PROPUESTAS PARA MEJORAR LA EVALUACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS AL FINALIZAR LA ESO EN BASE A LA EVALUACIÓN PISA 2006. UNA GUÍA PARA LAS EVALUACIONES EXTERNAS AL SISTEMA EDUCATIVO

1. SIGMA
PROPUESTAS PARA MEJORAR LA EVALUACIÓN DE 34
LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS AL FINALIZAR LA
ESO EN BASE A LA EVALUACIÓN PISA 2006.
UNA GUÍA PARA LAS EVALUACIONES EXTERNAS
AL SISTEMA EDUCATIVO
Raimundo Rubio (*)
Este artículo está basado en los resultados de la evaluación Pisa 2006 en cuanto a la competen-
cia matemática. Analiza las dificultades que el alumnado muestra en aspectos relevantes del
modelo de evaluación utilizado con el fin de que se tengan en cuenta para mejorar cualquier
propuesta que evalúe la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Propone hacer una mayor
incidencia en la escritura, en la identificación de cuestiones matemáticas relevantes para la
vida cotidiana desde los contextos educativo y científico, en el trabajo del espacio y la forma
(geometría) así como incrementar la reflexión cualitativa a partir de las conexiones entre los
diferentes conceptos matemáticos.
Palabras clave: Evaluación, PISA, competencia matemática, propuestas de mejora, ESO.
INTRODUCCIÓN
De los resultados de la evaluación PISA 2006 [9] centrada en Ciencias, que analiza también
las Matemáticas por medio de items de enlace respecto a la evaluación PISA 2003, se pueden
sacar conclusiones generales sobre lo que el alumnado sabe y no sabe hacer respecto a las
competencias matemáticas, sus valores medios y el porcentaje de alumnado en cada nivel
de rendimiento asociado a competencias específicas y las tendencias respecto a 2003. Un
resumen del informe internacional [11] con un análisis más exhaustivo y comparativo está a
disposición del profesorado que lea inglés en la web que la OCDE [12] dedica a PISA.
Esta evaluación se inició a fines de los años 90 como un estudio comparativo, internacional
y periódico del rendimiento educativo del alumnado de 15 años, a partir de la evaluación de
ciertas competencias consideradas clave, como son la competencia lectora, la matemática y la
científica; estas competencias son evaluadas cada tres años, desde la primera convocatoria que
tuvo lugar en 2000. Su principal objetivo, por consiguiente, es generar indicadores de rendi-
miento educativo, Si bien no es propiamente un proyecto o trabajo de investigación en sí, los
datos aportados puedan ser de gran interés para los investigadores de la educación. Tampoco
es un estudio orientado directamente a los centros educativos y a los procesos de enseñanza-
aprendizaje, sino a la definición y formulación de políticas educativas de más largo alcance.
Por otro lado, dado que la evaluación PISA centrada en Matemáticas en 2006 no es curricular
ni propedéutica y que está enfocada en conocer las competencias para la vida al finalizar
la enseñanza obligatoria –se trata fundamentalmente de una evaluación de alfabetización
moderna–, puede llevar a parte del profesorado a desentenderse de ella, como si no fuera
parte de su trabajo cotidiano. De hecho, el profesorado no ha sido consultado, no se le pide
su opinión en ningún aspecto de su quehacer diario.
(*) Técnico en Ciencias y Matemáticas del ISEI-IVEI, País Vasco.
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2. Raimundo Rubio
Esta evaluación se aplica con un modelo no basado directamente en los libros de texto que
habitualmente utiliza el profesorado y probablemente no refleja directamente las concrecio-
nes que los seminarios didácticos de los centros hayan podido realizar derivadas del currículo
nacional o autonómico. Por otro lado, esta evaluación indica que los factores que más influyen
en el resultado del rendimiento en Matemáticas están relacionados con factores que escapan
al control del profesorado: el índice socio-económico y cultural del alumnado, sea individual
o de su centro, el índice de repetición, la presencia de inmigrantes, las expectativas del alum-
nado en seguir estudios matemáticos, el impartir clase en un centro público o concertado,
entre otros.
A pesar de que los factores que hacen que los alumnos y alumnas vascas de 15 años obtengan
mejor rendimiento en Matemáticas son [5]:
• La motivación que tienen hacia el estudio de las Matemáticas es alta.
• Consideran que es importante estudiar Matemáticas de cara a su futuro.
• Disfrutan con el estudio de las Matemáticas.
• Tienen seguridad y confían en que pueden resolver tareas de cierta dificultad.
• Tienen un autoconcepto positivo como estudiantes.
• Consideran que en la escuela se aprenden cosas de utilidad.
• Tienen una actitud positiva ante la escuela.
• No se sienten excesivamente ansiosos y estresados ante las tareas de Matemáticas.
• Sus familias, el padre y la madre, han realizado estudios superiores.
• Forman parte de una familia nuclear, es decir, viven con los dos progenitores.
• El nivel socio económico laboral de la familia es más alto que la media.
Podría parecer que el profesorado de Matemáticas es ajeno a todo este proceso debido a que
no se ha solicitado su opinión, aunque fuera por medio de un simple cuestionario que se suele
realizar en la mayoría de las evaluaciones nacionales e internacionales como la de TIMSS [7].
Al parecer la OCDE no considera importante este aspecto debido a que los análisis estadísticos
derivados de otros estudios no han sido capaces de extraer conclusiones significativas que pue-
dan servir de indicadores relevantes de la influencia de los factores asociados al profesorado.
Sin embargo otras investigaciones como el informe de la consultora estadounidense McKinsey
and Company [8] resaltan su importancia como definitiva al afirmar que: "La calidad de un
sistema educativo no puede ser mejor que la de sus profesores". Aunque sería muy interesante
centrarse en las nuevas investigaciones sobre el valor añadido del profesorado, vamos a fijarnos
en los aspectos sobre los que el profesorado puede trabajar en su clase para mejorar los conoci-
mientos del alumnado en base a los resultados obtenidos por el alumnado para toda España.
ASPECTOS EN LOS QUE EL PROFESORADO PUEDE MEJORAR
LOS CONOCIMIENTOS DEL ALUMNADO PARA MEJORAR LOS
RESULTADOS
En este artículo se analiza el resultado en base a las respuestas correctas de todo el alumnado
de España a los diferentes ítems que componen la prueba, en función de los diferentes aspectos
que la propia evaluación explicita en su modelo de evaluación en Matemáticas [10].
Para ello se incide en cinco aspectos que pueden ayudar a trasladar al profesorado aspectos
relevantes de la evaluación como son: la dificultad de las pruebas de evaluación que se utili-
zan, el tipo o formato de las preguntas que se realizan, y lo que la competencia matemática
12 SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.

3. Propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la ESO
de PISA 2006 interrelaciona en tres características básicas: los conocimientos, las capacidades,
y los contextos.
Se incluyen en cada apartado algún aspecto problemático en el que el profesorado debería
incidir para tratar de mejorar tanto los conocimientos y habilidades del alumnado como el
resultado de la evaluación.
1. Dificultad de la prueba
En la tabla siguiente se distribuyen los ítems (48 preguntas) usados en la evaluación en cinco
niveles de dificultad, de acuerdo con el porcentaje de respuesta correcta que está entre el 4%
para el más difícil y el 96% de acierto para el más fácil.
Dificultad del ítem Aciertos (%) Ítems (%)
muy fácil 75-95 10
fácil 60-75 15
intermedio 40-60 35
difícil 25-40 19
muy difícil 10-25 21
Cuadro 1. Distribución de los ítems de la prueba por dificultad en %
Como se observa, es una prueba bastante equilibrada en su dificultad para el alumnado. Se
han utilizado aquellos items que sirven para establecer las tendencias y que están muy bien
calibrados, ya que se han utilizado en las evaluaciones de 2000, 2003 y 2006. Por ello se
puede deducir que el profesorado debería analizar cuando elabora exámenes o pruebas de
evaluación en su clase o en su nivel, si se ha consensuado en el seminario el nivel de dificultad
de las pruebas que propone en base a las respuestas del alumnado a las diferentes preguntas,
y de este modo reajustar la puntuación que ha asignado previamente a cada pregunta con
el fin de realizar una evolución más equitativa. Así mismo, sería conveniente repetir algunos
problemas o ejercicios en diversos años para valorar la progresión del aprendizaje a lo largo
del tiempo.
2. Formato de los ítems
La evaluación utiliza tres tipos de formatos de respuesta de los ítems dentro de un contexto en
el que un estímulo genérico (por ejemplo, los patinetes) va acompañado de textos de diferente
tipología –narrativo, expositivo, descriptivo, argumentativo– , con gráficas, iconografía gráfica,
tablas, diagramas, etc., para ayudar a responder la pregunta. Los tres tipos de formatos son:
a) Respuesta múltiple: se ofrecen generalmente cuatro opciones con distractores cohe-
rentes con la cultura matemática del alumnado (ideas previas, conceptos erróneos,
etc.), que hacen que la respuesta no sea evidente.
b) Elección múltiple compleja y respuesta cerrada construida: proporciona tres o cuatro
afirmaciones relativas a lo que se quiere evidenciar con respuestas del tipo sí o no,
cierto o falso. Es necesario que el conjunto de respuestas esté completo para darla por
válida.
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4. Raimundo Rubio
c) Respuesta abierta y corta: el alumnado tiene que escribir, en dos o tres líneas como
máximo, respuestas coherentes matemáticamente que exigen argumentación respecto
a lo que se pregunta y explicitación de operaciones matemáticas sencillas. En las res-
puestas cortas se pide sólamente un dato preciso.
Ítems (%) Formato muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil
25 Elección múltiple 25 17 42 17 0
Elección múltiple compleja y
31 13 7 47 27 7
Respuesta cerrada construida
44 Respuesta abierta y corta 0 19 24 14 43
Total Ítems (%) 10 15 35 19 21
Cuadro 2. Distribución de los ítems por tipo de formato en %
Como se puede observar, los ítems de respuesta abierta y corta han resultado ser los más
difíciles de responder adecuadamente, dado que un 57% son ítems difíciles y muy difíciles.
Normalmente el alumnado deja un 35% de estos ítems de respuesta abierta sin responder y
cuando lo hace sus argumentaciones no suelen ser muy consistentes (ver criterios de evalua-
ción de ítems liberados de respuesta abierta [1].
La conclusión que se deriva es que la dificultad no está en la lectura, sino que el problema
mayor radica en la escritura, tal como se pone en evidencia en los ítems de Lectura con for-
mato de respuesta corta y abierta construida (50 % de ítems difíciles y muy difíciles). Por lo
tanto, un aspecto relevante a trabajar con el alumnado sería la escritura de textos argumen-
tativos concretos con razonamientos matemáticos consistentes. Además se han de corregir
estos textos y verificar las operaciones matemáticas realizadas porque, independientemente
de la veracidad de las respuestas, es necesario trabajar con el alumnado la coherencia de la
argumentación. También es conveniente ver si algún error en las operaciones lleva a una argu-
mentación coherente con un resultado equivocado.
El profesorado que utiliza en sus exámenes de evaluación muchas preguntas de este tipo, para
cálculos, explicaciones, argumentaciones, debería por tanto preparar y realizar actividades de
explicación y argumentación a nivel escrito para mejorar la evaluación de estos aspectos.
3. Dominios de conocimiento
Para establecer las bases de una evaluación internacional de los jóvenes de 15 años parece razo-
nable formularse la siguiente pregunta: "¿Qué es importante que sepan, valoren y sean capaces
de realizar los ciudadanos en las situaciones que comportan un contenido matemático?".
Esto se concreta en cuatro dimensiones de contenido que los estudiantes deben desarrollar
para adquirir la competencia matemática [5]:
Espacio y Forma
La comprensión de estas dos dimensiones –espacio y forma– en situaciones de la vida real
exige que los estudiantes busquen semejanzas y diferencias entre los objetos y que sean capa-
ces de entender la posición relativa de los mismos. Deben aprender a moverse a través del
espacio y a través de las construcciones y formas que se dan en él. En consecuencia, han de
ser capaces de comprender las relaciones entre las formas y las imágenes o representaciones
visuales (por ejemplo, las que existen entre una ciudad real y fotografías y mapas de la misma).
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5. Propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la ESO
En el nivel superior se requiere conceptualizar procesos y relaciones matemáticas más com-
plejas, aplicar habilidades de razonamiento avanzado, desarrollar explicaciones precisas y
formular conclusiones.
Cambio y relaciones
Todo fenómeno natural es una manifestación de cambio. Ejemplo de ello son los cambios de
los organismos al crecer, el ciclo de las estaciones, la climatología, etc. Muchos de estos fenó-
menos pueden describirse mediante funciones matemáticas sencillas: lineales, exponenciales,
periódicas o logísticas. Pero otros procesos requieren llevar a cabo un análisis de los datos
para determinar el tipo de relación que se presenta. Con frecuencia las relaciones matemáticas
toman forma de ecuaciones o desigualdades; también de equivalencias, inclusiones, etc., que
conllevan el uso del pensamiento funcional. El pensamiento funcional, es decir, la capacidad
de pensar en términos de relaciones, es uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza
de las matemáticas.
Cantidad
Esta idea clave se basa en la necesidad de numerar y organizar el mundo desde un punto de
vista cuantitativo. Incluye aspectos como la comprensión del tamaño relativo, el reconoci-
miento de pautas numéricas y la medida de objetos del mundo real, así como las tareas de
cuantificar y representar numéricamente los atributos de estos objetos. Un aspecto importante
en relación con la cantidad es el razonamiento cuantitativo, que incluye el concepto de
número, su representación, la comprensión del significado de las operaciones, las magnitudes
numéricas, los cálculos matemáticos y las estimaciones.
Incertidumbre
La sociedad de la información actual ofrece abundancia de noticias, conocimientos y datos
que se presentan como únicos, científicos y con grandes dosis de verosimilitud. Sin embargo,
en la vida diaria se da con frecuencia hechos no previsibles o de resultados inciertos; por
ejemplo: subidas y bajadas en los valores bursátiles, partes meteorológicos poco fiables, resul-
tados inciertos de elecciones y muchas otras muestras de incertidumbre. Esta idea clave –la
incertidumbre– está ligada a los datos y al azar, dos elementos objeto de estudio matemático,
a los que se responde desde la estadística y la probabilidad respectivamente. Actualmente se
considera imprescindible para la vida incluir estas ramas –Estadística y Probabilidad– en los
currículos escolares.
Dominios de
Ítems (%) muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil
conocimiento
27 Cantidad 8 23 46 23 0
23 Espacio y forma 9 9 27 18 36
23 Incertidumbre 9 9 45 18 18
27 Cambio y relaciones 15 15 23 15 31
Total ítems (%) 10 15 35 19 21
Cuadro 3. Distribución de los ítems por dominios de conocimiento en %
El espacio y la forma, con el 54% de dificultad y el cambio y las relaciones con el 46%, se
muestran como aspectos que suponen una complejidad importante para nuestro alumnado.
Por ello, se considera que el profesorado debe abundar más en aspectos relacionados con la
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6. Raimundo Rubio
geometría y en las funciones o ecuaciones que sirven para llegar a establecer conclusiones
matemáticas. Debido a que en la evaluación PISA no se exigen operaciones matemáticas que
no sean cálculos básicos, se ha de insistir en explicaciones matemáticas cualitativas.
Dado que esta carencia, la de la geometría, se ha observado también en las evaluaciones
curriculares internacionales como TIMSS 2003 [4] y 2007 [13] puede ser útil recordar los indi-
cadores de evaluación de esta competencia en la Comunidad Autónoma Vasca según la cual
el alumnado debe utilizar un vocabulario geométrico adecuado; identificar figuras geométri-
cas en diversos contextos de la vida cotidiana; comprender las nociones geométricas básicas
relacionadas con la orientación y representación espaciales; describir los tamaños, la posición
y las orientaciones de las figuras; construir e interpretar croquis, planos y maquetas a escala
de diversos objetos y lugares; formular y resolver problemas de razonamiento y orientación
espacial, así como integrar los conocimientos geométricos de cara a resolver problemas.
4. Competencias
PISA no evalúa los procesos de forma aislada, ya que la "práctica de las matemáticas en el
mundo real" conlleva poner en juego de forma simultánea varios procedimientos o capacida-
des. Precisamente por ello, y con objeto de describir desde una perspectiva internacional las
capacidades de los y las estudiantes así como los diferentes niveles de competencia matemá-
tica, PISA define tres grupos de capacidades, en función del tipo de exigencias cognitivas que
se requieren para resolver los distintos problemas matemáticos:
Reproducción
Este grupo de competencias, las más sencillas de resolución, incluyen tipos de conocimiento
que el alumnado suele practicar en las pruebas escolares. Las competencias de reproducción
se describen mediante los siguientes descriptores clave: la reproducción de conocimientos ya
practicados en el ámbito escolar y la realización de operaciones matemáticas rutinarias.
Conexión
Se basan en las capacidades del grupo de reproducción anterior, pero abordan situaciones que
no son rutinarias y que requieren establecer conexiones entre diferentes campos de las mate-
máticas para llegar a ampliar la información y a integrar la misma en problemas sencillos.
Reflexión
En este nivel, los chicos y chicas de 15 años deben ser capaces de plantear estrategias de
solución de problemas y aplicarlas a marcos que les resultan menos familiares que los
de niveles anteriores. Este grupo de competencias se define mediante los siguientes
descriptores: razonamiento de nivel avanzado, argumentación, abstracción, generalización y
construcción de modelos.
Ítems (%) Competencias muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil
23 Reproducción 36 36 18 9 0
50 Conexión 4 8 46 25 17
27 Reflexión 0 8 31 15 46
Total ítems (%) 10 15 35 19 21
Cuadro 4. Distribución de los ítems por competencias en %
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7. Propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la ESO
Nuestro alumnado es muy capaz de reproducir lo que ha aprendido si además se le ofrece de
forma que no tenga que escribir sus razonamientos y operaciones para hacerlo mejor. Cuando
se le exige la conexión entre diversos conocimientos la dificultad se incrementa hasta el 42%
y cuando debe generalizar reflexionando en base a la argumentación la dificultad llega al
61%.
Para pasar de la equidad a la excelencia se han de trabajar estas dos habilidades, pasando
del operativismo matemático a la reflexión sobre determinados modelos. En este contexto es
evidente que la verbalización de cualquier proceso es el primer paso antes de plasmarlo en
una argumentación escrita.
5. Contextos
La evaluación en matemáticas de PISA no es una evaluación de contextos. Lo que se evalúa
son capacidades, conocimientos y las actitudes [3] por medio de un cuestionario, según se
presentan o se relacionan con unos determinados contextos: personal, educativo y profesional,
público y científico. A la hora de seleccionar los contextos, es importante tener presente que
lo que se pretende evaluar son las capacidades matemáticas, el grado de asimilación de los
conocimientos y las actitudes hacia las matemáticas que ha adquirido el alumnado al llegar al
final de su etapa de educación obligatoria y con qué éxito puede extrapolarlo y aplicarlo en
nuevos contextos.
Ítems (%) Contexto muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil
23 Personal 27 9 27 9 27
Educativo y
15 0 29 14 43 14
profesional
37 Público 11 11 44 11 22
25 Científico 0 17 42 25 17
Total ítems (%) 10 15 35 19 21
Cuadro 5. Distribución de ítems en diferentes contextos en %
Tal como puede observarse, el alumnado se desenvuelve mejor en los contextos personal y
público que en el educativo 57% y científico 42%. Esta contradicción parece indicar que a
pesar del esfuerzo realizado en estos contextos específicos del aula su excesiva cuantificación
resulta perjudicial para la comprensión del alumnado.
6. Resolución de problemas
La resolución de problemas con carácter general, no específico de las matemáticas, fue abor-
dada por PISA en 2003 [2]. Según dicho informe, se trata de una capacidad individual que
utiliza los procesos cognitivos para confrontar y resolver situaciones multidisciplinares donde
el camino hacia su resolución, además de no ser obvio, necesita de conocimientos aplicables
desde diferentes áreas, no exclusivamente desde Matemáticas, Ciencias o Lectura. Por tanto se
deberá abordar conjuntamente por todo el profesorado.
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8. Raimundo Rubio
CONCLUSIONES
Del análisis de la evaluación que acabamos de realizar se puede concluir que el profesorado,
para mejorar su evaluación, se debería centrar –aparte de en lo que ya hace muy bien en estos
momentos–, en los siguientes aspectos que ayudarían a incrementar el rendimiento en los
niveles más altos y que mejoren el rendimiento medio de la evaluación:
• Proponer pruebas equitativas y equilibradas.
• Trabajar la tipología textual matemática por escrito insistiendo en la argumentación.
• Identificar cuestiones matemáticas relevantes en espacio y forma (geometría).
• Insistir en la reflexión a nivel cualitativo a partir de las conexiones entre los diferentes
conceptos matemáticos a nivel cualitativo.
• Contextualizar la matemática en los contextos educativo y científico.
Para ello el profesorado, bien individualmente o en el seminario didáctico de su centro, tiene
a su disposición ejemplos liberados de todo tipo de ítems y documentación suficiente para
que, en base a su propia reflexión y adecuándolos a la tipología de su alumnado y a su moti-
vación, pueda contribuir a mejorar la evaluación en general y, en particular, los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas.
Recordando que en PISA la competencia matemática se ha definido como la capacidad de
un individuo para identificar y comprender el papel que las matemáticas desempeñan en el
mundo, para realizar razonamientos bien fundados y para utilizar e involucrarse en las mate-
máticas de manera que se satisfagan las necesidades de la vida del individuo como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo.
BIBLIOGRAFÍA
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(http://www.ince.mec.es/pub/pisa2000liberadas.pdf)
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EUSKADI.
(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/PISA2003euskadic1.pdf)
[3] ISEI-IVEI, (2005): Proyecto PISA 2003. Ejemplos de ítems de Matemáticas y Solución
de Problemas.
(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/pisaitemscastellano.pdf)
[4] ISEI-IVEI, (2005): Evaluación Internacional de Matemáticas y Ciencias. TIMSS 2003
Euskadi. Segundo Informe de Resultados. Matemáticas.
(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/TIMSSMAT2_CAST.pdf)
[5] ISEI-IVEI, (2005): Segundo Informe de la Evaluación PISA 2003 RESULTADOS EN
EUSKADI.
[6] ISEI-IVEI, (2008): Proyecto para la Evaluación Internacional de los Estudiantes de 15
años en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Resultados en Euskadi.
(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/PISA2006_cas_2.pdf)
(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/PISA2cast.pdf)
[7] Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003 / Ina V.S. Mullis...
[et al.]. — Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, Instituto Nacional
18 SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.

9. Propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la ESO
de Calidad y Evaluación, 2002. 112 p. International Association for the Evaluation of
Educational Achievement (IEA).
(http://www.institutodeevaluacion.mec.es/contenidos/internacional/
marcosteoricostimss2003.pdf)
[8] McKinsey&Company, (2007): How the world’s best-performing school systems come
out on top.
(http://www.mckinsey.com/clientservice/socialsector/resources/pdf/Worlds_School_
Systems_Final.pdf)
[9] MEC, (2007): Instituto de evaluación. PISA 2006. Programa para la Evaluación
Internacional de Alumnos de la OCDE. Informe español.
(http://www.institutodeevaluacion.mec.es/contenidos/internacional
/pisainforme2006.pdf)
[10] OECD, (2006): Assessing Scientific, Reading and Mathematical Literacy – A Framework
for PISA 2006. PISA 2006. Marco de la evaluación. Conocimientos y habilidades en
Ciencias, Matemáticas y Lectura. Santillana Educación S.L., 2006.
(http://www.educaragon.org/files/marcosteoricospisa2006.pdf)
[11] OCDE, (2007): PISA 2006. Science Competencies for Tomorrow’s World. Volume 1 –
Analysis.
(http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/15/13/39725224.pdf)
[12] OECD, Web: Programme for Internacional Student Assessment (PISA).
(http://www.pisa.oecd.org/pages/0,3417,en_32252351_32236191_1_1_1_1_1,00.html)
[13] TIMSS, (2007): International Mathematics Report: Findings from IEA’s Trends in
International Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades Mullis,
I.V.S., Martin, M.O., & Foy, P. (with Olson, J.F., Preuschoff, C., Erberber, E., Arora, A.,
& Galia, J.). (2008). Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center,
Boston College.
(http://timss.bc.edu/TIMSS2007/mathreport.html)
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10. Raimundo Rubio
EJEMPLO 1
Manzanas
Un agricultor planta manzanos en un patrón cuadrado. Para proteger sus árboles contra el
viento, planta coníferas alrededor de la huerta.
A continuación puedes ver un diagrama de esta situación, donde puedes observar el patrón de
manzanos y coníferas para cualquier número (n) de filas de manzanos:
Pregunta 1: Rellena la siguiente tabla
n Número de manzanos Número de coníferas
1 1 8
2 4
3 9
4 16
5 25
Pregunta 2: Existe un valor de n para el cual el número de manzanos es igual al número de
coníferas. Encuentra el valor de n y muestra tu método para calcularlo.
20 SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.

11. Propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la ESO
EJEMPLO 2
La velocidad de un auto de carreras
Pregunta 1: ¿Cuál es la distancia aproximada desde el punto de partida hasta el principio de
la sección recta más larga de la pista?
A. 0,5 km
B. 1,5 km
C. 2,3 km
D. 2,6 km
Pregunta 2: ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?
A. En el punto de partida.
B. Alrededor de 0,8 km
C. Alrededor de 1,3 km
D. A la mitad de la pista.
Pregunta 3: ¿Qué puedes decir acerca de la velocidad del auto entre la marca de 2.6 km y la
de 2.8 km?
A. La velocidad del auto permanece constante.
B. La velocidad del auto está aumentando.
C. La velocidad del auto está disminuyendo.
D. La velocidad del auto no puede determinarse a partir de la gráfica.
Pregunta 4: A continuación puedes ver los dibujos de cinco pistas:
P: Punto de partida
¿A lo largo de qué pista se condujo el auto para generar la gráfica de velocidad que se mostró
arriba?
Septiembre 2009 • 2009ko Iraila 21

12. Tetragonal Sixlink. Teo Geerinck