Clase 3 derivada

INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
Bibliografía
Competencia
Tema
INICIO
3.1 Concepto de derivada de una función
“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para
la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de
Ingeniería

Introducción a la Derivada
Dónde estoy, y a dónde voy?
Posición actual
Dónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidad
distracciones, etc.
Fuerzas externas
que atacan
Antes de iniciar, es importante reflexionar…

Recordemos el camino trazado…
1. Funciones de una variable
2. Limites y continuidad
3. La derivada
4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Ya analizamos
funciones…
También
limites de
funciones…
Y el tema que
iniciamos hoy
es….

“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)

“La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
2
xy 
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
xy 2

Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un circulo”

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!

Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1( , )x y
2 2( , )x y

Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 


Algo de historia.
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tanm

La derivada.
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
tanm

La derivada.
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.
tanm  secm Procedemos
a sustituir:
12
12
sec
xx
yy
m



2 1
2 1
y y
x x


tanm

12
12
sec
xx
yy
m



La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
y y
x x


Considerando:
( )y f x
2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x


)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemos
a sustituir:

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x

 2 1x x x  Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x


2 1x x x  
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1( ) ( )f x f x
x


Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x  
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 
2 1x x x  
2 1( ) ( )f x f x
x


Podemos expresar lo anterior así:
lim
0x 
0x 
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 
Finalmente considerando lo siguiente
lim 2 1( ) ( )f x f x
x

0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

2 1x x x  
tanm

1 1( ) ( )f x x f x
x
  

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
2 1x x x  
tanm

La derivada.
tanm  lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy
Por su origen basado en
incrementos
=

La derivada de 𝒇 en 𝑥 está dada por 𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
siempre que ese límite exista. Ese resultado también es una
función de 𝑥 y representa la pendiente 𝑚 de la recta tangente
a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑥, 𝑓(𝑥) .
El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se
dice que una función es derivable en 𝒙 si su derivada en 𝑥
existe. Decimos que la función es derivable en un intervalo
abierto (𝑎, 𝑏) si es derivable en todos y cada uno de los
puntos de ese intervalo.
Además de 𝑓′
𝑥 , que se lee “𝑓 prima de 𝑥”, se usan otras
notaciones para la derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥).las más usuales
están dadas por:
𝑓′ 𝑥 = 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑓 𝑥
Veamos unos ejemplos:
Derivada de una función
Conceptos básicos sobre derivadas

La derivada.
lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  
dx
dy
=
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2
)( xxfy 
x
xfxxf
dx
dy
x 



)()(
lim
0
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
)( xxf 
se puede observar que:
2
)()( xxxxfy 
Al sustituirlo obtenemos:

x
xxx
dx
dy
x 



22
0
)(
lim
)( xxf  )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x 



222
0
))()(2(
lim Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x 



2
0
)()(2
lim
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:





 x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim xx
xx

 00
lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
2)1(2tan 
dx
dy
m
Observe que:
?tan m

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
2tan m

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2        









        









        









        









        










Ejemplos:
1) Calcule la derivada de 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 4𝑥 − 5
Solución:
Para continuar haz clic en la flecha o en los botones de abajo.
Conceptos básicos sobre derivadas
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
)𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
)3 𝑥 + ℎ 2
+ 4 𝑥 + ℎ − 5 − (3𝑥2
+ 4𝑥 − 5
ℎ
Evaluamos la función en 𝑥 y 𝑥 + ℎ
= lim
ℎ→0
3 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 5
ℎ Elevamos el binomio 𝑥 + ℎ al cuadrado y
realizamos los productos indicados
= lim
ℎ→0
3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 5
ℎ Simplificamos términos
semejantes
= lim
ℎ→0
6𝑥ℎ + 3ℎ2
+ 4ℎ
ℎ
Dividimos cada término del trinomio del numerador
entre ℎ
= lim
ℎ→0
(6𝑥 + 3ℎ + 4
Calculamos el límite cuando ℎ → 0
= 6𝑥 + 4
Aplicamos la definición de la
derivada

Tomada de “El Cálculo”
por Louis Leithold

Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de
derivadas, con la intención de que ustedes vayan
deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.
xxf 3)( 
3
dx
df
3
)(
3
x
xf 
5
12
)(


x
xf
2
6)( xxf 
2
x
dx
df

x
dx
df
2
5
2

dx
df

Sea la función:
La derivada de esta función es:
Regla para
encontrar derivadas

dx
df
)x(f c x n
1n
 

dx
df 1n
cnx

Sea la función:
Derivadas especiales

dx
df
)x(f c x 1
11 
 

dx
df 0
cx
c
dx
df


Sea la función:
Derivadas especiales
0
dx
df
cxf )(
La derivada de esta función
es:

Sea la función:
Ejemplos de derivadas

dx
df
)x(f 5x 3
13
 

dx
df 2
15x

Sea la función:

dx
df
)x(f 3 x 4
14 
 

dx
df 3
12x

Sea la función:

dx
df
)x(f 3
2
 x
5
1
1
5
1

 

dx
df 5
4
15
2 
 x

Derivada de una suma y
diferencia de funciones
)()()( xhxgxf 
Sea la función:
dx
dh
dx
dg
dx
df

La derivada de la suma o diferencia
es:

- Derivada de un producto
En general
Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n
Entonces
)(...)()()( 321 xfxfxfxf n

dx
dy
Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la
derivada de cualquier función polinomial en x.
Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245
 xxxxxf
Solución:
214815)( 34
 xxxxf

Ejemplos
675)( 2
 xxxf
Sean las funciones:
710  x
dx
df
1651034)( 256
 xxxxxf
5201524 45
 xxx
dx
df

Ejercicios propuestos
42
1
4
3
8)( 
 xxxf
Deriva las siguientes funciones:
52
1
)4(
4
3
2
1
)8( 













 xx
dx
df
xxxf 103)( 4
 
xxdx
df 512
5

5
34
xxdx
df


1)
854
745
3512125)(
53112)(




xxxxf
xxxxxf
2)
3)
30308456)(
)57()66()62(7)(
)57()62()(
23
23
3



xxxxf
xxxxxf
xxxxf
5
2
4
3
8
33)(
2
3)(
x
xxf
x
xxxf



Derivada de un
producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las
funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada
de esta función.
)x(h)x(g)x(f 
dx
dh
xgxh
dx
dg
dx
df
)()( 

- Derivada de un producto
Si y y
entonces,
)(xuu  )(xvv  ,)()()( xvxuxf 
)()()()()( xvxuxvxuxf 
Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232
xxxxxxf 
y evaluar para 2x
Solución
: )62()32()643()23()( 2322
xxxxxxxxxf 
Si 4)2(2  fx

Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
dx
dh
g)x(h
dx
dg
dx
df

)413)(58()( 22
 xxxxf
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)26)(58()413)(516( 22
xxxxx
dx
df

2323
130208206564208 xxxxx 
2064195416 23
 xxx

Ejercicios
propuestos
Resuelve el producto de funciones:
)3)(4()( 2
xxxf 
)2)(4()3)(1( 2
xxx
dx
df

22
283 xxx 
383 2
 xx

Deriva este otro producto de
funciones:
)2)(3()( 2132
xxxxxf  
)4)(3()2)(36( 232214
xxxxxxxx
dx
df
 
253253
412363126 
 xxxxxx
34224 523
 
xxx
Ejercicios
propuestos

Derivada de un producto de
varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es
decir
)()()()( xhxgxexf 
dx
dh
xgxexh
dx
dg
xexhxg
dx
de
dx
df
)()()()()()( 
su derivada será:

Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
)5)(2)(3()( xxxxf 
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1(  xxxxxx
dx
df
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx 
)236()32)(5( 2
xxxxxx 
)56()25)(5( 2
xxxx 
22
56251025 xxxxx 
31203 2
 xx

Derivada
s
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones
g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
)x(h
)x(g
)x(f 
 2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df



- Derivada de un cuociente
Si )(xf ,
)(
)(
xv
xu 0)( xvcon
entonces,  )(xf
 2
)(
)()()()(
xv
xvxuxuxv 
Ej: Determinar la derivada de )(xf
3
32
2
2


x
xx

Solución
:  )(xf
22
2
22
2323
22
22
)3(
9123
)3(
6493124
)3(
2)32()34()3(






x
xx
x
xxxxx
x
xxxxx
 )(xf
 )(xf

Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
23
54
)(



x
x
xf
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y
recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
 2
23
)3)(54()23)(4(



x
xx
dx
df
 2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df



Ejemplo
 2
23
)1512(812



x
xx
dx
df
 2
23
7


x
Es importante recordar que siempre tenemos que
llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.

Ejercicio propuesto
Sea
1
1168
)(
2



x
xx
xf
2
2
)1(
)1)(1168()1)(616(



x
xxxx
dx
df
2
22
)1(
1168161616



x
xxxxx
2
2
)1(
10168



x
xx

Ejercicio propuesto
Sea
1
1
)( 3
3



x
x
xf
23
2332
)1(
)3)(1()1(3



x
xxxx
dx
df
23
2525
)1(
3333



x
xxxx
23
2
)1(
6


x
x

Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada
a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de
esta función.
 n
xhxf )()( 
  







dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(

Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
2
)45()(  xxf
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla
de la cadena
tenemos que
)5)(45(2  x
dx
df
  







dx
dh
xhn
dx
df n 1
)(
)45(10  x
4050  x

Ejemplo
Sea
367)( 2
 xxxf
   614367
2
1 2
1
2


xxx
dx
df
 2
1
2
367
37



xx
x
367
37
2



xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
 2
1
2
367)(  xxxf
y
367)( 2
 xxxf
 2
1
2
367)(  xxxf

Ejemplo
Sea
23
2
)6(
63
)(
xx
x
xf



 
  



















223
232232
1
23
2
)6(
)63)(6(2)63()6)(6(
)6(
63
2
1
xx
xxxxxxx
xx
x
dx
df
 
















 43
22332
1
2
23
)6(
)63()6(6)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx
 










 43
24243
2
23
)6(
)36369(366)6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx

Ejemplo










 43
24243
2
3
)6(
)36369366)(6(
63
)6(
2
1
xx
xxxxxx
x
xx









 43
423
2
)6(
)363()6(
63
1
2
1
xx
xxx
x









 23
4
2
)6(
363
63
1
2
1
xx
x
x
63)6(
363
2
1
223
4



xxx
x

En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las
siguientes cuatro opciones planteadas:
1) Al derivar la función 𝑦 =
𝑥3−𝑥2+𝑥+1
𝑥2+𝑥−1
obtenemos:
Actividad de retroalimentación
𝑥4
+ 2𝑥3
+ 8𝑥2
− 16𝑥 + 3
𝑥2 + 𝑥 − 1 2
𝑥4
+ 2𝑥3
− 5𝑥2
− 2
𝑥2 + 𝑥 − 1 2
a)
b)
𝑥4
+ 2𝑥3
+ 5𝑥2
− 2
𝑥2 + 𝑥 − 1 2
𝑥4
− 2𝑥3
+ 5𝑥2
− 2
𝑥2 + 𝑥 − 1 2
c)
d)

2) Dada la función 𝑔(𝑦) = 7 − 𝑦2 + 3𝑥 + 4𝑦 tenemos que:
𝑔′
𝑦 =
𝑦 − 2
𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4
a) 𝑔′
𝑦 =
2𝑦 − 3
𝑥 + 2𝑦2 − 6𝑦 + 4
b)
𝑔′ 𝑦 =
3𝑦2
+ 1
2 5𝑥 + 𝑦3 + 𝑦 + 4
c) 𝑔′
𝑦 =
2 − 𝑦
3𝑥 − 𝑦2 + 4𝑦 + 7
d)

3) El valor de la primera derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛
𝑥−2
𝑥+3
es:
−
3
𝑥 − 2 𝑥 + 1
a)
4
𝑥 − 2 𝑥 + 2
b)
5
𝑥−2 𝑥+3
c)
−
4
𝑥 − 1 𝑥 + 3
d)

4) Al encontrar 𝑢′(𝑥) dado que 𝑢 𝑥 = −3𝑒−2−3𝑥2
tenemos:
Para continuar haz clic en la flecha o en los botones de abajo.
a)
b)
c)
d)
18𝑥𝒆−3𝑥2−2
12𝑥𝒆−2𝑥2−1
−12𝑥𝒆2𝑥2+4
−12𝑥𝒆3𝑥2+2

5) El resultado de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
donde 𝑦 = −2𝑥𝑆𝑒𝑛(6𝑥) está dado por:
a)
b)
c)
d)
−18𝑥cos 6𝑥 − 3sen 6𝑥
−12𝑥cos 6𝑥 − 2sen 6𝑥
12𝑥sen 6𝑥 − 2cos 6𝑥
18𝑥sen 6𝑥 − 3cos 6𝑥

DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA

Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS
DERIVADAS

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos
(máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son
las rectas tangentes:

m=0
m=0
m<0
m>0
m<0 En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0 f’(4)=0
f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

88
LA DERIVADA
EN EL
ANALISIS DE
FUNCIONES

89
TEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo local de f,
entonces

90
PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se llama
número crítico o punto crítico de f si f ’(c) =
0.

91
1. Hallar todos los puntos críticos de f en
[a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y
es el máximo absoluto de f en[a,b] y el
menor el mínimo.
Procedimiento para determinar los máximos
o mínimos de una función continua f en [a,
b]

92
TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:
Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a
>

93
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es
derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c
entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

94
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que
contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = carriba
>
+

95
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que
contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = cabajo
<
-

96
Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0,
entonces,
Si f ’’(c) > 0, c es un punto de
mínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto de
máximo local

97
Punto de inflexión
La gráfica de f tiene en el punto
(c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en
el punto
sentido en c
3 La concavidad cambia de

98
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR
Los PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero
ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de
inflexión. Esto es:
• Si f es continua
•Si la derivada existe o tiene límite
infinito (tang. vertical)
• Si f ’’ cambia de signo

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