Private lessons of Mathematics given to Biochemistry students. Part 4: Multivariable calculus. Toledo, Spain, 2018

1. Javier García Molleja
Clases basadas en Cálculo, varias
variables, G.B. Thomas, 12ª Ed., Addison-
Wesley, 2010
4 – Cálculo en varias variables

2. Introducción
 Una función de varias variables reales es una
relación que liga n variables reales
independientes a un único número real.
 El resultado se obtiene sustituyendo las variables
por números reales y llevando a cabo las
operaciones matemáticas que nos indique la
función.

3. Introducción
 Es posible representar funciones de dos
variables, ya que configuran una superficie en el
espacio.
 Si trabajamos con funciones de tres variables
será necesario representar sus proyecciones en
diferentes planos.
 Estas funciones de dos y tres variables se dirán
acotadas si todos los puntos del rango quedan
dentro de un disco o bola (según corresponda)
de radio fijo.
 Hay un caso especial, las funciones vectoriales.
Son aquellas donde la función usa un único
número real para generar n resultados reales
(resultados trigonométricos dado un ángulo, por

4. Introducción
 Algunas operaciones permitidas entre funciones
de varias variables:

5. Curvas de nivel
 A veces conviene representar una superficie en
un plano y no en el espacio.
 Esto se consigue representando en el mismo
plano los puntos que hacen f(x,y) = c, con c
siendo un número real que esté en el rango.
 El conjunto de puntos que cumplen dicha
condición se les llamará curva de nivel.
 Si tenemos una función de tres variables, f(x,y,z)
= c configura una superficie de nivel.

6. Curvas de nivel

7. Límites y continuidad
 Si los valores de f(x,y) son lo suficientemente
cercanos a un valor L cuando los puntos (x,y) se
van acercando arbitrariamente al punto (x0,y0)
podemos hablar de límite de esta función.
 El límite existirá si se alcanza L
independientemente de la dirección elegida para
acercarse a (x0,y0).

8. Límites y continuidad

9. Límites y continuidad

10. Límites y continuidad
 Recurriendo a la definición de límite podemos
estudiar la continuidad de una función.
 Esta se da si todos los puntos de la función están
definidos (se obtiene un resultado real) y los
límites de los puntos cercanos tienden a dicho
valor.

11. Derivadas parciales
 La derivada se puede
entender como la tasa
de cambio de f(x)
cuando cambiamos de
valor x.
 En varias variables el
concepto es el mismo,
pero la derivada no es
total, sino parcial: se
observa la tasa de
cambio de la función
cuando cambiamos el
valor de una de sus n

12. Derivadas parciales

13. Derivadas parciales
 El proceso de
obtener una
derivada parcial
con respecto una
variable es similar
al hecho en las
derivadas totales.
 En este caso solo
se tomarán el
resto de variables
que no se estén
considerando
como si fueran
simples

14. Derivadas parciales
 Una función puede tener derivadas parciales con
respecto a x e y no siendo continua. Aunque si
las derivadas son continuas en un entorno
cercano a un punto, la función en dicho entorno
ha de ser continua.
 Por otro lado, las derivadas parciales pueden ser
también de segundo orden o más, aunque hay
que tener en cuenta el orden en el que se han de
hacer las derivadas parciales (a menos que sean
continuas).

15. Derivadas parciales

16. Derivadas parciales
 Recurrir a la regla de la cadena nos da muchas
opciones de trabajar con el concepto de
derivación implícita.
 Recordemos que las funciones implícitas son
aquellas en las que no podemos expresar una
variable en función de otra variable, o sea, es
imposible despejar una de las variables: w =
F(x,y) = 0.
 Estas funciones implícitas pueden derivarse.

17. Derivadas parciales
 No solo es posible derivar parcialmente en la
dirección x o en la y, sino que podemos hacerlo
en cualquier dirección si definimos previamente
su vector unitario.
 Esto se conocerá como derivada direccional,
(Duf)P0

18. Derivadas parciales

19. Derivadas parciales

20. Derivadas parciales
 Se tiene que el gradiente siempre es normal a la
curva de nivel que pasa por el punto de estudio.

21. Puntos extremales
 Las funciones continuas asumen valores
extremos en dominios cerrados y acotados.
 Los extremos entonces pueden existir en las
fronteras o en los puntos interiores.
 Para ello se hace necesario recurrir a derivadas
parciales y ver para qué puntos se anulan.

22. Puntos extremales
 Los extremos pueden ser relativos (en función de
un entorno dado) o absolutos (para todo el
dominio).
 Para que exista un máximo o un mínimo en un
punto concreto ambas derivadas parciales han
de anularse en dicho punto o no existir.
 Este punto se conoce como punto crítico.

23. Puntos extremales
 Si el valor de ese punto crítico es menor que
cualquier valor de la función en cualquier
dirección se habla de un mínimo.
 Si dicho valor es el mayor alcanzado en el
entorno para cualquier dirección tenemos un
máximo.
 Si el punto crítico da el máximo valor para una
dirección pero a la vez da el mínimo valor para
otra dirección estamos ante un punto de silla.
 Para discernir si es máximo, mínimo o punto de
silla se hace necesario resolver el hessiano:

24. Puntos extremales
 Analizando el hessiano obtenemos que:
 Si es negativo estamos ante un punto de silla.
 Si es positivo estamos ante dos casos posibles:
 Si fxx < 0 es un máximo
 Si fxx > 0 es un mínimo
 Si es nulo el criterio no puede aplicarse y se
necesita otro método adicional.

25. Javier García Molleja
Problemas basados en Cálculo, varias
variables, G.B. Thomas, 12ª Ed., Addison-
Wesley, 2010
4 – Cálculo en varias variables

26. Curvas de nivel

27. Límites y continuidad

28. Límites y continuidad

29. Derivadas parciales

30. Derivadas parciales

31. Derivadas parciales

32. Derivadas parciales

33. Puntos extremales