las diferentes aplicaciones de la trigonometria

1. Aplicaciones de la
trigonometría a la Navegación
Tema 6

2. Definiciones generales.
R = 6370 km.
milla náutica (marina) →
arco de 1’ sobre circunferencia
máxima.
1 NM = 1853 m
* Meridiano de un lugar: Circunferencia máxima que pasa por ese lugar
y por los polos PN y PS.
* Paralelelo de un lugar: Circunferencia paralela al ecuador que pasa por
ese lugar.

3. Latitud de un lugar: el ángulo central que subtiende el arco del meridiano
del lugar comprendido entre el Ecuador y el lugar.
0 ≤ Φ ≤ 90º (latit. Norte) - 90º ≤ Φ ≤ 0 (latit. Sur)
Longitud de un lugar: el ángulo central que subtiende el arco del Ecuador
comprendido entre el meridiano cero y el meridiano del lugar.
0 ≤ λ ≤ 180º (hacia el Este) -
-180º ≤ λ ≤ 0 (hacia el Oeste)

4. Ruta o Derrota entre dos puntos A y B: la trayectoria que une el punto de
partida con el de llegada.
Rumbo de una ruta: el ángulo que forma el meridiano que pasa por ese
punto con la ruta.
Derrota Ortodrómica: una derrota que
sigue una circunferencia máxima.
Derrota Loxodrómica: una derrota cuyo
rumbo es constante en todos los puntos
de ella.

6. Observaciones:
* Latitudes (l):
- Se miden sobre el meridiano de lugar .
- Desde el Ecuador hacia PN (N) = (+)
- Desde el Ecuador hacia PS (S) = (-)
* Longitudes (L):
- Se miden sobre el Ecuador .
- Desde Meridiano G hacia (E) = (+)
- Desde Meridiano G hacia (W) = (-)
ΔL : Diferencia de longitud entre A y B (se mide en el Ecuador)
AB = d = Distancia recorrida en el trayecto.

7. Rumbo:
• Rumbo circular:
el ángulo que forma el meridiano que
pasa por ese punto con la ruta ↔ ángulo
direción Norte – dirección de ruta.
* Rumbo cuadrantal:
el ángulo que forma el N (ó S) con la ruta ↔
ángulo direción Norte – dirección de ruta ó
ángulo direción Sur – dirección de ruta
(Se toma el más pequeño) 0 ≤ R < 90º
Se mide en sentido
horario.
0 ≤ R < 360º

8. Conversión de Rumbos
1. De rumbo circular a rumbo cuadrantal
- De 000 º a 090 º pertenecen al primer cuadrante y se expresan con los
mismos números en dos cifras entre las letras N y E.
Ej.: 076 º = N76E
- De 090 º a 180 º pertenecen al segundo cuadrante. Se restan de 180 º y se
colocan entre el S y el E
Ej.: 145 º = 180 º - 145 º = S35E
- De 180 º a 270 º pertenecen al tercer cuadrante. Se les resta 180 º y se
colocan entre el S y el W
Ej.: 197 º = 197 º - 180 º = S17W
- De 270 º a 360 º pertenecen al cuarto cuadrante. Se restan de 360 º y el resto
se coloca entre el N y el W
Ej.: 323 º = 360 º - 323 º = N37W

9. 2. De rumbo cuadrantal a rumbo circular
- De N a E (primer cuadrante) es igual para los circulares, sólo que los
circulares se expresan con tres cifras.
Ej.: N65E = 065 º
- De S a E (segundo cuadrante) se restan de 180 º
Ej.: S42E = 180º - 42º = 138 º
- De S a W (tercer cuadrante) se suman a 180º
Ej.: S22W = 180º + 22 º= 202º
- De N a W (cuarto cuadrante) se restan de 360º
Ej.: N25W = 360º - 25º = 335º

10. 6.2 Navegación a lo largo de una circunferencia máxima.
Será necesario resolver un triángulo esférico (oblicuángulo) en el
que un vertice es uno de los polos.

11. Ejemplo 1: Un buque sale desde Madrás (India) (13º 05’ N, 80º 17’ E)
para llegar a Port Kelang (Malasia) (3º 00’ N, 101º 24º E) . Calcular la
distancia recorrida y el rumbo inicial y rumbo final.

13. Caso 3º. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Conocemos a, b, C ; hay que calcular: c, A, B.
Cálculo de c:
cos cos cos sin sin cos
c a b a b C
 
Cálculo de A y B:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
Obtenemos:
cot sin cos cos
cot
sin
cot sin cos cos
cot
sin
a b b C
A
C
b a a C
B
C




↓
←
;
(90º )
(90º )
A
B
d c L C
l b
l a
  


 

  


14. cos cos(90º )cos(90º ) sin(90º )sin(90º )cos
A B A B
d l l l l L
      
Distancia entre A y B:
Rumbo inicial y Rumbo final:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
;
(90º )
(90º )
B
A
d c L C
l a
l b
  


 

  

cot(90º )sin(90º ) cos(90º )cos
cot
sin
cot(90º )sin(90º ) cos(90º )cos
cot
sin
B A A
A B B
l l l L
A
C
l l l L
B
C
    

    


15. cos sin sin cos cos cos
A B A B
d l l l l L
  
Distancia entre A y B:
Rumbo inicial y Rumbo final:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
;
(90º )
(90º )
B
A
d c L C
l a
l b
  


 

  

tan cos sin cos
cot
sin
tan cos sin cos
cot
sin
B A A
A B B
l l l L
A
L
l l l L
B
L
 


 



16. lA = 13º 05’ N lB = 3º 00’ N
LA = 80º 17’ E LB = 101º 24’ E
Solución:
ΔL = LB – LA = 101º 24’ – ( 80º 17’) =
= 21º 07 E
Caso 3º: conocidos 2 lados + ángulo entre
ellos.
* Cálculo de d:
cos d = cos(90º - lA) cos(90º - lB) + sin(90º - lA) sin(90º - lB) cos ΔL
= sin lA sin lB + cos lA cos lB cos ΔL = 0.91921
d = 23º 11’ 18” = 1391’ = 1391,30 millas

17. * Cálculo del rumbo inicial (A) : cot a sin b = cos b cos C + sin C cot A








L
L
l
l
l
A A
A
B
sin
cos
)
º
90
cos(
)
º
90
sin(
)
º
90
cot(
cot
tan cos sin cos
0.44445
sin
B A A
l l l L
L
 
  

tan A = -2.24996 → A = 113º 57’ 46” → Ri = A = 113º 57’ 46”
* Cálculo de B








L
L
l
l
l
B B
B
A
sin
cos
)
º
90
cos(
)
º
90
sin(
)
º
90
cot(
cot
tan cos sin cos
0.50869
sin
A A B
l l l L
L
 
 

tan B = 1.96580 → B = 63º 02’ 15” → Rf = 180º - B = 116º 57’ 44”

18. Ejemplo 2: Hallar el rumbo inicial, rumbo final y la mínima
distancia a través de un arco de circunferencia máximo para ir
desde A (37º 48’ N, 122º 25’ W) hasta B (27º 19’ S, 153º 10’
E). Localizar el punto de la travesía que corta al Ecuador.

19. Ejemplo 2: Hallar el rumbo inicial, rumbo final y la mínima
distancia a través de un arco de circunferencia máximo para ir
desde A (37º 48’ N, 122º 25’ W) hasta B (27º 19’ S, 153º 10’
E). Localizar el punto de la travesía que corta al Ecuador.

20. Solución:
ΔL = LB – LA = 153º 10’ – (– 122º 35’) =
= 275º 35’ = 84º 25 W
Caso 3º: conocidos 2 lados + ángulo entre
ellos.
* Cálculo de d:
cos d = cos(90º - lA) cos(90º - lB) + sin(90º - lA) sin(90º - lB) cos ΔL
= sin lA sin lB + cos lA cos lB cos ΔL = - 0.21297
d = 102º 17’ 47” = 6137,7868’ = 6137,78 millas

21. * Cálculo de A








L
L
l
l
l
A A
A
B
sin
cos
)
º
90
cos(
)
º
90
sin(
)
º
90
cot(
cot
46998
.
0
sin
cos
sin
cos
tan






L
L
l
l
l A
A
B
tan A = -2.12774 → A = 115º 10’ 22” → Ri = 360º - A = 244º 49’ 38”
* Cálculo de B








L
L
l
l
l
B B
B
A
sin
cos
)
º
90
cos(
)
º
90
sin(
)
º
90
cot(
cot
73732
.
0
sin
cos
sin
cos
tan





L
L
l
l
l B
A
A
tan B = 1.35625 → B = 53º 35’ 52” → Rf = 180º + B = 233º 35’ 52”

22. Punto de corte con el ecuador:
cos(90º - lA) = cot(90º - ΔL) . cot(180º - A) →
tan ΔL = - sin lA tan A = 1.30411 → ΔL = 52º 31’ 07” W
LC = LA + ΔL = (- 122º 25’) + (-52º 31’ 07) = -174º 56’ 07”
LC = -174º 56’ 07” W

23. 6.3 Casos particulares.
A) Navegación a lo largo de un paralelo.
Apartamiento (p): distancia AB.
CAB = OMN pero p ≠ ΔL
Los arcos son proporcionales a
sus radios:
A
l
p
L
OH
OA
OH
OA
CA
OM
p
L
cos
1
/
1







A
l
p
L
cos

 = p sec lA .

24. Ejemplo:
Un barco navega 78 millas hacia el Este en la latitud 35º 28’ N. Hallar el
cambio de longitud:
Solución:
sec (35º 28’) = 1.22781
ΔL = 78 . sec lA = 78 x 1.22781 = 95.77 millas E
→ ΔL = 1º 35’ 46” E

25. B) Reducción a un plano.
Para distancias menores de 200 millas:
→ Fórmulas de Trigonometría plana.
Δl = d cos R, p = d sin R → tan R =
l
p

La fórmula ΔL = p sec lA, es aquí inexacta.
El error es mínimo si ponemos:
 
1
sec
2 cos
A B
m
p
L p l l
l
   

26. Ejemplo:
Un buque sale de A (lA = 58º 17’ N, LA = 128º 31’W) y navega 132 millas con
un rumbo de 243º. Hallar la posición del punto de llegada.
Solución:
Δl = d . cos R = 132 . (-0.45399) =
= -59.93 millas = 0º 59’ 56” S
* * *
lB = lA + Δl = 58º 17’ + (-0º59’56”) =
= 57º 17’ 04” N
P = d. sin R = 132 x sin 243º = -117.61 millas = 117.61 millas W.
ΔL = p. sec lM = -220.61 millas = 220.61’W = 3º 20’ 37” W.
LB = LA + ΔL = (-128º 31) + (-3º 40’ 37”) = -132º 11’ 36” = 132º 11’ 36” W
  "
02
'
47
º
57
2
1


 B
A
M l
l
l

27. l
p
R
R
d
p
R
d
l




 tan
,
sin
,
cos

28. C) Estima.
Suponiendo que en todas las
derrotas se puede aplicar la
reducción al plano.
Si se parte de A, hay que hallar
la posición de B, tras una serie
de derrotas.

29. Ejemplo:
Un barco parte de A (lA = 43º 25’ N, LA = 68º 35’W) y recorre las distancias
siguientes con los rumbos indicados:
Rumbo : 300º 080º 190º 060º 200º
Distanc.: 63 40 25 50 75
Hallar la posición final B del barco y su distancia hasta A, asi como el
rumbo de la trayectoria directa AB.

30. Solución:
Teniendo en cuenta que: p = d . sin R ; Δl = d . cos R
Rumbo Distancia Δl p
300º 63 31.5 -54.55960
080º 40 6.94592 39.39231
190º 25 -24.62019 -4.34120
060º 50 25.0 43.30127
200º 75 -70.47694 -25.65151
Σ Δl = - 31.65121 millas = 0º 31’ 39” S
Σ p = - 1.85873 millas = 1.85973 W
lB = lA + Δl = 43º 25’ + (-0º 31’ 39”) = 42º 53’ 21” N
  "
10
'
09
º
43
2
1


 B
A
M l
l
l → ΔL = p.sec lM = 2.54784 = 0º02’32”
LB = LA + ΔL = -68º 35’ + (-0º 02’ 32”) = -68º 37’ 34” = 68º 37’ 32”

31. Cálculo del rumbo para la trayectoria AB:
05872
.
0
6521
.
31
85873
.
1
tan 





l
p
C
→ C = 3º 21’ 39”
→ R○ = 180º + C = 183º 21’ 39”
R□ = S 3º 21’ 39” W

32. Ejemplo (nº 18- pg 142)
Un buque parte de Toamasina (lA = 18º 09’ S, LA =49º 25’ E) para efectuar una
travesía a lo largo de una circunferencia máxima, siendo su rumbo inicial (48º
30’).
I) Hallar la latitud y longitud de su posición B cuando ha recorrido 500 millas.
II) Localizar el punto de la circunferencia máxima que se halla más al norte.

33. Cálculo de lB:
cos cos cos sin sin cos
c a b a b C
 
(90º )
(90º ) ;
A
B i
l a
d b
l c R C
 




   

cos(90º - lB) = cos(90º-lA) . cos d + sin(90º-lA) . sin d . cos Ri .
sin lB = sin lA . cos d + cos lA . sin d . cos Ri = -0.21695
→ lB = -12º 31’ 49”

34. Cálculo de LB:
(90º )
;
A
i
l a
d b
L B R C
 




  

ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
cot d . sin(90º - lA) = cos(90º -lA) . cos Ri + sin Ri . cot ΔL =
cot d . cos lA = sin lA . cos Ri + sin Ri . cot ΔL →
cos cot sin cos
cot
sin
A A i
i
l d l R
L
R

   8.93786
→ ΔL= 0.11188 = 6º 23’ 02”
LB = LA + ΔL = 49º 25’ + 6º 23’02” = 55º 48’ 02”

35. Cálculo de lC :
cos lC = sin (90º - lA) . sin Ri = 0.71168
→ lC = 44º 37’ 41”
Cálculo de LC:
cos (90º -lA) = cot ΔL . cot Ri →
→
1
sin
tan .tan
A
i
l
L R


1
tan
sin .tan
A i
L
l R
  = -2.84020
→ ΔL = 109º 23’ 47”
LC= LA + ΔL = 158º 48’ 47”

36. Trayectoria mixta
Ejercicios

37. (Ejercicio 26. Pag. 151) Un barco inicia una travesía por
círculo máximo entre los puntos A (45º 22’ N, 124º 35’ E) y B
(76º 45’ N, 21º 09 W) pero, debido a los hielos, no desea
sobrepasar la latitud 80º N.
Hallar la trayectoria mixta que debe realizar, y las millas de
más que ha de realizar por esa trayectoria:

38. TRAYECTORIA POR CIRCULO MÁXIMO
ΔL = LB – LA = -145º 44’
Cos d = cos(90º- lA).cos(90º-lB) +
+ sin(90º- lA).sin(90º-lB).cosΔL
d = 55º 58’ 22” = 3358,37 millas
A = 8º 57’ 29”
Ri = 351º 02’ 31”

39. TRAYECTORIA MIXTA
90º
90º
90º
A A
B B
C C
l l
l l
l l
 
 
 
Discusión:
90º; 54º38' 180º
A C
A l l
    
C + A < 180
1
2
90º
90º
C A
C
l l A C
C

   

Cálculo de C:
1
2
39º02'56"
sin .sin
sin 0.62998
140º57'03"
sin
A
C
C
A l
C
C
l

  


40.  
 
2
2
1 1
27º19' ( ) 74º57'16"
2 2
1 1
17º19' ( ) 65º59'47"
2 2
A C
A C
l l C A
l l C A
   
   
Cálculo de ΔL2 :
2 2
2
1
cos ( )
1 2
tan 0.28882 32º13'10"
1 1
2 cos ( ).tan ( )
2 2
A C
A C
l l
L L W
l l C A

     
 
LC2 = LA + ΔL2 = 124º 35’+(-32º13’10”) = 92º 21’ 49” E
Cálculo de dAC2:
2 2
2
2
1 1
tan ( ).cos ( )
1 2 2
tan 0.32959 36º 29'01" 2189,01
1
2 cos ( )
2
A C
AC AC
l l C A
d d millas
C A
 
    

↑
↑

41.  
 
1
1
1 1
27º19' ( ) 24º00'12"
2 2
1 1
17º19' ( ) 15º02'43"
2 2
A C
A C
l l C A
l l C A
   
   
Cálculo de ΔL1 :
1 1
1
1
cos ( )
1 2
tan 2.41301 134º58'47"
1 1
2 cos ( ).tan ( )
2 2
A C
A C
l l
L L W
l l C A

     
 
LC1 = LA + ΔL1 = 124º 35’+(-134º 58’ 47”) = -10º 23’ 47” W
↑
↑

42. Cálculo de ΔL3:
Cálculo de dC2C1 por paralelo de latitud:
dC2C1 = p = 6165,6 . cos lC = 6165,6 . 0,17364 = 1070,62 millas
Cálculo de la distancia entre C2 y C1:
ΔL3 = LC1 – LC2 = (-10º 23’ 47”) – 92º 21’ 49” -102º 23’ 47” =
102º 45’ 36” W = 6165 millas

43. Cálculo de la dC1B por círculo máximo.
ΔL4 = LB – LC1 = -21º 09’ – (-10º 23’ 47”) = - 10º 45’ 13” = 10º 45’ 13” W
1
cos cos .cos sin .sin .cos
C B B C B C
d l l l l L
   = 0,99767
→ dC1B = 3º 54’ 31” = 234,52 millas
Distancia mixta:
d MIXTA = dAC2 + dC2C1 + dC1B = 3494,17 millas
Diferencia:
Diferencia = dMIXTA – dCir.Máximo = 3494,17 – 3358,37 = 135,8 millas