Bienvenidos a este material didáctico digital que muestra una breve explicación matemática ilustrada sobre las derivadas de una función, su definición, significado e interpretación geométrica.

1. INFORMACIÓN GENERAL DE MATERIAL DIDÁCTICO DIGITAL
Bibliografía
Autor
Objetivo
Tema
INICIO
Desarrollado en agosto 2009
Compartido en el portal Youtube en julio 2015
Ing. Fernando Félix Solís Cortés
Derivada de una función
El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Demostrar la interpretación geométrica del concepto
derivada de una función para la resolución de problemas.

2. Material didáctico cortesía
de:
por:
Fernando Félix
Solís Cortés
Matemáticas
Sencillas
Fernando Félix Solís Cortés – Matemáticas sencillas – Canal Youtube

3. Temas importantes…
Tema 1. Funciones de una variable
Tema 2. Limites y continuidad
Tema 3. La derivada
Tema 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Introducción a la Derivada

4. “La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada

5. “La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
2
xy 
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
xy 2

6. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un círculo”

7. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

8. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

9. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

10. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!

11. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1( , )x y
2 2( , )x y

12. Algunos conceptos básicos.
Introducción a la Derivada
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 


13. Algo de historia.
Introducción a la Derivada
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace más de dos mil
años, y fue nuevamente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos
ilustres, entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.

14. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE.
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observa que si trazamos
diversas rectas secantes,
podemos obtener una
muy buena estimación de la
pendiente desconocida.
tanm
X=1

15. La derivada.
Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

16. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

17. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

18. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

19. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

20. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

21. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

22. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

23. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

24. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

25. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
Cuando el punto
se acerca cada vez
más al punto
las pendientes
son más similares.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Volver a
mostrar
Continuar
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

26. La derivada.
Introducción a la Derivada
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

27. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.
tanm  secm Procedemos
a sustituir:
12
12
sec
xx
yy
m



2 1
2 1
y y
x x


tanm

28. 12
12
sec
xx
yy
m



La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
y y
x x


Considerando: ( )y f xtanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x


)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemos
a sustituir:

29. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x

 2 1x x x  Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x


2 1x x x  
tanm

30. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1( ) ( )f x f x
x


Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x  
tanm

31. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1( ) ( )f x f x
x


Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x  
tanm

32. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 
2 1x x x  
2 1( ) ( )f x f x
x


Y también podemos notar que
lim 2 1( ) ( )f x f x
x


0x 
0x 
Por lo tanto, aplicando la teoría
de límites matemáticos tenemos:
Podemos observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
sin llegar a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm

33. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x


0x 
2 1x x x  
Y la expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

2 1x x x  
tanm

34. 1 1( ) ( )f x x f x
x
  

La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
2 1x x x  
tanm

35. La derivada.
Introducción a la Derivada
tanm  lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

Este límite nos permite encontrar
las pendientes de las diversas
rectas tangentes en la gráfica de
una función, y se le conoce
comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos
=

36. La derivada.
Introducción a la Derivada
lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  
dx
dy
=
Y gracias a esta expresión
matemática lo siguiente
adquiere mayor sentido:
Si tenemos una función definida por
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
Y mediante esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original.

37. Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2
)( xxfy 
x
xfxxf
dx
dy
x 



)()(
lim
0
Recordando que la
derivada es definida
por el siguiente límite:
Reemplazamos el término
)( xxf 
y se puede observar:
2
)()( xxxxfy 
Al sustituir obtenemos:

38. Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada
x
xxx
dx
dy
x 



22
0
)(
lim
)( xxf  )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado tenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x 



222
0
))()(2(
lim Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x 



2
0
)()(2
lim
Antes de aplicar teoremas
sobre límites, simplificamos
algebraicamente así:

39. Aplicación del límite obtenido….
Introducción a la Derivada




 x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim xx
xx

 00
lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión de que:
Si tenemos una función definida por
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2

40. Tomada de “El Cálculo”
por Louis Leithold

41.         








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2

42.         








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
2)1(2tan 
dx
dy
m
Observe que:
2tan m ?tan m

43.         








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
2tan m

44.         








 Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2        









        









        









        









        










45. Introducción a la Derivada
De acuerdo a la RAE es el “Valor límite de la relación
entre el incremento del valor de una función y el
incremento de la variable independiente, cuando
este tiende a cero”.
Geométricamente nos permite calcular la pendiente
de una recta tangente a la gráfica de una función.

46. INFORMACION GENERAL DE MATERIAL DIDÁCTICO DIGITAL
Bibliografía
Autor
Objetivo
Tema
INICIO
Desarrollado en agosto 2009
Compartido en el portal Youtube en julio 2015
Ing. Fernando Félix Solís Cortés
Derivada de una función
El Cálculo, Louis Leithold
7ma Edición, Editorial Harla México
Demostrar la interpretación geométrica del concepto
derivada de una función para la resolución de problemas.

47. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

48. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

49. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

50. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

51. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

52. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

53. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

54. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
∆x
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

55. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

56. La derivada.
Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
tanm
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE