientra señalan objetos y h
neas
hasta pueden
llegar a desarrollar una cie
r
erta eficacia en la enu
a
umeración d conjunto pequeño
de
os
os.
Más a
adelante, pu
ueden dars cuenta de la necesidad de etiq
se
quetar cada elemento de
a
un conjunto una vez y sólo u
una. El prin
ncipio de co
orresponden
ncia subyac a cualquier
ce
intent genuino de enumera conjuntos y guía los esfuerzos de constru estrategias
to
d
ar
s
s
uir
de co
ontrol de los elemento contados y por con
s
os
s
ntar, como separar los unos de los
s
otros. A una ed
.
dad tan cor como lo tres año los niño parecen emplear un
rta
os
os,
os
n
principio como éste para detectar erro
é
ores de enumeración como cont dos vec
tar
ces
un mismo objeto o saltarse alguno (Ge
o
elman y Me
eck, en prensa).
Prin
ncipio de un
nicidad. Com una func
mo
ción de con es asignar valores cardinales a
ntar
s
s
conjuntos para diferenciarlos o comp
d
pararlos, es importante que los n
s
e
niños no só
ólo
gener una sec
ren
cuencia estable y asign una etiqueta, y só una, a ca elemen
nen
ólo
ada
nto
de un conjunto, sino también que em
n
mpleen una secuencia de etiqueta distintas o
as
s
únicas. Por ejem
mplo, un n
niño puede usar la se
ecuencia « 2, 3, 3» de mane
«1,
»
era
sistem
mática y em
mplear est
tas etiqueta en una correspon
as
ndencia biu
unívoca, pe
ero
como no todos sus elemen
o
s
ntos están d
diferenciado etiqueta de la m
os,
ará
misma mane
era
conjuntos de tres y cuatro elementos (con la des
signación c
cardinal «3» (Baroody y
»)
y
Price, 1983). Inc
,
cluso cuand un niño tiene que recurrir al empleo de términos no
do
e
conve
encionales, la apreciac
ción del principio de u
unicidad (co
omprender la función diferenc
ciadora de contar) le impediría escoger térm
minos empleados prev
viamente. P
Por
ejemp el empleo sistemá
plo,
ático de la se
ecuencia no convencional «1, 2, 3, diecionce»
etique
etaría erróneamente conjuntos de cuatro elemento pero al menos los
o
os
difere
enciaría de conjuntos con men
e
s
nos elementos. Por tanto, ade
emás de los
principios de ord estable y de corres
den
spondencia es importante que lo niños sigan
a,
os
ncipio de un
nicidad.
el prin

52



Prin
ncipio de abstracción. Los niños también deben apr
a
s
render cóm definir un
mo
conjunto para po
oder contar El principio de abs
rlo.
stracción se refiere a la cuestión de
e
a
lo que puede ag
e
gruparse pa formar un conjunt (Gelman y Gallistel, 1978). A la
ara
to
n
hora d contar, un conjunto puede esta formado por objetos similares (por ejemp
de
u
o
ar
s
plo,
bolas: ● ● ●) o distintos (p ejemplo bolas, es
por
o,
strellas y palos: ● ⃰ --) Para incluir
).
eleme
entos distint en un co
tos
onjunto, el niño debe p
pasar por alto las difere
encias físic
cas
de los elementos y clasifica
s
s
arlos como «
«cosas» (por ejemplo, una bola, una estrella y
,
a
un blo
oque se pueden considerar como una, dos y tres cosa En el fo
as).
ondo, cuando
cream un conj
mos
junto de ele
ementos dis
stintos enco
ontramos (a
abstraemos algo común
s)
a todo los elem
os
mentos.
Prin
ncipio del valor cardin
v
nal. Median la imita
nte
ación, los niños pued
den aprend
der
fácilm
mente la técnica de con denomi
ntar
inada regla del valor ca
ardinal, es d
decir, basarse
en el último núm
mero contad en respu
do
uesta a una pregunta sobre una cantidad. S
a
Sin
emba
argo, el em
mpleo de la regla del valor card
a
dinal no ga
arantiza una apreciac
ción
adecu
uada del va cardina en sí (Fu
alor
al
uson y Hall, 1983; Von Glasersfe 1982). Es
eld,
decir, no significa necesaria
amente que el niño se dé cuenta de que el ú
e
e
último térm
mino
designa la cantid del con
dad
njunto y qu un conju
ue
unto tendrá la misma c
cantidad si se
vuelve a contar después de modificar la distribuc
e
d
e
ción espacia de sus elementos. P
al
Por
ejemp un niño deficiente empleaba correctam
plo,
o
e
a
mente la corresponden
ncia biunívo
oca
para e
enumerar quince obje
q
etos, pero e
empleaba la siguiente secuencia numérica: «1,
a
...5, 1 14, 12, 10, 9, 20 ,49, 1,2,3» (Baroody y Ginsbur 1984). Cuando se le
19,
»
y
rg,
e
pregu
untó la cantidad de elementos r
respondió s
satisfecho: «¡Tres!» A parecer, ¡la
Al
noción de «tres» no excluía conjuntos cinco vece más grandes!
»
a
s
es
Los niños pue
s
eden constr el princ
ruir
cipio del val cardinal reflexionan sobre s
lor
ndo
sus
activid
dades de contar. Cua
c
ando, por e
ejemplo, un niño cuenta una cole
ección de t
tres
juguetes, los des
sparrama y los vuelve a contar, puede descubrir que una colecc
e
ción
conse
erva la mism designa
ma
ación (cardinal) a pesa de su asp
ar
pecto («tres
s»).
Pri
incipio de la irrelevancia del orden. P
a
Parece que al reflexio
e
onar sobre la actividad de
contar también se descubr el princip de la irr
s
re
pio
relevancia d orden «
del
«<El orden en
n
entos de un conjunto no afecta a s designac
su
ción cardina
al»)
que se enumeran los eleme
(Baroody, 1984d Considé
d).
érese el ca
aso descrito por Piag (1964). Un niño -get
-de
cuatro o cinco añ
o
ños- contab una hilera de diez f
ba
fichas. Com no se da cuenta de
mo
aba
que e resultado sería el m
el
o
mismo, volv a contar las fichas en direcció contraria y
vió
r
ón
volvió a encontr que eran diez. Inte
ó
rar
eresado po este resu
or
ultado, el ni colocó las
iño
fichas en círculo las volvió a contar y volvió a encontrars con diez Finalmen
s
o,
ó
se
z.
nte,
contó el círculo de fichas en dirección opuesta pa acabar obteniendo el mismo red
n
ara
o
sultad Al cont los ele
do.
tar
ementos de varias m
e
maneras, es niño d
ste
descubrió u
una

53



intere
esante propiedad de la acciones de contar: la distribuc
as
ción de los e
elementos y el
orden de su enumeración no tenía importa
n
n
an
ancia a la hora de determinar la
r
designación card
dinal del co
onjunto.
Co
onceptos de equivalenc no equi
e
cia,
ivalencia y magnitud
Un vez el niñ ha llegad a dominar estos co
na
ño
do
onceptos bá
ásicos para contar que se
e
refiere a un so conjunto la acción de contar puede ap
en
olo
o,
n
r
plicarse a c
contextos m
más
complicados com la comp
mo
paración de dos conju
e
untos. Tamb
bién puede emplearse la
e
e
acción de contar para descu
n
r
ubrir que la apariencia no es pertinente para determina si
a
a
a
ar
dos c
conjuntos son iguales o no. Si u niño cuenta dos c
s
un
conjuntos y los números
result
tantes son idénticos, p
puede llegar a la conclu
r
usión de qu los conju
ue
untos tienen el
n
mismo número de objetos a pesar d sus dife
s
de
erencias en cuanto a aspecto. Es
n
proba
able que los niños des
s
scubran es noción n
sta
numérica fu
undamenta jugando c
al
con
conjuntos peque
eños de un a cuatro elemento Por eje
no
o
os.
emplo, los niños pued
den
etique con la palabra «do varios p
etar
p
os»
pares de co
osas (por ejemplo, bloq
ques o dedos)
incluy
yendo pares naturales de cosas (
s
(por ejempl ojos, bra
lo,
azos, geme
elos). Como el
o
niño p
puede ver en seguida que estos conjuntos compuesto de cosa distintas se
e
a
s
os
as
corres
sponden entre sí, p
e
pueden lleg
gar a la c
conclusión de que l
los conjuntos
etique
etados con la palabra «dos» son equivalent a pesar de las dife
tes
r
erencias de su
e
aspec físico (por ejemp
cto
(
plo, Schaef
ffer et al., 1974). Es compre
sta
ensión pue
ede
aplica
arse posteri
iormente a conjuntos m
mayores qu el niño no puede co
ue
omparar vis
sual
o men
ntalmente con facilidad
c
d.
Antes de llegar a la esc
cuela, los niños tambié aprende que el n
én
en
número pue
ede
espec
cificar diferencias en
ntre conjuntos (no equivalenc
cia) y emplearse pa
ara
espec
cificar «más o «meno (ordena conjuntos según su m
s»
os»
ar
s
magnitud). También esto
es pro
obable que provenga d jugar con conjuntos de pocos elementos. Por ejemp
de
s
plo,
un niñ puede encontrarse ante la opc
ño
ción de esc
coger entre tres cestos con uno, d
s
dos
o tres caramelos El niño p
s
s.
puede ver fá
ácilmente q 3 es má que 1 ó 2, y que 2 es
que
ás
más que 1. Al contar cada conjunt se asoc
to,
cian etique
etas numéricas a estas
difere
encias perce
eptibles en cuanto a m
magnitud. O niño, po ejemplo, podría con
Otro
or
ntar
dos bloques («un dos-dos bloques») luego aña uno má y llegar a la conclusión
no,
s
),
adir
ás
ue
ás». Luego puede vol
lver a conta los bloques «uno, dos tres-¡tres
ar
de qu hay «má
bloques!») y enc
contrar que ahora, la e
etiqueta numérica es «tres». A p
partir de cas
sos
idos de est dos tipo de expe
tos
os
eriencias co
oncretas, un niño pue llegar a la
ede
repeti
conclu
usión de que: a) se a
asocian dis
stintos núm
meros a ma
agnitudes d
distintas; b) el
)
mayor de dos nú
úmeros siem
mpre viene después e la secuencia de con
en
ntar, y c) ca
ada
términ para con es más que el térm
no
ntar
s
mino que le precede e la serie n
e
en
numérica.

54



Co
ontar con lo dedos pu
os
uede desem
mpeñar un papel clav en este desarrollo del
ve
núme
ero. Cuando los niños cuentan c los ded (extend
o
con
dos
diéndolos m
mientras dic
cen
«uno, dos, tres...) pueden v que el n
ver
número de d
dedos es ca vez ma
ada
ayor a medida
van
do.
os
nocer que la magnitud va
a
que v contand De esta manera, lo niños pueden recon
asocia a la po
ada
osición dent de la se numéric Al conta con los d
tro
erie
ca.
ar
dedos, inclu
uso
puede llegar a darse cuen de que 2 es 1 (un dedo) má que 1, que 3 es 1 (
en
nta
n
ás
(un
dedo) más que 2, etc. En resumen, c
)
como result
tado de sus experienc
s
cias contan
ndo
conjuntos peque
eños con los dedos, los niños pueden aprend reglas d numerac
s
s
der
de
ción
para d
determinar «cantidade iguales», «cantidad distintas y «más»
es
des
s»
».
Co
onservación de la cant
n
tidad. Con e tiempo, la reglas numéricas p
el
as
para evaluar la
equivalencia, la no equivale
encia y la m
magnitud pe
ermiten a los niños pod conserv
der
var.
Estos criterios numéricos precisos lib
s
n
beran a los niños de tener que depender de
s
indicio percepti
os
ivos como la longitud cuando hacen comp
d
paraciones cuantitativas.
Como resultado los niños dejan de despistars cuando una hilera de fichas se
o
o,
s
se
alarga o se acor durante una tarea de conser
a
rta
e
rvación de la cantidad Quizá Pa
d.
aul,
que llegó a la co
onclusión d que su h
de
hilera larga (con siete fichas) ten más fich
nía
has
que o
otra, más corta, con ocho ficha no hab tenido experiencias de con
as,
bía
ntar
suficie
entes para comparar con exactit dos núm
tud
meros segu
uidos. En otras palabr
ras,
puede que este preescolar no hubiera aprendido métodos o técnicas nu
e
p
uméricos pa
ara
calibrar la magnitud relativa de dos co
a
onjuntos relativamente grandes.
e
Aun después de haber aprendido re
eglas numéricas para d
determinar equivalenc
cias
o no e
equivalencias y hacer comparacio
ones entre magnitudes los niños pueden de
s,
s
ejar
de em
mplear esta reglas e una tare de conservación de la cantidad por var
as
en
ea
rias
razon
nes. En prim lugar, p
mer
pueden no pensar en contar y, por tanto, c
n
carecen de la
e
base para empl
lear reglas numéricas Cuando una hilera se ha transformado fís.
a
sicam
mente (por ejemplo, a
alargándola los niños pueden no estar s
a)
s
seguros de la
e
relación inicial de los conju
untos (quizá las dos h
á
hileras no e
eran iguales de entrad
s
da).
Ante esta incertidumbre, pueden vers abrumad por los indicios vi
se
dos
s
isuales de las
hileras de longitu desigual, pueden ec
ud
char mano del criterio perceptivo de la longit
tud
y llega a la conc
ar
clusión de q la hilera más larga tiene más (Acredolo, 1982). Pue
que
a
a
ede
ser, p
pues, que lo niños qu no conse
os
ue
ervan crean en realida que alarg una hile
n
ad
gar
era
añade algo a la misma. Ade
e
m
emás, la no conservac
ción sólo es una contra
adicción lógica
si se cree que las dos hile
l
eras son ig
guales al p
principio, co que sin contar y sin
osa
n
núme
eros específicos es un proposic
na
ción dudosa para los n
a
niños pequeños. La fa
alta
de co
onservación no implica necesa
ariamente que un n
niño no pu
ueda razon
nar
lógica
amente sob las rela
bre
aciones de equivalen
e
ncia si cue
enta y emp
plea números
(Gelm y Gallis
man
stel, 1978).

55



En segundo lu
ugar, y aun si piensan en contar, puede que los niños pequeños no
n
n
s
an
a
reglas numéricas para basarse en un crite
a
erio
tenga suficiente confianza en sus r
numé
érico en vez de perceptivo (p
por ejempl
lo, Gelman 1982). La tarea de
n,
conse
ervación de la cantidad provoca un conflicto entre la reg que tiene un niño pa
d
gla
e
ara
comparar cantida
ades («Si u hilera es más larga que la otra es que tie "más") y el
una
s
a
a
ene
desar
rrollo de un regla ba
na
asada en contar («Si se cuentan dos hilera y tienen la
n
as
n
misma etiqueta numérica, es que tie
a
enen cantid
dades iguales»). Un n
niño peque
eño
puede resolver el conflicto simpleme
e
o
ente recurriendo al cr
riterio perce
eptivo familiar
para él. Un niño con algo más de ex
o
xperiencia p
puede vers dividido entre los d
se
dos
nder de ma
anera incoherente.
criterios y respon
ven
do
a
más
Tarde o temprano, los niños resuelv el conflicto ideand una regla nueva y m
sofisti
icada que in
ntegra la re
egla numéric y la basa en la pe
ca
ada
ercepción. E el fondo la
En
o,
nueva regla esp
a
pecifica: «S una hile es más larga que otra, pue
Si
era
s
e
ede tener u
una
cantid mayor a menos q al conta se obten la mism etiqueta numérica, en
dad
que
ar
nga
ma
cuyo caso se tr
rata de hileras con la misma c
cantidad.» Básicamen
nte, los niñ
ños
parec
cen resolve el conflic cognosc
er
cto
citivo reorg
ganizando la informac
ción existente
para d
darle una fo
orma más s
sistemática De esta m
a.
manera, los niños pue
s
eden continu
uar
emple
eando indic
cios perceptivos cuand las difer
do
rencias son evidentes (por ejemp
n
plo,
disting entre un conjunto de seis velas y otro de dos) (Zim
guir
u
miles, 1963) En casos en
).
que la diferenci no son claras (por ejemplo, d colas pa el cine en donde u
as
ias
dos
ara
una
de ellas es larga pero con los integran
a
ntes separa
ados y la otra es corta pero con los
a
integr
rantes much más agr
ho
rupados), la regla indic la neces
a
ca
sidad de co
ontar y realizar
un juic numéric
cio
co.
Otr
ros niños ni siquiera tienen que contar pa conserv
n
e
ara
var. Dan por sentada la
a
conse
ervación de la cantida En real
e
ad.
lidad llegan a pensar que es ex
n
xtraño que un
adulto plantee una pregunt cuya res
o
ta
spuesta es tan obvia. A partir de experienc
e
cias
repetidas de con
ntar, saben que si no se añade ni se quit nada a d conjuntos
n
o
e
ta
dos
equiva
alentes, es equivalencia perm
sta
manece co
onstante po mucho que varíe la
or
distrib
bución espa
acial (Lawson, Baron y Siegel, 19
974). Es de
ecir, tarde o temprano los
niños infieren una regla de equivalencia relativ
vamente ab
bstracta ba
asada en u
una
spondencia biunívoca que com
a
a
mplementa sus reglas de equiv
s
valencia, m
más
corres
concr
retas, basad en núm
das
meros espec
cíficos (Gelman y Gallistel, 1978).
En realidad, hay muc
chos datos que indican que la regla abstracta de
s
equiva
alencia/no equivalenc se desa
cia
arrolla en lo niños a partir de s experien
os
su
ncia
concr
reta de contar. Los niñ pequeñ suelen ponerse a contar com base pa
ños
ños
mo
ara
realiza sus juic
ar
cios sobre la conserv
vación de la cantidad (por ejem
d
mplo, Gelman,
1972) Además, la enseñanza o el de
).
esarrollo de técnicas de numera
e
ación precis
sas
facilita la adquisición de la conservación de la ca
a
antidad (Be
earison, 196 LaPoint y
69;
te
O'Don
nnell, 1974 Starkey y Cooper, 1977). Ciertamente, parece q
4;
,
que los niñ
ños

56



peque
eños suelen pasar por una etapa en la que se basan e contar para conser
n
r
a
en
rvar
(conservación con «verific
c
cación emp
pírica») antes de conservar por comprens
sión
(conservación con «certez lógica» (Apostel, M
za
Mays, Morf y Piaget, 1957; Gre
eco,
Grize, Papert y Piaget, 1960; Green y Laxon, 197
P
70).
Así pues, seg el punto de vista ce
gún
o
entrado en la manera de contar, la experien
ncia
de co
ontar es la clave par hacer ex
ra
xplícitas y ampliar las nociones intuitivas de
s
s
equivalencia, no equivalenc y orden de magnit (Barood y White, 1983). Como
o
cia
n
tud
dy
s
apítulo n, in
ncluso los niños de seis mese pueden inspeccion
es
nar
vimos en el ca
visualmente y determinar de manera intuitiva s unos con
d
a
si
njuntos peq
queños (hasta
cuatro elementos) son equivalentes o no. Contar proporcion etiquetas verbales q
o
na
s
que
puede adjuntar a estos conjuntos pequeños. Es la expe
en
rse
eriencia de contar lo q
que
propo
orciona la base para formular re
b
eglas numé
éricas explícitas y, po
osteriormen
nte,
reglas más abst
s
tractas (ba
asadas en la equivale
encia) para razonar e torno a las
a
en
relaciones numé
éricas existe
entes entre cantidades mayores. Por tanto, a principio los
s
al
niños suelen dep
pender de c
contar para averiguar relaciones de equivale
a
encia como la
o
repres
sentada po la tarea d conserva
or
de
ación de la cantidad, y sólo despu depend
ués
den
de reg
glas relativ
vamente abstractas. En pocas pa
alabras, parece que contar es, m
más
que ig
gualar, la vía natural d los niño para lleg a comprender las relaciones de
v
de
os
gar
equivalencia, no equivalenc y orden con númer no intuitivos.
o
cia
ros
Conc
ceptos aritm
méticos bá
ásicos
Me
ediante las experiencias de con
ntar, los niños tambié descubr
én
ren qué ha
ace
cambiar un núm
mero. Si los cambios de orden o distribuc
ción no alt
teran el va
alor
cardin de un co
nal
onjunto, ciertos tipos de transform
mación sí qu lo hacen (por ejemp
ue
plo,
añadir o quitar objetos). Cuando los niños llegan a s
ser compe
etentes en la
1
p
ptar directa
amente pa
autas numé
éricas, está preparad
án
dos
enumeración o pueden cap
darse cuenta de relaciones aritm
méticas impo
ortantes. Un niño pued determin
de
nar
para d
o ver con rapidez que añadir un bloque a otro es «dos» y qu añadir ot más hac
z
e
ue
tro
cen
«tres» etc. (Bar
»,
roody y White, 1983; G
Ginsburg y Baroody, 1
1983, y Van Glasersfe
n
eld,
1982) De maner similar, u niño pue determinar o ver en seguida q si se qu
).
ra
un
ede
que
uita
una galleta de un conjunto d tres, que
n
de
edan dos. N hay más que una fina línea en
No
s
ntre
nuir
contar y aumentar o dismin en una unidad.
escubrir los efectos de añadir o q
e
quitar una unidad depe
ende de una técnicas
as
s
De
numé
éricas eficac
ces.
1 S
Subitize en el origina!. Se trata de un neologismo que podría traducirse literalmente por
e
a
«subiti
izar»/ «subitización» (de
erivado de s
súbito) y que, en ocasiones, se ha traducido por
a
«repen
ntizar»/ «repe
entización». D
Dado que sign
nifica captar directamente e número de puntos que tiene
el
un es
stímulo visual no estru
ucturado sin tenerlos q
n
que contar, se traducir por «captar
rá
[directa
amente]»/«ca
aptación [directa]». (N. del T.)

57



Ap
partir de sus experienc
s
cias informa
ales de con
ntar, los niño construy concep
os
yen
ptos
aritmé
éticos básicos, pero g
generales. Más concr
retamente, como resu
ultado de s
sus
exper
riencias informales l
los niños consideran la adic
ción como un proce
eso
aume
entativo (añadir algo a una cantidad dada) y la sustracc
ción como u proceso de
un
disminución (quitar algo de una cantida dada). P ejemplo cuando A
ad
Por
o,
Aaron empezaba a asistir al ja
ardín de inf
fancia se le preguntó cuánto pen
e
nsaba que eran cuatro y
o
cinco (4 + 5). Re
eplicó: «Si lo tuviera q adivina diría que cuatro o c
que
ar,
e
cinco. Espe
era,
éstos son los números. Seis o siete como c
e.»
consideraba que la adición era un
a
proce aument
eso
tativo, Aaron sabía que dar uno d los suma
e
de
andos como resultado no
o
estab bien.
ba
A cau de su co
usa
oncepto inf
formal de la adición, Aa
a
aron reajustó su cálcul mental pa
lo
ara
que, al menos, fuera algo m
f
mayor que cinco.
Co
onsideremo también la reacción de unos pr
os
reescolares a la tarea de la «ses
s
sión
de ma
agia» desa
arrollada po Gelman (Gelman, 1
or
1972; Gelm y Gallis
man
stel, 1978). La
prime etapa de la tarea e
era
establece la importancia de un n
número det
terminado. Se
enseñ a un niño dos ban
ñan
ndejas con d
distintas ca
antidades de figuras de plástico (p
e
por
ejemp una ba
plo,
andeja con tres ratone y otra con cuatro). A continuación, el ex
es
.
xaminad señala una de las bandejas (por ejemplo, la que tiene tres ratones) y la
dor
s
s
e
designa como «la ganado
«
ora». Aunqu no se les indica q
ue
que lo hag
gan, los niñ
ños
suele contar o darse cuenta de la cantidad de ratones en las b
en
a
s
bandejas. L
Las
bande
ejas se colocan detrá de una pantalla, s tapan, s mezclan y vuelven a
ás
se
se
n
n
mostr
rarse al niño. Entonce el niño trata de esc
es,
coger la ganadora. Si destapa la no
ganad
dora (por ej
jemplo, la b
bandeja con cuatro rato
n
ones) se da al niño otr oportunid
a
ra
dad
y, nat
turalmente, encuentra la ganado
,
a
ora. Este p
proceso se repite hast que el niño
ta
esper encontra a la ganad
ra
ar
dora, si no e el primer intento, se
en
eguro que e el segundo.
en
La segunda etapa de la tarea m
a
mide la rea
acción del niño a va
arios tipos de
transf
formacione A veces el examinador realiz transform
es.
s
za
maciones tr la panta
ras
alla
que n afectan a la cantida cambia la posición de las figu
no
ad:
uras (por eje
emplo, colo
oca
en for
rmación tria
angular tres ratones qu estaban en fila), alt
s
ue
tera el color de un obje
r
eto,
o sus
stituye un ratón por u objeto d
un
diferente. A veces, re
ealiza en s
secreto transforma
aciones per
rtinentes pa la cant
ara
tidad: añadir o sustrae figuras d la bandeja
er
de
ganad
dora (por ejemplo, añadir otro ra
e
atón de juguete a la b
bandeja de tres para q
que
ningu bandeja sea la gan
una
a
nadora).
Lu
uego se registraba la re
eacción de los niños a estas trans
sformacione pertinentes
es
y no pertinente para la cantidad. Los niños ignoraban la transformación no
es
s
pertin
nente para la cantidad: la gana
adora (por ejemplo, «
«tres») seguía siendo la
o
ganad
dora. Sin embargo, lo niños se sorprendí
e
os
e
ían mucho cuando de
estapaban las
dos b
bandejas y no podían encontrar la ganadora. Cuando se les pre
o
eguntaba q
qué
había ocurrido, los niños de
a
ecían que s había añ
se
ñadido (o qu
uitado) algo a la bandeja
o

58



ganad
dora. Cuan se les p
ndo
preguntaba cómo podr arreglar la situac
ría
rse
ción, los niñ
ños
indica
aban que de
ebía quitars la figura sobrante (
se
(reponerse la figura qu faltaba).
ue
Pu
uede que es
stas pautas de respue
s
esta no pare
ezcan un lo
ogro extraor
rdinario a o
ojos
de un adulto, pe indican la existenc de unas aptitudes importantes en los niñ
n
ero
cia
s
ños
de pre
eescolar. A pesar 'de q un niño puede no conservar la cantidad el éxito en la
que
o
d,
n
tarea «mágica» implica un compren
na
nsión de la transform
as
maciones q
que son o no
rtantes para variar la c
a
cantidad (po ejemplo, la adición y la sustrac
or
cción varían la
n
impor
cantid
dad y una nueva dist
tribución no lo hace) al menos con númer familiar
o
ros
res.
Adem
más, parece compre
en
ender que la adición y la sustra
acción son operacion
n
nes
invers
sas: la una deshace la otra. P tanto, aun los n
a
e
Por
niños pequeños que no
conse
ervan tienen alguna comprensión de la aritmética y pu
n
ueden, den
ntro de cier
rtos
límite razonar lógicament sobre las relaciones numéricas
es,
te
s
s
s.
El papel del reconocim
miento de p
pautas
captación directa» imp
d
plica el reco
onocimiento automático de paut numéric
tas
cas
La «c
•
•
(por ejemplo, identificar sin contar que • • ó • • son «tres»). El lugar d
i
r
n
del
recon
nocimiento automático de pautas numéricas en el desa
a
o
s
arrollo del número es u
una
cuest
tión que tod
davía queda abierta. A
a
Algunos teóricos (por e
ejemplo, Kla y Wallac
ahr
ce,
1973; Von Glas
;
sersfeld, 19
982) indican que los niños pued
n
den captar directamen
nte
peque
eñas cantid
dades antes de poder contar. Desde el punt de vista de Piaget, los
s
to
•
niños muy pequeños recon
s
nocen simp
plemente un pauta co
na
ompleta. Po ejemplo, • •
or
se co
onsidera una configura
a
ación global que se aso
l
ocia a «tres • • • se c
s»;
considera u
una
config
guración glo
obal distinta que simp
plemente ta
ambién se a
asocia a «tr
res». Ningu
una
de es
stas «totali
idades» se reconoce como una colección de eleme
e
a
n
entos que se
puede contar, es decir, una cole
en
,
ección com
mpuesta de unidades (element
e
s
tos
individ
duales). Desde este punto de vista, la captación directa no implica u
D
o
una
comp
prensión de número. Los niños no reconocen simu
el
s
ultáneamente una pau
uta
numé
érica como una totalid
dad (una unidad en s misma) y un conjun de part
sí
nto
tes
(unida
ades individuales) hasta que lle
egan al esta
adio del pe
ensamiento operacion
o
nal.
Con e
este logro intelectual, un niño puede conte
emplar el n
número y la pautas n
as
numéric
cas como una unidad compuesta de unidades (po ejemplo, Steffe, V
or
,
Von
Glase
ersfeld, Richards y Cobb, 1983).
Se
egún otro punto de vista, contar precede a la captac
p
r
ción directa (Beckmann,
a
1924) En otras palabras, lo niños apr
).
p
os
renden a en
numerar co
olecciones c
correctamente
antes de poder reconocer conjuntos con prec
r
r
s
cisión y rapidez. En realidad, h
hay
algunas evidenc
cias (por ej
jemplo, Baroody y Gi
insburg, 19
984; Gelma 1977) q
an,
que
indica que el reconocim
an
l
miento au
utomático d las pa
de
autas num
méricas suele
desar
rrollarse después de una intensa experiencia de contar objetos. E
a
r
Esto puede ser

59



espec
cialmente cierto para n
c
niños deficie
entes (Baro
oody y Gins
sburg, 1984 Desde este
4).
punto de vista, incluso los preescola
o
s
ares puede reconoc que el número y las
en
cer
pauta numérica son, a la vez, una c
as
as
a
colección c
completa y un compue
esto de par
rtes
individ
duales, es decir, una u
d
unidad com
mpuesta de unidades.
En cualquier caso, los dos mode
elos indican que la ca
n
aptación directa es u
una
técnic fundame
ca
ental en el desarrollo de la comprensión del número por parte del
niño. Cuando lo niños pueden reco
os
onocer aut
tomáticame
ente una p
pauta, pued
den
ubrir aspec
ctos importa
antes del n
número. Po ejemplo, un niño q
or
,
que tome tres
descu
•
objeto con una distribución triangular y los coloq en fila, y reconozca que tanto • •
os
n
r
que
a
o
como • • • son casos de «tres», pued formular de maner explícita o implícita el
c
de
r
ra
a
ente princip «La dis
pio:
stribución de las canic no varía la cantida de canic
cas
a
ad
cas
siguie
que te
engo.» La captación di
c
irecta también puede d
desempeña un papel esencial en el
ar
n
apren
ndizaje de reglas num
méricas par apreciar equivalenc
ra
cias. Si a un niño se le
e
muestran grupos de tres e
s
elementos c
con una distribución t
triangular y en hilera, y.
,
puede reconocer inmediata
e
r
amente que ambos con
njuntos son «tres», pue inferir q
ede
que
dos co
onjuntos pu
ueden tener la misma c
r
cantidad au cuando tengan aspe
un
ectos distintos
(Von Glasersfeld 1982).
d,
B) IM
MPLICACIO
ONES EDUCATIVAS: DIFICULT
TADES CON LOS NUM
N
MEROS
y SOLUCION
NES
Cua
ando tienen la edad d entrar e la escuela, los niño son muy expertos en
n
de
en
os
y
contar (Gelman y Gallistel, 1978; G
Gelman y M
Meck, 1983 Práctica
3).
amente tod
dos
parec dar por sentados los diverso principio que suby
cen
r
os
os
yacen a co
ontar o que lo
rigen: los principios de o
orden estab
ble, de corresponden
ncia, de unicidad y de
abstra
acción. La mayoría ha
m
asta parece apreciar el principio r
relativamen sofistica
nte
ado
de la irrelevanci del 'orde Esto no ocurre co los niño muy peq
ia
en.
o
on
os
queños o d
detes. Estos niños, por e
n
ejemplo, pue
eden no de los núm
ecir
meros siguie
endo un orden
ficient
coher
rente. Un error mucho más comú es decir los primer números en el orden
o
ún
r
ros
correc y luego «soltar» ot
cto
tros término sin orden ni concier Por ejemplo, un niño
os
n
rto.
podría empezar sistemática
a
amente con «1, 2, 3» y luego seguir con «6, 8, 12, 9» una
n
vez y con «12, 3, 6, 6», la siguiente Nótese q
a
e.
que en el s
segundo ca aparec
aso
cen
términ repetid
nos
dos. «Tres» ya se hab emplea
»
bía
ado en la primera part correcta, y
te
«seis» se emple dos vec seguida para ter
»
ea
ces
as
rminar la c
cuenta. Esta manera de
contar no sólo viola clara
amente el principio de orden estable, sino también el
principio de unic
cidad. (Aunque decir términos sin sentido y repetir otro no cump
n
os
ple
los pr
rincipios de orden es
e
stable y de unicidad, estos erro
e
ores no siempre indic
can
neces
sariamente que estos p
principios n se conoz
no
zcan. Por ejemplo, los niños pueden
conoc
cer estos principios, pero olvidarse de que ya h
han usado un término
o

60



previa
amente).
Si los niños no han tenido la opor
n
rtunidad de descubrir estos prin
e
r
ncipios, se les
deben brindar abundantes experienc
n
a
s
cias de con
ntar, sobre todo en e contexto de
el
juegos o activida
ades de inte
erés. En rea
alidad, pued ser útil p
de
presentar es
stos princip
pios
explíc
citamente (por ejemplo: «Cuando contamos cosas, debemos co
omprobar q
que
decim los núm
mos
meros de la misma ma
a
anera cada vez» o «c
a
cuando con
ntamos cosas,
debem
mos comp
probar que usamos un núme
e
ero nuevo para cad cosa q
da
que
señala
amos»). Ta
ambién podría ser útil d
discutir hist
torias como las del ejemplo 7.1 o las
o
que a
aparecen re
egularmente en los pro
e
ogramas in
nfantiles de televisión como «Bar
rrio
sésam
mo».
Ejemp 7.1. His
plo
storias para contar
Una v y sólo una
vez
u
Cu
uentamal es
staba muy c
contento. C
Corría y dab saltos po todo el ca
ba
or
astillo. ¡Pronto
era su cumpleañ y quería organizar una gran fiesta! El cocinero vino a pregunta
u
ños
a
r
o
arle
cuánt
tas persona iba a in
as
nvitar para poder hac comida y pasteles para todos.
cer
a
Cuentamal sacó su lista de invitados y empezó a contar los nombres que había en
ó
e
ella. A
Aunque hab perdido la cuenta d los nomb
bía
de
bres que ha
abía contad Cuentam
do,
mal
siguió contando Le salier
ó
o.
ron 27. Ent
tonces volv a conta para asegurarse y le
vió
ar
salier
ron 22. Est
taba muy c
confundido. El cociner le dijo que no podía preparar la
ro
r
fiesta hasta que no supiera cuánta ge
e
a
ente iba a venir. ¡Pob Cuentam Se sentó
bre
mal!
con la cabeza entre las ma
a
e
anos. Justo en aquel momento, su herman Cuentab
o
no
bién
acaba de lleg de visita «¡Eh! ¿Q te pasa ¿No est contento por la fie
aba
gar
a.
Qué
a?
tás
o
esta
que v a dar?», le preguntó. Cuentam le respondió: «Pues sí que lo estaba, pe
vas
mal
o
ero
no pu
uedo saber cuánta gen va a ve
nte
enir. Cada v que cuento me sa un número
vez
ale
difere
ente.» Cuen
ntabién tom la lista y dijo a su h
mó
hermano qu podrían contar junt
ue
tos.
Sacó un rotulado mágico y empezaro a contar la lista desde el princi
or
on
ipio. Cada v
vez
que c
contaban un nombre, C
n
Cuentabién le ponía un marca. D esta man
na
De
nera, contaron
cada nombre de la lista sólo una v
vez. ¡Había 25 nomb
a
bres! Cuen
ntamal se fue
corrie
endo a decí
írselo al coc
cinero.
El ord no impo
den
orta
Cu
uentamal ha
abía planific
cado un día muy diver
a
rtido, pero n se atrevía a salir de la
no
e
cama y bajar las escaleras. La mañana anterior h
a
a
había contado los esca
alones cuan
ndo
había bajado a desayunar y le había salido 10 Pero cua
a
an
0.
ando volvió a subir pa
ó
ara
dormi había contado 11. S había me
ir,
Si
enos escalo
ones al baja que al sub ¡a lo me
ar
bir,
ejor
hoy se iba a dar un tortazo! Así que se quedó sen
e
ntado miran cómo sa el sol. E
ndo
alía
Era
un día muy herm
a
moso. El co
ocinero se acercó al p de la es
pie
scalera y le gritó que su
e

61



desay
yuno se estaba enfriando. Sus a
amigos también se ace
ercaron para decirle q
que
se iba de excursión. Pero Cuentama no quería bajar y todos se fueron. Entonc
an
o
al
a
ces
llegó Cuentabién y subió c
n
corriendo e
escaleras arriba para preguntar a su herma
ano
uentamal te
enía miedo de caerse por
Cuentamal si le pasaba algo. Cuando oyó que Cu
scaleras, Cuentabién exclamó: ¡N puede s ¡Las es
C
No
ser!
scaleras tie
enen el mismo
las es
núme de esca
ero
alones tanto si subes c
o
como si bajas!» Arrast a Cuent
tró
tamal fuera,de
la cama y lo lle
evó hasta las escaler
ras. Cuentamal estab asustad pero da
ba
do,
aba
as
ermano por arriesgars a caer. Cuentabién bajó por las escaleras
r
se
n
gracia a su he
conta
ando cada escalón: «¡1
e
10!» Luego volvió a subir contand otra vez l escalones,
do
los
y tam
mbién le sali
ieron 10. «E la misma escalera, así que tie el mism número de
Es
,
ene
mo
escalones», dijo Cuentabién. Cuentam se puso a dar salto de alegría dio miles de
mal
o
os
a,
s
gracia a su her
as
rmano, y ba corriend las escaleras para salir del ca
ajó
do
astillo y pilla a
ar
sus amigos para ir con ellos de excurs
a
sión.
Estas h
historias fuero escritas en colaboració con Cathy A Mason.
on
n
ón
A.

Equiv
valencia, no equivale
n
encia y «más que»
Los niños aprenden a basarse en contar o en ca
r
aptar direct
tamente pa
ara
determ
minar «cantidades iguales» (e
equivalenci
ia) y «can
ntidades d
distintas» (no
equiva
valencia) ba
astante pro
onto, al menos con nú
úmeros pequeños. Si los niños no
i
emple espontá
ean
áneamente el número para definir equivalen
e
o
ncias y no e
equivalencias,
suelen tener bas
stantes dific
cultades con estas tare
eas. Despu de comprobar que un
ués
niño p
posee técni
icas numér
ricas precisas, puede ser útil indicar explícit
tamente cómo
puede usarse el contar para determina «igual que», «distint de» y «m que». E
e
a
ar
to
más
Esto
puede hacerse en el contex de juego como los descritos en el ejemplo 7.2. Se ha
e
e
xto
os
s
emple
eado con éx juegos como la Lo
xito
otería con n
niños deficie
entes (Caris y Wern
son
ner,
1943; Descoeud
dres, 1928).
.

plo
nseñar los conceptos de equivale
encia, no e
equivalencia y
a
Ejemp 7.2 Juegos para en
ord
den
LOTERIA
L
Objet
tivo:
Equiv
valencia y no equivalen
n
ncia. Mater
rial:
1. Ta
ableros para cada juga
a
ador.
2. Cu
uadrados co distintas cantidades de puntos
on
s
s
s.

62



Ins
strucciones:
:
Cada jugador toma un ta
r
ablero con, por ejemplo, tres pau
utas numér
ricas (véase la
e
figura Por turno los niño tratan de encontrar un cuadra que te
a).
os,
os
ado
enga la misma
cantid de punt que una de las pa
dad
tos
a
autas numéricas de su tablero. Si se encuen
i
ntra
un cu
uadrado, se coloca en
e
ncima de la pauta nu
a
umérica correspondien
nte. El prim
mer
jugador que com
mplete su tablero (ta
apando todas las pau
utas numér
ricas) gana la
a
partid Cada ve que empieza un turn todos lo jugadore pueden J
da.
ez
no,
os
es
Jugar a la v
vez.
Con e
esto se elim
mina la ven
ntaja de ser el primero en jugar, y se permite que pue
r
o
eda
haber más de un ganador.
r
n
DOMINO DE MISMO NÚMERO
EL
Obj
bjetivo:
Equ
uivalencia y no equiva
alencia.
Ma
aterial:
Fichas de dom
minó.
Ins
strucciones:
:
Est juego es una adapta
te
ación del ju
uego de dom
minó descri por Carr
ito
rison y Werner
(1943 y Wynro (1969-1980). Se colocan las fichas boca abajo. Todos los
3)
oth

63



jugadores toman la misma c
n
cantidad de fichas. Sale el jugado que tenga el dos dob
e
or
a
ble.
ue
odas sus fic
chas. El juego con fich de dominó
has
Gana el jugador que coloqu antes to
norma
ales se ilus
stra más ab
bajo. Para estimular u mayor dependenc de cont
una
cia
tar,
Wynro (1969-1
oth
1980) usa f
fichas cuyo puntos p
os
presentan u distribu
una
ución irregu
ular
para q el reconocimiento de las pau
que
o
utas sea me
enos fácil.

LA ESCALERA
A
Obj
bjetivo:
1. L serie nu
La
umérica co
omo representante d cantidades cada v mayor
de
vez
res
(intro
oducción al concepto de orden
o
n).
2. E siguiente término de la secuen
El
e
e
ncia numérica es una u
unidad (o u
uno), más
gra
ande (conce
epto más av
vanzado).
Ma
aterial:
Blo
oques encaj
jables.
Ins
strucciones:
:
Ayu
udar al niño a construir una esca
o
alera con cu
ubos encaja
ables. Emp
plear cubos de
colore diferente para des
es
es
stacar los in
ncrementos en unidade A medid que el n
s
es.
da
niño
va construyendo la escalera indicar que el prime escalón s
o
a,
er
sólo tiene u bloque y no
un
uy
uiente tiene dos bloque y es un poco (un b
es
bloque) may
yor,
es mu grande, que el sigu
que el siguiente tiene tres bloques y es aún mayo (un bloque más que dos), etc. U
t
s
or
Una
a
co
so
lones) hace que el n
er
niño
vez construida la escalera (hasta cinc e inclus 10 escal
a»
scalera con sus dedos y que vay contando cada esca
n
s
ya
o
alón a med
dida
«suba por la es
que lo toca. La escalera tam
o
e
mbién pued construir con una lista numé
de
rse
a
érica. Tamb
bién
se debe indicar que, a medida que el n
q
niño avanza por la list numérica los números
a
ta
a,
(escalones) son mayores (cada núm
n
mero o esc
calón sucesivo es un bloque m
n
más
grand
de).

64



Co
onceptos aritméticos básicos
a
s
No es probab que se d
o
ble
desarrolle u compre
una
ensión fund
damental de la aritmét
e
tica
sin un técnica eficaces y unas exp
nas
as
periencias s
suficientes de contar. Si un niño no
ha tenido exper
riencias de numeració abundantes y prec
ón
cisas, no a
aprenderá los
os
ento a un co
onjunto: los increment en una unidad varí
s
tos
ían
efecto de añadir un eleme
sistem
máticament la designación car
te
rdinal de u conjunto para con
un
o
nvertirla en el
siguie
ente númer de la ser numéric Por tant la enseñanza de a
ro
rie
ca.
to,
apoyo para la
a
aritmé
ética no de realizar hasta q
ebe
rse
que el niño no tenga soltura con las técnic
o
n
cas
básica para co
as
ontar como la enumer
ración, la re
egla del va
alor cardina e incluso la
al
o
separ
ración. Par los niños de educa
ra
ación espe
ecial puede ser especialmente útil
e
desta
acar los efe
ectos de añ
ñadir o quit una unid
tar
dad en situ
uaciones co
otidianas. P
Por
ejemp a la ho de desa
plo,
ora
ayunar, el maestro pu
uede dar d galletas a un niño y
dos
s
o
pregu
untarle cuántas tendrí si se añ
ía
ñadiera una más a la dos que ya tiene, o
as
e
pregu
untarle cuán
ntas le qued cuando se ha com
dan
o
mido una de las tres qu tenía. En el
e
ue
n
ejemp 7.3 se presentan va
plo
p
arios juego que implican llevar la cuenta de increment
os
a
e
tos
y dism
minuciones en una uni
idad.
Ejemp 7.3 Juegos que im
plo
mplican añad o sustra una unid
dir
aer
dad
LANZAMIE
ENTO DE F
FICHAS
Ob
bjetivo:
Sumar de 1 a 5.
Material:
M
1. Fichas, mo
onedas u ot
tros objetos pequeños que se puedan conta
s
s
ar.
2. Bandejas (de colores distintos).
Ins
strucciones:
:
El objetivo de juego es lanzar un n
el
número det
terminado d fichas a una bande
de
eja.
Cada jugador el
a
lige una ba
andeja de c
color distint Para principiantes, hacer que e!
to.
e
núme de fichas a colocar en la bande sea 5. P turnos, l jugador lanzan u
ero
s
eja
Por
los
res
una
sola f
ficha. Si un niño tiene éxito, cua
n
e
ando le toca el turno, se le dice: «Tenías tres
:
fichas en la band
s
deja y ahora tienes una más. ¿ Cu
a
a
uánto es tres y una más Si un niño
s?»
es inc
capaz de encontrar una respues añadir: «Para ver cuántas s tres y u
e
sta,
r
son
una
más, cuenta las fichas de tu bandeja Gana e! primer jug
s
a.»
!
gador que c
coloque cin
nco
s
ndeja. La dif
ficultad de! juego pued modifica
de
arse variand la distancia
do
fichas en su ban
entre el jugador y la bande o aume
r
eja
entando la c
cantidad de fichas necesarias pa
e
ara
r.
ganar

65



EL JUEGO DEL MON
O
NSTRUO D LAS GAL
DE
LLETAS

Ob
bjetivo:
Re
estar una un
nidad.
Ma
aterial:
1. Montón de tarjetas co 1 a 5 galletas (punto círculos o dibujos d galletas ).
on
os,
s
de
2. O
Objetos red
dondos que se puedan contar.
e
n
Ins
strucciones:
El objetivo de juego es reunir 10 ga
e!
alletas (objetos que se puedan c
e
contar).
urnos, los jugadores levantan un tarjeta y pueden pillar tantas g
na
galletas como
Por tu
indica la tarjeta menos una. Explicar «Las tarje
a
r:
etas nos dicen cuánta galletas se
as
puede pillar ca vez. Sin embargo, el monstru de las galletas siem
en
ada
n
,
uo
mpre se come
una c
cuando las tiene que se
t
ervir." Cuan un niño por ejemp ha elegido una tarjeta
ndo
o,
plo,
con tr puntos, se le dice: «Ahora ten
res
ndrías que to
omar tres g
galletas, per e! monstruo
ro
se co
ome una. ¿C
Cuántas qu
uedan para ti?» Si e! n
niño da la r
respuesta c
correcta, se le
e
dice: «Pues tom dos galle
ma
etas.» Si no puede res
o
sponder, ha
acer que ta uno de los
ape
punto con un de y que c
os
edo
cuente e! re
esto. Para a
algunos niño puede h
os,
hacer falta u
una
demo
ostración más concreta: cuando un niño ha sacado tre galletas y e! monstruo
m
es
se ha comido un hacer que cuente l que le q
a
na,
las
quedan. Re
esumir e! he
echo diciendo:
«Hab tres galle
bía
etas, se ha llevado u
an
una, y han q
quedado do
os.»
Paut numéricas y digitales
tas
Cuando lleg
C
gan a la ed
dad de en
ntrar en la escuela, l
los niños s
suelen cap
ptar
direc
ctamente conjuntos d hasta c
c
de
cuatro elem
mentos (Bj
jonerud, 19
960; Gelman,
1977 Algunos niños de
7).
s
esfavorecid
dos y muc
chos niños deficientes todavía no
dominan esta técnica básica (Baroo
ody y Gins
sburg, 1984). Captar directamente
conju
untos de cinco o seis elementos, o incluso de tres o c
cuatro, en re
ealidad pue
ede
depe
ender de un técnica de nume
nas
as
eración prec
cisas y unas experienc
cias de con
ntar
abun
ndantes. Po tanto, las deficiencia en estas áreas deb subsan
or
s
as
s
ben
narse antes de
prete
ender que el niño dom
mine el rec
conocimient de pauta El recon
to
as.
nocimiento de
pautas regulare puede cu
es
ultivarse me
ediante juegos con da
ados.
ara
meros del 1 al 5 al menos, muchos niños apre
s
enden espo
ontáneamente
Pa los núm
pautas digitale automát
es
ticas antes de incor
s
rporarse a la escue (Siegler y
ela
r
Robi
inson, 1982 Siegler y Shrager, 19
2;
984). Esta t
técnica no p
puede dars por senta
se
ada
en p
poblaciones especiale En el ejemplo 7 se deta
s
es.
7.4
allan varias actividad
des
adec
cuadas para fomentar el aprendiz
a
zaje de pau
utas digitale
es.

66



Ej
jemplo 7.4 Actividades para apre
s
ender pauta digitales
as
HAC
CER TITER
RES CON L
LOS DEDOS
Ob
bjetivo:
Re
epresentac
ción automá
ática con los dedos de los númer 1 ala. M
s
e
ros
Material:
1. Títeres hec
chos con ca
anutillos de papel para deslizar lo dedos de
e
a
os
entro de ellos,
o peg
gatinas con el dibujo d una cara para pega
n
de
a
arlas en la y
yema de lo dedos.
os
Instrucciones
s:
Mostrar al niñ los dedo correctos a levantar colocándo los títere de canut
ño
os
s
r
ole
es
tillo
o las pegatinas.
s
HACE CONTO
ER
ORNOS DE LAS MANO
OS
Ob
bjetivo:
Re
epresentac
ción automá
ática con los dedos de los númer 1 a 10.
s
e
ros
Material:
M
1. Pizarra.
2. Tiza.
Ins
strucciones
s:
Ay
yudar al niñ a levanta los dedo correctos para vario números y a trazar su
ño
ar
os
s
os
s
conto
orno en la pizarra. Ped
p
dirle a continuación qu nos mue
ue
estre varios números c
s
con
dedo El niño puede com
os.
mprobar su respuest compar
us
tas
rándolas co las form
on
mas
traza
adas o conf
frontándolas con las nuestras, qu deberán tener la forma correct
ue
ta.

C) IMPLICACIONES EDUC
CATIVAS: LA NATUR
RALEZA DE LA INSTR
E
RUCCION
ASICA
BA
Distin
ntos punto de vista: distintas implicacio
os
ones
Lo puntos de vista que estable
os
ecen como requisitos previos la lógica y las
a
técni
icas para co
ontar prese
entan implic
caciones ed
ducativas sustancialmente distint
tas.
Segú la prime
ún
era, es inú dedicar directame
útil
r
ente los esfuerzos in
niciales de la
ense
eñanza al número y a técnicas para con
s
ntar. Van Engen y G
Grows (197
75)
obse
ervan: «La noción de que conta es la ide básica d la aritm
ar
ea
de
mética ha sido
acep
ptada y favo
orecida dura
ante mucho tiempo po muchas personas in
o
or
nteresadas en
la ma
atemática escolar elem
e
mental. ¡Co
ontar no es la idea más básica de la aritmética!
s
e
Ideas como la correspo
s
a
ondencia biunívoca y "más q
que" son mucho m
más
funda
amentales y, de hech son requ
ho,
uisitos prev
vios para un desarrollo significat
tivo

67



de co
ontar» (pp. 252-253). Sin los req
quisitos psi
icológicos g
generales, la enseñan
nza
de c
contar y de número está cond
el
denada a carecer de sentido. Por tanto, la
e
ense
eñanza de la matemá
ática debe fomentar, en primer lugar, el desarrollo de
r
conc
ceptos lógic y del ra
cos
azonamiento. Según e otro punto de vista, la instrucc
el
ción
inicia debe ce
al
entrarse dir
rectamente en el de
e
esarrollo de técnicas y conceptos
e
espe
ecíficos para contar y e
a
estimular su aplicación En pocas palabras, la cuestión es
u
n.
s
si la e
enseñanza de las matemáticas elementales debe impa
s
artirse forma
almente sob
bre
la ba de unos conceptos lógicos má básicos o informalm
ase
s
s
ás
mente media
ante el cont
tar.
La matemátic modern Durante el siglo XIX y la m
ca
na.
e
mayor part del XX, la
te
ñanza de las matem
máticas a los niños pequeños empezab por con
ba
ntar
enseñ
(Brain
nerd, 1973) Según D
).
Dewey (189 y Thor
98)
rndike (192
22), por eje
emplo, con
ntar
deber abarcar la formación matemá
ría
ática inicial del niño. Russell (19
917) denun
nció
este e
enfoque info
ormal. Afirm
maba que p
primero deb enseñar el conce
bía
rse
epto lógico de
las cla
ases y que el número debía ense
eñarse desp
pués como colofón a e
estas ideas. El
«enfo
oque cardin a la ens
nal
señanza de la matemática eleme
e
ental» de R
Russell aca
abó
toman cuerpo con «La M
ndo
Matemática Moderna» (Brainerd, 1973).
El e
enfoque ca
ardinal, o Ma
atemática M
Moderna, destaca la e
enseñanza d la teoría de
de
a
conjuntos. En la figura 7.1 se muestra la prime lección de este en
a
era
nfoque. ¿Q
Qué
conce
eptos se pretenden c
cultivar con los ejercicios de la página 5? ¿Cuál es el
n
?
s
objetiv de los ejercicios de la página 6? ¿Y cuál es el de lo de la pág
vo
e
e
os
gina 7? Como
muestra la figura 7.1, la inst
a
trucción inic se centr en cultiva los conce
cial
ra
ar
eptos de cla
ase
(clasif
ficación e in
nclusión de clases) y e
e
equivalenci (correspo
ia
ondencia biunívoca).
Sin embargo, y como se afirma en el capítulo 11, este tip de enfoq
n
e
po
ques forma
ales
son aj
jenos a los niños pequ
ueños. Cons
sidérese el caso de Aa
aron, un niñ inteligent y
ño
te
vivaz que acababa de empe
ezar el prim curso. E año anterior, yo hab seguido su
mer
El
bía
o
o desarrollo de la adic
o
ción inform En cuestión de meses ya ha
mal.
abía llegado a
o
rápido
domin la adic
nar
ción de blo
oques con sus dedos Luego continuó inv
s.
ventando p
procedim
mientos de cálculo men
c
ntal. Intrigad por sus avances, le pregunté si le gustab
do
e
ban
s hombros sin mucho entusiasmo Le pregunté
las ma
atemáticas de este cur
rso. Alzó lo
o.
qué cosas estab aprendiendo con las matemáticas.
ba
s

AARO
ON:
INTER
RLOCUTOR:
AARO
ON:

[Sin in
nterés.] Pue no estoy muy segur Tenemo que traza
es
ro.
os
ar
líneas y cosas as
sí.
Oh, co
omparáis co
onjuntos pa ver si so iguales.
ara
on
Supon
ngo que s [Entonc
sí.
ces, todo s comportamiento se
su
transfo
ormó en un explosió de entus
na
ón
siasmo.] ¿S
Sabes cuán
nto
son 1.000 más 1.000? ¡Pue 2.000!
es

68



INTER
RLOCUTOR:
AARO
ON:

¡ Anda ¿Y eso lo has apren
a!
o
ndido en la clase de m
matemáticas
s?
No, ¡p
pero es que soy muy listo!

Como Aaron no parecía en
o
ntender el o
objetivo de los ejercicios de corre
espondenci
ias,
presta poco in
aba
nterés a este enfoque f
formal. Sin embargo, e capaz de comprend
era
der
la arit
tmética bás
sica y ampliar una relación que había apre
endido con sumandos de
una sola cifra a sumand
dos de cu
uatro cifras Esta ob
s.
bservación informal era
signif
fivativa y es
stimulante p
para Aaron.
La enseñanza piagetiana Algunos educadores piagetiano afirman que, como las
a
a.
s
os
eras etapas del desa
s
arrollo inte
electual lim
mitan la ca
apacidad d niño pa
del
ara
prime
comprender el número, la enseñan
nza inicial de las m
matemáticas debe es
s
star
conce
ebida para fomentar e desarrollo del pens
el
samiento op
peracional (por ejemp
plo,
Copeland, 1979) Se han d
).
diseñado va
arios curríc
culo s (por e
ejemplo, Fu
urth y Wac
chs,
1974; Maffel y Buckley, 19
B
980; Sharp, 1969) con el objetivo general d fomentar la
n
o
de
r
capac
cidad para el pensamiento gener (lógico).
e
ral
De
esde el pun de vist piagetian es inút enseñar el número (contar y la
nto
ta
no,
til
o
aritmé
ética) direc
ctamente. P
Primero se deben des
sarrollar los requisitos psicológic
s
s
cos:
comp
prender las clases, las relaciones y la corresp
c
pondencia biunívoca. Este punto de
o
vista queda refl
lejado por Gibb y Ca
astañeda (1975) en un anuario del Natio
o
onal
Council of Teach
hers of Mat
thematics: «Clasificar [establece correspon
er
ndencias] y
yordenar son tres procesos q
r
que subyac
cen al conc
cepto de n
número.... D ahí que la
De
e
exper
riencia de clasificar, co
c
omparar y ordenar pro
oporcione e fundame
el
ento necesa
ario
para el nivel má elevado de abstra
ás
o
acción nece
esario para el número (p. 98). El
a
o»
desar
rrollo de contar y del s
significado y los nombr de los n
res
números só debe darse
ólo
despu de muc
ués
chas experi
iencias de clasificació ordenac
ón,
ción y estab
blecimiento de
corres
spondencia (Gibb y C
as
Castañeda, 1975).
Figura 7.1. Primeras página de un cu
a
as
uaderno de matemátic elementa
ca
al.

69



Sin embargo, hay poco datos que justifiqu
n
os
uen este enfoque pia
agetiano a los
inicios de la ens
s
señanza el
lemental. E realidad, hay datos (Almy, 1971; Dodw
En
well,
1960, 192; Gonc
char, 1975; Hood, 196 que pa
62)
arecen apoy la idea (Macnama
yar
ara,
)
rollo de la clasificació formal o de
ón
1975) de que el número no depende del desarr
técnic de seria
cas
ación como describe P
Piaget. Adem
más, la capacidad de c
comparar conjuntos contando no depen
s
o
nde del do
ominio de l correspo
la
ondencia b
biunívoca (por
ejemp Wang, Resnick y B
plo,
Boozer, 197 Los niñ pueden aprender m
71).
ños
n
mucho acerca
de co
ontar, del número y d la aritm
n
de
mética antes de pode conserva (Mpiangu y
er
ar
u
Gentile, 1970). En realidad la neces
d,
sidad de postular est
tadios para el desarro
a
ollo
lógico ha sido pu
o
uesta en du muy seriamente (v
uda
véase, por e
ejemplo, Groen y Kier
ran,
1982) En resum
).
men, no se ha demost
trado empí
íricamente que sea ne
ecesario tener

70



éxito en tareas «operacio
onales» co
omo la inclusión de clases, la seriación, el
pondencias biunívocas y la cons
s
servación d la cantid
de
dad
establecimiento de corresp
para a
alcanzar un compren
na
nsión básica del núme de cont y de la a
a
ero,
tar
aritmética.
Co todo, es de destacar que la pos
on
d
stura de Pia
aget presen muchas implicacion
nta
nes
educa
ativas de im
mportancia. Por ejemp hace fa una no
.
plo,
alta
oción eleme
ental de «m
más
que» para el desarrollo d concep de núm
del
pto
mero y de una mane de con
era
ntar
signifi
icativa. Ade
emás, el número prese
enta a la vez significad de ordenamiento y de
z
dos
clasifi
icación, y contar im
mplica realm
mente una correspondencia biunívoca. Sin
a
emba
argo, es pos
sible que lo niños lleguen a alca
os
anzar estos conceptos en su for
s
rma
básica antes de lo que pensaba Piage y que el n
a
et
número y c
contar sólo requieran u
una
comprensión inf
formal de estos con
nceptos. C
Ciertamente el desar
e,
rrollo de u
una
m
rada y for
rmal de la clasificac
a
ción, la se
eriación y la
comprensión más elabora
spondencia biunívoca puede dep
a
pender, en e fondo, de desarrollo del númer y
el
el
o
ro
corres
de contar.
c
es
Implicaciones curriculare
Es indudable la importa
e
ancia del o
objetivo de la Matemática Mode
erna y de los
culos piaget
tianos para ayudar a los niños a pensar ló
a
ógicamente Razonar en
e.
curríc
torno a clases y relaciones debe ser un aspecto d los curríc
n
de
culos de las matemátic
s
cas
eleme
entales. Sin embargo, la enseñan inicial d las matem
n
nza
de
máticas debería tener en
r
cuent qué tiene significado para los niños peque
ta
e
o
eños. Siguen a continuación algun
nas
recom
mendacione
es:
1. Introducir las matem
máticas de una man
e
nera inform en vez de hace
mal
z
erlo
forma
almente me
ediante la teoría de conjuntos. Las defin
.
niciones fo
ormales de la
equivalencia nu
umérica, et
tc., pueden ser demasiado abs
n
stractas pa los niñ
ara
ños
eños. Conta ofrece u base co
ar
una
oncreta y s
significativa para comprender ide
a
eas
peque
esenc
ciales como equivale
encia, no e
equivalencia y conservación de la cantidad,
a
e
espec
cialmente con conjun
c
ntos no intuitivos. De hecho, c
e
contar pued tener m
de
más
signifi
icado que establecer correspon
r
ndencias para determ
minar la eq
quivalencia de
conjuntos, sobre todo si tienen más de cinco obje
e
e
etos.
2. No aplazar las experiencias y la enseñanza de contar Hasta los preescolares
r
a
r.
s
parec estar ps
cen
sicológicam
mente equip
pados para empezar a aprender el número A
a
r
o.
excep
pción de la nociones básicas de «más», no hay n
as
s
,
necesidad d retrasar la
de
r
enseñ
ñanza de contar resp
c
pecto a téc
cnicas gen
nerales com clasifica ordenar o
mo
ar,
establecer correspondencia Es impo
as.
ortante ens
señar estas técnicas p sí mism
por
mas,
pero h pocas razones pa creer qu sean necesarias pa la ense
hay
ara
ue
ara
eñanza del número y de conta Tampoco hay nece
ar.
o
esidad de a
aplazar la e
enseñanza de contar, del
ero
a
que
núme y de la aritmética a los niños q no conservan.

71



3. Fomentar el desarro
ollo del rec
conocimiento automát
tico de pautas y de las
pauta digitales. A veces s ha dese
as
.
se
estimado la captación directa por considera
ada
una t
técnica aprendida de memoria que se o
e
obtiene con más fac
cilidad que la
enum
meración o un concept numérico (por ejem
to
o
mplo, Strauss y Lehtin
nen, 1950). El
.
recon
nocimiento de rautas numérica desemp
s
as
peña un p
papel impo
ortante en el
desar
rrollo de nú
úmero y de la aritmétic Se debe instar a l niños a que domin
ca.
los
nen
pauta numérica regulares como las d los dado Además necesitan experimen
as
as
s
de
os.
s,
n
ntar
con distribucione irregulare de uno a cinco elem
es
es
mentos. Me
ediante el re
econocimiento
autom
mático de varias pauta numéric como c
v
as
cas
casos del m
mismo número, los niñ
ños
puede aprende que el nú
en
er
úmero y los conjuntos equivalent no se d
s
s
tes
definen por su
r
aspec Las pa
cto.
autas digitales también desempe
n
eñan un pa
apel importa
ante en el desarrol del núm
llo
mero y, com veremo en el ca
mo
os
apítulo VIII, en el desarrollo de la
e
aritmé
ética. Por ta
anto, se de instar a los niños pequeños a contar co los dedo y
ebe
on
os
emple pautas digitales.
ear
D) RESUMEN
N
La experienc
cia de co
ontar es esencial p
para que los niños desarrollen
s
paulatinamente la compre
ensión del número y lleguen a dominar aplicacion
r
nes
numé
éricas. Salvo en el cas de corre el apre
so
egir
endizaje de nociones básicas como
«más», no hay ninguna raz para ap
n
zón
plazar la en
nseñanza de contar y d número A
e
del
o.
partir de experie
encias conc
cretas de co
ontar y de r
reconocimie
ento de pau
utas, los niñ
ños
apren
nden que lo cambios de aspecto y del orde de conta no afecta al valor c
os
o
en
ar
an
cardinal, y que aña o quitar elementos sí que lo hace. La e
adir
r
s
experiencia de contar es
a
r
impor
rtante para ampliar las nociones intuitivas de equivale
s
encia, no e
equivalencia y
a
orden La enseñ
n.
ñanza formal y lógica de la teorí de conju
ía
untos es úti por derec
il
cho
propio pero la enseñanza del núm
o,
a
mero basad en cont es inici
da
tar
ialmente m
más
signifi
icativa para los niños.
a

72



Aritmét
A
tica info
ormal
An
ntes de dom
minar las c
combinacion numéricas básica ¿qué pr
nes
as,
rocedimientos
emple los niños para calcular suma diferenc
ean
as,
cias y prod
ductos en p
problemas c
con
núme
eros de una sola cifra? ¿Cómo se explica el desar
o
rrollo de procedimientos
aritmé
éticos informales? ¿Por qué a lo niños les cuestan m unos p
os
s
más
problemas q
que
otros? ¿Cómo tr
?
ratan los niños de min
nimizar, de manera na
atural, las dificultades del
cálcul
lo? ¿Qué problemas suelen en
ncontrar lo niños co el cálcu aritmét
os
on
ulo
tico
inform
mal? ¿Cómo se puede subsanar estas dific
o
en
cultades?
A) B
BASES PAR LA ADICION y LA SUSTRAC
RA
A
CCION INF
FORMALES
S

Cu
uando emp
pezaba a asistir al jardín de infancia, Aaron podía calcu
e
ular
rápida
amente las sumas de problemas tipo N + 1 como 3 + 1 = - y 5 + 1 = - . Para ot
tros
proble
emas, incluyendo los d tipo 1 + N como 1 + 3 =___ y 1 + 5 = ___, Aa
de
aron tenía q
que
emple objetos concretos para calc
ear
s
s
cular la su
uma. Tome
emos, por ejemplo, s
sus
respu
uestas durante nuestra cuarta ent
a
trevista, rea
alizada en n
noviembre:

EXAM
MINADOR:
AARO
ON:

EXAM
MINADOR:
AARO
ON:

EXAM
MINADOR:
AARO
ON:
EXAM
MINADOR:
AARO
ON:

1 + 7.
[Pausa. Luego cue
.
enta para sí: «1, 2, 3, 4 5, 6, 7»]. Tengo que
4,
e
hacerla con los blo
oques. [Prim
mero coloca un bloque luego sie
a
e,
ete
más, cu
uenta todos los bloque y expre la suma correcta].
s
es
esa
a
2 + 3.
a
nte]
o,
no
[Cuenta rápidamen 1, 2, 3 [pausa]. Casi lo tengo pero ya n
puedo p
pensar más [Primero coloca dos bloques, lu
s.
s
uego tres
más, y cuenta todo los bloqu para de
os
ues
eterminar la suma].
a
2 + 4.
10.
o
lve
s
1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1 Pues no sé... [vuel a usar los bloques
para ca
alcular la su
uma].
1 + 3.
1, 2, 3, 4, 5 [en voz baja]. [Ex
xaminador: Venga, aca
aba.] Cuatr
ro.

73



La capacidad de Aaron para sum mentalm
d
mar
mente fue a
aumentand de mane
do
era
gradu Con pro
ual.
oblemas de tipo 1 + N al principio empezab a contar a partir de 1
e
N,
ba
r
el
(por e
ejemplo, 1 + 3: «1, 2, 3, 4»). Hac la prima
cia
avera, ya re
esolvía auto
omáticamente
proble
ema de tipo 1 + N dic
o
ciendo el nú
úmero siguiente a N e la serie n
en
numérica (p
por
ejemp 1 + 3 = «4»). A fina
plo,
ales de curs Aaron había refinado el proce
so,
edimiento pa
ara
calcul los resu
lar
ultados de s
sumas con sumandos distintos d uno: emp
de
pezaba con el
n
cardin del sumando mayo y contaba progresiva
nal
or
a
amente a partir de él (p ejemplo 2
por
o,
+ 6 = t6; 7, 8»).
Aa
aron casi no recibió nin
o
nguna ense
eñanza arit
tmética form ¿Qué explica, pues,
mal.
su capacidad aritmética inf
formal y sus progresos durante e curso? ¿Por qué tenía
el
que calcular el resultado de prob
e
o
blemas 1 + N cua
ando podía determin
nar
inmed
diatamente el resultado de proble
emas N + 1 En contr
1?
raste con su soltura en el
u
n
cálcul de suma con el auxilio de objetos co
lo
as
oncretos, su primero intentos de
us
os
cálcul mental no tuviero éxito. ¿
lo
on
¿Qué explica la difi
icultad par desarro
ra
ollar
proce
edimientos de cálculo menta par problemas 1 + N y sumas con sumand
ra
dos
distint
tos de uno A lo lar
o?
rgo del cur
rso, Aaron inventó es
spontáneam
mente nuev
vos
proce
edimientos de cálculo. ¿Qué motivó este des
d
sarrollo?
El fundamen
nto: contar
Co
omo vimos en el c
s
capítulo VII, los niños desarro
ollan una comprens
sión
funda
amental de la aritmética mucho antes de l
llegar a la escuela a partir de s
sus
prime
eras experie
encias de c
contar. Los conceptos informales de la adic
s
s
ción (en tanto
que a
añadir más) y de la sustracción (e tanto qu quitar alg guían lo intentos de
)
en
ue
go)
os
los niños para construir pr
c
rocedimient aritméticos inform
tos
males. Por ejemplo, para
sumar uno más a tres, muchos niño empieza contando hasta tre y luego se
s
os
an
es
n
d
d,
ueden llega a
ar
limitan a contar una unidad más («1, 2, 3; 4»). En realidad hasta pu
tratar de aborda problema más difíciles de la misma ma
ar
as
anera. Cons
sideremos los
prime
eros intentos de Aaron para calcul mentalm
s
lar
mente las su
umas de pro
oblemas 1 + N
y de p
problemas con suman
ndos distint de uno (M + N). C
tos
Como consid
deraba que la
e
adició es un pro
ón
oceso aumentativo, su intentos iniciales, a
us
aunque infru
uctuosos, ib
ban
por bu camino Para 2 + 3, por ejem
uen
o.
mplo, parec saber qu la suma tenía que ser
cía
ue
mayor que dos. Por tanto, e seguida contó hasta dos y lueg contó un unidad m
P
en
a
go
na
más
que
ía
mo
...
engo, pero... ».
(aunq no sabí bien cóm continuar): «1,2,3, . Casi lo te
La soltura con las técnic para co
n
cas
ontar permit a los niño resolver mentalmente
te
os
r
proble
emas con «1» muy pr
«
ronto. Los n
niños descu
ubren con b
bastante ra
apidez que las
relacio
ones entre un número y su sigu
o
uiente se ap
plican a pro
oblemas N + 1 y que las
relacio
ones entre un número y su anterior pueden aplicarse a problemas N - 1. De heo
s
cho, muchos preescolares pueden usar su re
s
epresentac
ción menta de la se
al
erie

74



numé
érica para resolver pro
r
oblemas co «1» sen
on
ncillos (N + 1 y N - 1 como «t
1)
tres
pastelillos y uno más» o «c
cinco muñe
ecas menos una que t quedas» (por ejemp
s
te
plo,
Baroo
ody, 1984a; Court, 1920; Fuson y Hall, 198 Gelman 1972, 19
83;
n,
977; Ginsbu
urg,
1982; Groen y Resnick, 19
R
977; Ilg y A
Ames, 195 Resnick 1983; Re
51;
k,
esnick y Fo
ord,
1981; Starkey y Gelman, 1982). En el anterior p
problema de adición, u niño pue
e
un
ede
entrar en la serie numérica por el punto esp
r
pecificado p el prim término o
por
mer
o
sumando (tres) y dar com respuest el núme siguient en la se
mo
ta
ero
te
erie numéri
ica:
tro». En el anterior pr
roblema de sustracció un niño puede entr en la se
ón,
rar
erie
«Cuat
numé
érica por el punto espe
ecificado po el minue
or
endo o cant
tidad mayor (cinco) y dar
como respuesta el número anterior en la serie nu
n
umérica: «C
Cuatro.» Co
omo el emp
pleo
sta
entación me
ental de la serie num
a
mérica para determina respues
a
ar
stas
de es represe
relacio
onadas con el núme anterior o posterio a otro d
ero
r
or
dado es tan automáti
ico,
muchos preesco
olares pued
den dar mentalmente y con ra
e,
apidez, las respuestas a
s
proble
emas senci
illos con «1».
La dif
ficultad relativa de p
problemas 1 + N
¿P qué Aar podía r
Por
ron
resolver pro
oblemas N + 1, pero no problem 1 + N? El
mas
?
conce
epto informa que tiene los niños de la adic
al
en
s
ción puede hacer que los problem
mas
N + 1 sean más fáciles de resolve que los problema 1 + N. Como Aaron
er
s
as
consid
deraba que la adición era un proc
e
ceso aumen
ntativo, inte
erpretaba el problema 3 +
l
1 = __ como tres y uno más cosa que se puede r
_
s,
resolver fác
cilmente contando («1, 2,
3; 4.,) o emplean las relac
)
ndo
ciones entre un númer dado y el que le sigu («3, 4»). En
e
ro
l
ue
cambio, interpre
etaba que 1 + 3 = __ era uno y tres más, cosa que no se pue
_
ede
resolv fácilmen con esto métodos En otras palabras, c
ver
nte
os
s.
como los niñ pequeñ
ños
ños
consid
deran que la adición es un proces aumenta
so
ativo, puede presenta la tenden
en
ar
ncia
a con
nsiderar que N + 1 = __ y 1 + N = __ so problemas diferent y la suma
on
tes
consig
guiente no es equiva
o
alente. Por tanto, pue
r
eden no d
darse cuent de que su
ta
métod centrado en la relac
do
o
ción existen entre un número da y el que le sigue, q
nte
n
ado
e
que
es tan eficaz pa respon
ara
nder en seg
guida prob
blemas de tipo N + 1 también es
1,
aplica
able a probl
lemas de tip 1 + N.
po
En un mome
ento dado, los niños d
descubren que las re
elaciones e
entre números
ecutivos se aplican po igual a pr
or
roblemas de tipo N + 1 y de tipo 1 + N. Jen
nny,
conse
una n
niña de jardín de infanc describ este imp
cia,
bió
portante de
escubrimien (Barood y
nto
dy
Ginsb
burg, 1982a Mientras jugaban a un juego m
a).
s
matemático la niña qu se senta
o,
ue
aba
al lad de Jenn sacó una tarjeta co el probl
do
ny
a
on
lema 1 + 6 = __. Ma
anifiestamente
perple y desor
eja
rientada ante este pro
oblema, la n
niña se que sin dec nada. T
edó
cir
Tras
una p
pausa, Jenny se le a
acercó y le dijo en vo baja: «¡Eh! ¡Que es muy fá
e
oz
ácil!
¡Siem
mpre que ve
eas un 1, es el número que viene después!» A dife
erencia de su

75



compañera, Jenny había ab
bstraído una regla gen
neral de núm
meros cons
secutivos para
emas con «1»: «La sum de N + 1 ó 1 + N es el número que sigue a N en la se
«
ma
s
erie
proble
numé
érica." Con esta regla g
e
general, Jenny podía u
usar su rep
presentación mental de la
n
e
serie numérica para respo
onder con igual eficac a proble
cia
emas de tipo N + 1 y a
proble
emas de tip 1 + N.
po
El desarrollo de una reg general de número consecut
gla
os
tivos para l problem
los
mas
«1"
s
uy
nte
dad
culo
con « puede ser un primer paso mu importan hacia una capacid de cálc
gener más flexible. Por ejemplo, Aar aprendi primero q podía pasar por a
ra
ron
ió
que
alto
sin pr
roblemas el orden de lo sumandos en probl
os
lemas con «1». Unas s
semanas m
más
tarde empezó a hacer lo mismo en problemas con sum
n
mandos dis
stintos de 1 y
laba las su
umas de ti
ipo M + N contando a partir del sumando mayor (por
calcul
ejemp 2 + 6: «6; 7, 8»). A
plo,
Además, los niños sólo llegan a co
s
onsiderar la adición como
a
la uni o reunió de dos conjuntos d una manera gradu Desde e
ión
ón
de
ual.
este punto de
vista, el orden de los núm
d
meros carece de importancia: 3 + 2 = 2 + 3. En ot
tras
palabras, la unió de un conjunto de tres objeto con otro de dos, tiene el mismo
ón
os
o
result
tado que la unión de dos objetos y tres objet
tos. Esta co
oncepción «
«unionista» de
la adición es má abstracta que la co
ás
a
oncepción a
aumentativ familiar p
va
para los niñ
ños
peque
eños. La co
omprensión de que el o
orden de los sumandos no altera l suma en los
s
s
la
proble
emas con «1» pued ser un primer p
de
n
paso muy important hacia u
te
una
comprensión má profunda de la adición (Resnic 1983).
ás
a
ck,

B) A
ADICCION INFORMAL
I
L
Proce
edimientos concreto
s
os
Inic
cialmente, los niños e
emplean ob
bjetos concr
retos para c
calcular sumas. A cau
usa
de su inJj1ediat disponibilidad, suel
u
ta
len usar los dedos pa sumas de hasta 10.
ara
Desde el punto de vista de! desarrollo, la estrateg más bás
e
d
gia
sica es la cu
uenta concr
reta
global (CC) que se ilustra en la columna 1 de la figura 8.1. Los blo
e
oques (u ot
tros
objeto 'que se puedan contar, como lo propios d
os
p
os
dedos) se c
cuentan uno por uno para
o
repres
sentar un sumando; e! proceso se repite con e! otro sumand Luego se
o
e
do.
cuentan todos lo objetos p
os
para determ
minar la sum
ma.
Inv
vención de atajos. Los n
niños invent espontá
tan
áneamente atajos par el laborio
e
ra
oso
proce
edimiento cc Uno de lo favoritos es la estra
c.
os
s
ategia de «
«pautas digitales» que se
e
ilustra en la colu
a
umna 2 de la figura 8.1 (Baroody en prens
y,
sa). Nótese que, en e
e
esta
estrat
tegia, cada sumando se repres
a
senta con una pauta digital. As se evita e!
sí
a
laborioso proces de contar los dedos uno por un para rep
so
s
no
presentar ca sumando.
ada
ante la estra
ategia de la pauta digital, e! niño sólo tiene q contar una vez (para
a
que
Media

76



determ
minar la suma). La estrategia de «recon
s
nocimiento de pautas» (Siegler y
Robin
nson, 1982; Siegler y S
Shrager, 19
984), que se ilustra en la columna 3 de la figura
e
a
8.1 es aún más económica. Esta estra
s
e
ategia comp
porta la creación de pa
autas digita
ales

77



para cada suma
a
ando para, a continuac
ción, recono
ocer la sum inmediata
ma
amente, qu
uizá
de m
manera visu (median una cap
ual
nte
ptación dire
ecta), quizá cinestésic Para 4 + 5
á
ca.
=__ , por ejemp un niño puede em
plo
o
mplear paut digitales para repr
tas
s
resentar ca
ada
suma
ando, sentir que se ha extendid todos los dedos sal uno, y r
an
do
s
lvo
responder «
«9»
sin te
ener que co
ontar.
Hasta los niñ deficien
ños
ntes inventa atajos CC espontán
an
C
neamente p
para ahorrarse
traba
ajo. Durant veintiuna semanas se observ
te
a
s
varon unos niños con deficienc
s
n
cias
leves y modera
s
adas que s basaban en un pr
se
n
rocedimient CC porq
to
que lo habían
desc
cubierto o porque se le había ens
es
señado. Sin que se les dijera nad muchos de
n
s
da,
los p
participante en el es
es
studio emp
pezaron a e
emplear un estrateg de pautas
na
gia
digita
ales y unos pocos emp
s
plearon una estrategia de recono
a
a
ocimiento de pautas pa
ara
problemas con sumandos muy pequ
s
ueños. Por tanto, par
r
rece que la tendencia a
a
a
inven atajos para el cálc
ntar
culo es com a niños con una a
mún
s
amplia gama de aptitud
a
des
ment
tales.
Au
utocontrol, inventiva y flexibilida Mediant el contro de sus t
ad.
te
ol
tentativas, los
niños pueden adaptar proc
s
a
cedimientos existente a nuevas demandas y, por tan
es
s
s
nto,
pued
den inventa nuevos procedimientos. Co
ar
onsidérese el caso de Mike, un
much
hacho de veinte años de edad con un CI de 46. Mike se enc
v
s
I
contró en u
una
situa
ación norma en los niñ
al
ños: Su procedimiento concreto le iba muy b
e
bien siempr y
re
cuan los núm
ndo
meros fuera pequeño Para pro
an
os.
oblemas co sumandos de cinco o
on
o
meno Mike em
os,
mpleaba un procedimie
n
ento de pau
utas digitale (por ejem
es
mplo, para 3 +
5 for
rmaba las pautas digitales para tres y cinc con cada mano y luego conta
p
co
a
aba
todos los dedo
s
os). Sin em
mbargo, es procedimiento no puede em
ste
o
mplearse c
con
facilid para problemas c
dad
como 2 + 8 y 6 + 3, en los que uno de los sum
o
mandos no se
o
pued represen fácilmente con una mano.
de
ntar
a
Pa
areciendo darse cuen de las limitacione de su p
nta
es
procedimien de pautas
nto
digita
ales, Mike lo modificó. Cuando se le present
o
e
taban proble
emas como 2 + 8 y 6 + 3,
o
prime formaba la pauta d
ero
a
digital de su
umando má pequeño (por ejemp dos ded
ás
plo,
dos
para 2 + 8). Co un mod
on
delo cardina del suma
al
ando más pequeño y formado, el
ya
,
siguiente paso que daba e empeza desde 1 e ir contan hasta l
era
ar
ndo
llegar a la d
designa
ación cardin de sumando mayo Por ejem
nal
or.
mplo, «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8» para 2 +
7,
8. A continuació Mike sim
ón,
mplemente continuaba contando mientras s
a
señalaba ca
ada
mento del mo
odelo cardinal creado en el paso anterior (po ejemplo, para 2 + 8: «9
or
elem
[seña
alando uno de los do dedos le
o
os
evantados], 10 [señalando el otro dedo]». La
,
mani
iobra plani
ificada de antemano por Mike para representar ú
o
e
únicamente el
suma
ando más pequeño le permitía en
p
nfrentarse a problemas con núme
eros mayor
res.
El procedimiento concreto relativa
l
amente sofi
isticado de Mike toma otras form
a
mas
ingen
niosas. Algunos niños usan mod
s
delos cardin
nales ya pr
resentes en el aula pa
n
ara

78



conta Otros usan las pa
ar.
u
autas de la cifras 2,3,4 (por ej
as
jemplo, 2 + 4: «1, 2; 3
[seña
alando la punta super izquierd del cuat
p
rior
da
tro], 4 [seña
alando la p
punta super
rior
derecha], 5 [señalando la punta del medio], 6 [
[señalando la punta d abajo], 6
de
6»).
ntras hacen sus ejercic
cios de aritm
mética en c
clase, algun niños m
nos
miran mucho el
o
Mien
reloj (por razone distintas a saber cu
es
s
uánto falta para el recreo). El relo proporcio
oj
ona
un m
modelo para contar (po ejemplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [mirando el 1 de la esfera] 4
a
or
,
,
e
],
[mira
ando el 2 de la esfera], 5 [mirando el 3 de la esfera], 6 [m
e
,
o
mirando el 4 de la esfe
era]
- 6») Otros niñ
).
ños hasta pueden llegar a crea un mode mental para llevar la
ar
elo
r
cuen
nta. Por eje
emplo, para 2 + 4 un niño pue
a
n
ede imagina cuatro p
ar
puntos en las
esqu
uinas de una caja y con
a
ntarlas «3, 4, 5, 6» mie
entras «señ
ñala» o «mi los puntos
ira"
imag
ginarios. Lo procedim
os
mientos ba
asados en estos mod
delos «que se tienen a
e
n
mano pueden ser la base para la inv
o»
e
vención de procedimie
entos eficac de cálc
ces
culo
ment (Fuson, 1982).
tal
Ad
demás, este control p
permite a l
los niños e
elegir de m
manera inte
eligente en
ntre
proce
edimientos informales de adición (Siegler y R
Robinson, 1982). Kathy una niña de
y,
quinc años de edad con u CI de 40 empleaba una estra
ce
un
0,
a
ategia de pa
autas digita
ales
para problemas como 2 + 3, 4 + 2 y 5 + 4. Cua
ando se encontraba con problem
mas
como 2 + 8 ó 6 + 3, recono
o
ocía inmediatamente los límites d su estrategia digita y,
de
al
sin que se le dijera nada, pasaba a calcular la respuesta con bloqu (volvía al
a
a
ues
a
emple de un procedimien CC). Ad
eo
p
nto
demás, cua
ando se le presentaban problem
mas
como 1 + 2 y 3 + 1 (combin
o
naciones qu según p
ue,
pruebas rea
alizadas de antemano, ya
sabía
amos que conocía), Ka
athy no con
ntinuaba em
mpleando p
procedimien
ntos concre
etos
mecá
ánicamente (persevera
ación), sino que resp
o
pondía de manera au
utomática. A
Así
pues, parece ser que inclus niños co deficienc
,
so
on
cias mentale importan
es
ntes contro
olan
su eje
ecución arit
tmética y m
muestran fle
exibilidad a la hora de elegir proce
edimientos de
cálculo.
Pr
rocedimien
ntos menta
ales
Co el tiempo, los niños aband
on
donan espo
ontáneame
ente los pr
rocedimientos
concr
retos e inv
ventan pro
ocedimiento mentale para ca
os
es
alcular sum
mas (Groen y
n
Resnick, 1977). El procedimiento má básico d adición mental es contarlo to
ás
de
odo
ezando por el primer sumando (C
CTP) (por ej
jemplo, 2 + 4: «1, 2; 3 [es uno má
ás],
empe
4 [son dos más 5 [son tr más], 6 [son cuat más] - 6 (Barood 1984a, en
s],
res
tro
6»)
dy,
prens Baroody y Ganno 1984). La técnica CTP es una invenc
sa;
on,
a
ción bastante
sofist
ticada porque no reflej directam
ja
mente el pro
oceso conc
creto y global de conta
arlo
todo y comporta la enumer
a
ración del segundo sum
mando a m
medida que e niño cuenta
el
a par del prim
rtir
mero (un pr
roceso de control sim
multáneo) (Baroody y Ginsburg, en
prens Carpent y Moser 1983).
sa;
ter
r,

79



Lle
evar la cuen Este proceso de llevar la cuenta hace que el cálc
nta.
culo mental de
proble
emas con términos dis
t
stintos de « sea má difícil que el de problemas en los
«1»
ás
e
que u de los términos es «l». Para calcular N + 1 ó 1 + N un niño s
uno
t
s
N,
sólo tiene q
que
conta hasta N y decir el nú
ar
úmero que le sigue en la serie nu
umérica (po ejemplo, 1 +
or
4: «1, 2, 3, 4; [y uno más son] 5»). C problem sin «l» el niño debe continu
y
Con
mas
»,
uar
conta
ando más allá de N un número de
eterminado de veces. U cálculo mental exacto
Un
de pr
roblemas sin «l» exige métodos p
e
previamente planificad para lle
e
dos
evar la cuen
nta.
Esto es lo que im
mpedía a A
Aaron calcul con éxito problema sin «1» a principios de
lar
as
curso Con el tie
o.
empo, Aaron ideó espo
ontáneame
ente método para llev la cuent
os
var
ta.
So
obre todo al rrincipio, lo niños us objetos concretos para llevar la cuenta, y el
l
os
san
emple de los dedos es un de los m
eo
no
métodos favo
oritos (por ejemplo, 2 + 4: <<1, 2 3
2;
[un dedo extend
dido es uno más], 4 [dos dedos extendido son dos más], 5 [tres
o
s
os
dedos extendido son tres más], 6 [cu
s
os
uatro dedos extendido son cuat más] - 6
s
os
tro
6»).
Si un niño puede reconocer automáticamente pau
e
r
utas digitale el proce
es,
edimiento pa
ara
llevar la cuenta requiere p
r
poca atenció y puede ejecutarse con gran eficacia. P
ón
e
n
Por
ejemp para 2 + 4, en cua
plo,
anto ha emp
pezado el p
proceso de contar el niño se limita a
ir con
ntando hasta que «sien
nte» la exte
ensión del cuarto dedo. Conocer la pauta dig
gital
para el cuatro di el niño c
ice
cuándo tien que dete
ne
enerse.
Co el tiempo los niños pasan de c
on
o,
contar objet a contar cosas men concretas
tos
r
nos
para l
llevar la cue
enta (Steffe et al., 1983). En realidad, los niñ emplea una varia
e
ños
an
ada
gama de medio (por eje
a
os
emplo, véas Fuson, 1982). Alg
se
gunos niño van dan
os
ndo
golpecitos con lo dedos o el lápiz cuando cuent
os
tan. Hasta pueden lleg a explo
gar
otar
pauta como «ta
as
ac-tac-tac-ta es cuatro (por eje
ac»
emplo, 2 + 4 «1,2; 3, 4 [tactac]; 5 6
4:
5,
[tac-ta - 6»). Los niños ta
ac]
ambién pue
eden llevar la cuenta c otra cu
con
uenta verba o
al
subvo
ocal: una do
oble cuenta (por ejemplo, 2 + 4: «
a
«1,2; 3 es u más, 4 son dos más,
uno
5 son tres más, 6 son cuatr más»). C
ro
Cuando los niños están muy familiarizados c
n
con
la ser numérica este proc
rie
a,
ceso de dob cuenta p
ble
puede llega a ser extr
ar
remadamente
autom
mático y rea
alizarse mentalmente.
Inv
vención de atajos. C
Contar a pa
artir del primer sumando (CCP abrevia el
P)
proce
edimiento CTP al empezar desde el término cardinal correspondie
C
e
o
ente al prim
mer
sumando (por ejemplo, 2 + 4: «2; 3 [+ 1], 4 [+ 2], 5 [+ 3, 6 [+ 4] - 6»), pe no redu
+
ero
uce
el núm
mero de pasos necesa
arios para e procedimiento de lle
el
evar la cuen (Baroody y
nta
Ganon, 1984). Tanto el pro
T
ocedimiento CTP com el CPP implican u proceso de
mo
un
o
ara
a
Como el pro
ocedimiento CPP no a
o
ahorra muc
cho
cuatro pasos pa llevar la cuenta. C
esfuerzo, es rar que los niños lo inventen y lo emplee (Baroody en prensa;
ro
en
y,
ody
burg, en pre
ensa).
Baroo y Ginsb
Lle
evar la cuen es muy e
nta
exigente en el plano co
n
ognoscitivo y se puede aligerar si se
o
e
empie por el término mayor. Una es
eza
strategia qu permite hacerlo es contarlo to
ue
odo

80



empe
ezando por el término mayor (CT (Barood 1984a). El método CTM implica
TM)
dy,
.
o
contar hasta el cardinal de número mayor a partir de 1 y luego seg
el
guir contan
ndo
mient
tras se enum
mera el térm
mino meno (por ejem
or
mplo, 2 + 4: «1, 2, 3, 4; 5 [+ 1],6 [+ 2]
+
- 6»). Nótese que, al empez por el té
zar
érmino may el proceso para lle
yor,
evar la cuenta
en 2 + 4 se redu de cuat a dos pa
uce
tro
asos. Obsé
érvese tamb
bién que el método CT
TM
requie un proc
ere
ceso extra in
nnecesario con el CTP ver cuál d los dos s
P:
de
sumando s es
mayor. Los niños adoptan e CTM por
s
el
rque ver cuá de los su
ál
umandos es mayor ya se
s
echo autom
mático y ex
xige un es
sfuerzo ina
apreciable en compar
ración con el
ha he
proce de lleva la cuenta.
eso
ar
Co
ontar a partir del términ mayor (C
no
CPM) abrev el proce
via
edimiento C
CTM ya que se
empie a conta desde la designación cardinal d término mayor y, p tanto, es el
eza
ar
del
por
s
proce
edimiento in
nformal de a
adición mental más ec
conómico (por ejemplo 2 + 4: «4 5
o,
4,
[+ 1], 6 [+ 2] - 6») Durante e cálculo, lo niños pu
).
el
os
ueden darse cuenta de que contar el
e
e
prime sumando es inneces
er
sario y bast con enun
ta
nciar el card
dinal que le correspon
e
nde
(Fuso 1982; Resnick y N eches, 1984). Como resulta
on,
R
ado, adopta el méto
an
odo
abrev
viado de em
mpezar con e término c
el
cardinal del sumando m
mayor en ve de conta a
ez
ar
partir de 1. Por tanto, el pro
t
ocedimiento CTM se a
o
abandona e favor del CPM porq
en
que
aún a
ahorra más trabajo.
Au
utocontrol, in
nventiva y fl
flexibilidad. Al igual que con los pr
e
rocedimient concretos,
tos
el au
utocontrol hace que los niños inventen espontáne
h
eamente pr
rocedimientos
menta
ales ayudándoles a se
entir cuándo hace falta reajustar los método existentes.
r
os
Consi
idérese el ejemplo de Casey, un niño de pá
e
n
árvulos (Ba
aroody y Ga
annon, 198
84).
En nu
uestra primera entrevista, Casey se basó e
y
exclusivame
ente en el p
procedimiento
CTP. En la segu
unda, se le presentó el problema 3 + 6 en un tarjeta. E
l
na
Empezó como
de costumbre, co
ontando el primer sum
mando a me
edida que ib dando go
ba
olpecitos en la
n
a:
».
rgo, se detuvo y come
entó: «Creo que conta
o
aré
tarjeta «1, 2, 3» Esta vez, sin embar
hasta 6. 1, 2, 3, 4, 5> 6 [pau
a
4
usa] 7, 8, 9.» Al parece Casey había previs la dificult
er,
sto
tad
de qu para lle
ue,
evar la cuen con su procedimie
nta
ento CTP, hacían falt seis pasos.
ta
Para ahorrarse trabajo, ada
t
aptó su método. Empe por con el suma
ezó
ntar
ando mayo e
or
1
edimiento n
nuevo, CTM de más f
M,
fácil ejecuci
ión . Al igu que ocu
ual
urre
inventó un proce
con lo procedim
os
mientos con
ncretos de c
cálculo, par
rece que lo niños est motivad
os
tán
dos
por la idea de minimizar su esfuerzo c
a
cognoscitivo
o.
1 Po
odría parecer que si los n
r
niños inventan procedimien
n
ntos de adició que no da importancia al
ón
an
orden de los suman
ndos (CTM o CPM) es qu comprende la propiedad conmutati (por ejem
ue
en
iva
mplo,
mbargo, Case no parecía darse cuent de que 3 + 6 y 6 + 3 e
ey
a
ta
eran
Groen y Resnick, 1977). Sin em
an
resultado. En posteriores e
entrevistas, Casey indicó q 6 + 4 y 4 + 6,
que
equivalentes y daba el mismo r
emplo, darían resultados distintos (Baroo y Gannon 1984). Los niños pueden sumar núme
ody
n,
n
eros
por eje
en cua
alquier orden porque creen que obtendrá una respue
p
án
esta correcta (
(aunque no ne
ecesariament la
te
misma) Parece que ciertos facto
).
e
ores no conce
eptuales, como el impulso a ahorrar esfu
uerzo mental, así
,
como algunos con
nocimientos conceptuales pueden e
s,
explicar el desarrollo de procedimien
ntos
ales de cálculo.
informa

81



El auto contr también permite a los niños escoger d manera flexible en
rol
n
de
ntre
sos proced
dimientos m
mentales. C
Casey, al ig
gual que m
muchos otr
ros niños (por
divers
ejemp Carpen y Mose 1984), no usaba sis
plo,
nter
er,
stemáticam
mente este p
procedimiento
nuevo y más ava
o
anzado. Au
unque usaba el CTM c problem como 2 + 6 = -- , 2 + 8
con
mas
=__ , y 3 + 6 = _, que co
omportaban un proceso exigente para llev la cuen
n
var
nta,
contin
nuaba emp
pleando el CTP en p
problemas como 2 + 4 = _, qu exigen un
ue
proce
edimiento para llevar la cuenta menos comp
a
plicado.
C) SUSTRA
ACCION INF
FORMAL
Pro
ocedimien
ntos concre
etos
Pa problem
ara
mas con sustraendos (números menores) mayores que uno, al
s
s
principio los niños emplea modelos concretos que repre
an
s
s
esentan directamente su
conce
epto informal de la su
ustracción c
como «quita algo» (p ejemplo Carpente y
ar
por
o,
er
Mose
er», 1982). Este pro
ocedimiento «extractiv
o
vo» compo
orta: a) re
epresentar el
minue
endo (el número mayo b) quitar un número de eleme
or);
entos igual a sustraendo,
al
y c) contar los el
lementos re
estantes pa determinar la respuesta. Por ejemplo, 5 - 2
ara
implic
caría contar cinco ded u otros objetos (ha
r
dos
acer cinco marcas), c
contar y retirar
dos de los eleme
entos (tachar dos de la marcas) y, por últim contar los elementos
as
)
mo,
(las m
marcas) restantes: «Tr
res.» (Véase la fig. 8.2
2.)

Se em
mplean 5 bloques, ded o marca se quita dos y se cuenta el r
dos
as,
an
resto

82



Proce
edimientos mentales
s
s
Re
etrocontar: una ampliación natura del conoc
u
al
cimiento exi
xistente.
Como ocurre co la adició cuando los niños están pre
o
on
ón,
o
s
eparados abandonan los
proce
edimientos concretos e favor de procedimientos men
c
en
e
ntales. Un p
procedimiento
menta muy usua es contar regresivam
al
al
r
mente o ret
trocontar, q también parte de u
que
n
una
conce
epción extr
ractiva de la sustrac
cción como ocurría con los procedimien
o
ntos
concr
retos menc
cionados a
anteriormen (Carpen
nte
nter y Moser, 1982) Retrocon
).
ntar
implic expresar el minuen
ca
r
ndo, contar hacia atrá tantas un
r
ás
nidades co
omo indique el
e
sustra
aendo y da el último número c
ar
o
contado como respue
esta (por ej
jemplo, 5 - 2:
empe
ezar desde 5, 4 [quitan una], 3 [quitando d
ndo
dos] - la res
spuesta es «3»). Aunq
que
retroc
contar es una amplIac
u
ción natura del proce
al
edimiento m
mental que emplean los
e
niños para calcu diferencias N - 1, es más co
ular
omplicado e el plano cognosciti
en
o
ivo.
Para r
resolver pro
oblemas de tipo N - 1, el niño sólo tiene que saber qué número vie
el
o
e
ene
antes de otro en la serie num
mérica. Con sustraend mayore el niño debe ser cap
n
dos
es,
paz
de co
ontar hacia atrás un número determinad de unid
a
n
do
dades des
sde un punto
espec
cífico de la serie numé
érica. Por ta
anto, retroco
ontar comp
porta un mé
étodo de llevar
la cue
enta que de ejecuta
ebe
arse mientr el niño va contand hacia atrás (véase la
ras
do
e
fig.8.3
3).

n
iento exigen El méto de retro
nte.
odo
ocontar par la sustracción tamb
ra
bién
Un procedimi
es má difícil pa los niñ
ás
ara
ños que los métodos informales para la a
s
s
adición men
ntal
(Baroody, 1984c Con los procedimie
c).
entos de adición menta tanto la s
al,
suma como el
o
eso
ar
a
esivos, es d
decir, se dirigen hacia adelante. En
a
proce de lleva la cuenta son progre

83



cambio, retrocon
ntar exige c
contar regr
resivamente que es m difícil p
e,
más
para los niñ
ños
eños que contar prog
c
gresivamen (Fuson et al., 198 Ginsbur y Baroo
nte
82;
rg
ody,
peque
1983) Además, esta cuent regresiva ya difícil d por sí, d
).
ta
a,
de
debe ejecut
tarse mient
tras
se eje
ecuta una cuenta progresiva, es decir, ¡en dirección contraria! La naturale
c
s
n
eza
abrum
madora de este proc
cedimiento puede ayu
udar a exp
plicar la fra
ase que, c
con
frecue
encia tan alarmante, e
está en boc de much niños d la primer enseñan
ca
hos
de
ra
nza:
«No m gustan nada las re
me
n
estas; son m
mucho más difíciles qu las suma (Starke y
ue
as»
ey
Gelma 1982).
an,
La dificultad del procedi
d
imiento de retrocontar está relac
r
cionada con el problema
del tamaño de lo números El tamaño del sustra
os
s.
o
aendo es un factor clav En el ca
n
ve.
aso
de 9 - 2, el proce de lleva la cuenta es relativa
eso
ar
a
amente manejable pue sólo con
es
nsta
de do pasos («9 8 [- 1], 7 [- 2] - 7»). En el caso de 9 - 7, s embarg el proce
os
9;
o
sin
go,
eso
de lle
evar la cuen es muy difícil porq consta de siete p
nta
y
que
a
pasos («9; 8 [- 1], 7 [- 2],
6 [ - 3 5 [- 4],4 [- 5],3 [- 6],2 [- 7], - 2»). Para 19 - 17, el pro
3],
[
oceso de lle
evar la cuenta
llega a ser prá
ácticament imposib a caus de los diecisiete pasos q
te
ble
sa
s
e
que
comp
porta (« 19; 18 [- 1], 17 [- 2], 16 [- 3], ..., 3 [- 16],2 [ 17] - 2») Además, el
6
[).
tamañ del min
ño
nuendo pue
ede contrib
buir a las d
dificultades de los niñ
s
ños. Para los
niños del ciclo in
s
nicial, conta hacia atrás desde 20 suele ser más difí que des
ar
ícil
sde
10 (F
Fuson et al. 1982; Gi
.,
insburg y B
Baroody, 1983). Por tanto, cuan
ndo los niñ
ños
se en
ncuentran con problem cuyos minuendo son may
c
mas
s
os
yores que 1 los que se
10,
basan en retroc
n
contar se v
ven forzado a emple una se
os
ear
ecuencia in
nversa men
nos
autom
mática y fam
miliar.
El desarrollo de proce
edimientos flexibles. A medida que en sus tareas de
sustra
acción intervienen números cad vez may
da
yores, los n
niños debe aprender o
en
descu
ubrir por su cuenta otros método de sustr
u
os
racción. En realidad, a
algunos datos
(Woods, Resnick y Groen, 1975) indic que, al p
k
can
principio, m
muchos niño emplean un
os
edimiento de retrocuen y que, más adela
d
nta
ante, invent
tan un proc
cedimiento de
proce
cuent progresiv Contar progresiva
ta
va.
amente se parece al enfoque d «suman
del
ndo
ausen
nte", pero aplicado a la sustracció (Carpent y Moser 1982). Implica partir del
a
a
ón
ter
r,
sustra
aendo y contar hacia a
adelante ha
asta llegar a minuendo, al tiempo que se lle
al
o
eva
la cue
enta del núm
mero de pa
asos dados (por ejemp 19 - 17: «17, 18 [es uno], 19 [s
plo
s
son
dos] - respues es dos, Aunque contar pro
-la
sta
,,).
e
ogresivame
ente no ref
fleja la noc
ción
extrac
ctiva inform
mal que tiene un niño de la sustracción, en determinad
das
circun
nstancias es cognosci
e
itivamente más fácil q contar r
que
regresivam
mente. Cuan
ndo
el sustraendo es relativam
e
mente grande, como en el ca
o
aso de 19 - 17, con
ntar
esivamente reduce e
e
enormemen las exig
nte
gencias de la cuenta doble o de
e
a
progre
cualquier otro pr
rocedimiento para llev la cuenta (dos pas en contraste con los
var
sos
diecis
siete que so necesar
on
rios si se c
cuenta haci atrás). C
ia
Cuando el m
minuendo y el

84



sustra
aendo está relativam
án
mente próximos, como en 9 - 7, contar pro
o
ogresivamente
tambi minimiza el proces de llevar la cuenta (d pasos e contraste con los siete
ién
so
dos
en
e
neces
sarios si se cuenta hacia atrás). Sin em
s
mbargo; cu
uando el sustraendo es
peque
eño y el minuendo y el sustra
m
aen do es
stán relativa
amente se
eparados (p
por
ejemp
plo, 9 - 2), retroconta tiene ve
,
ar
entaja en c
cuanto a fa
acilidad de ejecución (el
proce de lleva la cuenta consta de dos paso mientras que si se contara p
eso
ar
a
e
os,
s
e
progresiv
vamente harían falta siete). Cu
uando llega a terce curso, m
an
er
muchos niñ
ños
descu
ubren esta pauta y e
eligen el procedimien más ec
nto
conómico e cada ca
en
aso
(Woods et al., 19
975).
D) MU
ULTIPLICA
ACION INFO
ORMAL
Cu
uando a los niños se les presen la multip
s
nta
plicación por primera vez, much
hos
ya ha adquirid una bas sólida p
an
do
se
para comprenderla y calcular p
productos. La
multip
plicación puede defin
p
nirse como la adición repetida d términos iguales (p
de
s
por
ejemp 5 x 3 = 5 + 5 + 5 Como la multiplica
plo,
5).
a
ación se basa en exp
periencias de
adició familiare para los niños, la asimilan c
ón
es
s
con rapidez Durante los primeros
z.
e
curso los niño se enfre
os,
os
entan much veces a sumas d dos o m conjuntos
has
de
más
iguale como lo siguiente
es
os
es:

Ya ha aprendido varios pro
an
ocedimiento para det
os
terminar, po ejemplo, el total de t
or
tres
grupo de cuatro Pueden c
os
o.
contar a inte
ervalos («4,8,12»), hacer cálculos informale +
es
4 son 4;5,6,7,8 y 8 +4 son 8
8;9,10,11,12 emplea sumas co
2»),
ar
onocidas(po ejemplo, «4
or
son 8 y 8 + 4 son 12
2»), o com
mbinar esto métodos (por ejem
os
s
mplo, conta a
ar
+ 4 s
intervalos y calcu
ular: «4,8; 9
9,10,11,12»
»).
Proce
edimientos mentales
s
s
Al principio, los niños s basan e procedim
l
se
en
mientos inf
formales de contar pa
e
ara
lar
tos (por eje
emplo, Kou
uba, 1986) Como ex
).
xplicaba un niña, pa
na
ara
calcul product
calcul 3 X 3 ten que «co
lar
nía
ontar tres, tr veces» (Allardice, 1978). La m
res
mayoría de los
niños que acaba de empez a apren
an
zar
nder a multiplicar poseen las técnicas de con
ntar
y de l
llevar las cuentas nec
c
cesarias pa calcular productos mentalme
ara
r
s
ente. Consid
deremos la explica
s
ación que d
daba un niño para ca
alcular 3 X 3: «Bueno pues digo e
o,
o

85



prime número tr en voz a
er
res
alta, luego digo los do números siguientes en voz baja y
os
luego digo el sigu
o
uiente en vo alta, así: tres [susur
oz
:
rrando, 4, 5 seis [susurrando, 7, 8],
5],
nueve ... » (Allar
e
rdice, 1978 p. 4). De hecho, el p
8,
procedimiento mental e informal de
los niñ para la multiplicac
ños
a
ción implica contar t
aba
tres veces, incluyendo dos proces
o
sos
para l
llevar la cuenta: a) ge
enerar la se
ecuencia nu
umérica; b) llevar la cu
uenta de ca
ada
tercer número, y c) llevar la cuenta d los grupo de tres para determinar cuán
r
de
os
ndo
deten la gene
ner
eración de la serie numérica. U procedim
Un
miento mental aún m
más
básico consiste en empeza a contar desde 1 ( vez de empezar d
o
ar
r
(en
desde el va
alor
cardin del primer términ o multiplicando). Este proc
nal
no
cedimiento básico y los
proce
esos compo
onentes se detallan en la tabla 8.1.
n
Tabla 8.1. Proce
a
edimiento básico de cá
álculo menta para la m
al
multiplicación empleand
do
4 x 3 como ejem
mplo

enerar núm
meros suces
sivos a partir de la
a) Ge
1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12
se numéric
erie
ca:
b) Lle
evar la cuen de cada cuarto número
nta
a
co
ontado:
c) Lle
evar la cuen del núm
nta
mero de grupos de
cu
uatro:
d) De
etener la generació
ón de la serie
nu
umérica des
spués de co
ompletar el tercer
gr
rupo de cua
atro y dar el último número
co
ontado corn respuest
no
ta:

1234 12341 2 3 4

1

2

3

12

e
o
ea
anejable, los niños suelen crear un
Para hacer que el cálculo mental se más ma
conju
unto para re
epresentar el multiplic
cando. Para 4 X 3, por ejemplo, el niño pue
a
ede
emple una pauta digital p
ear
para repres
sentar el 4 y a continu
y,
uación, contar esta pauta
tres v
veces. Med
diante el em
mpleo de pa
autas digitales, el niño elimina la necesidad de
o
llevar la cuenta de cada c
r
cuarto núm
mero contad Su exp
do.
periencia in
nformal pre
evia
puede ayudarle de otras m
e
maneras. En concreto, los niños pueden darse cuenta en
n
,
segui de que contar a int
ida
c
tervalos pue servir p
ede
para la mult
tiplicación (por ejemplo 5
o,
X 3: «5, 10, 15
5»). Contar a intervalo es un p
os
procedimien común para calcu
nto
ular
produ
uctos. Los niños también pueden recurrir a s conocimiento formal para abordar
n
su

86



la mu
ultiplicación Con frecu
n.
uencia, usa su cono
an
ocimiento de las suma dobles (por
e
as
ejemp «4 + 4 = 8») para determina productos en los que el multipl
plo,
a
ar
s
licador es d
dos
(por e
ejemplo, 4 x 2) o para razonar la respuesta a problema mayores (por ejemp
as
s
plo,
4 x 3: «4 + 4 son 8, y cuatr más son 9, 10, 11, 12», o 4 x 4 «4 + 4 so 8, es de
n
ro
4:
on
ecir,
dos c
cuatros, 8 + 8 son 16, es decir, cu
uatro cuatro
os»).
Inv
vención de atajos. Como ocurre con la adic
ción y la su
ustracción in
nformales, los
niños hallan es
s
spontáneam
mente méto
odos inform
males para abreviar el cálculo de
a
produ
uctos. Inclus los niños con dificu
so
s
ultades de a
aprendizaje pueden ve maneras de
e
er
emple los con
ear
nocimientos que ya p
s
poseen para ahorrar esfuerzo e el cálcu
en
ulo.
Consideremos el caso de A
e
Adam, un n
niño con dificultades d aprendiz
de
zaje al que se
enseñ un procedimiento c
ñó
concreto pa multipli
ara
icar (por ejemplo, 4 x 3: hacer t
tres
grupo de cuatr bloques y contar todos los b
os
ro
bloques). Casi de inm
mediato, Adam
empe a abrev
ezó
viar el proc
cedimiento concreto. Por ejemplo, para 6 x 3 sacó tres
dedos y, en vez de colocar seis bloques junto a c
s
r
cada dedo, sólo alineó seis bloqu
ó
ues
frente al primer dedo. Con la hilera de bloque («1, 2, ... ,6») y luego contó los
e
ntó
a
es
espac
cios donde deberían h
haber estad las otras dos hileras de bloque (<<7, 8, ... ,
do
s
es
12», «
«13, 14, ... , 18»). Pro
onto empezó a utilizar procedimie
entos menta
ales. Para 4 X
3, em
mpleó una suma conoc
cida (4 + 4 = 8) Y se pu a conta a partir de ella (8,9, 10,
uso
ar
e
11,12 Para 5 X N, se dio cuenta en
2).
o
nseguida de que podía contar a intervalos (de
e
a
cinco en cinco) para genera la respue
p
ar
esta.
E) IM
MPLICACIO
ONES EDU
UCATIVAS: DIFICULT
TADES Y S
SOLUCIONE EN
ES
LA ARITMETICA INFO
A
ORMAL
Más u
uno y men uno
nos
Ca todos los niños que llegan a l escuela han tenido experiencias informales
asi
e
la
suficie
entes para comprend que la adición es un proces aumenta
der
so
ativo y que la
e
sustra
acción es un proces diminut
so
tivo. De hecho, Starkey y Ge
elman (198
82)
encon
ntraron que casi todos los niños d cuatro años que es
e
s
de
studiaron po
odían resolv
ver
proble
emas de tipo N + 1 (con N ha
asta 5) si t
tenían obje
etos concre
etos a man
no.
Adem
más, muchos niños de cuatro años y la mayo de los d cinco po
oría
de
odían resolv
ver
proble
emas de tip 1 + N (c N hasta 5). Más aún, cuando empiezan la escuela la
po
con
a
o
n
a
mayoría de los niños pose
een una so
oltura sufic
ciente con las relacio
ones entre un
núme dado, el que le pre
ero
ecede y el que le sigu para de
ue,
eterminar m
mentalmente y
e
con ra
apidez las sumas N + 1 (con N hasta 5) y la diferencias N - 1 (con N hasta 5)
s
as
a
(Fuso et al., 19
on
982). Cuand llegan a segundo curso, la m
do
mayoría de los niños s
son
capac de gene automá
ces
erar
áticamente las sumas N + 1 ó 1 + N y las d
diferencias N
s
- 1 pa valore de N ha
ara
es
asta 10. Si embarg el apre
in
go,
endizaje fo
ortuito de l
los

87



conce
eptos arit
tméticos i
informales básicos y de las técnicas de cont
s
s
s
tar
necesarias no pueden darse po sentada en pob
o
or
as
blaciones especiale
es,
sobre todo SI se trata de niños de
e
s
e
eficientes.
1. A
Asegurar el dominio d la técnica del númer siguiente (número a
e
de
a
ro
e
anterior) antes
de la adición (su
ustracción) m
mental de u unidad. Si los niño no puede determin
una
.
os
en
nar
máticamente las relaciones entre un número dado y e que le sig (el que le
e
e
el
gue
e
autom
prece
ede) no pod
drán determinar men
ntalmente y con efica
acia sumas de tipo N +
s
1(dife
erencias N - 1). En est casos, l educació de apoyo deberá ce
tos
la
ón
o
entrarse en la
n
técnic de contar necesaria es decir, e emplear mentalmen y con ef
ca
a,
en
nte
ficacia la se
erie
numé
érica para determinar las relacion entre N y el númer que le sig (el que le
nes
ro
gue
e
prece
ede) (Baroo
ody, 1984b). La enseñanza de a
apoyo deberá instar a los niños a
s
emple
ear la adic
ción (sustr
racción) co
oncreta que se exam
mina en la siguient
as
tes
seccio
ones.
2. Estimular el descubrim
e
miento de u regla g
una
general para el número siguiente. Si
a
o
un niñ puede re
ño
esolver aut
tomáticame
ente problemas N + 1, pero no puede hacer lo
,
mismo con problemas 1 + N,"' se d
deben crea oportunidades par que pue
ar
ra
eda
descu
ubrir una re
egla genera para el n
al
número sig
guiente. Una estrategia consiste en
darle una serie de problema de enunc
d
as
ciado verba de maner que a un problema N +
al
ra
1 = __ le siga su contrapartida 1 + N = (o vicev
_
=__
versa). Por ejemplo, se puede hacer
e
que e niño res
el
suelva el problema A que se muestra m
más adelante y que, a
contin
nuación, res
suelva el pr
roblema B. Cuando el niño haya calculado e problema B,
el
a
en alg
gunos caso puede se adecuad pregunta si ha visto alguna similitud o dios
er
do
arle
ferenc entre los dos probl
cia
lemas.
A. Sol tiene tres galleta Su madr le da otra más. ¿Cu
t
as.
re
a
uántas galle
etas tiene e
en
total?
ene
alleta. Su m
madre le da tres más. ¿
¿Cuántas g
galletas tien
ne
B. Tammy tie una ga
en total?
Pa practica aún más se puede introduc juegos e los que se emplee
ara
ar
s,
en
cir
en
en
dados especiales: un «dado de unos» (con un pu
s
o
unto en cada una de las seis caras
a
s)
y un d
dado con só dos, tre y cuatro puntos en c
ólo
es
cada cara. El proceso aleatorio d
de
tirar lo dados ha que los niños se encuentren c combin
os
ará
con
naciones 2 + 1 y 1 + 2, 3
+ 1 y 1 + 3 y 4 + 1 y 1 + 4, dándole muchas oportunida
es
ades rara v que cad
ver
da
ema 1 + N tienen el m
t
mismo result
tado que el problema N + 1 corre
espondiente
e.
proble

88



Adic
ción
1. Hacer que se adquier soltura c los proc
ra
con
cedimientos informales de adición
s
s
n.
Aunque muchos niños apr
s
renden un p
procedimiento concreto para cal
lcular suma
as
s
a
mplo, Barood en pren
dy,
nsa; Carpen y Mose
nter
er,
antes de llegar a la escuela (por ejem
1984; Lindvall e Ibarra, 1979), no puede da
;
arse por sentado que todos lo
os
prees
scolares ha
ayan desarr
rollado un p
procedimiento CC, so
obre todo s se trata d
si
de
niños desfavore
ecidos (Gins
sburg y Ru
ussell, 1981) o deficie
entes. Aunq
que alguno
os
ieren una o dos demo
ostraciones para apre
s
ender un pr
rocedimient
to
niños sólo requi
CC, o
otros tienen dificultade para dom
n
es
minar estos procedimientos aun después d
s
de
nume
erosas demostraciones (Baroody, en prensa La dificul
s
,
a).
ltad en el do
ominio de u
un
proce
edimiento CC parece e
C
estar asocia a la de
ada
ebilidad de técnicas pr
rearitmética
as
como la compar
o
ración de números seg
guidos. Ade
emás, las d
deficiencias en técnica
s
as
básicas de conta impedirán que los niños invent procedimientos de cálculo má
ar
ten
e
ás
eficac
ces. La inc
capacidad d compar automát
de
rar
ticamente d
dos númer
ros seguido
os
desem
mbocará en la dificulta de adopt procedim
n
ad
tar
mientos que no den im
mportancia al
orden de los sum
n
mandos (CT y CPM). Si los niño no conoc de man
TM
os
cen
nera automá
ática la relaciones existent entre u número y el que le sigue, les será difíc
as
tes
un
e
cil
apren
nder proced
dimientos ba
asados en contar a pa de uno de los sum
artir
mandos (CP
PP
y CPM En esto casos, ha falta tener soltura con las téc
M).
os
ace
cnicas nece
esarias.
2. Emplear un modelo aumenta
u
o
ativo para introducir la adición de mane
r
n
era
signif
ficativa. La enseñanz de la ad
a
za
dición se s
suele presentar a los niños com
s
mo
la unión de dos conjunto Se les enseña u procedimiento CC que refle
os.
un
C
eja
más directamente la adic
ción como la unión de dos co
o
onjuntos y no como un
eso
ntativo. Para algunos niños, so
s
obre todo lo de bajo rendimien
os
nto,
proce aumen
puede ser más útil prese
s
entar la ad
dición con un modelo aumenta
ativo, que es
ológicamen más básico. Es decir, la e
nte
enseñanza puede e
a
empezar c
con
psico
problemas en los que s añaden uno o do elemen
se
n
os
ntos a un conjunto ya
existe
ente.
3. Empezar con proble
emas de números pe
equeños; in
ntroducir pr
roblemas c
con
núme
eros mayore poco a poco y con cuidado. La enseña
es
n
anza inicial de la adic
ción
deber basarse en suma
ría
e
andos pequ
ueños (del 1 al 5) q
que se pue
edan mane
ejar
fácilm
mente con métodos con
m
ncretos. Es permite a los niños dominar procedimientos
sto
CC e inventar atajos para estos proc
a
cedimientos y constru una bas sólida pa
s
uir
se
ara
ces
ores. Es mejor introdu problem con nú
ucir
mas
úmeros ma
ayores cuan
ndo
avanc posterio
los niños ya pu
ueden usa con solt
ar
tura proced
dimientos c
concretos con números
eños. Esto puede of
o
frecer un a
aliciente pa desarrollar proce
ara
edimientos de
peque
cálcul mental aún más p
lo
a
poderosos. Sin emba
argo, algun
nos niños p
pueden verse
abrum
mados ante problemas más difícile Por tant la introducción de p
s
es.
to,
problemas c
con

89



núme
eros mayore debe con
es
ntrolarse co atención
on
n.
4. P
Prever la necesidad d un períod largo pa el cálcul y el desc
de
do
ara
lo
cubrimiento. Si
a los niños se les da la opo
ortunidad de emplear o
e
objetos para calcular s
a
sumas, sue
elen
invent procedimientos me
tar
entales a s propio rit
su
tmo. Por ej
jemplo, Gro y Resn
oen
nick
(1977 enseñaro a unos p
7)
on
preescolare un proce
es
edimiento c
concreto pa la adición.
ara
Despu de un prolongado período de práctica y sin que se les enseñara a conta a
ués
p
e
e
ar
partir de uno de los suman
e
ndos, cerca de la mita de los n
a
ad
niños empe a usar un
ezó
proce
edimiento CPM. Muchos niños co problem de apre
C
on
mas
endizaje y a
algunos niñ
ños
deficie
entes aban
ndonan los procedim
s
mientos con
ncretos por su cuent e inventan
r
ta
proce
edimientos mentales de tipo CPM
m
M.
Sin embargo, algunos niños, sobre todo los qu tienen problemas, p
n
ue
pueden seg
guir
basán
ndose en pr
rocedimientos concret durante mucho tiem
tos
mpo. Es importante da a
ar
estos niños la oportunidad de construir procedimientos más avanz
d
zados por su
cuenta porque lo procedim
os
mientos de invención propia tien más sig
nen
gnificado pa
ara
ellos. En alguno casos, puede ser útil demostrar para los niños un p
os
s
procedimiento
CPM. Es probab que este tipo de dem
ble
e
mostración sea más e
eficaz despu de que los
ués
niños hayan ten
nido una am
mplia exper
riencia de c
cálculo con objetos. L enseñan
n
La
nza
verba directa es el método menos ad
al
s
o
decuado po
orque es dif
fícil describ un proce
bir
eso
menta como el CPM y las explicacion sólo pu
al
C
nes
ueden servir para conf
fundir a los niños (R
Resnick y N eches, 19
984). En cu
ualquier cas no acon
so,
nsejo enseñ a conta a
ñar
ar
partir de uno de los sumand antes d mediado del prime curso.
dos
de
os
er
ara
e
aje
cedimientos mentales, el maestro debería cre
s
ear
Pa facilitar el aprendiza de proc
muchas oportunidades para que los ni
a
iños realiza
aran descub
brimientos p su cuen
por
nta.
Una m
manera interesante d alcanzar este objetivo es jug a juego con dados.
de
r
gar
os
Cuand los niños se van familiariza
do
n
ando con las pautas de los d
s
dados, sue
elen
encon
ntrar sus pr
ropios méto
odos abrev
viados para determina la suma d una tirada.
ar
de
•
Por ej
jemplo, un niño puede sacar un cuatro (: :) y un dos ( • ). Si el n
e
niño recono
oce
autom
máticamente la primera pauta ((Vaya, un cua
e
a
atro») no ne
ecesita emp
pezar desde 1
y cont todos los puntos, y puede limitarse a con a partir de 4: «4, 5 [señalando el
tar
ntar
o
prime punto del segundo d
er
dado], 6 [se
eñalando el otro punto] -6».
]
5. L enseñan de apoy puede te
La
nza
yo
ener que de
edicarse exp
plícitamente a impartir un
e
r
proce
edimiento para llevar la cuenta. En ocasion
p
nes, los niñ -sobre todo los q
ños
que
tienen problemas y los niño de educa
n
os
ación espec
cial- se enc
callan en el nivel concr
reto
y par
recen incap
paces de adquirir proc
cedimientos mentales (especialm
s
mente de t
tipo
CPM) (Baroody, Berent y Packman, 1982; Ble y Thornton, 1981; Cruicksha
)
ey
ank,
1948) En casos extremos, puede ser necesario i
).
intervenir directamente para que los
e
niños aprendan procedim
n
mientos me
entales. Má concret
ás
tamente, a
algunos niñ
ños
puede necesita ayuda pa aprender un proce
en
ar
ara
edimiento d llevar la cuenta. Para
de
a
enseñ uno de estos proce
ñar
edimientos, es mejor e
empezar co problema N + 2 ó 2 +
on
as

90



N y N + 3 ó 3 + N. Intro
oducir la ide de lleva la cuent enseñan
ea
ar
ta
ndo al niño el
o
proce
edimiento detallado en el caso de Mike y que se resum a continu
n
e
e
me
uación:
A. Hacer que el niño se centre en el suman menor y haga un conjunto c
e
n
ndo
con
dedos o bloques (po ejemplo, para 4 + 2, levantar do dedos).
b
or
os
er
hasta el val cardinal del suman
lor
ndo
B. A continuación, hace que el niño cuente h
mayor («1 2, 3, 4»).
1,
C. Continuar entonces contando e conjunto más peque hecho a
r
el
eño
anteriormente
(«5 es uno más; 6 so dos más - seis»).
on
s
6. Estimular el aprendiza y el emp
e
aje
pleo de mét
todos eficac para lle
ces
evar la cuen
nta.
conocimien automá
nto
ático de pautas puede facilitar llevar la cu
e
uenta. Deberá
El rec
estimularse a lo niños a que emple
os
een y compartan sus métodos para llevar la
s
r
ta.
ños
o
minado téc
cnicas de re
econocimiento de pau
utas
cuent A los niñ que no hayan dom
como las pautas digitales hasta 10, se les deb
o
berá estimular para q
que lleguen a
n
domin
narlas.
La eficacia del cálculo mental de los niños suele ba
d
e
s
ajar cuando el segun
o
ndo
suma
ando de los problemas es mayor que cinco. Como es d
s
difícil llevar la cuenta c
con
precis
sión, los niñ suelen calcular m estos problemas. S recurren a empleo de
ños
mal
Si
n
pauta digitales, el cálculo p
as
puede ser m exacto pero es mu lento. Lo niños deb
más
uy
os
ben
dejar el lápiz, co
ontar, volver a tomar el lápiz y ano la suma. Fuson (1
r
l
otar
1985) propo
one
el em
mpleo de las pautas d
digitales Ch
hisenbop pa que se puedan re
ara
epresentar los
núme
eros del 1 al 9 con la mano que no se emplea para escribir, dejando la otra ma
l
o
a
o
ano
libre p
para anotar (véase la fig. 8.4). Es método permite a los niños lle
r
ste
evar la cuenta
de su
umandos mayores de u manera natural, e
una
a
emparejand nombres sucesivos de
do
s
núme
eros con pautas digitales.
Alg
gunos niños lentos tien
s
nden a olvid el valor del segund sumand y, por tan
dar
r
do
do
nto,
pierde la cuenta y no sabe cuándo deben para de contar. En estos casos, Fus
en
en
ar
son
(comu
unicación personal, 2 de julio de 1986) ha visto q
p
28
que es útil introducir un
proce
edimiento in
ntermedio antes de pra
acticar el pro
ocedimiento descrito a
anteriormen
nte.
Este procedimie
ento interm
medio implic crear un medio au
ca
n
uxiliar para la memoria:
a
sentar el segundo su
s
umando con una pauta digital e la mano que escribe.
en
o
repres
Enton
nces, el niño emplea la mano que no escribe para añadir el segund sumando al
o
a
e
do
o
prime como se describi antes. C
ero
s
ió
Cuando las pautas d
s
digitales de cada ma
e
ano
coinciden, el niño para de c
contar.

91



oyo
cedimientos CPM deb
s
berá centrar
rse, en prim
mer
7. La enseñanza de apo de proc
,
nicas básic necesar
cas
rias. Alguno niños pe
os
ersisten en contarlo todo,
lugar, en las técn
tanto si lo hacen mentalme
n
ente como si lo hacen concretamente. El p
procedimiento
CPM es una ampliación de la regla para calcular problemas N + 1. Se de
a
ebe
comp
probar que los niños puedan realizar automá
l
áticamente cálculos N + 1 antes de
e
prose
eguir con int
tentos de c
cultivar el pr
rocedimient CPM par problema N + M, c
to
ra
as
con
M ma
ayor de 1. A diferen
.
ncia de los problemas N + 1, los proble
s
emas N + M
requieren lleva la cue
ar
enta. Si lo niños lo cuenta todo m
os
an
mentalmen
nte
pleando los procedim
s
mientos CT o CTM), ya posee este req
TP
en
quisito prev
vio.
(emp
Si los niños si
s
iguen usando proce
edimientos concreto necesit
s
os,
tan aprend
der
cómo llevar la cuenta.
o
c
8. L enseñan de apoy de proce
La
nza
yo
edimientos CPM deberá centrarse en ayuda al
ar
niño a darse cue
enta del esf
fuerzo supe
erfluo. Es pr
robable que la mayorí de los niñ
e
ía
ños

92



no cu
uenten espo
ontáneamente a partir de uno de los suma
r
e
andos, porq no se d
que
dan
cuenta de que contar des
sde uno h
hasta el pr
rimer suma
ando produ
uce el mismo
resultado que simplemente enunciar la designac
e
ción cardina del mism (Baroody y
al
mo
Ginsb
burg, en pre
ensa). En la figura 8.5 s muestra un método de enseña
a
se
a
o
anza diseña
ado
por Secada, Fus y Hall (1983) que suele tener éxito en a
son
r
ayudar rápid
damente a los
niños a ver que contar el primer sum
e
mando des
sde uno es lo mismo que decir su
s
designación card
dinal.

Su
ustracción
1. Asegurar el dominio de las técn
e
nicas nece
esarias para retroconta Si un niño
a
ar.
tiene dificultades para calc
s
cular difere
encias con un sustrae
endo de do o más, es
os
posible que teng problema para dom
ga
as
minar la técnica de retr
rocontar. En estos cas
n
sos,
.es im
mportante comprobar l técnicas necesaria para hac
c
las
s
as
cerlo. En primer lugar si
r,
los niñ carecen de soltura para calcu mentalm
ños
n
a
ular
mente difer
rencias de N - 1 (el prim
mer
paso en un proce
edimiento d retrocontar para pro
de
oblemas N - M, siendo M distinto de
o
o
aces de res mentalm
star
mente cuan el minuendo sea d o más. P
ndo
dos
Por
1), no serán capa
tanto, antes de nada
n

93



es ne
ecesario que los niños puedan ca
e
alcular difere
encias N - 1 con eficacia .
En segundo lugar, si lo niños no saben có
os
o
ómo contar hacia atrá no pued
ás,
den
amplia su proce
ar
edimiento m
mental para restas N - 1 Y desarr
a
rollar un mé
étodo genu
uino
para retrocontar Además, retrocontar no sólo implica con
r.
ntar hacia a
atrás: tamb
bién
hay que hacerlo con soltura De no ser así, la tare de ejecutar simultán
a.
r
ea
neamente d
dos
proce
esos en dire
ecciones opuestas pu
uede ser ab
brumadora (Baroody, 1983a). Si la
retroc
cuenta no es un proce mínima
e
eso
amente auto
omático, la atención s divide en
se
ntre
ella y el proceso simultáneo de llevar la cuenta de sustraend Esta ate
o
a
el
do.
ención divid
dida
puede desemboc en un error ~ en el proceso de retroconta en el pro
e
car
e
ar,
oceso de llevar
la cue
enta o en ambos. Así cuando c
a
í,
contar hacia atrás con
nstituye un esfuerzo, los
niños suelen salt
tarse algún término (po ejemplo, 19 - 5: «19 18 [- 1], 17 [- 2], 16 [- 3],
or
9,
7
14 [- 4], 13 [- 5] - 13»). Un niño de segundo curso que te
]
enía dificultades con las
máticas em
mpezó a reso
olver 19 - 5 contando h
hacia atrás, pero tuvo q hacer u
,
que
una
matem
pausa para pen
a
nsar qué v
venía antes de 16. Corno resu
ultado, se perdió en la
retroc
cuenta: <<19, 18 [una menos], 17 [dos meno 16 [tres menos], e
7
os],
s
esto... , esto ...
o
, 15 [e
esto ... tres menos], 1 [cuatro m
s
14
menos], 13 [cinco men
nos] - 13». Corno con
ntar
hacia atrás le co
ostaba bast
tante, Adam un niño de quinto c
m,
curso con d
dificultades de
apren
ndizaje, se perdió en la dos cuen
p
as
ntas cuando intentaba calcular 19 - 5: <<19, 18,
o
9
17, 16 esto..., esto..., 17, 18, 19,20, 2
6,
21».
Si un niño es incapaz d contar r
s
de
regresivamente o de hacerlo co soltura, la
on
enseñ
ñanza de apoyo debe centrarse en esta té
a
e
écnica informal para c
contar. Corn
no
para l niños de ciclo inicial contar h
los
el
hacia atrás desde 20 s
suele ser m difícil qu
más
ue
hacer desde 10 los que e
rlo
0,
emplean es tipo de e
ste
estrategia p
pueden no e
experiment
tar
dificul
ltades de aprendizaje inmediata y empez a sufrir
a
e
as
zar
rlas cuando sus tarea
o
as
de su
ustracción incluyen m
minuendos entre 10 y 20 (o má
ás). En est casos, la
tos
enseñ
ñanza de apoyo d
deberá ce
entrarse e
específicam
mente en contar r
regresiv
vamente entre 20 y 10.
Mie
entras retr
rocontar no llegue a ser algo a
o
automático se puede instar a los
o,
e
niños a practicar su proc
s
cedimiento informal con una li
o
ista numér
rica. Algun
nos
niños descubre que el r
s
en
reloj de la clase es u instrum
un
mento útil p
para calcul
lar.
Media
ante el empleo de una lista num
mérica, el niño se ve liberado de la carga q
e
que
supon generar la difícil se
ne
r
ecuencia in
nversa y puede concentrar su a
atención en el
n
proce de lleva la cuenta (véase la fig. 8.6). C
eso
ar
a
a
Cuando los niños está llegando a
s
án
o
domin la técnica de retro
nar
ocontar, no se les de impedir el empleo de modelos
o
ebe
o
concr
retos. Más bien debería animá
s
árseles a e
emplear su estrategia extractiv
va.
Tamb
bién se les puede instar a que continúen ejercitán
s
e
n
ndose en e dominio de
el
comb
binaciones N-1.
2. Estimular procesos e
p
eficaces par llevar la cuenta. Au
ra
unque la in
ncapacidad de
contar hacia atrá con efica
ás
acia puede socavar lo procesos simultáne requerid
os
s
eos
dos

94



para retrocontar, hay otro factores que pue
os
s
eden impe
edir o impo
osibilitar e
este
edimiento ta exigente en el asp
an
e
pecto cogno
oscitivo. Pa retrocon
ara
ntar, los niñ
ños
proce
deben ser consc
n
cientes de l necesida de llevar la cuenta del número de unidad
la
ad
r
o
des
que d
deben cont hacia atrás y plan
tar
nificar previ
iamente alg
gún medio para hace
erlo
(Steff et al., 1983). Como algunos niños no pie
fe
ensan en lle
evar la cuenta, no sab
ben
cuánd deben de
do
etenerse y, en consecuencia, o siguen conta
ando hasta que agotan la
n
secue
encia invers o tiende a respon
sa
en
nder incorre
ectamente (Fuson et al., 1982). En
realidad, Carpen y Mose (1982) en
nter
er
ncontraron que sólo la mitad de la muestra de
a
niños de prime curso q
er
que estudia
aron podía contar h
a
hacia atrás un núme
s
ero
espec
cificado de unidades y como res
y,
sultado, no solía emplear un proc
cedimiento de
retroc
cuenta. La enseñanza de apoy puede empezar h
yo
haciendo q
que los niñ
ños
cuent hacia at
ten
trás un núm
mero especí
ífico de unid
dades. Se p
puede empe
ezar contan
ndo
hacia atrás una o dos uni
idades e ir aumentan
r
ndo la dific
cultad paula
atinamente. A
contin
nuación se debe señalar explícita
d
amente la ne
ecesidad de llevar la c
e
cuenta cuan
ndo
se calcula y la manera de h
m
hacerlo. (Pu
uede hacer con mod
rse
delos concr
retos como se
o
muestra en la fig 8.6).
g.

Au después de apren
un
s
nder un pr
rocedimiento para lle
evar la cue
enta, algun
nos
niños se ven obligados a d
s
despachar rápidamen el proce
nte
edimiento d retrocon
de
ntar
(con frecuencia para evit el estig
a,
tar
gma de con
ntar). Esta prisa pue
a
ede dar com
mo
result
tado perde la cuenta de uno de los proces de contar simultá
er
a
e
sos
áneos o de los
dos. E estos casos, debe hacerse comprend al niño que retroc
En
c
der
contar es u
una
estrat
tegia inteligente y normal y que la prec
cisión es ta importa
an
ante como la
o
veloc
cidad. Otro error frecue
ente consis en emp
ste
pezar el pro
oceso de lle
evar la cuenta
dema
asiado pront con la de
to
esignación c
cardinal del minuendo (por ejemp 17 - 3: «
plo,
«17

95



[- 1],16 [- 2], 15 [- 3] - 15»). Este error produce un pauta qu se detec fácilmen
[
na
ue
cta
nte:
tener una u
unidad más que la resp
puesta corre
ecta. En es
stos
la respuesta del niño suele t
casos se puede demostrar al niño la e
s,
e
r
estrategia d retrocontar, recalcá
de
ándole que «el
proce de conta no emp
eso
ar»
pieza desde el número mayor (minuendo).
e
o
3. Estimular el desa
r
arrollo de contar y de esco
oger con flexibilidad el
proce
edimiento de cálculo más eficaz Si los niños se ba
d
z.
asan exclusivamente en
retroc
contar, pued ser pre
den
ecisos con problemas pequeños pero no c problem
s
s
con
mas
grand
des. A medida que las tareas implican números mayore la cuenta regresiva se
es,
a
a
hace más larga y más proc
clive al erro Por tanto podría se útil estim
or.
o,
er
mular al niño a
nder un procedimiento de cuenta progresiva y emplearlo cuando sea más fá
o
a
a
ácil
apren
de us que el procedimien regresiv En el e
sar
p
nto
vo.
ejemplo 8.1 se describ un méto
be
odo
para introducir un procedim
u
miento para contar pro
a
ogresivame
ente. A los niños que ya
han d
descubierto algún proc
cedimiento de este tip se les p
po
puede estim
mular a que lo
e
discut y examinen las situ
tan
uaciones do
onde lo enc
cuentran más útil. Los niños pued
den
benef
ficiarse de una enseñ
ñanza explícita de la relación e
existente en
ntre la cuenta
progre
esiva y la regresiva. S embargo se debe tener en cuenta que algunos niñ
r
Sin
o,
ños
puede no capta este proc
en
ar
cedimiento porque no coincide c su noción informa de
o
con
«quita En esto casos, es mejor no insistir. Hac
ar».
os
cerlo sólo c
confundiría al niño y és
ste,
a su d
debido tiem
mpo, ya descubrirá la e
estrategia p su cuent
por
ta.
Ejem
mplo: 8.1 En
nseñar a c
contar prog
gresivamente: activid
dad con un balanza
na
a

96



Niv II: Usar una lista numérica c
vel
como soporte semiconcreto. Casi siempre es
mejor hacerlo cuando el niño ya ha domin
r
nado el pr
rocedimiento de con
ntar
progre
esivamente mediante objetos co
e
oncretos. Inicialmente el niño p
e,
puede colocar
otro p
peso en va
arios puntos a lo largo del lado más liviano. Llegado el momen
s
o
o
nto,
deber instarse al niño a co
rá
ontar simple
emente de 3 a 9 en la lista numé
érica.

Nivel III: Usar nú
úmeros con pesos disti
intos para e
estimular el procedimie
ento de con
ntar
progre
esivamente Cuando el niño ha colocado l respuest hacer que cuelgue el
e.
la
ta,
e
núme correspo
ero
ondiente a la respuest en el lado más livian
ta
o
no.

Activid optativ para prof
dad
va
fundizar má nótese que, para los tres nive
ás:
eles, los niñ
ños
puede practicar la realización de est
en
timaciones o cálculos aproximad que lue
s
dos
ego
puede comprobar mediante el cálc
en
culo. Pueden determ
minar la pre
ecisión de su
previs
sión calcula
ando la dife
erencia ent ella y la respuesta calculada. Si anotan la
tre
a
a
n
precis
sión de sus previsione para un p
s
es
problema, p
pueden obs
servar los c
cambios de su
e
precis
sión con el tiempo.

97



Multip
plicación
1. Ex
xponer exp
plícitamente la conex
e
xión existen entre l multiplicación y la
nte
la
adició repetida Las dific
ón
a.
cultades co la multiplicación b
on
básica sue
elen darse
porqu los niños no ven la conexión entre esta nue
ue
n
e
eva operac
ción y su
conoc
cimiento ex
xistente. A v
veces, la en
nseñanza d apoyo co
de
onsiste, sim
mplemente,
en ay
yudar al niñ a estable
ño
ecer esta c
conexión. C
Considérese el caso d Ken, un
e
de
niño d tercer curso asigna a la cla especia de matemáticas po
de
ado
ase
al
orque tenía
dificultades de aprendizaje (Baroody, 1986). La maestra qu tenía Ke en esta
a
e
ue
en
clase me pidió que lo exam
q
minara exp
plicándome que no ten el conc
nía
cepto de la
multip
plicación. Cuando le p
C
presenté va
arios proble
emas senci
illos de multiplicación
como 6 X 2 = _ y 3 X 3 = _, K no pare
o
Ken
ecía tener n
ninguna ide de lo que tenía que
ea
e
hacer Según de
r.
ecía estaba convencid de que la multiplicación era d
a
do
demasiado
difícil para él. Entonces le demostré un proced
E
e
é
dimiento pa contar: 4 X 3 es
ara
conta cuatro de
ar
edos (sin vo
olver a empezar) tres v
veces (1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10,
11 12 Ken exc
2).
clamó: «j V
Vaya, así que la multi
iplicación n es más que eso!»
no
Cuando la multip
plicación se presentó de una ma
e
anera inform tuvo se
mal,
entido para
Ken, que en seg
guida apren
ndió a calcu product
ular
tos. De hec
cho, pronto empezó a
encon
ntrar maner de abre
ras
eviar el proc
cedimiento que se le h
había enseñado. Más
adela
ante, por eje
emplo, resp
pondió inme
ediatamente a 7 X 2. C
e
Cuando se le preguntó
e
cómo lo había ca
o
alculado, ex
xplicó que h
había empleado la com
mbinación c
conocida 7
+ 7 = 14.
Av
veces, las dificultades con la mult
d
tiplicación tienen raíce más profu
es
undas y es
neces
sario emple un enfoq más co
ear
que
oncreto (Bar
roody, 1986 Adam, u niño con
6).
un
verda
aderas dificu
ultades de aprendizaje planteab un reto m
e,
ba
mucho más grave que
Ken. A Adam se le enseñó el mismo procedimiento menta informal que había
e
ó
o
al
o
o,
ocedimiento no hizo más que
o
tenido éxito con Ken. Sin embargo este pro
confu
undirlo. Ante esto se in
e
ntentó otra estrategia concreta q represe
que
entaba con
mayo claridad la adición repetida d las unid
or
de
dades. El p
problema 4 x 3, por
ejemp
plo, se res
solvió coloc
cando tres grupos de cuatro blo
e
oques y co
ontándolos
todos
s.
2. Estimular explícita
r
amente co
ontar a i
intervalos, sobre to
odo para
binaciones grandes y d
g
difíciles de c
calcular. No
ormalmente los niños m
e,
multiplican
comb
núme
eros peque
eños (hasta 5 X 5) con poca dificultad, pero sue
a
a
elen tener
dificultades con problemas en los q
s
que intervie
enen los números 6 a 9. Para
proble
emas con números pe
n
equeños, pu
ueden hace una pauta digital con los dedos
er
a
n
de un mano pa represe
na
ara
entar el mu
ultiplicando y emplear los dedos de la otra
para l
llevar la cue
enta del núm
mero de veces que se ha contado el multiplic
o
cando (por
ejemp para 4 x 3, levanta cuatro de
plo,
ar
edos de la m
mano izquie
erda y llevar la cuenta

98



de las tres veces con los dedos de la mano dere
s
s
echa). Para problemas mayores,
s
como 6 X 5 ó 5 X 6, no hay dedos sufic
o
cientes para este proc
cedimiento d cálculo.
de
Pa solventar esta dif
ara
ficultad, W
Wynroth (19
969-1980) propone u método
un
vertic para llev la cuent Para 7 x 6, si un n
cal
var
ta.
niño elige co
ontar grupo de siete
os
saca siete dedos y los cuenta. Cuand acaba, a
s
do
anota un 7 e una hoja de papel
en
a
pauta
ado. Se vue
elven a contar los siete dedos (a partir de «ocho») y se anota 14
e
e
en el papel pau
utado. El p
proceso co
ontinúa has que el niño ha h
sta
hecho seis
aciones, com se mue
mo
estra a continuación:
anota

ara
de
etiquetar el multiplican y el mu
ndo
ultiplicador.
Pa algunos niños pued ser útil e
Wynroth (1969-1
1980) propone que, p
para empez
zar, el niño debe anot r rodear
o
tar
con u círculo el multiplica
un
e
ando (el nú
úmero a contar). En e ejemplo a
anterior, se
hubie colocado un 7 rode
era
o
eado por un círculo en la parte su
n
n
uperior de la columna
antes de que el niño emp
s
e
pezara a c
contar. Ade
emás, pued ser útil tener una
de
prime columna que especifique el m
era
a
multiplicado En el eje
or.
emplo anter
rior, podría
haber colocad una colum con los números del 1 al 6 a la izquierda de la otra
rse
do
mna
s
a
colum
mna. El emp
pleo de una sola colum en el pr
a
mna
rocedimiento descrito e ilustrado
en el párrafo anterior pued producir menos con
de
nfusión en algunos niños, sobre
todo s necesitan educación especial.
si
n
n
Este método vertical para l
llevar la cue
enta tiene v
varias virtudes. Si los niños pierd
den
enta al calc
cular, simple
emente pue
eden contar hacia arrib el númer de entrad
r
ba
ro
das
la cue
que h
hayan hech (y seguir contando a partir de aquí). Ad
ho
o
e
demás, los niños pued
den
volve a utilizar las anotacio
er
ones. Para problemas con un multiplicando m
menor como 7
X 4 = _, un niño sólo tiene que ir cont
tando hacia atrás en la columna de los sie
a
a
etes
hasta la cuarta entrada y encontrar q la resp
a
que
puesta ya e
está anotad allí. Nóte
da
ese
que e
este método vertical pa llevar la cuenta es coherente con la tend
o
ara
a
s
e
dencia natu
ural
de los niños a co
s
ontar a inte
ervalos. Par problema con un m
ra
as
multiplicado mayor como
or
7 X 7 = _, los niñ pueden ir hacia ab
ños
n
bajo en la co
olumna de los sietes h
hasta la última
entra (la sext y contar siete más a partir de ahí (y ha
ada
ta)
r
s
e
acer una nu
ueva entrad
da).
Eventualmente, los niños pueden tener un registro c
s
completo d todas las
de
comb
binaciones básicas de la multiplic
cación.

99



F) R
RESUMEN
An
ntes de do
ominar las combinaci
iones numéricas bás
sicas, los n
niños pued
den
apoya
arse en pr
rocedimientos de cá
álculo basa
ados en co
ontar que, al princip
pio,
requie
eren objeto concreto como lo dedos o bloques. Normalmen
os
os
os
nte, los niñ
ños
tiende de mane natural a emplear p
en
era
procedimientos de con orales o mentales en
ntar
s
el cálculo. Tamb
bién aprend
den en seg
guida a em
mplear su c
conocimiento de la se
erie
numé
érica para re
esponder c eficacia a problem de tipo N + 1 = _ y N - 1 = _. La
con
a
mas
comprensión info
ormal que tienen los niños de la aritmética guía su c
a
a
construcción o
n
ción de pr
rocedimient
tos de cálc
culo concretos y me
entales. Co
omo los niñ
ños
invenc
contemplan la ad
dición como añadir má a algo, lo problema conmuta
o
ás
os
as
ados como 5 +
1 y 1 + 5 ó 3 + 5 y 5 + 3, se ven como p
problemas distintos. C
Como result
tado, los niñ
ños
puede sentirse obligados a calcular la suma de 1 + 5 aun c
en
a
cuando sepa que 5 + 1 =
an
6. Los niños des
s
scubren pro
onto que 1 + N y N + 1 producen la misma s
suma y que la
e
eficaz regla del número sig
z
n
guiente a ot dado se aplica por igual a 1 + N y a N + 1.
tro
e
r
Llegado el mom
mento, los n
niños apren
nden que e orden de los suman
el
e
ndos tampo
oco
altera el resultad de los p
a
do
problemas N + M (por ejemplo, .3 + 5 = 5+ 3). El cálc
r
culo
menta es cogno
al
oscitivamen exigente porque los niños deb tener p
nte
e
s
ben
presente ha
asta
cuánd deben co
do
ontar cuand cuentan. Por tanto, cuanto ma
do
,
ayores sean los términ
nos
que in
ntervengan en un prob
blema más c
complicado será el pro
o
ocedimiento para lleva la
o
ar
cuenta, y para lo niños es u verdade aliciente inventar nu
os
un
ero
e
uevos procedimientos de
s
cálcul que minim
lo
micen este trabajo me
ental. Así pu
ues, tanto lo factores conceptua
os
ales
como los no conceptuales d
desempeña su papel en el desa
an
arrollo de procedimien
ntos
inform
males de cá
álculo. Las dificultade con el c
s
es
cálculo info
ormal puede producirse
en
porqu las técnic para co
ue
cas
ontar o para llevar la c
a
cuenta que intervienen en el mismo
n
no son adecuada ni eficac
as
ces.

100


Baroody arthur matematica informal

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