Limites

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Límite de funciones

Christiam Huertas
www.mathesm.blogspot.com

Matemática LÍMITE DE FUNCIONES

A veces algo no se puede calcular
directamente... ¡pero puedes saber cual debe
de ser el resultado si te vas acercando mas y
mas!

2 Christiam Huertas

LÍMITE DE FUNCIONES Álgebra

Introducción a límites

En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estático y
significa término, extremo o frontera.

En Matemáticas, el concepto de límite es un concepto dinámico y
tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor
(finito o infinito).

Consideremos el siguiente ejemplo.
Para hallar el área de una figura
poligonal simplemente se divide en
triángulos y se suman sus áreas
( ).

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Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos
como el círculo. Una manera debido a Arquímedes es aproximar el
área inscribiendo polígonos en la región (Método de exhausción).

Si es el área del polígono regular inscrito con lados, entonces
se puede observar que cuando aumenta, se aproxima cada
vez más al área del círculo.
4 Christiam Huertas


En caso de hallar un patrón para las áreas
, entonces se podría determinar el límite
de manera exacta.

Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base
del concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII
por Newton.



El límite de una función.

Idea de límite de una función.
Consideremos la función .
Veamos cómo se comporta la
función cuando esta próximo a

La función cuyo dominio es
{ } , la podemos
expresar como

.
6 Christiam Huertas


La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de para
varias elecciones de próximo a .

⟶ ⟶
… 1,8 1,95 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,05 2,1 …
… 3,8 3,95 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,05 4,1 …
⟶ ⟶



8 Christiam Huertas


Se observa que, a medida que es un número cercano a ,
esta muy próximo al número . Decimos entonces que “el límite de
, cuando esta próximo a , es ” y escribimos

Definición informal de límite

Cuando escribimos “ ”, queremos decir que esta
arbitrariamente cerca de (tan cerca a como se quiera) conforme
esta arbitrariamente cerca (pero no igual) a .



Definición formal de límite

Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos. Sea
⟶ una función definida en cada número de algún
intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en el
número mismo. Diremos que

| | | |

Esta definición se denomina frecuentemente épsilon-delta de
límite1.

1
La notación moderna de límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817,
introdujo las bases de la técnica épsilon-delta ( ), que inicialmente fue intuido por el
matemático francés Louis Cauchy.
10 Christiam Huertas


 Un número real:
 Un valor infinito:
 El límite no existe:


Unicidad del límite
El límite de una función, si existe, es único. Es decir, si

Teorema. Sean y dos números reales. Entonces,

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.


Determinación algebraica de límites.

Se usan métodos algebraicos para hallar límites de manera exacta.

Leyes de límites
Se usan las siguientes propiedades de límites para calcular los
límites.

Supongamos que es una constante y que los siguientes límites
existen.

Entonces


[ ]
í
[ ]
í
[ ]
í
[ ]
í

* +

í



[ ] * +
í

√ √ √

í í


Solución. Utilizamos las propiedades de límites



( )

√

Solución. Utilizamos las propiedades de límites
√ √

√( )


√ √

Cálculo de límites

Límites por sustitución directa
Si es una función y esta en el dominio de , entonces

Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman
continuas en .

√



Solución. Como esta en el dominio de la función √ ,
entonces,

√ √ √

( )

Solución. La función es una función racional y
esta en su dominio, entonces,

( )



Solución. Como esta en el dominio de la función ,
entonces,

Problema 1. Calcule el valor del siguiente límite.

( )



Resolución. Como está en el dominio de , entonces, por
sustitución directa se obtiene que

( )

Indeterminaciones

Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de
las siguientes expresiones:



A estas expresiones se les denomina indeterminaciones2, ya que, a
simple vista, no está claro cuál puede ser el límite.

Por ejemplo es una indeterminación, pues puede terminar dando
cualquier cosa; como lo muestra los siguientes límites.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
Una indeterminación es una operación matemática con resultado no conocido y cuya
solución (finita o infinita) puede existir o no.


No son indeterminaciones

{ Se demuestra a partir de

Determinación de límites por medio de álgebra y leyes
de límites.

1. Hallar un límite mediante cancelación de un factor común
Para calcular el límite de una función racional que tiene una
indeterminación del tipo , se factoriza numerador y
denominador, y se simplifica el factor común.


Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.

Solución. El límite tiene la forma indeterminada ,
factorizamos numerador y denominador para levantar la
indeterminación.



factorizamos numerador y denominador para levantar la
indeterminación.

2. Hallar un límite mediante cambio de variable

√



√
Solución. El límite tiene la forma indeterminada .
Hacemos el cambio: , entonces √ .
Además, si ⟶ , entonces ⟶ . Luego,

√

√
( )
√


√
Solución. El límite ( ) tiene la forma indeterminada .
√
Hacemos el cambio: , entonces √ y √ .
Además, si ⟶ , entonces ⟶ . Luego,

√
( )
√



3. Hallar un límite mediante simplificación

entonces,



entonces,



4. Hallar un límite mediante racionalización
Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión
a racionalizar.


√

√
entonces racionalizamos

√ √ √
( )
√


(√ ) (√ )

√ √

( )
√

Solución. El límite ( ) tiene la forma indeterminada ,
√

√ √
( ) ( ) ( )
√ √ √


√

( )
√

Solución. El límite ( ) tiene la forma indeterminada ,
√
√
( ) ( )( )
√ √ √

( √ )



( √ )

( √ )

Límites laterales

Algunas veces el valor de la función puede aproximarse a
diferentes valores cuando se aproxima a un número desde los
lados opuestos. Cuando esto sucede, el límite de conforme se
aproxima a por la izquierda es el límite por la izquierda de en ,
y el límite de conforme se aproxima a por la derecha es el
límite por la derecha de en .


Teorema. Una función tiene un límite conforme se aproxima a
si, y solo si, los límites laterales derecho e izquierdo en existen y
son iguales. Esto es

Ejemplo 1. (Comparar los límites laterales derecho e izquierdo)
| |

Solución. Recuerde que

| | ,



Ejemplo 3. (Límite de una función definida por partes)
Dada la función {√



Solución.
 Puesto que √ para , entonces

√ √

 Puesto que para , entonces

Como los límites laterales son iguales, entonces el límite existe y

La gráfica de se muestra a continuación.



Problema 2. Dada la función real ,
Si existe, calcule el valor de .

Resolución. Como existe, entonces, se debe cumplir
que


Luego,

Teorema del Sándwich
Sean ⟶ funciones con dominio común de modo que



Aplicación. Demuestre que .

Demostración. Consideremos el Círculo Trigonométrico

 Si se tiene que , luego



 Si (es decir, ) tenemos que,

De todo esto concluimos que

〈 〉 〈 〉



Límites de las funciones trigonométricas

Los siguientes teoremas son útiles para el cálculo de límites con
funciones trigonométricas.

Teoremas.

Ejemplos (Límites trigonométricos)
Halle el valor de los siguientes límites.



entonces,

entonces,



entonces,

( )

( )



Problema 7. Si ; calcule el valor de .

Resolución. Se piden calcular

( )
tiene la forma indeterminada , entonces, hacemos:

( )
( ) ( )

( )



Los infinitos y el límite

Veremos situaciones como

El símbolo llamado infinito3 no es un número real, es decir no es
algebraico ni aritmético, pero si tiene un carácter posicional.
Podemos formar un nuevo sistema de números al cual lo
llamaríamos sistema ampliado de los números reales y se denota
por ̅ ̅ { } { } , debiendo cumplir las siguientes
propiedades (o reglas).

3
El matemático John Wallis fue el primero en usar el símbolo para representar al infinito
en su tratado De sectionibus conicus en 1655.


1. , , .
2. , .
3. , .
4. ,

Para el caso de los límites que contienen infinitos trabajaremos en
el sistema definido ( ̅ ).

Observación. Carecen de significado las siguientes operaciones.



Límites infinitos

Consideremos la función y observemos su
comportamiento alrededor de mediante un cuadro de valores.

1 0,2 0,1 0,01 0,001 … ⟶

1 4 9 16 25 100 10000 1000000 … ⟶

… ⟶

Este hecho lo podemos simbolizar de la siguiente manera.
⟶ cuando ⟶



La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.

Podemos denotar este caso de no existencia de límite como



Teoremas

{

Límites en el infinito
Estudiaremos una clase especial de límite conocida como límite en
el infinito. Se examina el límite de una función cuando aumenta
el valor de indefinidamente ⟶ .

Consideremos la función ⟶ definida por .


La función lo podemos expresar como

Veamos algunos valores de la función en la siguiente tabla.

0 1 2 3 4 5 10 100 1000 … ⟶
0 1 … ⟶

La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.



Observamos que cuando crece a través de valores positivos, los
valores de la función se acercan cada vez más a 2. Es decir,
podemos acercar el valor de a 2 tanto como queramos,
tomando suficientemente grande; y esto lo denotamos por



Definición (Límite en el infinito). Sea una función definida en
〈 〉. Entonces

indica que los valores de se pueden hacer arbitrariamente
cercanos a si toma valores suficientemente grandes.

Teoremas. Si es cualquier número entero positivo, entonces se
cumplen

( ) ( )



Límites de funciones racionales ( )

Se factoriza la mayor potencia de en el numerador y denominador
para luego hacer uso del teorema anterior.

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).

luego

( )

( )


Solución. El límite tiene la forma indeterminada
, entonces,

( )

( )



Solución. El límite tiene la forma indeterminada
, luego

( )

( )



Teorema

{

Problema 5. Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.



Resolución. Aplicamos el teorema anterior y obtenemos



Límite de expresiones exponenciales

El número de Neper
Uno de los números más importantes de las Matemáticas es el
llamado número de Neper, este número es denotado con la letra y
su valor aproximado es

2,71828182845904523536028747135266249775724709369…

El número de neper es un número irracional, es decir, no puede ser
escrito como el cociente de dos números enteros. Este número es
llamado transcendente porque no puede ser raíz de ningún
polinomio con coeficientes enteros.



Teorema. Dadas las funciones ⟶ y ⟶ , definidas por

( )
Entonces

( )

Teoremas. Supongamos que

Entonces se cumple

( )



( )

( ) ( )

( )
*( ) +

( )

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).

( )

Solución. Vemos que


( )

( )


( ) ( )


( )


( ) ( )
( )

( )



Problema 6. Dados los números

( ) (√ )

calcule el valor de .
Resolución. Hallamos el valor de .

( )

( ) [( ) ]

( )



Utilizando el teorema anterior obtenemos
( ) ( )

( )

( )



Otras técnicas de resolución de indeterminaciones.
1. Indeterminación
En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de
una de las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo ó
, vistas anteriormente.

2. Indeterminación
 En algunos casos sencillos basta con simplificar la función,
desapareciendo así la indeterminación.
 Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se
procede a su racionalización, multiplicando y dividiendo por el
conjugado de la raíz.



Continuación del problema 6.
Hallamos el valor de .

(√ )

Racionalizamos la función

√
(√ ) (√ )( )
√

√ √

√ ( )



| |√ √

√
√

3. Indeterminación ,
Se resuelve expresando las potencias de la forma
( )
( )

con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo ,
que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente.


Problema de aplicación de límite

Problema 1. Se sabe que el precio de un artículo a través del
tiempo (en meses) está dado por la función . Si se sabe
que el precio de este artículo el próximo mes será de S/. 6,50; y el
siguiente mes será de S/. 6,00. Se desea saber

a) El precio del artículo para este mes.
b) En qué mes el precio será de S/. 5,50.
c) ¿Qué ocurre con el precio a largo plazo?

Resolución.
Tenemos : tiempo (meses)
: precio del artículo (S/.)


Consideremos el mes actual como , luego el próximo mes
corresponderá a y el siguiente mes (siguiente mes al próximo)
corresponderá a .

Por dato, el precio de este artículo el próximo mes será de S/. 6,50.

Por dato, el precio de esta artículo el siguiente mes (al próximo)
será de S/. 6,00.



Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos que y
.
Luego, la función precio está dado por .

a) El precio del artículo para este mes es

b) En un tiempo el precio del artículo será de S/. 5,50; es decir

Dentro de 5 meses el precio del articulo será de S/. 5,50

c) El precio a largo plazo ocurrirá cuando ⟶ .


A largo plazo, el precio del artículo tiende a S/. 5,00


El concepto de Límite es fundamental en
Matemáticas y sobre él se construye todo el
Cálculo Infinitesimal.

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