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1. Cálculo de Probabilidades II
Semanas 4: Funciones de variables aleatorias.
Práctica dirigida
Vladimiro Contreras Tito
Universidad Nacional Federico Villarreal
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
Departamento de Matemática
Agosto 2021
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2. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.1.
Un proceso para refinar azúcar rinde hasta 1 tonelada de azúcar puro al
dı́a, pero la cantidad real producida, Y , es una variable aleatoria debido
a descomposturas de máquinas y otros problemas. Suponga que Y tiene
función de densidad dada por
f(y) =
2y, 0 ≤ y ≤ 1
0, en otro lugar
A la compañı́a se le paga a razón de $300 por tonelada de azúcar
refinada, pero también tiene un costo fijo general de $100 por dı́a. Por
tanto, la utilidad diaria, en cientos de dólares, es U = 3Y − 1.
Encuentre la función de densidad de probabilidad para U.
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3. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.2.
Se elige un punto al azr en el interior del cı́rculo con centro en el
origen de coordenadas y radio unitario. Sus coordenadas se distribuyen
de modo que:
fX,Y (x, y) =
1
π , (x, y) en el interior del cı́rculo
0, en otro lugar
Obtener la distribución de probabilidad de R = (X2 + Y 2)1/2, distancia
del punto al origen y cálcular la probabilidad P de que el punto
seleccionado no este en el interior del cı́rculo de radio 1/2 centrado en
el origen.
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4. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.3.
Sea el vector aleatorio W = (X, Y ) con función de densidad
f(x, y) =
(
1 0 x 1 , 0 y 1
0 en otros casos
Obtener la función de densidad conjunta de las v.a. U = XY , V = X
Y
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5. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.4.
Sea Z = (X, Y ) un vector aleatorio cuyas componentes son v.a.
independientes, cada una de las cuales tienen la misma función de
densidad de probabilidad dada por:
fX(x) = fY (y) =
1
√
2π
e−x2/2
, ∀x ∈ R
Halle la distribución de probabilidad del vector aleatorio cuyas
componentes son U = X2 + Y 2 , V = X
Y
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6. Funciones de variables aleatorias
Ejemplo 1.5.
Sean X e Y variables aleatorias exponenciales independientes, ambas
con media media β 0. Encuentre la función de densidad de:
U =
X
X + Y
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