Calculo diferencial fie.ppt

INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
Bibliografía
Autor
Competencia
Tema
INICIOFacultad de Informática y Electrónica – Julio 2017
Dra. Lourdes Zúñiga - Ing. Fernando Solís
Concepto de derivada de una función
“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
El Cálculo, Louis Leithold
Editorial Harla México
Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para
la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de
Ingeniería

Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Introducción a la Derivada
Ya analizamos
funciones…
También
limites de
funciones…
Y el tema que
iniciamos hoy
es….

“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)

“La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
2
xy 
xy 2La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
corta a una curva,
(en este caso una
circunferencia)
en dos puntos”
Entendemos por
pendiente de una curva
a la pendiente de la
recta que mas se
asemeja (ajusta) a la
curva y esta recta es
“la recta tangente”

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!

Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1( , )x y
2 2( , )x y

Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 


Algo de historia.
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tanm

La derivada.
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
tanm

La derivada.
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.
tanm  secm Procedemos
a sustituir:
12
12
sec
xx
yy
m



2 1
2 1
y y
x x


tanm

12
12
sec
xx
yy
m



La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
y y
x x


Considerando: ( )y f xtanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x


)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemos
a sustituir:

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x

 2 1x x x  Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x


2 1x x x  
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1( ) ( )f x f x
x


Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x  
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 
2 1x x x  
2 1( ) ( )f x f x
x


Podemos expresar lo anterior así:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x


0x 
0x 
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x


0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

2 1x x x  
tanm

1 1( ) ( )f x x f x
x
  

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
2 1x x x  
tanm

La derivada.
tanm  lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos
=

La derivada de una función.- Sea f una función Real definida
en un intervalo abierto I. Se llama derivada de f y se denota con f ’, a
otra función de finida como:
lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  
dx
dy
xf )(' =
Diferenciación.- Una función es diferenciable en un punto x si
su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un
intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una
función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en
c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser
diferenciable. Es decir, toda función diferenciadle en un punto C es
continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en
C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  
dx
dy
xf )(' =
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2
)( xxfy 
x
xfxxf
dx
dy
x 



)()(
lim
0
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
)( xxf 
se puede observar que:
2
)()( xxxxfy 
Al sustituirlo obtenemos:

x
xxx
dx
dy
x 



22
0
)(
lim
)( xxf  )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x 



222
0
))()(2(
lim Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x 



2
0
)()(2
lim
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:





 x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim xx
xx

 00
lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2

Tomada de “El Cálculo”
por Louis Leithold

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
2)1(2tan 
dx
dy
m
Observe que:
2tan m ?tan m

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
2tan m

        








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2        









        









        









        









        










 xf
yf
yfxxfy
'
1
))'((
)()(
1
1




Sea
Derivada de la función inversa
    2
1
1
)arccos(
1
)(
1
cos'
1
yysenxsenx 

  1,
1
1
')arccos(
2


 x
x
x
 x
y
yxxy
cos'
1
))'(arccos(
)arccos()cos(

Ejemplo:

Derivadas de Orden Superior
La derivada de una función diferenciable
puede a su vez ser diferenciable, entonces se
llama derivada de segundo orden (segunda
derivada) de la función diferenciable a la
derivada de la derivada de ésta.
Análogamente, la derivada de tercer orden de
la función diferenciable es la derivada de la
derivada de la segunda derivada, y así
sucesivamente.
)(),...,('''),(''),(' )(
xfxfxfxf n

1. 𝑦 =
23𝑥
32𝑥
2. 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 2 𝑒−𝑥
3. 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
1+cos(𝑥)
2
4. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1 − 0,2𝑥2
5. 𝑦 = ln 𝑡𝑔
𝑒2𝑠𝑒𝑛 𝑥
4
6. 𝑦 = log2 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
7. 𝑦 = log 𝑥2 𝑥 𝑥
8. 𝑦 = 2 𝑥
hallar 𝑦 𝑛
9. 𝑥3
+ ln 𝑦 − 𝑥2
𝑒 𝑦
= 0
10. Si 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) y 𝑔(𝑥) = ln(1 − 𝑥); hallar
𝑓′(0)
𝑔′(0)
EJERCICIOS PROPUESTOS

INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
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Tema
Dra. Lourdes Zúñiga - Ing. Fernando Solís
3.1 Concepto de derivada de una función
“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
El Cálculo, Louis Leithold
Edición, Editorial Harla México
Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para
la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de
Ingeniería.
Facultad de Informática y Electrónica – Agosto 2014

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